Riccati方程的几种可积类型及其通积分公式
- 格式：pdf
- 大小：107.45 KB
- 文档页数：4
成立 ， 则 方程 （ １ ） 可积． 其通 积分 为
＝
［ ｃ ｔ ａ ｎ （ 三 ＿ １ ＿ ， 堡 ！
程 四个 新 的 可 积 性 判 据 ， 并 给 出 了这 四种 情 况 的通 积 分 公 式 ． 关键词 ： Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ； 可积性判据 ； 分离变量 ； 通积分．
中 图分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５ — ８ ０ ３ ６ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ ・ ０ ０ １ ０ — ０ ４
ｚ ＝ Ｆ（ ＋ｃ ）
（ ３ ）
其 中 Ｐ ＝Ｐ（ ） ， Ｑ ＝Ｑ （ ） ， Ｒ ＝Ｒ（ ）∈ Ｃ 且 为连续 可微 函数 ， 而
△ ：２ Ｐ ） ， 。＋Ｑ ＋一 Ｐ △ 。
：
算子 Ｌ （ Ｙ ０ ） ＝Ｐ ｙ ＋Ｑ ｙ ｏ＋Ｒ —Ｙ ’ ０ ． 证明： 在 方程 （ １ ） 中令 Ｙ ＝Ｐ ・ （ Ｕ —Ｙ 。 ） ， 将 方程 （ １ ） 化 为
） ， ：Ｙ ＋（ ２ Ｐ ｙ ０＋Ｑ ＋ 一 ） ｙ＋Ｐ Ｌ （ Ｙ ０ ）
（ ４ ）
再 做 变 换 ： ｙ ＋ ÷ △ 一 １ △ ， 并 将 条 件 （ ２ ） 代 入 ， 则 方 程 （ ３ ） 可 化 为 ：
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — １ ０ — ２ ３
第 ２ ３卷
第 ３期
Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的几 种 可 积 类型 及 其通 积 分公 式
段
摘
杨 芬 锋， 张 兰 ，
１ ５ ０ ０ ０） （ 常 德 职 业 技 术 学 院 湖 南 常 德 ４
要： 用 初 等 变 量 代 换 的方 法 ， 讨 论 了 可 用分 离 变 量 法 求 解 的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程的几种形 式 ， 得 到了 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方
第 ３期
段锋等 ： Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的几 种 可 积 类 型 及 其 通 积 分 公 式
＝
（ 一 会 ＋ ） ＋ △ （ 一 ＋ ） ＋ Ｐ ｃ ｙ 。 ＋ 一
（ ５）
＝ ＋ △ ＋ ｃ Ｆ ＝ ＋ （ ） ＋ ｃ Ｆ
２ 主 要 结 论
定理 １ 若 Ｖ Ａ， Ｂ， ｃ＝ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ 以及 Ｖ ｋ— ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ＞０， ｊ Ｙ ０＝Ｙ ０ （ ）∈ Ｃ ， 使 得 Ｌ （ Ｙ 。 ）＝ （ ＋ｃ ） Ｐ ｅ 。 Ｊ （ ２ 。 。
（ ８ ）
［ Ａ ＋ Ｐ ｅ 』 （ ２ Ｐ 十 Ｑ ） ｄ ］ ・Ｂ Ｐ ｅ 』 （ ２ Ｐ ＋ Ｑ ） ｄ ＋ Ａ ・ Ｂ ± ２ ］
基 金项 目 ： 湖 南 省 教 育 厅 科 学 研 究 项 目（ Ｎ ｏ ． １ ３ ｃ ０ ０ ７ ） ． 作 者简 介 ： 段锋 （ １ ９ ６ ７一） ， 男（ 汉族 ） ， 湖南常德人 ， 常 德 职 业 技 术 学 院副 教 授 ， 研究方向 ： 常 微 分 方 程 的可 积 性 理 论
（ ６ ）
成立 ， 则 方程 （ １ ） 可通过 初 等变换 而 化为 如下 可分 离变 量 的微分 方程
ｚ ＝ Ｆ（ ｚ 一Ｃ ） （ ７）
其 中
△ ： ２ Ｐ 。＋
△＝ ｙ ｏ＋ Ｑ ＋ Ｉ，
＋ Ｐ
△１： △１＝
算子 Ｌ （ Ｙ ）＝Ｐ ｙ ： ＋Ｑ ｙ ＋Ｒ—Ｙ ｏ ．
２ ０ １ ４年 ８月
中央 民族 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ ＭＵ Ｃ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ａｕ ｇ ．，２ ０１ ４ Ｖｏ ｌ ＿２ ３ ＮＯ ．３
最后 ， 令 ＝ｉ Ｗ
，
则将 方程 （ ５ ） 化为 可积 的 可分离 变量 的方 程 ，：Ｆ（ ＋ ｚ ） ．证毕
