简单多面体 欧拉公式

四个欧拉公式范文1. 欧拉公式（Euler's formula）是一项与数学中的复数、指数函数和三角函数相关的重要公式。

它可以通过以下等式表示：e^ix = cos(x) + i * sin(x)这个公式的一个重要推论是欧拉等式（Euler's identity）：e^iπ+1=0也被称为欧拉等式（Euler's equation），它涵盖了五个重要的数学常数：0、1、π、e和i。

欧拉等式被广泛认为是数学中最美丽的公式之一，并被描述为“数学的黄金标准”。

2. 欧拉多面体公式（Euler's polyhedron formula）是描述平面图形中的多面体、棱和顶点之间的关系的公式。

它由欧拉于1750年发现，被称为欧拉的F + V - E = 2公式。

对于一个多面体，F表示面的数量，V表示顶点的数量，E表示边的数量。

根据这个公式，一个拥有F个面、V个顶点和E个边的多面体，满足F+V-E=2、这个公式在数学和物理学领域被广泛应用，并且证明了它的正确性。

欧拉多面体公式也可以扩展到二维平面图形，即V=E-F+2、这个公式描述了连通平面图形中顶点、边和面的关系。

3. 欧拉积分公式（Euler's integral formula）是由欧拉发现的，用于表示复变函数与实变函数之间的关系。

它可以用以下等式表示：e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)这个公式在复分析和实分析中有广泛应用，可用于求解微分方程、傅里叶级数等，提供了一种将指数函数与三角函数相互转换的方法。

4. 欧拉回路和欧拉路径（Eulerian circuit and Eulerian path）是图论中与连通图中边的走法相关的概念。

它们由欧拉在18世纪提出，并被称为欧拉定理（Euler's theorem）。

欧拉回路是一个简单回路，它通过图中的每条边一次且仅一次，且最终回到起始点。

欧拉路径是一条在图中经过每条边一次且仅一次的路径，但不一定需要回到起始点。

欧拉公式：V+FE=2 （简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）（1）E=各面多边形边数和的一半，特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：。

欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。

尤拉公式提出，对任意实数 x，都存在其中 e是自然对数的底数， i是虚数单位，而 \cos和 \sin则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 x则以弧度为单位。

这一复数指数函数有时还写作 {cis}(x)（英语：cosine plus i sine，余弦加i正弦）。

由于该公式在 x为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。

莱昂哈德·欧拉出生于1707年4月15日，死于公元1783年9月18日，莱昂哈德·欧拉是一位来自于瑞士的数学家和物理学家，是近代著名的数学家之一，此外，莱昂哈德·欧拉还有力学，光学和天文学上都作出了重大的贡献。

莱昂哈德·欧拉被认为是18世纪，世界上最杰出的数学家，也是史上最伟大的数学家之一，而且莱昂哈德·欧拉还有许多的著作，他的学术著作就多达6080册。

他对微分方程理论作出了重要贡献。

他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。

此中最有名的被称为欧拉方法。

在数论里他引入了欧拉函数。

自然数 n的欧拉函数被定义为小于n并且与 n互质的自然数的个数。

在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。

在分析领域，是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数。

他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：其中是黎曼函数。

名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。

多面体与欧拉公式多面体是由多个平面多边形所围成的空间几何体，它是几何学中的一个重要研究对象。

欧拉公式是描述多面体面数、边数和顶点数之间关系的一个定理，是欧拉在18世纪提出的，为研究多面体提供了一种重要的工具。

多面体的概念可以追溯到古代希腊，阿基米德曾在他的《多面体》一书中描述了包括正多面体在内的许多多面体。

正多面体是最规整的多面体，每条边的长度、每个面的大小和形状都是相等的。

著名的正多面体有四面体、六面体和十二面体等。

多面体的特点是可以被划分为多个平面多边形，这些多边形的边和顶点都在多面体的表面上。

多面体一般由边、面和顶点三个要素构成。

边是多面体的两个顶点之间的线段，面是多个边所围成的平面区域，而顶点则是多个边和面的交点。

欧拉公式以瑞士数学家欧拉的名字命名，它是多面体几何学中最重要的公式之一、欧拉公式的内容是描述了一个多面体中面、边和顶点的数量关系。

根据欧拉公式，一个多面体的面数、边数和顶点数满足以下关系：面数+顶点数=边数+2这个公式可以应用于所有多面体，无论是规则的还是不规则的。

我们可以通过计算多面体的面数和边数，就可以得出多面体的顶点数。

同时，如果我们已知多面体的面数和顶点数，也可以通过欧拉公式计算出多面体的边数。

欧拉公式的证明可以通过数学归纳法进行。

首先，对于最简单的多面体，四面体，我们可以直接验证欧拉公式成立。

然后，我们可以假设欧拉公式对于n-1个面的多面体成立，即面数+顶点数=边数+2假设现在有一个n个面的多面体，我们可以在其中选取一个面，将它分割成若干个新的面，并且增加若干个额外的顶点和边。

