典中点二次根式专训2 比较二次根式大小的八种方法

比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。

例如，比较√5和√7的大小。

由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。

例如，比较√3和√8的大小。

由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。

例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。

由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。

四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。

例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。

通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。

例如，比较√3和√2的大小。

可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。

当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。

解：取特殊值 x＝1，则1＝4，x2＝ 1 ， x＝1，所以
4x
16
2
x2<x< x<1. x
类型八 定义法 8. 比较 5－a与3 a－6的大小． 解：因为 5－a≥0，所以 a≤5，所以 a－6<0， 所以3 a－6<0. 又因为 5－a≥0，所以 5－a>3 a－6.
4.
比较2－1
与 3
1 3－
的大小． 2
解：因为2－1
＝2＋ 3
3，
1 3－
＝ 2
3＋
2，2＋
3>
3＋
2，所以2－1
> 3
1 3－
. 2
类型五 作差法
5.
比较
19－1与2的大小． 33
解：因为
19－1－2＝ 33
19－3， 3
19－3>0，
所以
19－3>0，所以 3
193－1>23.
类型六 倒数法
解：
15 －
14 ＝ （
15－
14）（ 15＋ 15＋ 14
14） ＝
1 15＋
， 14
14－
13＝（
14－
13）（ 14＋ 14＋ 13
13）
＝
1 14＋
， 13
因为 15＋ 14> 14＋ 13>0，
所以
1 15＋
< 14
1 14＋
， 13
即 15－ 14< 14－ 13.
类型四 分母有理化法
6. 已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－ n，试比较
x，y 的大小．
解：1＝ x
1 n＋3－

「初中数学」比较二次根式大小的十二种方法含二次根式的数或式的大小比较，是同学们学习的一个难点，若能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法，常见的比较方法有:平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法、根号外因式内移法、传递法、参数法、放缩法等.下面分别介绍.一.平方法依据:当a>0，b>0时，若a²>b²，则a>b.二.作商法依据:当a>0，b>0时，若a/b>1，则a>b，若a/b=1，则a=b，若a/b<><>三.分子有理化法对于形如'√a+√b'或'√a一√b”的式子，若两项a一b的值相等，采用分子有理化法简捷四.分母有理化法对于分母形如'√a+√b'或'√a一√b'的式子，可先分母有理化，再比较.五.作差法依据:若a一b>0，则a>b;若a一b=0，则a=b;若a一b<><>六.倒数法依据:当ab>0时，若1/a>1/b，则a<>七.特殊值法取给定范围内的特殊值进行求值比较.八.定义法依据:二次根式的定义.九.根号外因式内移法依据:若a≥0，则a=√a²，若√a>√b，则a>b.十.传递法依据:若a>b，b>c，则a>c.十一.参数法对于复杂二次根式和简单二次根式比大小，先设辅助元化简复杂的二次根式或求出复杂二次根式的值，然后比较十二.放缩法对难以寻找特征的两个二次根式，可以采用放缩的方法转化后比较【总结】上边所说的方法，希望同学们认真体会，有的题可以用多种方法进行比较，同学们灵活掌握，寻找较简便的解法.感谢大家的关注、转发、点赞、交流！。

二次根式大小的比较方法二次根式大小的比较，有些同学感到很困难，不知道如何进行，下面，就给大家介绍几种常用的方法。

一、求差法基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a －b ＜0时，a ＜b ；当a －b=0时，a=b ；当a －b ＞0时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。

例1、比较7－2和5－3的大小解：（7－2）－（5－3）=（7－5）+（3－2）7－5＞0，3－2＞0，∴（7－5）+（3－2）＞0 即：7－2＞5－3二、求商法基本思路：设a 、b 为任意两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当b a ＜1时，a ＜b ；当时，当b a =1时，a=b ；当ba ＞1时，a ＞b ”来比较a 与b 的大小。

例2、比较π与π3的大小 解： π÷π3=π×3π=3π＞1 ∴ π＞π3三、倒数法基本思路：设a 、b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1＜b 1时，a ＞b ；当a 1=b 1时，a=b ；当a 1＞b1时，a ＜b ”来比较a 与b 的大小。

