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坡度和坡角

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沪科九年级数学上册第23章2 第4课时 坡角、坡度问题

沪科九年级数学上册第23章2 第4课时 坡角、坡度问题
2m .
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h =
B
h
C
l
A
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转
化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直
角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
k
x2 x1
α
O
x
1.如图，直线y=2x+1向上的方向与x轴的正方向所夹的锐角为α.那么
(1)tan α=
2
；(2) sin α=
2 5
5 ；(3) cos α=
y
α
O
x
5
5
.
2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 的 第 一 象 限 中 ， 有 一 点 P(x ， y) ， 记
r=|OP|= ² + ².
要计算斜坡AB的坡角α，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：3；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=6 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算AB，在Rt△ABE中求解即可.
α
β
E F
A
23
6
B C
D
解：分别过点B、C作垂线，交AD于E、F点，垂足分别为E点、F点，则有
D
2.如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6 m，
坝高为23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i'=1∶2.5，求：
(1)斜坡AB的坡角α的值(精确到1°)；
(2)坝底宽AD和斜坡AB的值(精确到0.1 m).

2534坡度坡角及其应用PPT课件

2534坡度坡角及其应用PPT课件

i1:3B
C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出.
（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
C
1.2
1.2
30°
A
B
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
H
G
D M 6米 N C
A
E
F
B
思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形 ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为 A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流 量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中 1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等 腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的 用土量不变,问:路面宽将增加多少?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)

坡度与坡角解析

坡度与坡角解析

第二步：利用正弦，通过坡角、斜边求对边
Pα
M
牛刀小试
1、某水坝的坡度为i = 1∶ 3 ，则坡角为 30°。
2、已知 ABC 中，∠C = 90°, ∠A的坡度i=1∶1, 则
∠A= 45° 。 第一二题：利用正切，通过坡度求坡角
3、如图，高2米的某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡度
i=1∶2，则AB的长为 2 5 米。 B 第一步：利用正切，通过坡度
P
lM
查表可求得 ∠α 约为29°3′ ；第一步：利用正切，通过坡度求坡角
在直角三角形PMN中， ∠M=90°∠P= 29°3′ 。 PN=240m.由于NM是∠P的对边，PN是斜边，因此，
sin
α
=
NM PN
=
NM 240
.
即MN=
240·sinα
；可求
N
得 NM 240sin 293 116.5m.. 240米
坡度越大，山坡越陡．
(1)
(2)
自学指导
例６．一山坡的坡度i＝1:1.8，小刚从山坡脚下点P上 坡走了240m到达点N，他上升了多少米（精确到 0.1m）？这座山坡的坡角是多少度（精确到1'）？
分析
N
已知坡度i = 1:1.8，用α 表示坡角的大小，
h
由于 tan α =
1 1.8
0.5556.
。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，求斜坡高为
_______米。
如果桃源水库某大坝的横断为等腰梯形，
大坝的顶宽(即等腰梯形的上底长)为11.6m，
巩固练习
大坝的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为12m.你能 求出坝基的底宽AB和坡角α吗？

28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角

28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
解:设 BC=x 米,在 Rt△ABC 中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,所以 AB= BC ≈ BC = 5 x(米), tan 50 1.20 6
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),

解直角三角形的应用——坡度、坡角

解直角三角形的应用——坡度、坡角

3.坡度与坡角的关系：
i=h:l=tanα
坡度越大，坡角就越 大 ，坡面 就越陡
自学检测：
知识点一 坡度与坡角
1.以下对坡度的描述正确的是（ B ）
A.坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B.斜坡是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
C.斜坡式指斜坡的水平宽度与铅垂高度的比
D.坡度是指倾斜角度的度数
2、若斜坡的坡角为 5 6 ∘ 1 9 、，坡度i=3:2，则（ C ）
x- 2
AF =
=
°=
ta n ∠ D A F
ta n 3 0
3 (x - 2 )
AF=BE=BC+CE
即 3 (x - 2） = 2 3 &6.
DE=6米
物体通过的路程为 3 5 .
再试牛刀:
知识点二 坡度、坡角及实际问题
1. 如图，河堤横切面迎水坡AB的坡比是1：
，堤
3
高BC=10m,则坡面AB的长度是（ C ）
A.15m
B. m 2 0 3
C.20m
D. 1 0 3 m
2、如图是拦水坝的横切面，斜坡AB的水平宽度为
12m,斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ B ）
拓展提升:
如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内 一颗树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前 的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30度，朝着这 棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰 角为60，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为 1: 3 ,且B、C、E三点在同一条直线上，请根据以上 条件求出树DE的高度（测角器的高度忽略不计）
A. 4 3 m
B.6 5 m
C. 1 2 5 m