这样，我们就得到了一个n-1个面的多面体，根据归纳假设，它的面数、边数和顶点数满足欧拉公式。

然后，我们再考虑这个n个面的多面体。

由于我们增加了若干个新的面、顶点和边，根据欧拉公式的归纳假设，新的多面体的面数、边数和顶点数满足：(n-1)个面数+新增的1个面+新增的顶点数=(n-1)个边数+新增的边数+2将新增的面数、顶点数和边数代入后，得到：n个面数+新增的顶点数=n个边数+新增的边数+2再将n个面数和新增的顶点数代入到欧拉公式的归纳假设中，得到：(n-1)个面数+新增的顶点数=(n-1)个边数+2由于已知n-1个面的多面体满足欧拉公式，所以有：(n-1)个面数+新增的顶点数=(n-1)个边数+2将这个等式代入前面得到的等式中，即可得出欧拉公式对于n个面的多面体也成立。

简单多面体欧拉公式欧拉公式是简单多面体的一个基本性质，它由数学家欧拉于18世纪提出。

欧拉公式给出了简单多面体的面（F）、边（E）和顶点（V）之间的关系，具体表述如下：F+V-E=2（其中F、V、E分别表示多面体的面、顶点和边的个数）这个公式虽然简短，却包含了许多有趣的性质和应用。

下面我们将详细讨论欧拉公式及其相关的一些主要内容。

首先，我们来证明欧拉公式。

假设一个简单多面体有n个面，m个边和v个顶点，可以通过以下步骤证明欧拉公式。

1.每个面都是由若干个边围成的，而每个边都是由两个面共享的，所以每个面都至少有3个边。

因此，n个面至少有3n个边。

2.每个边都是由两个顶点连接的，所以每个边都至少连接2个顶点。

因此，m个边至少连接2m个顶点。

3.由于每个顶点都至少有3个边连接，所以v个顶点至少有3v个边。

根据以上三个推论，我们可以得到：3n≤2m2m≤3v将这两个不等式相加，得到：3n+2m≤5m，进一步化简可得：3n+2m≤5m因此，我们有：3n+3m-3m+2m≤5m，整理后得到：3n+3m-5m≤3m，进一步得到：3(n-m)≤3m，即：n-m≤m由于n和m均为正整数，所以n-m≤m一定成立。

将n-m=v代入上式，可以得到：v≤2m再将v代入欧拉公式F+V-E=2中，可以得到：F+(2m)-m=2，化简之后可以得到：F=2+m综上所述，我们证明了欧拉公式F+V-E=2接下来，我们来讨论一些与欧拉公式相关的性质和应用。