同理 可证 ：
引理 ２ ．若 Ｆ ＝Ｆ（ Ｘ ） ， Ｙ ０＝Ｙ ０ （ ）∈ Ｃ 以及 ］ｃ； ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ＞０ ， 使
（ 。 ） ［ （ Ａ 一△ ）一２ （ Ａ 一△ ） 一４ Ｃ ２ Ｆ ］
众所 周 知 ， Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程
Ｕ ＝Ｐ（ ） Ｕ ＋Ｑ（ ） Ｕ＋Ｒ（ ）
（ １ ）
在一般 情况 下是不 可 积 的． 其中， Ｐ ＝Ｐ（ ） ， Ｑ ＝Ｑ（ ） ， Ｒ ＝Ｒ（ ）∈ Ｃ 且为 连续 可微 函数 ．
通常 ， Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的可积 性研 究 是考 虑 将 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程通 过 初等 变换 化 为 已知 可积 的类 型． 常见 的 可积类 型 有 ： 可 积 的罗森 型 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程
公式 ．
， 可 以得 到 一 个 特解 的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程
和可 分 离 变 量 的
． 本文 应用 变量代 换 的方法 ， 讨论 了 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 几种 新 的可 积类 型 ， 得 出 了相应 的通解
为方便讨论， 记 Ｐ＝Ｐ （ ）≠０ ， Ｑ ＝Ｑ （ ） ， ＝Ｒ （ ） ， 并用 “ Ｉ ” 表示被积函数的一个确定的原
函数．
１ 引
理 Βιβλιοθήκη 引理 １ ．若 Ｆ ＝Ｆ（ ） ， Ｙ 。＝Ｙ 。 （ ）∈ Ｃ 以及 ｃ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ＞０ ， 使
Ｌ （ ｙ 。 ） １［ （ △ 一△ ）一２ （ Ａ一△ ） ＋４ Ｃ ２ Ｆ ］ －
（ ２ ）
成立 ， 则方 程 （ １ ） 可通 过初 等变换 而化 为如 下可分 离 变量 的微分 方程
＝
［ ｃ ｔ ａ ｎ （ 三 ＿ １ ＿ ， 堡 ！
程 四个 新 的 可 积 性 判 据 ， 并 给 出 了这 四种 情 况 的通 积 分 公 式 ． 关键词 ： Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 ； 可积性判据 ； 分离变量 ； 通积分．
中 图分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５ — ８ ０ ３ ６ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３ ・ ０ ０ １ ０ — ０ ４
ｚ ＝ Ｆ（ ＋ｃ ）
（ ３ ）
其 中 Ｐ ＝Ｐ（ ） ， Ｑ ＝Ｑ （ ） ， Ｒ ＝Ｒ（ ）∈ Ｃ 且 为连续 可微 函数 ， 而
△ ：２ Ｐ ） ， 。＋Ｑ ＋一 Ｐ △ 。
：
算子 Ｌ （ Ｙ ０ ） ＝Ｐ ｙ ＋Ｑ ｙ ｏ＋Ｒ —Ｙ ’ ０ ． 证明： 在 方程 （ １ ） 中令 Ｙ ＝Ｐ ・ （ Ｕ —Ｙ 。 ） ， 将 方程 （ １ ） 化 为
） ， ：Ｙ ＋（ ２ Ｐ ｙ ０＋Ｑ ＋ 一 ） ｙ＋Ｐ Ｌ （ Ｙ ０ ）
（ ４ ）
再 做 变 换 ： ｙ ＋ ÷ △ 一 １ △ ， 并 将 条 件 （ ２ ） 代 入 ， 则 方 程 （ ３ ） 可 化 为 ：
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — １ ０ — ２ ３
第 ２ ３卷
第 ３期
Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的几 种 可 积 类型 及 其通 积 分公 式
段
摘
杨 芬 锋， 张 兰 ，
１ ５ ０ ０ ０） （ 常 德 职 业 技 术 学 院 湖 南 常 德 ４
要： 用 初 等 变 量 代 换 的方 法 ， 讨 论 了 可 用分 离 变 量 法 求 解 的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程的几种形 式 ， 得 到了 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方