初三上数学课件(华东师大)-坡度与坡角

初三上数学课件(华东师大)-坡度与坡角

h
坡度 (或坡比)，记作 i，即 i＝ l .坡度一般写成 1∶m 的形式．坡面
与水平面的夹角叫做 坡角 ，记作 α，有 i＝hl ＝ tanα α 就 越大 ，坡面就 越陡 ．
.坡度越大，坡角
1．下列对坡度的描述正确的是( B )
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数
B．坡度是指斜坡的铅垂高度与水平宽度的比
解：(1)∵FD∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡 AB 长 60 2米，D 是 AB 的中点，∴BD＝30 2米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝30 2× 22＝30(米)， BF＝DF＝30 米．∵斜坡 BE 的坡比为 3∶1，∴BEFF＝ 13，∴EF＝10 3米， ∴DE＝DF－EF＝(30－10 3)米，∴休闲平台 DE 的长是(30－10 3)米； (2)设 GH＝x 米，则 MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30 ＝63(米)，在 Rt△DMH 中，tan30°＝MDMH，即x－6330＝ 33，解得 x＝30＋21 3， ∴建筑物 GH 的高为(30＋21 3)米．
11．为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政府 对城市建设进行了整改．如图，斜坡 AB 长 60 2 米，坡角(即∠BAC)为 45°，BC⊥AC，现计划 在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡，修建一个平行 于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE(下面两个小题结果都保留根号)． (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 3∶1，求休闲平台 DE 的长； (2)一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远(即 AG＝33 米)，小亮在 D 点测得建筑 物顶部 H 的仰角(即∠HDM)为 30°.点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，问建筑物 GH 高为多少米？

2.4三角函数应用——坡度

解：（1）在Rt△ABE中，AB=26， ∠BAD=68° ∴sin∠BAD= ，
∴BE=AB·sin∠BAD=26×sin68°≈24.18 米；
（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处， 问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin68°≈0.93， cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12'≈0.85，tan49°30'≈1.17）
（2）过点F作FM⊥AD于点M，连结AF， 则BF=11，FM=BE=24.18，EM=BF=11， 在Rt△ABE中， cos∠BAE= ，
∴AE=AB·cos∠BAE=26×cos68°≈9.62米，
∴AM=AE+EM ≈ 9.62+11 ≈ 20.62，
在Rt△AБайду номын сангаасM中，
tan∠FAM=
≈1.17，
4．按照精确度进行计算，确定答案以及注明单 位．
随堂练习 课本49页 随堂练习
2个概念： 坡度与坡角,
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度
坡度一般用i来表示，即 i=1:m,如i=1:5
i
h l
,一般写成
(2)坡面与水平面的夹角 叫坡角
i h tan
l
i=h：L
h
α
L
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高22m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i′=1∶2.5， 求斜坡AB的坡角α。坝底宽AD和斜坡AB的长(精确 到0.1m)．
∴∠FAM≈49°30'＜50°，这样改造能确保安全。
小结
1．弄清坡度、坡角等概念的意义，明确各术语与 几何图中的什么元素对应，恰当地把实际问题转 化为数学问题,构建数学模型。