1.欧拉公式适用于所有的简单多面体，包括凸多面体和非凸多面体。

凸多面体是指其任意两点之间的直线都位于多面体的内部的多面体，而非凸多面体则不满足这一条件。

2.欧拉公式可以用于检验多面体的正确性。

例如，如果在计算多面体的面、顶点和边的个数时，结果不满足欧拉公式，即F+V-E≠2，则说明计算存在错误。

3.欧拉公式可以用于构造简单多面体。

给定一定的面、顶点和边的个数，可以通过欧拉公式来确定是否存在满足这些条件的简单多面体，并且可以帮助我们找到构造多面体的方法。

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。

多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。

定理一证分析：以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。

因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。

例如去掉BC，就减少一个面ABC。

同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。

例如去掉CA，就减少一个顶点C。

同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。

在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

公式对任意简单多面体都是正确的。

定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。

（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。

我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。

初数数学公式揭秘立体几何的欧拉公式初数数学公式揭秘：立体几何的欧拉公式在初等数学中，有许多重要的数学公式被广泛应用于解决各种问题。

其中之一便是欧拉公式，这一公式在立体几何中起到了重要作用。

本文将揭秘欧拉公式的背后原理和应用，帮助读者更好地理解和应用这一公式。

欧拉公式是指对于任意一个简单凸多面体，其顶点数、边数和面数之间满足如下关系：顶点数 + 边数 = 面数 + 2这个表达式看似简单，却蕴含着丰富的几何性质。

接下来，我们将通过几个例子来展示欧拉公式的应用。

例一：正四面体我们先从最简单的形状开始，正四面体。

正四面体是一个具有四个等边等角的三维几何体。

它有四个顶点、六条边和四个面。

带入欧拉公式，我们可以验证其成立：4（顶点数）+ 6（边数）= 4（面数） + 2例二：正六面体正六面体是一个六个正方形的六个面拼接而成的立体。

我们来看看欧拉公式在正六面体上是否成立：8（顶点数）+ 12（边数）= 6（面数） + 2例三：正八面体接下来，我们探索正八面体这一多面体。

它由六个正方形和八个正三角形构成。

欧拉公式是否适用于正八面体呢？6（顶点数）+ 12（边数）= 8（面数） + 2通过以上例子，我们可以看出欧拉公式对于各种简单凸多面体都成立。

事实上，对于任意简单凸多面体都可以通过欧拉公式进行求解。

除了简单凸多面体，欧拉公式在网络拓扑学、几何学和图论等领域也有着广泛的应用。

在网络拓扑学中，欧拉公式可以用于计算网络中的节点数、链路数和子网数之间的关系。

在图论中，欧拉公式则可以用于计算图中的顶点数、边数和面数之间的关系。

因此，欧拉公式被广泛认可并应用于各个领域。

总结起来，欧拉公式是一个简洁而有效的数学工具，能够帮助我们理解和计算多面体以及其他形状的几何性质。

无论是在学术研究中还是实际问题的解决中，欧拉公式都发挥着不可替代的作用。

希望通过本文的揭秘和解析，读者们能够更好地理解和应用欧拉公式。

在解决几何问题时，我们可以借助欧拉公式来简化计算和推导过程，提高解题效率。

多面体中的欧拉公式好的，以下是为您生成的文章：咱们来聊聊多面体中的欧拉公式，这可是个相当有趣的玩意儿！先来说说什么是多面体。

你看那骰子，是不是个多面体？对啦，还有魔方，也是！多面体就是由多个平面围成的立体图形。

记得有一次，我带着一群小朋友在教室里做手工，就是用卡纸折多面体。

有个小家伙特别机灵，他折了个三棱柱，然后就好奇地问我：“老师，这多面体有没有什么规律呀？”我就告诉他，这就不得不提到欧拉公式啦！欧拉公式说的是：对于任何一个凸多面体，它的面数 F、棱数 E 和顶点数 V 之间，总是有 F + V - E = 2 这么个关系。

比如说一个正方体，它有 6 个面，8 个顶点，12 条棱。

咱们来算算，6 + 8 - 12 是不是等于 2 ？没错，正好！再比如一个正四面体，4 个面，4 个顶点，6 条棱，4 + 4 - 6 也是 2 。

那欧拉公式有啥用呢？用处可大了！假设我们要设计一个新的多面体玩具，通过欧拉公式就能提前预估一下它的大致结构。

有一回，我和几个学生一起参加一个创意比赛，题目就是设计一个独特的多面体结构。

我们就先用欧拉公式来思考，大概需要多少面、多少棱和顶点，心里有个底，然后再动手去做。

还有啊，在建筑设计里也能用到。

有些独特的建筑造型就是多面体，设计师们得根据欧拉公式来保证结构的合理性和稳定性。

想象一下，如果没有欧拉公式，那咱们面对各种多面体的时候，得多混乱呀！总之，多面体中的欧拉公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解多面体世界的大门，让我们更清楚地看到它们的内在规律和美妙之处。

所以，同学们，以后再看到多面体，可别忘了欧拉公式这个好帮手哦！。

简单多面体的欧拉公式
《新高考》编辑部
【期刊名称】《新高考（高一数学）》
【年(卷),期】2014(000)012
【摘要】欧拉，著名的大数学家，以他命名的公第4个面是六边形．式很多，除了e^iπ＋1=0，本期我们再来聊聊他发现的一个关于简单多面体的美妙公式：在一个简单多面体中，如果V代表顶点数，F代表面数，E代表边数，则有等式V＋F—E一2成立．欧拉多面体公式有很多证法，这里选述一种比较直观的方法。