例3、比较14－13与13－12的大小解： 13141-=14+13，12131-=13+12∴ 13141-＞12131- ∴14－13＜13－12四、平方法基本思路：先将两个要比较的数分别平方，再根据“a ＞0,b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例4、比较2+6与3+22的大小解： 2+6＞0，3+22＞0∴（2+6）2=10+46，（3+22）2=11+46∴10+46＜11+46∴2+6＜3+22五、移动因式法基本思路：当a ＞0,b ＞0时，若要比较形如a a 与b b 的两数大小，可先把根号外的正因数a 与b 的平方后移入根号内，再根据被开放数的大小进行比较。

例5、比较﹣33与﹣27的大小解：﹣33=﹣27，﹣27=﹣28﹣27＞﹣28∴﹣33＞﹣27。

阶段核心方法专训
8．比较 5－a与3 a－6的大小．
解：∵5－a≥0，∴a≤5. ∴a－6＜0. ∴3 a－6＜0. 又∵ 5－比较 aa＋＋12与 aa＋ ＋23的大小． 【方法总结】作商比较两个含二次根式的式子的大小的方法：当 两个式子(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商 比较它们的大小，先计算两个式子的商，然后比较商与 1 的大小 关系．已知 a＞0，b＞0，若ab＞1，则 a＞b；若ab＝1，则 a＝b； 若ab＜1，则 a＜b.
阶段核心方法专训
解：因为
a＋1 a＋2÷
aa＋＋23＝（
a＋（1）a＋（2）a＋2 3）＝aa＋ ＋44
aa＋ ＋34＜1，
易知
aa＋ ＋12>0，
aa＋ ＋23>0，所以
aa＋ ＋12＜
a＋2 a＋3.
阶段核心方法专训
3．比较 15－ 14与 14－ 13的大小．
解：
15－
（ 14＝
15－
14）（ 15＋ 15＋ 14
人教版 八年级下
第十六章 二次根式
阶段核心方法专训 比较含二次根式的式子的大小的八种
方法
阶段核心方法专训
1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小．
解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2＝17＋2 42， 17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6＋ 11)2>( 14＋ 3)2. 又因为 6＋ 11>0， 14＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
3＝2＋
3，
1 3－
＝ 2
3＋
2，
2＋ 3＞ 3＋ 2，
∴2－1
＞ 3
1 3－

比较二次根式大小，教你几招二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个二次根式的大小同样具有很强的技巧性，掌握它们的一些方法，对于训练思维、提高运算能力大有裨益。

招一：根式变形法。

例1、比较54与5175的大小。

解：因为8054542=⨯=85517551752=⨯= 又知8580〈 所以545175。

点评：本题的依据是：当0,0〉〉b a 时，若b a 〉，则b a 〉；若b a 〈，则b a 〈。

招二：平方比较法例2、比较103+与225+的大小 解：因为30213)103(2+=+4021310413)225(+=+=+ 又知4021330213+〈+ 所以103+225+。

点评：本题的依据是：当0,0〉〉b a 时，如果22b a 〉，则b a 〉；如果22b a 〈，则b a 〈。

招三：分母有理化法例3、比较251-与321-的大小 解：因为25)25)(25(25251+=+-+=- 32)32)(32(32321+=+-+=- 又知3225+〉+ 所以251-321-点评：先把分母有理化，化成后容易比较大小。

招四：根式有理化4、比较20082009-与20072008-大小 解：因为120082009)20082009)(20082009(=-=+-120072008)20072008)(20072008(=-=+- 又知2007200820082009+〉+ 所以20082009-20072008-。

点评：本题的依据是：先把二次根式有理化。

当0,0,0,0〉〉〉〉d c b a 时， bd ac =，如果d c 〉，则b a 〈；如果d c 〈，则b a 〉。

二次根式比较大小二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个二次根式的大小同样具有很强的技巧性，掌握它们的一些方法，对于训练思维、提高运算能力大有裨益。

