解直角三角形(坡度、坡角)

解直角三角形的应用坡度坡角洋葱数学
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角），其他两个角度为锐角。

直角三角形具有许多实际应用，其中之一是在测量和计算斜坡的坡度和坡角。

测量斜坡的坡度是确定斜坡的陡峭程度的方法之一。

坡度以百分比表示，表示斜坡上升或下降的垂直距离与水平距离之间的比例关系。

使用直角三角形中的三角函数，可以计算斜坡的坡度。

具体而言，可以使用正切函数（tan）来计算坡度。

假设斜坡的高度为h，水平距离为d，则坡度可以用下式表示：
坡度 = h / d
另外，直角三角形还可以用来计算斜坡的坡角。

坡角指的是斜坡与水平面之间的夹角。

根据直角三角形的性质，可以使用正切函数（tan）来计算坡角。

假设斜坡的高度为h，水平距离为d，则坡角可以用下式表示：
坡角 = arctan(h / d)
最后，直角三角形还可以应用于洋葱数学中。

洋葱数学是一种应用数学方式，用于模拟和计算洋葱的形状和结构。

直角三角形可以用来计算洋葱的各个部分之间的夹角和长度。

通过将洋葱切成基于直角三角形的形状，可以使用三角函数来计算洋葱的各个部分的几何属性。

总之，直角三角形在坡度、坡角和洋葱数学等许多实际应用中
发挥着重要的作用。

通过应用三角函数和直角三角形的性质，可以计算和测量各种实际问题。

8、解直角三角形坡角、坡度学案9、解直角三角形及其应用复习学案一、情境导入：二、学习目标：了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．三、新知导学1、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2、认识方向角和方位角。

上北下南，左西右东。

依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线 3、坡度(坡比)、坡角(1)坡度用i 表示 i=h ：l(2)坡角：坡面与水平面的夹角(3)坡度与坡角的关系 i=tan α=h ：l四、例题分析例1：在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距km 的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．例2：国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图1.在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为 2001米，在点A 测得高华峰顶F 点的俯角为030，保持方向不变前进 1200 米到达B 点后测得F 点俯角为045，如图2，请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度.(结果保留整数，参考数值：414.12,732.13==)例3：如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A 点的高度AB 为3米，台阶AC 的坡度为1：（即AB ：BC=1：），且B 、C 、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）．练1 ： 海中有一个小岛A ，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？练2：如图11,山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC,在山脚点D 处测得塔顶A 和塔基B 的仰角分别为60º和45º，求山的高度BC.（结果保留根号）B AD F30° 60°练3：如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A/B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少？（结果精确至1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480）:。

《解直角三角形(坡度、坡角)》教学设计解直角三角形（三）一、教学目标1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．二、教学重点、难点重点：解决有关坡度的实际问题．难点：理解坡度的有关术语．三、教学过程（一）情境导入：(二) 合作探究：1、理解坡度、坡角的概念坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。

即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？答：i＝h＝tanl2、例题解析例1、一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度l为6m，坡屋顶的高度h为√3 m. 求斜面AB的长度和坡角例2、一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD ．（单位是米，结果保留根号）B 4 CA E D(三)、跟踪训练： （1）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：√3 ，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）（2）如图， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这时 小刚上升了多少米？BE=6∠D=αi 1:3(3)拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽5m，坝底宽13m,坡角30°，求这个梯形面积。

（四）拓展延伸同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度i=1∶1，斜坡CD的坡度i=1∶√3，①求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.②如果坝长100m,那么整个坝体有土多少立方米？(√3≈1.7)（五）小结与作业水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5m,坝高20m,斜坡AB的坡度i=1:√3,斜坡CD的坡度i=1:2.1、求斜坡AB的坡角α，坝底AD的长。

2023-11-06CATALOGUE目录•坡比的定义与性质•坡角的定义与性质•解直角三角形的方法•解直角三角形坡比坡角的实际应用•解直角三角形坡比坡角的特殊情况处理•解直角三角形坡比坡角的结论与展望01坡比的定义与性质•坡比是指坡面的铅直高度(铅垂高度)和水平宽度之间的比值。