【总页数】2页(P16-17)
【作者】《新高考》编辑部
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.简单多面体的欧拉公式的一个推广
2.在分层中递进在类比中探究--"多面体欧拉公式的发现"的教学实录与体会
3.欧拉定理及多面体欧拉公式
4.第八周多面体与欧拉公式球
5.《多面体欧拉公式的发现》WebQuest教学设计
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立体几何同步训练14多面体及欧拉公式欧拉公式是在立体几何中一个非常重要的定理，它描述了一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

欧拉公式的形式可以用如下的式子表示：V-E+F=2其中，V代表多面体的顶点数，E代表多面体的边数，F代表多面体的面数。

多面体是指一个由平面多边形所围成的立体体积，根据多边形的数量和形状不同，可以得到不同的多面体，例如正多面体、凸多面体和凹多面体等。

首先，我们来讨论一些常见的多面体。

1.正多面体：所有的面都是相等的正多边形，且每个顶点都相等，例如正方体、正八面体和正二十面体等。

所有的正多面体都具有着完全相同的顶点、边和面的数量。

2.非正多面体：所有的面不都是相等的正多边形，例如长方体、八面体和十二面体等。

相比于正多面体，非正多面体的顶点、边和面的数量可以有所不同。

3.凸多面体：多面体内部的所有点都位于多面体表面的同一侧。

一个常见的例子是立方体，它是一个边相等、面相等且角相等的凸多面体。

4.凹多面体：多面体内部的一些点位于多面体表面的两侧。

一个常见的例子是镂空的球。

根据欧拉公式，我们可以通过任意两个量确定多面体的第三个量。

假设我们知道多面体的顶点数和面数，我们就可以通过欧拉公式计算出边数。

同样地，如果我们知道多面体的边数和面数，我们也可以计算出顶点数。

例如，我们考虑一个正四面体。

它有4个面，因此F=4、每个面都是一个等边三角形，有3条边，所以E=3x4/2=6、通过欧拉公式，我们可以计算出这个正四面体有多少个顶点：V-6+4=2，因此V=4同样地，我们可以计算其他正多面体的顶点数、边数和面数。

欧拉公式在立体几何中有着广泛的应用。

它不仅可以用来计算多面体的未知量，还能帮助我们理解多面体的结构和性质。

在数学研究和实际应用中，欧拉公式发挥着重要的作用，例如在蛋白质结构的研究中，欧拉公式可以用来计算蛋白质的拓扑特性。

总结起来，欧拉公式是立体几何中的一个重要定理，它描述了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

多面体欧拉公式的推理过程
多面体欧拉公式的推理过程如下：
1.设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去。

因为一共有F个面，因
此要添(F-1)个面。

2.考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数。

3.添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所
以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1。

4.以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1。

例如，增添两个面后，有关系E=V+2；
增添三个面后，有关系E=V+3；……增添(F-2)个面后，有关系E=V+(F-2)。

5.最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加。

因此，关系式仍为E=V+(F-2)。

即F+V=E+2。

这个公式叫做欧拉公式，它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数。

以上是多面体欧拉公式的推理过程，希望对您有所帮助。

欧拉公式顶点数与面数与棱数欧拉公式是数学中一个重要的公式，用于描述多面体（或称为多面体图）的顶点数、面数和棱数之间的关系。

它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，被广泛应用于几何学和图论等领域。

欧拉公式的表述如下：VE+F=2其中，V代表多面体的顶点数，E代表多面体的棱数，F代表多面体的面数。

这个公式是在欧拉研究正多面体时总结出来的，它表明了顶点数、面数和棱数之间有一个固定的关系。

理解这个公式的关键是要注意多面体内部与外部的空间。

每个棱连接两个顶点，每个面由若干个棱围成，因此每个面的边数是有限的。

当顶点数、面数和棱数满足一定的关系时，多面体的结构就可以保证是一个封闭的几何体，而不是一个开放的结构。

现在我们来解释一下欧拉公式中的V、E、F的含义以及它们之间的关系。

1.V顶点数：多面体所有的角落、顶点的总数。

2.E棱数：多面体所有的棱（边）的总数。

3.F面数：多面体内部的平面部分的总数（不包括多面体的外表面）。

根据多面体的定义，每个顶点至少与一个棱相连，每个面至少由三条棱围成。

因此，每个顶点至少与三个面相连，每个面至少与三个顶点相连。

从而可以推出：3V≤2E（每个顶点至少与三个面相连）3F≤2E（每个面至少与三个顶点相连）将以上两个不等式相加，可以得到：3V+3F≤4E再将上式变形，可以得到：2E≥3V+3F将该式代入欧拉公式VE+F=2中，得到：V(3V+3F2E)+F=2化简得到：VE+F=2这就是欧拉公式。

