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比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。
例如，比较√5和√7的大小。
由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。
例如，比较√3和√8的大小。
由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。
例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。
由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。
四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。
例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。
通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。
例如，比较√3和√2的大小。
可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。
当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。
二次根式的估值与比较大小（北师版）试卷简介:本套试卷主要考查学生无理数的估值以及比较大小，其中估值涉及无理数的直接估值以及无理数的整数、小数部分等内容，比较大小涉及多种比较大小的方法，学生需要结合题目的结构选择合适的方法解决问题。
一、单选题(共6道，每道10分)1.的值( )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间答案：C解题思路：因为，所以故选C试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小2.估算的值( )A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间答案：D解题思路：，因为，所以．故选D试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小3.若与的小数部分分别是a和b,则a+b=( )A.1B.C.0D.11答案：A解题思路：因为，因此，相应小数部分为；，相应小数部分为．因此，，a+b＝1故选A试题难度：三颗星知识点：无理数的整数部分、小数部分4.现有四个无理数,,,,其中在实数+1和+1之间的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：考虑通过平方法比较大小：，，，，，；∵，∴∴∵∴∴∴在实数+1和+1之间的有，故选B试题难度：三颗星知识点：乘方法比较大小5.下面四个结论正确的是( )A.>B.<C.<D.<答案：C解题思路：在A选项中，不等号两边都是两个根式相加的形式，因此比较与：，，故，A选项错误；在B选项中，分母有理化可得：，，且，因此B选项错误；在C选项中，作差可得：，因此C 选项正确；在D选项中，因为，，所以，，因此D选项错误．试题难度：三颗星知识点：作差法比较大小6.,,的大小关系是( )A.<<B.<<C.<<D.<<答案：B解题思路：比较与：，，因此；比较与：，因此．试题难度：三颗星知识点：乘方法比较大小二、填空题(共4道，每道10分)7.如图，在数轴上表示数的点可能是点____．答案：P解题思路：因为，所以，所以对应的点应该在3与4之间，并且离4更近．试题难度：知识点：估算无理数的大小8.若的整数部分是x，小数部分是y，则的值是____．答案：1解题思路：因为，所以x＝3，，所以．试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分9.已知与的小数部分分别是a和b，则的值为____．答案：-13解题思路：因为，所以，相应小数部分为；，相应小数部分为．因此，，试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分10.设，的小数部分分别为a，b，则的值为____．答案：-2解题思路：因为，因此，．试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分。
巧用方法比较根式的大小二次根式是八年级上学期的重要内容，而比较根式的大小是必须掌握的根式问题。
在解答这类问题时，有些学生感觉有点困难。
如果不顾题目的特征而盲目地运用方法，那么题目运算量大，计算难度也大，并且非常容易出现错误。
其实，只要根据不同根式的特点采取相适应的方法，就能做到既简捷又准确。
现举例如下：一、比较形如a与c的形式的大小，把因式移入根号内，变为比较被开方数的大小这种方法是比较根式大小的基本方法。
例如：比较15和11的大小解：15＝11＝∵2475＞1815∴15＞11二、把两数平方后，先比较它们的平方的大小，再比较根式的大小这种方法是比较根式大小的一种常用的方法。
例如：比较＋与的大小解：∵（＋）2＝7＋2＝7＋（）2 ＝10＝7＋7＋＞7＋∴＋＞要特别注意：当两数都为正数时，它们的大小关系与平方后的大小关系是一致的，两数为负数时，则与平方后的大小关系相反。
如：比较－与-的大小解：（－）2＝10－2＝10－（-）2＝5＝10－（－）2＜（-）2∴－＞-三、将两数求差，再将其差与0进行比较1、如果a－b＞0，则a＞b；2、如果a－b＝0，则a＝b；3、如果a－b＜0，则a＜b。
例如：比较与的大小解: －＝＝＜0∴＜三、将两数相除，看商是否大于11、如果＞1，则a＞b；2、如果＝1，则a＝b；3、如果＜1，则a＜b。