第 ３期
段锋等 ： Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的几 种 可 积 类 型 及 其 通 积 分 公 式
＝
（ 一 会 ＋ ） ＋ △ （ 一 ＋ ） ＋ Ｐ ｃ ｙ 。 ＋ 一
（ ５）
＝ ＋ △ ＋ ｃ Ｆ ＝ ＋ （ ） ＋ ｃ Ｆ
２ 主 要 结 论
定理 １ 若 Ｖ Ａ， Ｂ， ｃ＝ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ 以及 Ｖ ｋ— ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ＞０， ｊ Ｙ ０＝Ｙ ０ （ ）∈ Ｃ ， 使 得 Ｌ （ Ｙ 。 ）＝ （ ＋ｃ ） Ｐ ｅ 。 Ｊ （ ２ 。 。
（ ８ ）
［ Ａ ＋ Ｐ ｅ 』 （ ２ Ｐ 十 Ｑ ） ｄ ］ ・Ｂ Ｐ ｅ 』 （ ２ Ｐ ＋ Ｑ ） ｄ ＋ Ａ ・ Ｂ ± ２ ］
基 金项 目 ： 湖 南 省 教 育 厅 科 学 研 究 项 目（ Ｎ ｏ ． １ ３ ｃ ０ ０ ７ ） ． 作 者简 介 ： 段锋 （ １ ９ ６ ７一） ， 男（ 汉族 ） ， 湖南常德人 ， 常 德 职 业 技 术 学 院副 教 授 ， 研究方向 ： 常 微 分 方 程 的可 积 性 理 论
（ ６ ）
成立 ， 则 方程 （ １ ） 可通过 初 等变换 而 化为 如下 可分 离变 量 的微分 方程
ｚ ＝ Ｆ（ ｚ 一Ｃ ） （ ７）
其 中
△ ： ２ Ｐ 。＋
△＝ ｙ ｏ＋ Ｑ ＋ Ｉ，
＋ Ｐ
△１： △１＝
算子 Ｌ （ Ｙ ）＝Ｐ ｙ ： ＋Ｑ ｙ ＋Ｒ—Ｙ ｏ ．
２ ０ １ ４年 ８月
中央 民族 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ ＭＵ Ｃ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ａｕ ｇ ．，２ ０１ ４ Ｖｏ ｌ ＿２ ３ ＮＯ ．３
最后 ， 令 ＝ｉ Ｗ
，
则将 方程 （ ５ ） 化为 可积 的 可分离 变量 的方 程 ，：Ｆ（ ＋ ｚ ） ．证毕
同理 可证 ：
引理 ２ ．若 Ｆ ＝Ｆ（ Ｘ ） ， Ｙ ０＝Ｙ ０ （ ）∈ Ｃ 以及 ］ｃ； ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ＞０ ， 使
（ 。 ） ［ （ Ａ 一△ ）一２ （ Ａ 一△ ） 一４ Ｃ ２ Ｆ ］
众所 周 知 ， Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程
Ｕ ＝Ｐ（ ） Ｕ ＋Ｑ（ ） Ｕ＋Ｒ（ ）
（ １ ）
在一般 情况 下是不 可 积 的． 其中， Ｐ ＝Ｐ（ ） ， Ｑ ＝Ｑ（ ） ， Ｒ ＝Ｒ（ ）∈ Ｃ 且为 连续 可微 函数 ．
通常 ， Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 的可积 性研 究 是考 虑 将 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程通 过 初等 变换 化 为 已知 可积 的类 型． 常见 的 可积类 型 有 ： 可 积 的罗森 型 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方 程 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程
公式 ．
， 可 以得 到 一 个 特解 的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程
和可 分 离 变 量 的
． 本文 应用 变量代 换 的方法 ， 讨论 了 Ｒ ｉ ｃ ｃ ａ ｔ ｉ 方程 几种 新 的可 积类 型 ， 得 出 了相应 的通解
为方便讨论， 记 Ｐ＝Ｐ （ ）≠０ ， Ｑ ＝Ｑ （ ） ， ＝Ｒ （ ） ， 并用 “ Ｉ ” 表示被积函数的一个确定的原
函数．
１ 引
理 Βιβλιοθήκη 引理 １ ．若 Ｆ ＝Ｆ（ ） ， Ｙ 。＝Ｙ 。 （ ）∈ Ｃ 以及 ｃ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ＞０ ， 使
Ｌ （ ｙ 。 ） １［ （ △ 一△ ）一２ （ Ａ一△ ） ＋４ Ｃ ２ Ｆ ］ －
（ ２ ）
成立 ， 则方 程 （ １ ） 可通 过初 等变换 而化 为如 下可分 离 变量 的微分 方程
