比较二次根式大小的8种方法

比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。

例如，比较√5和√7的大小。

由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。

例如，比较√3和√8的大小。

由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。

例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。

由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。

四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。

例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。

通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。

例如，比较√3和√2的大小。

可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。

当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。

二次根式数学知识点二次根式数学知识点11.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。

推广：，其中a≥0，b>0，。

方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。

4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

二次根式数学知识点2二次根式的概念形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√（x2+1），√（x—1）（x≥1）等是二次根式，而√（—2），√（—x2—7）等都不是二次根式。

二次根式取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。

知识点三：二次根式√a（a≥0）的非负性√a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，√a（a≥0）是一个非负数，即√a≥0（a≥0）。

注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即√a≥0（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若√a+√b=0，则a=0，b=0；若√a+|b|=0，则a=0，b=0；若√a+b2=0，则a=0，b=0。

二次根式的化简与比较大小二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示为根号下一个数的形式。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和比较大小的操作。

本文将探讨二次根式的化简和比较大小的方法。

一、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。

最简形式是指分子和分母互质，且分母不含根号的形式。

1. 化简含有相同根号的二次根式当二次根式中含有相同根号时，可以将它们合并为一个根号下的数。

例如，化简√3 + √3。

由于√3 + √3 = 2√3，所以√3 + √3可以化简为2√3。

2. 化简含有不同根号的二次根式当二次根式中含有不同根号时，可以尝试将其化简为一个根号下的数。

例如，化简√2 + √8。

首先，我们可以将√8写成√(2 × 4)，即√(2 × 2 × 2)。

然后，我们可以将√2 + √(2 × 2 × 2)化简为√2 + 2√2，即3√2。

二、二次根式的比较大小比较二次根式的大小时，可以使用以下方法：1. 平方比较法平方比较法是将二次根式的平方进行比较。

由于平方是非负数，所以比较二次根式的平方可以得到它们的大小关系。

例如，比较√5和√7的大小。

首先，我们可以计算它们的平方，即5和7。

由于5小于7，所以√5小于√7。

2. 通分比较法通分比较法是将二次根式的分母进行通分，然后比较分子的大小。

通分后，分母不再含有根号，可以直接比较分子的大小。

例如，比较√3/√2和√5/√2的大小。

首先，我们可以将分母通分为2，得到√3/2和√5/2。

由于√3小于√5，所以√3/2小于√5/2。

三、综合运用在实际问题中，我们常常需要综合运用化简和比较大小的方法来解决问题。

例如，我们需要比较√3 + √2和√5的大小。

首先，我们可以将√3 + √2化简为√6。

然后，我们可以比较√6和√5的大小。

由于6大于5，所以√6大于√5。

因此，√3 +√2大于√5。

又如，我们需要比较√3 - √2和√5的大小。

初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。

其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。

此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。

例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。

对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。

对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。

对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。

对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。

对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。

对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。

对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。

总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。

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同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。

以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。

解：将式子化简得 n。

-2，因此 x。

-2.又因为 x + y。

0，所以 y。

-x。

综合两式得 x < y。

题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。

巧用方法比较根式的大小二次根式是八年级上学期的重要内容，而比较根式的大小是必须掌握的根式问题。

在解答这类问题时，有些学生感觉有点困难。

如果不顾题目的特征而盲目地运用方法，那么题目运算量大，计算难度也大，并且非常容易出现错误。

其实，只要根据不同根式的特点采取相适应的方法，就能做到既简捷又准确。

现举例如下：一、比较形如a与c的形式的大小，把因式移入根号内，变为比较被开方数的大小这种方法是比较根式大小的基本方法。

例如：比较15和11的大小解：15＝11＝∵2475＞1815∴15＞11二、把两数平方后，先比较它们的平方的大小，再比较根式的大小这种方法是比较根式大小的一种常用的方法。

例如：比较＋与的大小解：∵（＋）2＝7＋2＝7＋（）2 ＝10＝7＋7＋＞7＋∴＋＞要特别注意：当两数都为正数时，它们的大小关系与平方后的大小关系是一致的，两数为负数时，则与平方后的大小关系相反。

如：比较－与-的大小解：（－）2＝10－2＝10－（-）2＝5＝10－（－）2＜（-）2∴－＞-三、将两数求差，再将其差与0进行比较1、如果a－b＞0，则a＞b；2、如果a－b＝0，则a＝b；3、如果a－b＜0，则a＜b。

例如：比较与的大小解: －＝＝＜0∴＜三、将两数相除，看商是否大于11、如果＞1，则a＞b；2、如果＝1，则a＝b；3、如果＜1，则a＜b。

例如：比较（＋）10 与（8＋2）5 的大小解：＝＝＝（）5 ＞15＝1∴（＋）10 ＞（8＋2）5四、把分母或分子进行有理化后再进行比较例如：⑴比较与的大小解：∵＝＝4＋＝＝6＋∴＜⑵比较－与－的大小解：∵（－）（＋）＝14－13＝1－）（＋）＝13－12＝1∴（－）（＋）＝（－）（＋）又∵＋＞＋∴－＜－将⑴中分母进行有理化；⑵中两式相当于把分子进行有理化，这样很容易得出比较结果。

五、选取合适的中间数，比较各数与中间数的大小，从而得出比较结果例如：比较与0.53的大小解∵＞10.53＜1∴＞0.53总之：比较根式的大小的方法有很多种，我们在学习中根据题目特征，巧用方法，就能使许多问题迎刃而解。

二次根式比大小八种方法1.平方法 例题：比较116+与314+的大小变式训练：1、比较1413+与1215+的大小2、比较1732-与2623-的大小2.作商法 例题：比较34-与32+的大小变式训练：比较511-与56+的大小3.分子有理化 例题：比较1415-与1314-的大小变式训练1、比较3031-与2930-的大小2、比较比较1719-与1315-的大小4.分母有理化例题：比较321-与231-的大小变式训练：1、比较261-与681-的大小2、比较132-与121-的大小5.做差法 例题：比较3119-与32的大小变式训练1、比较21-与31-的大小2、比较5.115与-的大小6.倒数法 例题：已知13+-+=n n x ，n n y -+=2，试比较x ，y 的大小。

变式训练1：比较2014-20152015-2016与的大小2、比较2002-20042003-2005与的大小7.放缩法例题：比较2-5727与+的大小变式训练：113268.定义法 例题：比较a -5与36-a 的大小常见二次根式化简求值的九种技巧1.估值法例题1：估计184132+⨯的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。

2.公式法 例题3：计算)3225()65(-⨯+3.拆项法 例题4：计算)23)(36(23346++++ 0 1 2 3 44.换元法例题5：已知12+=n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。

变式： 化简3326302352+--+5.整体代入法例题6：已知2231-=x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。

6.平方法例题7：计算110310310+-++例题8：计算y xy x x y y x +++2 （y x ≠）7.配方法例题9：若a, b 为实数，153553+-+-=a a b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。