24.4.3坡度、坡角问题课件


4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
P.121 12.； P123页13
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
D
12.51
C
28⁰
【分析】
4.2 A
32⁰
E 12.51 F
B
（1）对于梯形问题通常怎么做辅助线？把它转化成 什么问题？ （2）要求下底AB的长，可以分别求哪些线段的长？ （3）怎么求AE，BF？
变式训练：
如图，某地计划在河流的上游修建一条 拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形， 坝顶宽BC=6米，坝高25m，迎水坡AB的坡 度 i=1： ，背水坡CD的坡角为450 求（1）求坡角α ; （2）求拦水大坝的底面AD的宽.
——坡度、坡角
裴营一初中 余超
学习目标
1、知道坡度、坡角的意义。 2、能将h、L、i各量的计算问题转化为 解直角三角形的问题，这些量中若已知 两个量，可求其他量. 3、会运用解直角三角形有关知识解决 与坡度、坡角有关的实际问题。 4、在有些实际问题中没有直角三角形， 学会添加辅助线构造直角三角形.
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； (2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: sinA＝ a b cosA＝ c a tanA＝ b Ａ Ｂ

解直角三角形----坡度、坡角问题

5 12
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡 AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ） A.1：3 B.1：2.6 C.1:）如图，一水库大坝的横断面为 梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡 AB的坡度 i1＝1∶3，斜坡CD的坡度 i 2＝1∶2．5．求： （1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）
——坡度坡角问题
1、理解坡角、坡度的概念；
2、运用解直角三角形有关知识解决与 坡角、坡度有关的实际问题； 3、注意数形结合的数学思想和方法。
阅读课本P115“读一读”，解决以下问题：
1、什么是坡角？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
i= h : l
坡面
2、什么是坡度（坡比）？
α
h
水平面
1: 3 。 3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡度是_______
h α
L
坡度在日常生活中的应用也很广泛!
例 如图，一段路基的横断面是梯形，高 为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡 面与地面的倾角分别是32°和28°．求 路基下底的宽．（精确到0.1米）
例
如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别 是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0.1米）
450
）m 3
AD AE EF FD
3）m
答：坝底宽AD为（10+4
米，斜坡AB的长为8米．斜坡CD的坡 角α为45°。
课堂检测 1.一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动 65 米，则物体升高 1 米． 了_____ 2.如下图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线 距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡 30° 的坡角为_____ ． 3.如上图，已知一商场自动扶梯的长为13米，高度h为5米， 自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____

坡度与坡角


C
i=1:2.5
α
23
EF D
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和 矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结 合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△C的坡角的问题实质上 就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
A
α
23
EF D
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求：坝底AD与斜坡AB的长度。（精确
到0.1m ）
分析：（1）由坡度i会想到产
生铅直高度，即分别过点B、
C作AD的垂线。
A
6
i 1 : 3B
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h—
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
3、坡度与坡角的关系
i