坡比的定义坡比值是固定的，不会随着坡面的位置变化而变化。

坡比是定值坡比与斜率的关系不同方向的坡比在直角三角形中，坡比等于斜率，斜率越大，坡度越陡。

对于不同的方向，如东、南、西、北等方向，坡比值是相同的。

030201在土地测量中，常常需要计算地块的坡度，这时就需要使用到坡比的概念。

土地测量在工程设计中，如道路、桥梁等的设计中，常常需要考虑到坡面的坡度，这时也需要使用到坡比的概念。

工程设计在水文地质学中，常常需要研究坡面的水文地质条件，这时也需要使用到坡比的概念。

水文地质学01020302坡角的定义与性质通常用字母α表示，取值范围为0° ≤ α ≤ 90°。

坡角的正切值等于斜坡垂直高度与水平宽度之比。

即，tan(α) = 垂直高度 / 水平宽度在工程、道路、水利等领域中，坡角的应用十分广泛。

例如，在道路设计中，需要根据车辆行驶的安全性和稳定性来选择合适的坡角；在水利工程中，需要根据水流速度和坡角大小来设计合理的河道坡度等。

03解直角三角形的方法勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，它说明了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在解直角三角形时，可以利用勾股定理来找到未知的边长。

应用实例例如，假设已知直角三角形的两个边长分别为3和4，那么可以根据勾股定理，求出第三边（斜边）的长度为5。

利用勾股定理锐角三角函数是描述直角三角形中锐角与边长之间关系的数学公式。

这些函数包括正弦、余弦和正切。

在解直角三角形时，可以利用这些函数来找到未知的边长或角度。

锐角三角函数例如，假设已知直角三角形的一个锐角为30度，一条直角边的长度为6。

解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。

2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。

3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。

变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。

3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。

2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．（参考数据：）3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）9．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）10．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）11．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？12．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解直角三角形的应用：方向角问题15．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．18．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）20．某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，A船突然出现故障，向B，C两船发出紧急求救信号，此时C船位于B船的北偏西81°方向，距B船36海里的海域，A船位于B船的北偏东24°方向，同时又位于C船的北偏东69°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）B船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．参考答案一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，∴AC＝＝≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．2．【解答】解：解：过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝＝＝，tan14°＝＝，故4AD＝DC，则＝，解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．3．【解答】解：地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED交BC的延长线于点H，则∠H＝θ＝37°，在Rt△CDH中，HC＝，∴HF＝HC+CF＝+CF，在Rt△EFM中，EF＝（+CF）•sin37°≈＝76答：EF的长为76cm．4．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．5．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．6．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝900（9﹣5）立方米．7．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10（米）∵DH＝AH﹣DA＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣10+10＝20﹣10≈2.7（米）∴建筑物需要拆除．二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．9．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．10．【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．11．【解答】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE＝AD＝26，AC＝DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝，则BD＝AD•tan∠BAD＝26，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，则BE＝CE•tan∠BCE＝，∴AC＝DE＝BD﹣BE＝，答：西塔BD的高度为26米，大楼AC的高度为米．12．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．13．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．三、解直角三角形的应用：方向角问题15．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．16．【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．设CD＝xkm．在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，∴AD＝xkm；在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，∴BD＝xkm，BC＝xkm．∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，∴x＝5，∴BC＝x＝10km．（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，∴AC＝2CD＝10km．17．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，∴∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．18．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．19．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．20．【解答】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．21．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝230km．CD＝AC＝230km．∵丙地位于乙地北偏东66°方向，在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝＝（km）．∴AB＝BD+AD＝230+（km）．答：公路AB的长为（230+）km．。