例如：比较（＋）10 与（8＋2）5 的大小解：＝＝＝（）5 ＞15＝1∴（＋）10 ＞（8＋2）5四、把分母或分子进行有理化后再进行比较例如：⑴比较与的大小解：∵＝＝4＋＝＝6＋∴＜⑵比较－与－的大小解：∵（－）（＋）＝14－13＝1－）（＋）＝13－12＝1∴（－）（＋）＝（－）（＋）又∵＋＞＋∴－＜－将⑴中分母进行有理化；⑵中两式相当于把分子进行有理化，这样很容易得出比较结果。
五、选取合适的中间数，比较各数与中间数的大小，从而得出比较结果例如：比较与0.53的大小解∵＞10.53＜1∴＞0.53总之：比较根式的大小的方法有很多种，我们在学习中根据题目特征，巧用方法，就能使许多问题迎刃而解。
知识点 1 实数的概念及分类1．整数和________统称为有理数；____________叫无理数；有理数和无理数统称为________．分类：(1)按定义分类 实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数负分数有限小数或 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数 小数 (2)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数⎩⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数【名师提醒】1、任何分数都是有理数，如23，－45等；2、常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.1010010001……；③π及含π的数，如π，π＋4等．3、2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
4、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数.提分必练：下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点2 实数的相关概念1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，互为相反数的两 个数（除0以外）分别位于数轴上原点的两侧， 且到原点的距离__________。
3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，倒数是它本身的数是___，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离 的 距离叫做这个数的绝对值。
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 。
化简绝对值的公式： |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ （a ≥0），（a<0），一对相反数在数轴上的对应点到原点的距离相等，因此它们的绝对值__________。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】提分必练：1.－12的绝对值的相反数是( )A .12B ．－12C ．2D ．－2 2.－2015的相反数是________． 3．|－8|的倒数是________．知识点 3 科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成________或_______的形式(其中________≤|a|<________，n 为整数)，这种记数法称为科学记数法．例如574000记作________，－0.000737记作________．2.精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用________表示：近似数一般由________取得，________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.3746精确到0.001或精确到千分位是________.4.46万是精确到________位．提分必练：已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为( )A ．1.239×10－3g /cm 3 B ．1.239×10－2g /cm 3C ．0.1239×10－2g /cm 3D ．12.39×10－4g /cm 3 【方法点拨】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a 和n 的值． (1)a 值的确定：1≤|a|<10； (2)n 值的确定：A ．当原数大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；B ．当原数大于0且小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；知识点 4 数的开方1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。
最全初三数学知识点归纳最全初三数学知识点归纳在日复一日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺收集整理的最全初三数学知识点归纳，希望能够帮助到大家。
最全初三数学知识点归纳篇1邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
最全初三数学知识点归纳篇21垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
2有关圆周角和圆心角的性质和定理①在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式：θ=L/2πr×360°=180°L/πr=L/r弧度即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