招一：根式变形法。

1、移动法当0,0a b >>时，①如果a b >，>②如果a b <，则<例1、比较54与5175的大小。

解：因为8054542=⨯=85517551752=⨯=又知8580〈所以54<5175。

2、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

例2、比较解：2218,12==，∵1812>，∴>。

3、作差法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a ba b->⇔>；②0a b a b -<⇔<例7、比较5-2+的大小。

∵（5--（2+）=5--32-=3-32<0∴5-<2+4、媒介法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例633的大小。

分析：估计536,637<<<<，所以可取媒介值6。

解：∵333333936<=+=>=-=，33<。

5、作商法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a a bb>⇔>； ②1a a bb<⇔<例8、比较5-2+的大小。

解：1313==-=-∵12130131=<<=⇒<-<，∴52-<+6、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3的大小。

解：2(11(====， 11>+， >7、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、。

1-==，==，∵0>>⇒<，< 8、倒数法 例5-的大小。

解：<-。

比较二次根式大小的几种方法
山东省昌邑市北孟第二中学（261318）刘希政
比较含有二次根式的式子的大小，如果不允许查表和使用计算器，会感到棘手，因此在学习中掌握几种比较的方法是非常必要的。

一、移动法
把根号外的非负因式移到根号内比较被开方数大小。

例1. 比较和的大小。

解：因为
所以
二、平方法
例2. 比较和的大小.
解：因为
所以.
三、作差法
例3. 比较和的大小.
解：因为
又因为
所以
所以
四、配方法
例4. 比较和的大小.解：
因为
所以
五、分子或分母有理化
例5. 比较和的大小.解：因为
因为
所以
例6. 比较和的大小.
解：将分母有理化
因为，
因为
所以
六、借助中间值比较法
例7. 比较和的大小.
解：因为
所以
因为
所以
所以
七、缩放法
在解题时，有时则需要将某个式子适当地放大或缩小，进行比较。

例8. 比较与的大小.
解：
所以
例9. 比较与的大小.
解：因为
所以
年级初中学科数学版本期数
内容标题比较二次根式大小的几种方法
分类索引
号
G.622.46分类索引描述 辅导与自学
主题词比较二次根式大小的几种方法栏目名
称　专题辅导
供稿老师审稿老
师
录入吕春艳一校王佳娣二校审核。

比较二次根式大小的常用技巧二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，掌握一些常见的方法对学习有很大的帮助和促进作用．一、被开方数比较法例1．比较与解：将两个二次根式作变形得====，7545>>，∵∴即<解法归纳：先把根号外的因数移至根号内，当00a b>>，时，①a b>>；②若a b<，则<二、平方比较法例2．比较解：((221812==，，1812>>，∵∴.解法归纳：当00a b>>，时，如果22a b>，则a b>，如果22a b<，则a b<．三、分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．例3．的大小．解:2111====+∵，又11>∵，>∴．四、分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．例4．-与解:1414+==∵==又>>0∵，<∴<.五．利用媒介值传递法例5．33的大小． 解:2336<<+<∵∴， .又91036<<>，∵∴．33<∴．适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较． 六、作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①a b a b ->0⇔>；②a b a b-<⇔<0．例6．的大小．解:110--==>∵，>∴七、求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当00a b>>，时，则：①aa bb>1⇔>；②aa bb<1⇔<．例7．比较5-2+的大小．解:5351313---==-=-1213<<，∵0131<-<，∴52-<+∴综上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．。