h l

tan
坡度等于坡角的正切值
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m， 斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：坝 底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
C.80sin 20m
D.80cos 20m
5、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, (1)如果斜坡AB=10m,大坝高为8m,则斜坡AB的 坡度 iAB ____ . (2)如果坡度 iAB 1: 3,则坡角B ____ .
(3)如果坡度 iAB 1: 2, AB 8m,则大坝高度为___.
直角三角形的应用 第3课时
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D
4.2米 A
32 °
12.51米
C
28 ° B
9
D
12.51米
C
4.2米 A
32 ° E
∟
∟
28 °
F
B
解：作DE AB,CF AB,垂足分别为E、F .由题意可知
DE CF 4.（2 米），CD EF 12.5（1 米）.
在Rt△ADE中， i DE 4.2 tan 32 , AE AE
α
A
EF
D
=184′，AD=132.5 m，AB=23 10 m
3
问题探究
4
如图，坡面的铅锤高度（ h）和水平长度（ l） 的比叫做坡面坡度（或坡比）,记作 i ,即 i h .
l 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i 1 : 6
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .
i h:l h
l
5
7
④堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i=__43___,AD=
____5___;
若AB=10，CD=4，i= 1
5
3
,则h=___5___.
D
C
h
i
∟
∟
AE
F
B
8
例1：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角 分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）
完成该工程需要多少土方？
ED C
α FA
B
11
解：作DG AB于G,作EH AB于H . CD∥AB, EH DG 5米.
ED C
DG 1 , AG 6米. AG 1.2
EH 1 , FH 7米.Байду номын сангаасF
FH 1.4
α A
H
FA FH GH AG 7 1 6 （2 米）.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 坡度和坡角
1
情境引入
2
如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m,
坝高23 m，斜坡AB的坡度i=1∶3 ，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB
的长.（精确到0.1 m）
i=1∶3
BC 6m
i=1∶2.5
∟∟
2.5 5
16
3.某商场门前的台阶截面如图所示.已知每级台阶 的宽度（如CD）均为30 cm,每级台阶高度（如BE） 均为20 cm,为了方便残疾人行走，商场决定将其中一 个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计 斜坡的倾斜角为9 ° .请计算从斜坡起点A到台阶前的 点B的水平距离.（参考数据：sin 9 ° ≈0.16,cos 9 ° ≈ 0.99,tan 9 ° ≈ 0.16）
根据题意，BE CF 23.5,
i1
BE AE
1 , AE 3
3 23.5
70.5(米).
i2
CF DF
1 , DF 2.5
2 23.5 47(米).
AB 23.52 70.52 74.3(米).
AD AE DF EF 70.5 47 6.2 123.7(米).
(2) tan 1 2 , 22 .
GB
S四边形ADEF
1 ED
2
AF
EH
1 1 2 5 7.5(平方米)
2
V 7.5 4000 30000(立方米）.
12
巩固练习
13
1.在坡角为 30 的斜坡上两树间的水平距
离 AC 为 2m，则两树间的坡面距离 AB为
（C）
A.4m
B. 3m
C. 4 3 m D.4 3m 3
20
课堂小结
21
本节课你有什么收获？
22
（1） 坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度 是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比 值.坡角与坡度之间的关系是：i h tan
l
（i 是坡度，h表示高度，l 表示水平距离， 表示坡角）.
23
（2）在涉及梯形问题时，常常首先把梯 形分割成我们熟悉的三角形（直角三角形）、 平行四边形（矩形），再借助这些熟悉图形 的性质与特征来加以研究.
AE 4.2 6.7（2 米）. tan 32
在Rt△BCF中，同理可得BF 4.2 7.9（0 米）. tan 28
AB AE EF BF 6.72 12.51 7.90 27.（1 米）.
答：路基下底的宽约为27.1米.
10
例2：某堤坝的横截面是梯形ABCD,背水坡AD的 坡度i（即tan α）为1∶1.2，坝高为5米.现为了提高 堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝， 要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度 为1∶1.4.已知堤坝总长度为4 000米.
CD
E
A
BF
17
解：过C作CF AB于F ,
根据题意，CF 80cm, BF 90cm.
CF tan 9 , AF CF ≈ 80 500(cm).
AF
tan 9 0.16
AB AF－BF 500－90 410(cm).
答：从斜坡起点A到台阶前点B的水平距离为410cm.
CD
E
思考：坡度与坡角有 什么关系？
i h = tan
l
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
6
①一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为 __3_3__；
②坡度通常写成1∶___m__ 的形式.如果一 个坡的坡度为1∶2.5，则这个坡角为_2_1__4_8_′_；
③等腰梯形的较小底长为3，腰长为5，高 为4，则另一个底长为__9___ ，坡度为__43___；
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2.如图，一水库大坝的横截面为梯形ABCD,坝 顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度 i1=1∶3，斜坡CD的坡度 i2 =1∶2.5.求：
（1）斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）； （2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.
BC
A
D
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BC
A
EF
D
解：(1)过B作BE AD于E,过C作CF AD于F，
A
BF
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4.如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD ,
DC∥AB，迎水坡AD长为 2 3 米，上底DC长为2
米，背水坡BC 长也为2米，又测得∠DAB=30°， ∠CBA=60°，求下底AB的长.
D
C
30° A
60° B
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D
C
30°
A
E
60° FB
解：过D、C分别作DE AB于E,CF AB于F . 在直角△ADE中，A 30 ，AD 2 3. DE AD sin 30 3，AE AD cos 30 3. 在直角△CBF中，BF BC cos 60 1， AB AE EF BF 3 2 1 6. 答：下底的长为6米.