3有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内?a href=// target=_blank>性病M饨釉苍残氖侨?切胃鞅叽怪逼椒窒叩慕坏悖?饺?切稳?龆サ憔嗬胂嗟?②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.⑤运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析.1 .公式法【例1】【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 •观察特征法［例2】计算：宀；.-，即得分子，于是可以简解如下:A T 的系［例 4】化简 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观 察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以_73(2 + V2-76)_^【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.(1)【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个 因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子， 这就启示我们可以用如下解 法：=(妇 _ 亦)二_ 卑)=1+ 1【解】①原式■■■'"_ : _「- -"- ■:【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简•但是，不难发现②式分子中 数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了 ！因此，②可以解答如下：=1十 R【解】②原式■---T /X -1 1 - \fx-\ )(7x + i + 7x -+1 -3 •运用配方法【解】•••【解】原式宀【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“4 •平方法[例 5】化简 7=6-濟+ 2棉-岡»禺心隐=12 + 2#-35 =... "二一丄•二 \【解后评注】对于这类共轭根式 -；■■'■'与-；■■'-的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5•恒等变形公式法【例6】化简上—二d【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式 応：“?',则使运算简化.【解】原式=[^ +（72-76）f + [73-（72-76）f=2[（凋2+ 価-屈=2X（3+8-4A/3）=22-虻6 •常值换元法[例7】化简-I' ■' /. L1. 丄一】-】【解】令卜二一一：，则：原式=J（, + 3住沪匚光匸2）+ ]=+ +1（/ + 3 j +1=花? +% + [f= ?+3d+l=1998J+3x1998+1■ 39979997 •裂项法1--- 1 1 A1 + ---- + -------------- +A + --------------------- 【例8】化简■ ' - ■■■ ■- . .【解】原式各项分母有理化得原式一厂 / I 匸」「肓.^1 •，—=【例9】化简2+ 2々烦 4 + 2価+ 価炉廁*+側術+兀加岳）【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：1111+ + +^7+710 2 + V7 A/13+ A/W 4+ A/13価-历+尼—屈-履亠4-历~3~ ~ 3 3= l(^0-A/7 + 77-2 + 7i3-# + 4-^) = |8 •构造对偶式法旳+ 2 + J/ -4 * 旳+ 2 + J, -4【例10】化简' ■ 宀—-'* ［丨宀''【解】构造对偶式，于是没a =?s +2 + 7^ -4 ,b =幷+ 2-J* _4则.? ■ ：丨•，二：■，：「:, ■-■ : :Tda b=一 + —•原式 1 一：ab ab2=^+2-2=9•由里向外，逐层化简理.io .由右到左，逐项化简【例ii］化简【方法导引］原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.【解］原式=如0 J2 + J2 + ©719943 =1994而二. .J19 丽995)1 = /199坯加99「1卩1 = = 1996••原式1,1 1: 1| - ■【解后评注］对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处【例1】比较 二与二的大小【解后评注】本解法依据是：当【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键， 由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.返回二次根式大小比较的常用方法二次根式的化简具有极强的技巧性， 而在不求近似值的情况下比较两个无理数 （即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性， 对初中生来说是一个难点， 但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用.1 •根式变形法【解】将两个二次根式作变形得久芳二疗石F 陌，5石二T?对F 厉•••」；•••尸：丁 即- 7 - .3.■: |，.「〕【［时，①?，则 f 卍；②若.