比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。

因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。

方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。

因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。

注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。

方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。

对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。

方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。

当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。

因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。

方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。

对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。

因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。

方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。

通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。

方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。

因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。

这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。

方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。

专训2比较二次根式大小的八种方法比较二次根式的大小是数学中常见的问题。

在本文中，将介绍八种常见的方法来比较二次根式的大小。

这些方法包括化简、通过比较系数、平方、提取公因数、借助图像、使用近似值、利用性质、以及使用不等式。

通过掌握这些方法，可以更加灵活地处理二次根式的大小关系问题。

第一种方法是化简。

化简是将二次根式转化为最简形式，并比较它们的系数和根号中的数值来判断大小关系。

例如，对于√2和√3，可以将它们分别化简为1.414和1.732，然后进行比较。

在进行比较时，可以直接比较这些数的大小。

第二种方法是比较系数。

对于形如a√b和c√d的二次根式，可以通过比较a和c的大小来判断它们的大小关系。

如果a>c，则a√b>c√d；如果a=c，则需要比较b和d的大小；如果a<a，则a√b<c√d。

第三种方法是平方。

如果对于正实数a，有a²>b，则√a>√b。

这个性质可以推广到二次根式的比较中。

例如，对于√5和2，可以计算它们的平方分别为5和4，可以得出结论√5>2第四种方法是提取公因数。

如果两个二次根式的根号中的数值相同，可以将它们提取出来，然后比较系数的大小。

例如，对于√3和2√3，可以将它们都提取出√3，然后比较系数的大小，可以得出结论2>1，即2√3>√3第五种方法是借助图像。

可以将二次根式的值表示在数轴上，并比较它们在数轴上的位置来判断大小关系。

例如，可以将√2和√3在数轴上表示出来，并比较它们的位置关系。

第六种方法是使用近似值。

可以利用计算器或其他工具将二次根式近似为小数，然后直接比较这些小数的大小。

例如，可以近似计算出√2≈1.414和√3≈1.732，然后比较它们的大小。

第七种方法是利用性质。

可以利用二次根式的性质来进行推导和比较。

例如，可以利用开方的非负性质来判断二次根式的大小关系，即对于非负实数a，有√a>0。

第八种方法是使用不等式。

例 ６ 比较 ３ 、 和 ５ ２ ／ 的 大 小 ． 一／ — 、了
解 ： 为（ 一 因 ３ ） （— ～５ ２ ） ＝ 一 ＝ ２ 一 ＞ ， Ｏ
所 以 ３ ＼ ＞ — 、了 ． 一 ／ ５ ２／
… … … － … … 一 … … …
考 试
＝
，
而 ２４ ２２ 则 、 ＞ ９＞ ５ ， ／
所 以 ７ ／ ＞ 、 ． 、百 ６ ／
二 、 方 比较 法 ． 边 同 时 平 方 ， 化 为 比 较 幂 的 大 小 ． 平 两 转
例 ２ 比较 、 ＋ ／ 与 亨 、 了 的 大 小 ． ／ 、 ＋／
解： 因为 （／ ＋ ／ ） ２＋ 、 ， ＼ Ｉ 、了 ） ２ ＋ 、 豇 ， 、西 、 了 ｚ ０２ ／ ＝ （ ／＿＋ ／ ２ ０ ２ ／ ＝
２ ＋ 、 ＞ ０ ２ ／ ， ０２／ ２ ＋ 、玎
所 以 、 ＋ ／ ＞ ／ ＋ ／ ． ／ 、了 、 、了
温 馨 小提 示 ： 方 比较 法 ， 注意 两式 的正 负． 平 要
三 、 母 有理 化 法 ． 分 母 有 理 化 。 比 较 大 小 ． 分 先 再 例 ３ 比较 与 —＝ 的大 小 ． ３ 、 、 一 ／７ ／７一 ／５ 、
责 任 编 辑 ： 二 喜 王
瓣 瓣 穗 羹 蠢
＠ 朱元生
缓 貉
比较 二 次 根 式 的大 小 是 常 见 题 型 ．解 决 这 类 问题 ，除 了掌 握 二 次 根 式 的 基 本 性 质 和 运 算 法 则 外 ，还 应 根 据 根 式 的结 构 特 征 ， 灵 活 选 用 不 同的 技 巧 ， 能 简 化 计 算 ． 才
一／ 、丽
与 、丽 ／
一／ 、丽

比较二次根式大小得8种方法比较大小就是学习数学过程中经常会遇到得,通常用到得方法就就是作差法,但就是有时要对两个数进行大小得比较,仅仅用作差法就是不行得，那怎么办呢?别担心，本节整理得8种比较大小得方法,如果您能全掌握,那就可以对比较大小得题目“通吃”了,这８种方法不仅适用于二次根式大小得比较，对于其她数得大小比较也适用。