数学篇数苑纵横解直角三角形在实际生活问题中的应用十分广泛，主要应用于测量距离、度量尺寸、测高或测角等方面.解答这类应用问题的一般步骤是：（1）弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；（3）寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.本文就三类解直角三角形的应用问题举例说明.一、仰角与俯角问题初中阶段的“俯角与仰角”问题主要是测量问题，如图1，其中的仰角是指从下向上看时，水平线与视线的夹角；俯角是指视线从上往下看时，水平线与视线的夹角.在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛.解答此类问题时往往要用到解直角三角形的知识点与“转化”思想.图1例1数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 前的椰子树CD 的高度．如图2，当无人机从位于楼底B 点与椰子树底D 点之间的地面F 点，垂直起飞到正上方50米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 和椰子树的顶端C 的俯角分别为30°和76°（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．已知楼AB 高44米，楼底端B 与椰树底D 的水平距离为20米．（1）填空：∠AEC ＝，∠ECD ＝；（2）求点E 到楼顶A 的距离AE ；（3）求椰树CD 的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00，3≈1.732)图2图3解：（1）如图3，延长DC 交GH 于点M ，由题意得：DM ⊥GH ，∴∠DME ＝90°，∵∠ECD 是△EMC 的一个外角，运用“解直角三角形”知识解答实际问题的三种类型重庆陈永安23数学篇数苑纵横∴∠ECD ＝∠EMC +∠MEC ＝166°，∵∠GEA ＝30°，∴∠AEC ＝180°-∠GEA -∠MEC ＝74°，故答案为：74°；166°；（2）如图3，延长BA 交GH 于点N ，由题意得：EF ＝BN ＝MD ＝50（米），∵AB ＝44（米），∴AN ＝BN -AB ＝50-44＝6（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，∴AE ＝2AN ＝12（米），∴点E 到楼顶A 的距离AE 为12（米）；（3）由题意得：BD ＝NM ＝20（米），在Rt△AEN 中，∠AEN ＝30°，AN ＝6（米），∴EN ＝3AN ＝63（米），∴EM ＝NM -NE ＝（20-63）（米），在Rt△EMC 中，∠MEC ＝76°，∴MC ＝EM ⋅tan 76°≈4×(20-63)=(80-243)（米），∴CD ＝MD -MC ＝50-(80-243)=243-30≈11.6（米），∴椰树CD 的高度约为11.6米．点评：解答仰角俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.同时，要善于读懂题意，把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题加以解决．二、方向角问题方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的角，一般表示为北(或南)偏东(或西)多少度，可借助十字坐标帮助理解，如图4.在实际生活中，方位角可以用来确定物体的位置；在示意图中，通过方位角确定几个物体的位置后，可以量出它们之间的距离，进而算出物体之间的实际距离.在解答有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系.有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，就需要用到等角转化为所需要的角．图4例2如图5，某动物园熊猫基地D 新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A 、B 之间的道路正在进行维护，暂时不能通行，游客由入口A 进入园区之后可步行到达点C ，然后可以选择乘坐空中缆车从C →D ，也可选择乘坐观光车从C →B →D ．已知点C 在点A 的北偏东45°方向上，点D 在点C 的正东方向，点B 在点A 的正东方向300米处，点D 在点B 的北偏东60°方向上，且BD ＝400米．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236）（1）求CD 的长度（精确到个位）；（2）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D ，应选择乘坐空中缆车还是观光车？图5图6解：（1）作CM ⊥AB 于M ，BN ⊥CD 于N ，24数学篇数苑纵横如图6，∵CD ∥AB ，∴四边形MBNC 是矩形，∴CM ＝BN ，CN ＝MB ，∵∠DBN ＝60°，∴BN ＝12BD ＝12×400＝200（米），∵tan∠NBD ＝DN BN =3，∴DN ＝2003（米），∵∠CAM ＝45°，∴△AMC 是等腰直角三角形，∴AM ＝CM ＝200（米），∴MB ＝AB -AM ＝100（米），∴CD ＝CN +ND ＝100+2003≈446（米）；（2）由勾股定理得到BC ＝MC 2+MB 2=1005（米），∴BC +BD ＝400+1005≈623.6（米），∴乘坐观光车的时间是623.6÷320≈1.95（分钟），乘坐空中缆车的时间是446÷200＝2.23（分钟），∴应选择乘坐观光车．点评：本题考查了方向角问题以及勾股定理.解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数的定义来解决问题．三、坡度、坡角问题坡度、坡角问题，涉及的知识点有:①坡角，如图7，坡角指坡面与水平面的夹角，记作α.②坡度，坡面的铅垂高度h 与水平长度l 的比，是坡面的坡度，记作i ，即i =hl，一般情况下坡度要写成1:n 的形式，如1:2.③坡度与坡角的关系为:坡度是坡角的正切值，即i =h l=tan α.坡度和坡角是两个相关概念.坡角越大，坡度也越大，坡面就越陡，因此常被用来衡量地势的陡峭程度、山坡的高度以及河流的坡度.例3如图8所示，已知BC 是水平面，AB 、AD 、CD 是斜坡．AB 的坡角为42°，坡长为200米，AD 的坡角为60°，坡长为100米，CD 的坡比i ＝1：22．（1）求坡顶A 到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD 的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，3≈1.73）图8图9解：（1）过点A 作AE ⊥BC 于E ，如图9所示.在Rt△ABE 中，∠B ＝42°，AB ＝200（米），则AE ＝AB ⋅sin B ≈200×0.70＝140（米），答：坡顶A 到水平面BC 的距离约为140米；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，DG ⊥AE 于G ，如图9所示.则四边形EFDG 为矩形，∴GE ＝DF ，在Rt△AGD 中，∠ADG ＝60°，AD ＝100(米)，则AG ＝AD ⋅sin ∠ADG ＝100×（米），∴DF ＝GE ＝AE -AG ＝53.5（米），∵CD 的坡比i ＝1：22，∴DF ：FC ＝1：22，∴DF ：CD ＝1：3，∴CD ＝3DF ＝160.5≈161（米），答：斜坡CD 的长度约为161（米）．点评:掌握坡度的概念和锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．图725。