；■-：'，2 •平方法【解】'J - ：：：，'■- ? -|：：【解后评注】本法的依据是：当」|，i -时，如果「一‘ -1，则」，如果，3 •分母有理化法【例2】比较 的大小73 + 1【解】•••利用分母的大小来判断通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小.2 ]【例3】比较」一 - 1与7的大小22（遐+ 1）柘-1 ［^3 -1］（A /3 +1）又•••匸 I:.7 1在比较两个无理数的差的大小时， 我们通常要将其进行分子有理化, 其倒数的大小.7W -./13 =____ : ___ < _____ ___ _后丽 714+^/13 .而 715-,/14<714-./135 •等式的基本性质法 【例5】比较二 J 与上的大小1 _ -72+1於i 仮t ］（血+1）= 72+1【例4】比较 陌■庶与価-厉的大小715-^/14［解］阿血+何_ 1715+./14+斥4 •分子有理化法【例6］比较【解法 1］v ■' ' 1 “ 厂」' 厂176-75 + (./6 + 75)= 76+76又-S+同=12 + 27^ = 12 + 2 極.U即■.'■'■■. - J 1' •」」【解后评注］本解法利用了下面两个性质：①都加上同一个数后，两数的大小关系不变•② 非负底数和它们的二次幕的大小关系一致.【解法2］将它们分别乘以这两个数的有理化因式的积，得(/7-76)^ + ^76+75) = 76+75（76-同5 + 屆协 + ^） = J7 + 76【解后评注］本解法的依据是：都乘以同一个正数后，两数的大小关系不变.6 •利用媒介值传递法【解］••• ：—「， 「：••• '■ ' ■■-"，右【例7】比较血叮「与“匸；的大小【解后评注】适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较.7 •作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①一：「「一—」一r ；②一；J.-.；' 一:根+ ].血.巧B十1卜柘(Vi +1)[解】*=W^j>0与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当…-，i ■时，则：彳〉lea〉& 巴〈1 台a①」：②」【例8】比较-」」与匸"匸的大小.［解］:•/11 .二:：「〔—’I［解后评注］得上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解•有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解岀正确的结果.二次根式的化简与计算的策略与方法二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式八：（_；［］,二）③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.⑤运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析.1 .公式法ab -b2【例1 ］计算①【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便.2 •观察特征法2屈十翻-3屈［例2】计算：宀；-■；'【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下:一屈2十庞-屈一厲【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.罷:壬Jx + 1 + 2』斗-\(1) J 八一1 \ (2)，…「7 (；)【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简•但是，不难发现②式分子中1的系数若为“ 1”，那么原式的值就等于“ 1” 了！因此，②可以解答如下:【解】②原式I - •.匚”- Jx-1)(J 兀+1)(/兀亠 i _…也二冷+肝3 •运用配方法【例4】化简'' ■'【解】原式—九汀丿，寸宀【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“4 •平方法付6_后+ J6十辰］［解】•••丿6「后+ 2址6-后］（6+侮）+ 6+ 愿= 12 + 2^-35 = ^14... ... - - ■■: \【解后评注】对于这类共轭根式 -；与，二的有关问题，一般用平方法都可以进行化简5•恒等变形公式法【例6】化简上—二―工【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式-汀'.Iv- * ，则使运算简化.【解】原式=［鸽+ 9-刷+［炉佢-屈f=2 ⑹ + 価-同］=2x(3 + 8-473)= 22-8^6 •常值换元法【例7】化简-I' ■' /. L1. 丄一】-】【解】令I'1.--.＜，则：原式=J牡+ 2)+1=4轻 +3^)+1=花2 +% + lf二/+%+1 二1998：+3x1998+1-39979997 •裂项法个分数的分子【例 8】化简「二 叮-丫 ' ■.'4 ' : JJ【解】原式各项分母有理化得原式一厂［丨下匸」 「肓 .'^1•，— 丁2 + 2^ + 710 4 + 2^/13 + ^10（乐怖你側⑷+质用+岳）【方法导引】 这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：■电+ V7）十（仍代）亠丽+屈二R +曾）【解】原式^^1111= ----------- -- + ------------ + ----------------- + -------------^7+710 2 + 7? 辰価 4 + ^/13TW-A /7 历-2 A /13-,/10 4-713= --------------- + ---------- + ------------------ + ------------3 3 3 3= ^（710-^+77-2 + 713-# + 4^/13）= |8 •构造对偶式法w +2 + C -4 ?i +2 + 朋 -4【例10】化简一亠- ■J-;【解】构造对偶式，于是没a =幷 +2 + J, ,b 二丹+【例9】化简原式则「一一 _.丨—一一；, --■=丹+2_2=舟9 •由里向外，逐层化简J 1998 J1997 阪?J1995 瓦 1993 + 1 + “ 1 + 1[解】...匚丁心：‘ ：…■.7199? = 1994J199云1995「+1 = J[19 药可。
