人教版A版高中数学选修3-3简单多面体的欧拉公式

高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a. 在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GECE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CE EH ＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。

欧拉公式的三种形式
欧拉公式的形式：R+V-E=2，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

欧拉公式它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现代数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。

欧拉公式一
欧拉公式一
多数时候提到欧拉公式，想到的就是祂。

有其他形式，表示sinx与cosx，也叫欧拉公式。

有个分式形式，也叫欧拉公式。

欧拉公式二
欧拉公式二
求四面体体积的，六个参数对应六条棱长。

欧拉公式三
欧拉公式三
第零类多面体的情况，知名度仅次于欧拉公式一。

有更广泛的形式，右边用欧拉示性数，也叫欧拉公式。

欧拉公式四
欧拉公式四
如图，有d²=R²-2Rr
有推论，叫欧拉不等式。

欧拉公式五
表示小于n的正整数中与n互素的数量。

多面体的欧拉公式在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。

欧拉13岁进入瑞士巴塞尔大学读书，15岁获得学士学位，16岁又获得巴塞尔大学哲学硕士学位，轰动了当时的科学界。

但是，他的父亲却希望他去学神学。

直到小欧拉19岁时获得了巴黎科学院的奖学金之后，父亲才不再反对他读数学。

欧拉是一位创作性超群的数学家，后来从瑞士转赴俄国和德国工作，因此三个国家都声称他是本国的科学家。

有许多关于欧拉的传说。

比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。

有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。

欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。

而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。

瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。

欧拉28岁时一只眼睛失明了，后来另一只眼睛也看不见了，据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致。

尽管如此，他仍然靠心算完成了大量论文。

下面来看看欧拉公式中最著名和优美的一个。

拓扑学的欧拉公式描述了多面体顶点(Vertex)，边(Edge)和面(Face)之间的关系:V - E + F = X其中，V是多面体的顶点个数，E是多面体的棱的条数，F是多面体的面数, X是多面体的欧拉示性数(Euler characteristic)。

X是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

X 的值依赖于几何物体的形态和曲面的取向。

可定向性——大部分我们在物理世界中遇到的曲面是可定向的。

例如平面，球面与环面是可定向的。

多面体的欧拉公式的证明嘿，咱今天来聊聊多面体的欧拉公式的证明！多面体的欧拉公式啊，就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开好多有趣的大门。

这个公式说的是对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间都存在一个固定的关系，那就是 F + V - E = 2 。

先来说说证明的思路哈。

咱们可以从简单的多面体开始入手，比如说三棱柱。

三棱柱有 5 个面，9 条棱，6 个顶点。

算一算，5 + 6 - 9 ，嘿，正好等于 2 ！那咱们再复杂一点儿，来看看四棱锥。

四棱锥有 5 个面，8 条棱，5 个顶点。

同样地，5 + 5 - 8 ，还是 2 ！我记得有一次给学生们讲这个知识点，有个小家伙特别较真儿，一直问我：“老师，这到底是为啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”咱们可以这样想，把多面体想象成是用橡皮做的，然后呢，我们把它的一个面给“扒拉”开，就像是把一个气球给戳破了一个口。

这个时候，面数 F 就会减少 1 ，棱数 E 也会减少 1 ，但是顶点数 V 不变。

所以 F + V - E 的值是不变的。

然后咱们继续“扒拉”其他的面，每次这样操作，F + V - E 的值都不会改变。

一直到最后，把多面体变成了一个像平面网络一样的东西。

这个平面网络里，每一个面都是三角形。

咱们来数一数，假如有 n个三角形，那么就有3n/2 条棱。

因为每一条棱都被两个三角形共用嘛。

然后顶点数就是 n 个三角形的顶点数之和，也就是 3n 个。

面数呢，就是 n 个三角形，也就是 n 。

所以 F + V - E 就等于 n + 3n - 3n/2 ，算一算，还是 2 ！怎么样，是不是有点儿意思啦？其实数学里好多东西啊，看起来很复杂，但是只要咱们耐下心来，一步一步地去琢磨，就能发现其中的奥秘。

多面体的欧拉公式的证明，就像是一场有趣的探险。

咱们在这个过程中，不断地思考、尝试，最终找到了那个神奇的答案。

这也告诉咱们，面对难题别害怕，勇敢地去探索，总会有惊喜等着咱们！希望大家通过这次的讲解，能对多面体的欧拉公式有更深入的理解，以后在数学的海洋里畅游得更欢快！。

多面体中的欧拉公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊多面体中的欧拉公式，这可是个相当有趣的玩意儿！先来说说什么是多面体。

你看那骰子，是不是个多面体？对啦，还有魔方，也是！多面体就是由多个平面围成的立体图形。

记得有一次，我带着一群小朋友在教室里做手工，就是用卡纸折多面体。

有个小家伙特别机灵，他折了个三棱柱，然后就好奇地问我：“老师，这多面体有没有什么规律呀？”我就告诉他，这就不得不提到欧拉公式啦！欧拉公式说的是：对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间，总是有 F + V - E = 2 这么个关系。