当然,本节就是结合二次根式比较大小得题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小得比较,又掌握了8种比较大小得方法，可谓收获良多。

接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小得8种方法:平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一:平方法……根号内得数相加为同一个数时。

平方法就是对要比较大小得两个数先平方,根据平方后数据得大小来确定原数得大小。

方法二:作商法……向1靠拢,化同类项。

作商法就是把要比较大小得两个数相除，根据除得得商来判断原来数值得大小,除得得商分大于1,等于1，或小于1。

方法三:分子有理化法……根号内得数差为同一个数时,将分子化1,比分母。

分子有理化法就是专门针对二次根式比较大小来说得,通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值得大小。

方法四:分母有理化法……根号内得数相似,化同为目标。

分母有理化就是通过对二次根式乘以有理化因式后,将原来得二次根式化简成最简二次根式再比较大小。

方法五:作差法(最常用）作差法就就是将比较大小得两个数相减，根据所得得差来瞧两数得大小,也就是平时比较大小最常用得方法。

方法六：倒数法倒数法就就是先求出原数倒数得大小，再根据倒数得大小来确定原来数值得大小。

方法七：特殊值法特殊值法就就是通过对比较大小得代数式子赋特殊值得方法来确定大小得方法。

方法八：定义法以上就就是比较二次根式大小得8种方法，其中第５种最常用!这8种方法您掌握了几种呢？。

二次根式比较大小有妙法■湖南 陈宏文含有二次根式的式子比较大小往往不能直接进行，需要对式子进行灵活变形后才好比较，下面介绍几种二次根式大小比较的常用方法. 法一、比被开方数法【点拨】当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b <【例1】比较3772. 解：3763,7298==∵63<98，∴3772法二、乘方法【点拨】当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <.【例2】比较35与53的大小. 解：22(35)45,(53)75==， ∵45<75， ∴35<3法三、分母有理化化简法【点拨】通过分母有理化，达到化简后再比较大小.【例351-31-. 2(5512251(51)(51)==+--+(3312231(31)(31)==+--+， ∵5122+312， 51-31-. 法四、分子有理化法【点拨】通过分子有理化，利用分母的大小来比较.【例476-65.解：==∵><.【点拨】对二次根式进行估值后再比较.【例533的大小.333333936<=+=>=-=，33<.【点拨】它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1aabb>⇔>；②1aa bb<⇔<【例6】比较5-与2的大小.解：1313==-=，∵1213=<<=,∴0131<<，∴52-<+【点拨】在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a ba b->⇔>；②0a b a b-<⇔<【例7与的大小.==>，>.。

专训2 比较二次根式大小的八种方法名师点金：含二次根式的数(或式)的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较a＋1a＋2与a＋2a＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．特殊值法7．用“<”连接x ，1x，x 2，x(0<x<1)．定义法8．比较5－a 与3a －6的大小．答案1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2.又因为6＋11>0，14＋3>0，所以6＋11＞14＋ 3.2．解：因为a ＋1a ＋2÷a ＋2a ＋3＝（a ＋1）（a ＋3）（a ＋2）2＝a ＋4a ＋3a ＋4a ＋4＜1，易知a ＋1a ＋2>0，a ＋2a ＋3>0，所以a ＋1a ＋2＜a ＋2a ＋3. 方法总结：作商比较两个二次根式的大小的方法：当两个二次根式(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算两个二次根式的商，然后比较商与1的大小关系．已知a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b. 3．解：15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14 ＝115＋14， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13， ∵15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0，∴115＋14<114＋13， 即15－14＜14－13.4．解：∵12－3＝2＋3，13－2＝3＋2， 2＋3＞3＋2，∴12－3＞13－2. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0，所以19－13>23. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n＝n ＋2＋n 2＞0， ∵n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，∴1x ＞1y＞0，∴x ＜y. 7．解：取特殊值x ＝14，则1x ＝4，x 2＝116，x ＝12，∴x 2＜x ＜x ＜1x. 8．解：∵5－a ≥0，∴a ≤5.∴a －6＜0.∴3a－6＜0.又∵5－a≥0，∴5－a＞3a－6.。