比较二次根式大小的常用技巧二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，掌握一些常见的方法对学习有很大的帮助和促进作用．一、被开方数比较法例1．比较与解：将两个二次根式作变形得====，7545>>，∵∴即<解法归纳：先把根号外的因数移至根号内，当00a b>>，时，①a b>>；②若a b<，则<二、平方比较法例2．比较解：((221812==，，1812>>，∵∴.解法归纳：当00a b>>，时，如果22a b>，则a b>，如果22a b<，则a b<．三、分母有理化法通过运用分母有理化，利用分子的大小来判断其倒数的大小．例3．的大小．解:2111====+∵，又11>∵，>∴．四、分子有理化法在比较两个无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，利用分母的大小来判断其倒数的大小．例4．-与解:1414+==∵==又>>0∵，<∴<.五．利用媒介值传递法例5．33的大小． 解:2336<<+<∵∴， .又91036<<>，∵∴．33<∴．适当选择介于两个无理数之间的媒介法，利用数值的传递性进行比较． 六、作差比较法在对两数进行大小比较时，经常运用如下性质：①a b a b ->0⇔>；②a b a b-<⇔<0．例6．的大小．解:110--==>∵，>∴七、求商比较法与求差比较法相对应的还有一种比较的方法，即作商比较法，它运用的是如下性质，当00a b>>，时，则：①aa bb>1⇔>；②aa bb<1⇔<．例7．比较5-2+的大小．解:5351313---==-=-1213<<，∵0131<-<，∴52-<+∴综上所述，含有根式的无理数大小的比较往往可采用多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．。
比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。
方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。
因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。
注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。
方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。
对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。
方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。
当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。
因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。
方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。
对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。
因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。
方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。
通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。
方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。
因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。
这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。
方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。
《二次根式的大小比较》教学设计一、教学目标知识与技能：1.对二次根式的概念有更深一步的理解；2.了解并掌握两个一般二次根式的大小比较的一般方法；3.学会合理利用不同的方法比较两个二次根式的大小。
过程与方法：1.通过利用被开方数比较法进一步理解二次根式的化简过程；2.通过对几种方法的使用，明确数学解题方法的多样性。
情感态度价值观：培养学生根据不同问题合理选择解决问题的方法，了解问题解决方法的多样性。
二、教学重难点重点：利用被开方数比较法、作差法、作商法比较两个一般二次根式的大小关系。
难点：根据题目实际合理选择比较的方法。
三、教过过程（一）、教学引入（直接导入）：在前面的学习中，我们学习了二次根式的概念、二次根式的基本性质以及如何将一个二次根式化简成为最简二次根式。
接下来，我们来思考一个问题：给我们两个二次根式，我们该如何判断他们的大小关系？（二）、教学目标分析：帮助学生明确本节课的重点任务。