比如说一个正方体，它有 6 个面，8 个顶点，12 条棱。

咱们来算算，6 + 8 - 12 是不是等于 2 ？没错，正好！再比如一个正四面体，4 个面，4 个顶点，6 条棱，4 + 4 - 6 也是 2 。

那欧拉公式有啥用呢？用处可大了！假设我们要设计一个新的多面体玩具，通过欧拉公式就能提前预估一下它的大致结构。

有一回，我和几个学生一起参加一个创意比赛，题目就是设计一个独特的多面体结构。

我们就先用欧拉公式来思考，大概需要多少面、多少棱和顶点，心里有个底，然后再动手去做。

还有啊，在建筑设计里也能用到。

有些独特的建筑造型就是多面体，设计师们得根据欧拉公式来保证结构的合理性和稳定性。

想象一下，如果没有欧拉公式，那咱们面对各种多面体的时候，得多混乱呀！总之，多面体中的欧拉公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解多面体世界的大门，让我们更清楚地看到它们的内在规律和美妙之处。

所以，同学们，以后再看到多面体，可别忘了欧拉公式这个好帮手哦！。

几何图形三要素——欧拉公式的证明摘要：平面几何图形不计长短曲直，数字“1”统帅全局；简单多面体无关体大面小，数字“2”展示共性。

著名的欧拉公式深刻揭示了几何图形的本质属性。

关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形。

没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体。

正文：当我们踏进平面几何学大门时，就学到了一个简单的定理：三角形三个内角和等于180°，我们称它为180°定理。

由180°定理，可进一步得知，凸n变形的内角和为（n-2）180°（弧度制中为(n-2)π），顺着一个方向的外角和为360°。

外角和为360°，是平面上凸多边形的共性，与其边数无关，这是180°定理所揭示的平面图形的基本属性.但在中学数学中只注重180°定理在各种图形研究中的应用，而忽略了它所反映的平面图形比长短曲直更本质的属性，即欧拉公式。

今天，我们用简单的180°定理来推演几何图形的三要素：点、线、面之间的特定关系，领悟数学之美妙，感慨前人之杰作，激发心中之追求，萌发研究之创意。

一、平面几何图形（连通图）欧拉公式:V-E+F=1的证明情形1.平面多边形（附图1：⑴、⑵、⑶）：设其顶点数V=n，边数E=n，区域（面）数F=1，则V-E+F=1.情形2.将多边形用不交的对角线剖分成多个三角形所构成的平面图形（附图1：⑷）：设其顶点数V=n，面数(不交的三角形)F=n-2，不交的对角线条数为n-3，得边数E=2n-3，则V-E+F=n-(2n-3)+(n-2)=1，即证.情形3.平面上一般的封闭图形（附图1：⑸）：方法一：设F个面(不交区域)分别为n1、n2、…、nF边形，则所有内部面角总和:A =（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=(2E-n)π-2Fπ…(1).方法二：由内部V-n个顶点的周角加上外层n边形的内角和(n-2)π得:A=(V-n)2π+(n-2)π…(2).联立(1)、(2)得V-E+F=1.情形4.平面连通图（附图:⑹、⑺）：在情形1、2、3的外层任何地方增加一条边，增加的顶点数和边数相同，面数不变.故V-E+F=1对连通图也成立.情形5.平面连通图特殊情况（附图1：⑻）：设其顶点数V=n，其中1个顶点与另外n-1个顶点连接，边数E=n-1，面数F=0，则有V-E+F=1.上述问题中，与图中边（连线）的长短曲直和图形的形状没有关系.故把平面图形看作一张网，它的顶点数、边数和面（区域）数关系不会改变.综上所述，平面上任何连通图都具有性质V-E+F=1.这就是平面图形的欧拉公式.二、简单多面体的欧拉公式：V-E+F=2的证明.证法一：不妨任取一个简单多面体(如图1)，假设它的表面是橡皮膜制成的.把简单多面体（图1）的底面DEFG去掉,留下它的边,象一顶帽子.把这帽子想象成兜起来的一张网,然后把它拉伸铺平,得到一个平面封闭图形(图2).这样做,并没有改变多面体的顶点数和棱数,只是减少了一个面.由平面图形的欧拉公式(1)得到V-E+(F-1)=1,即V-E+F=2.反之亦然.证法二：设一个简单多面体的F个面分别为n1、n2、…、nF边形，则所有面角总和为：A=∑α=（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=2Eπ-2Fπ…(1)；再假定剪去简单多面体的一个面为n边形，其内角和为(n-2)π，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)π，边上的n个顶点处的内角和(n-2)π.所以，多面体所有各面的内角和为:A=∑α=(n-2)π+(n-2)π+(V-n)2π=(n-2)2π+(V-n)2π=(V-2)2π…(2).由(1)和(2)易得：V-E+F=2.欧拉公式这一创新成果的取得是和观念、方法的创新密不可分的.欧拉在观念上的创新是“多面体的表面是用橡胶薄膜制作的”；方法上的创新是得益于“向它们内部充气”和“将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平”。