欧拉公式的一个重要应用是对多面体的性质进行分析。

通过已知的顶点数、面数或棱数，可以计算未知的两个值。

欧拉公式还可以推广到其他图形，比如平面图和非欧几里得几何等。

它在各个领域都有广泛的应用，是数学中的一个重要定理。

几何图形三要素——欧拉公式的证明摘要：平面几何图形不计长短曲直，数字“1”统帅全局；简单多面体无关体大面小，数字“2”展示共性。

著名的欧拉公式深刻揭示了几何图形的本质属性。

关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形。

没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体。

正文：当我们踏进平面几何学大门时，就学到了一个简单的定理：三角形三个内角和等于180°，我们称它为180°定理。

由180°定理，可进一步得知，凸n变形的内角和为（n-2）180°（弧度制中为(n-2)π），顺着一个方向的外角和为360°。

外角和为360°，是平面上凸多边形的共性，与其边数无关，这是180°定理所揭示的平面图形的基本属性.但在中学数学中只注重180°定理在各种图形研究中的应用，而忽略了它所反映的平面图形比长短曲直更本质的属性，即欧拉公式。

今天，我们用简单的180°定理来推演几何图形的三要素：点、线、面之间的特定关系，领悟数学之美妙，感慨前人之杰作，激发心中之追求，萌发研究之创意。

一、平面几何图形（连通图）欧拉公式:V-E+F=1的证明情形1.平面多边形（附图1：⑴、⑵、⑶）：设其顶点数V=n，边数E=n，区域（面）数F=1，则V-E+F=1.情形2.将多边形用不交的对角线剖分成多个三角形所构成的平面图形（附图1：⑷）：设其顶点数V=n，面数(不交的三角形)F=n-2，不交的对角线条数为n-3，得边数E=2n-3，则V-E+F=n-(2n-3)+(n-2)=1，即证.情形3.平面上一般的封闭图形（附图1：⑸）：方法一：设F个面(不交区域)分别为n1、n2、…、nF边形，则所有内部面角总和:A =（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=(2E-n)π-2Fπ…(1).方法二：由内部V-n个顶点的周角加上外层n边形的内角和(n-2)π得:A=(V-n)2π+(n-2)π…(2).联立(1)、(2)得V-E+F=1.情形4.平面连通图（附图:⑹、⑺）：在情形1、2、3的外层任何地方增加一条边，增加的顶点数和边数相同，面数不变.故V-E+F=1对连通图也成立.情形5.平面连通图特殊情况（附图1：⑻）：设其顶点数V=n，其中1个顶点与另外n-1个顶点连接，边数E=n-1，面数F=0，则有V-E+F=1.上述问题中，与图中边（连线）的长短曲直和图形的形状没有关系.故把平面图形看作一张网，它的顶点数、边数和面（区域）数关系不会改变.综上所述，平面上任何连通图都具有性质V-E+F=1.这就是平面图形的欧拉公式.二、简单多面体的欧拉公式：V-E+F=2的证明.证法一：不妨任取一个简单多面体(如图1)，假设它的表面是橡皮膜制成的.把简单多面体（图1）的底面DEFG去掉,留下它的边,象一顶帽子.把这帽子想象成兜起来的一张网,然后把它拉伸铺平,得到一个平面封闭图形(图2).这样做,并没有改变多面体的顶点数和棱数,只是减少了一个面.由平面图形的欧拉公式(1)得到V-E+(F-1)=1,即V-E+F=2.反之亦然.证法二：设一个简单多面体的F个面分别为n1、n2、…、nF边形，则所有面角总和为：A=∑α=（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=2Eπ-2Fπ…(1)；再假定剪去简单多面体的一个面为n边形，其内角和为(n-2)π，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)π，边上的n个顶点处的内角和(n-2)π.所以，多面体所有各面的内角和为:A=∑α=(n-2)π+(n-2)π+(V-n)2π=(n-2)2π+(V-n)2π=(V-2)2π…(2).由(1)和(2)易得：V-E+F=2.欧拉公式这一创新成果的取得是和观念、方法的创新密不可分的.欧拉在观念上的创新是“多面体的表面是用橡胶薄膜制作的”；方法上的创新是得益于“向它们内部充气”和“将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平”。