（三）、温故知新：问题1.实数的大小比较；学生回答：正数大于0,0大于负数。
在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点所表示的数。
问题2.学生回答：代表12的算术平方根。
问题3.什么叫最简二次根式？学生回答：不能再化简。
教师补充：被开方数不能有分母；二次根式的分母中不能含有根号。
问题4.学生回答化简结果。
教师引导学生进行思考：如何比较（四）思路分析：1、比较两个二次根式的大小，可以先比较他们的被开方数的大小，所以我们可以直接将被开方数拿出来比较。
2、由不等式的基本性质，若两数的差是正数，则为大数减小数。
所以，可以将两个二次根式作差进行比较。
3、根据分数的概念，若分数的值大于1，则分数的分子大于分母。
所以，可以对两个二次根式作商进行比较。
（五）、探究活动：活动一：利用被开方数比较法（平方法）比较两个二次根式的大小。
12<18，所以32 或：212，218，所以32教师总结：通过将二次根式变换为某数的算术平方根或者对二次根式进行平方来得出被开方数，然后再进行比较。
处理二次根式的方法
申建春
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1995(000)005
【摘要】(本讲适合初中) 数学竞赛中,有关二次根式的问题很多,本文仅就有关二次根式问题的解法向读者作一介绍。
1 定义法
【总页数】3页(P3-5)
【作者】申建春
【作者单位】湖南邵东杨桥杨塘中学 422827
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结 [J], 李开铜
2.例谈二次根式比较大小的方法 [J], 张永军
3.二次根式大小比较的几种方法 [J], 万元华;丁冬
4.解决二次根式问题中的数学思想方法 [J], 陈亮
5.“二次根式”中的数学思想方法 [J], 许根云
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二次根式大小比较的几种方法二次根式的大小比较，除了掌握实数大小比较的法则外，还需掌握一定的技巧，下面介绍几种二次根式大小的比较方法与技巧。
一、 比差法要比较两个二次根式的大小，可以让这两个根式相减，视其差值的正负就可以判断它们的大小：若0>-b a ，则b a >；若0<-b a ，则b a <；若0=-b a ，则b a =。
例1， 比较35-和32-的大小 解：∵()()01293233235<-=-=+-- ∴3235+<-“比差法”是一种常用的比较方法，一般说如果两个二次根式出现某些同类二次根式，就要考虑采用这种方法。
二、 比商法如果a 、b 都是正实数，若1>b a ，则b a >；若1<ba ，则b a <；若1=b a ，则b a =。
例2， 比较的大小与2557解：∵2557=125282528>= ∴2557> 三、 化同法先将两个二次根式化为一个数的算术平方根，根据被开方数的大小，就可以判断两个根式的大小。
例3， 比较31527与的大小 解：∵6373= 60152=，而6063> ∴15273>这种方法适用于两个单个二次根式的比较或一个根式与一个有理数的比较。
四、 平方法就是先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即，若0>a ，0>b ，且22b a >，则b a >；若0<a ，0<b ，且22b a >，则b a <。
例4， 比较的大小与87105++ 解：∵0105>+ 087>+ 而50215)105(2+=+56215)87(2+=+ 又5621550215+<+ ∴22)87()105(+<+ ∴87105+<+ 对于根式d c b a ±±与，若d c b a +=+，可用此法。
对于进行大小比较的二次根式，通常是不易直接计算其值的，那么怎样才能正确、灵活地解答这类问题呢？下面向同学们介绍几种方法。
一、根号外因式内移法
根据：口＞６＞ｏ。
则√口＞√乱
例ｌ比较３√２和２√５的大小。
解：３压＝瓜，２店＝湎．
・．－瓜＜厕，．・．３在＜２压
二、平方法
根据：ａ＞Ｏ，厶＞０，若扩＞厶２，则口＞６；若口２＝６２，＿贝！ｌ口＝６；若口２＜６２，则口（ｋ
例２比较后＋再和在＋属的大小。
解：・．・压＋万＞ｏ，在＋屈＞ｏ，
又（厣＋矗）２＝８＋２邝，（在＋佰）２＝８＋２巾．
・．‘邝＞佃，．・．（居＋扫）２＞（压＋屈）２．
辫５＋６＞压＋嫡．
・２２・
厢一万＝照铲＝赤，
、１６’ｔｓｔ６七４ｓ
又・．・后＋２＜佰＋后，
．・．；Ｌ＞去，即居一２＞厢一压
０５＋２０６＋０５
八、化同次根式法
当两个根式的根指数不同时，先化成同次后，再进行大小比较。
例８比较筘和压的大小。
解：・．・扣＝两，居＝征；，
又・．・瓶＜拼晒，
７．扫＜届．
练一练
∽＋石驰砺２・赤镑；
３．０一尽耶一再；４．ｒｊ与一再；
５小在与２在．６．鲽与等
（答案：１．＞；２．＞；３．＜；４．＞；５．＜；６．＜．）
・２５・。
比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是数学中常见的一种数形式，可以写成形如根号下a的形式，其中a是一个非负实数。
在比较二次根式大小时，可以使用一些巧妙的方法来简化计算和判断。
下面将介绍几种比较二次根式大小的巧妙方法：1.平方比较法：对于非负实数a和b，如果a>b，则a的平方大于b的平方，即a^2>b^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a>b，那么根号下a的值大于根号下b的值。
这种方法适用于比较两个非负实数的根号值大小。
例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，计算3的平方和2的平方，得到3^2=9和2^2=4、由于9>4，可以得出根号下3>根号下22.平方和比较法：对于非负实数a、b和非负整数n，如果a^2+b^2>(a+n)^2，则a^2+b^2大于(a+n)^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a^2+b^2>(a+n)^2，那么根号下a的值大于根号下(a+n)的值。
这种方法适用于比较一个非负实数和一个非负整数之和的平方和与平方的大小。
例如，要比较根号下7和根号下6+1的大小：首先，计算7和(6+1)^2，得到7和(6+1)^2=7和49、由于7<49，可以得出根号下7<根号下6+13.有理化分子法：对于非负实数a和b，可以使用有理化分子法将二次根式的分子有理化，然后比较分子的大小。
有理化分子的基本原理是将根号a的分子乘以根号a的共轭形式，即分子为a，分母为1、例如，有理化分子根号3的过程为：根号3*根号3=3、然后，可以比较有理化分子后的值的大小。
例如首先，有理化分子根号下3得到3，有理化分子根号下2得到2、因此，可以得出根号下3>根号下24.二次根式近似法：对于无法直接比较大小的二次根式，可以将其转化为十进制近似值，然后比较近似值的大小。
使用计算器或其他计算工具可以方便地进行这种近似计算。
例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，使用计算器计算根号下3的近似值为1.732，根号下2的近似值为1.414、由于1.732>1.414，可以得出根号下3>根号下2总之，比较二次根式大小可以使用平方比较法、平方和比较法、有理化分子法和二次根式近似法等巧妙方法。
二次根式大小比较的常用方法1.利用平方根的性质：如果两个数的平方根相同，那么这两个数一定相等。
即对于任意正实数a和b，如果√a=√b，则a=b。
利用这个性质，我们可以对二次根式进行大小比较。
2.化简二次根式：利用二次根式的性质，我们可以将二次根式化简为最简形式。
例如，对于√2和√3，我们可以将它们化简为√6和√3，然后比较它们的大小。
通常情况下，我们将二次根式化简为含有最小素数因子的形式，这样可以更容易比较大小。
3.平方根的分子分母相等法：对于二次根式的大小比较，我们可以通过比较它们的分母。
如果分母相等，那么我们可以通过比较分子的大小来确定二次根式大小的关系。
例如，对于√5和√2，我们可以将它们分别表示为(√5)/(√1)和(√2)/(√1)，由于分母相等，在分子的大小比较中，√5大于√2，因此√5大于√24.乘法法则：对于以二次根式为因子的乘法式，我们可以通过乘法法则来确定它们的大小关系。
根据乘法法则，如果一个数的平方大于另一个数的平方，那么这个数就大于另一个数。
例如，对于√3和√5来说，我们可以将它们相乘得到√15和√1，由于15大于1，所以√15大于√1、通过这个乘法法则，我们可以对多个二次根式的大小进行比较。
5.通过比较被开方数的大小：被开方数的大小也决定了二次根式的大小关系。
例如，对于√7和√5来说，我们可以通过比较7和5的大小来确定它们的大小关系。
由于7大于5，所以√7大于√5、这个方法适用于对没有公共因子的二次根式进行大小比较。
在实际运用中，我们可以根据需要选择合适的方法进行二次根式大小比较。
有时候需要结合多种方法来确定二次根式的大小关系。
熟练掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解二次根式的性质和进行大小比较。
比较二次根式大小的巧妙方法
一、移动因式法
将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较的大小。
解：
＞
∴＞
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。
此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较与的大小。
解：∵，
＞0，＞0
∴＜
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较与的大小。
解：
∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较与的大小
解：∵
＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。
求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①
同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。
②异号：正数大于负数”来比较与的大小。
例5：比较的大小。
解：∵
＜∴＜
例6：比较的大小。
解：∵＞1
∴＞
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。
例7：比较的大小。
解：∵
＞
∴＜
七、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较与的大小。
解：设，则：
＝1，＝
∵＜1，∴＞
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。
例10：比较的大小。
解：设，
∵，7＜＜8，即7＜＜8
，8＜＜9，即8＜＜9
∴＜，即＜
例11：比较与的大小。
解：∵＞
∴＞
十、“结论”推理
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（
＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
例12：比较1与的大小。
解：∵，
由＞（＞＞0）可知：
＞
即＞
又∵＞
∴＞，即1＞
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“＞（＞＞0）”的证明。
证明：∵，，
＞
∴＞（＞＞0）。
