方法技巧.二次根式的大小比较

比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。

例如，比较√5和√7的大小。

由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。

例如，比较√3和√8的大小。

由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。

例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。

由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。

四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。

例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。

通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。

例如，比较√3和√2的大小。

可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。

当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。

初中数学比较二次根式大小的八种方法本文介绍了八种比较含二次根式大小的方法，包括平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等。

其中，作商法是比较二次根式大小的常用方法之一，特别适用于由分母和分子两部分组成的二次根式。

此外，还有分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法等方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。

例如，对于比较6＋11与14＋3的大小，可以使用平方法，计算它们的平方，然后比较大小。

对于比较a＋1/a＋2与a＋2/a＋3的大小，可以使用作商法，计算它们的商，然后比较与1的大小关系。

对于比较15－14与14－13的大小，可以使用分子有理化法，将它们的分子有理化后再比较大小。

对于比较11/(2－3)与3/(3－2)的大小，可以使用分母有理化法，将它们的分母有理化后再比较大小。

对于比较19－12/33与1/3的大小，可以使用作差法，将它们相减后再比较大小。

对于比较已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n的大小，可以使用倒数法，将它们的倒数比较大小。

对于比较x，x^2，x(0<x<1)的大小，可以使用特殊值法，找到一个特殊值，代入比较。

对于比较5－a与a－6的大小，可以使用定义法，将它们的定义式代入比较。

总之，比较含二次根式大小需要根据具体情况选择合适的方法，灵活运用各种方法可以得到简洁的解法。

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同时，文章中存在明显的错误和不完整的段落，需要删除。

以下是对原文的修改和改写：题目11：已知 n + 3 + n + 1.n + 2 + n，求证 x < y。

解：将式子化简得 n。

-2，因此 x。

-2.又因为 x + y。

0，所以 y。

-x。

综合两式得 x < y。

题目：已知 5 - a ≥ 1/2，求证 a - 6 < 0.解：将不等式两边同时减去 1/2，得 9/2 - a ≥ 0.因为 9/2.4，所以a ≤ 4.又因为 a - 6 < a - 5 ≤ -4 + 5 = 1，所以 a - 6 < 0.题目3：该段落不完整，删除。

八年级数学下册12.1二次根式二次根式大小比较的常
用方法素材新版苏科版
二次根式的化简具有极强的技巧性，而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性，对初中生来说是一个难点，但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．
1．根式变形法．
【例1】比较35与53的大小．
【解】将两个二次根式作变形得35＝5×32＝45，52×3＝53＝75；
∵75＞45；∴75＞45，即35＜53．
【解后评注】本解法依据是：当a＞0，b＞0时，①a＞b，则a＞b；
②若a＜b，则a＜b．
2．平方法．
【例2】比较32与23的大小．
【解】（32）2＝18，（23）2＝12．
∵18＞12；∴32＞23．
【解后评注】本法的依据是：当a＞0，b＞0 时，如果a2＞b2，则a＞b，如果a2＜b2，则a ＜b．
另外根式的无理数大小的比较往往可采用：分母有理化法、分子有理化法、等式的基本性质法、作差比较法、求商比较法等多种方法，来求解．有时还需各种方法配合使用，其中根式变形法，平方法是最基本的，对于具体的问题要作具体分析，以求用最佳的方法解出正确的结果．
1。

二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。

本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。

例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。

2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。

例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。

例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。

例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。

2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。

例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。

3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。

例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。

综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。

掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。

巧用方法比较根式的大小二次根式是八年级上学期的重要内容，而比较根式的大小是必须掌握的根式问题。

在解答这类问题时，有些学生感觉有点困难。

如果不顾题目的特征而盲目地运用方法，那么题目运算量大，计算难度也大，并且非常容易出现错误。

其实，只要根据不同根式的特点采取相适应的方法，就能做到既简捷又准确。

现举例如下：一、比较形如a与c的形式的大小，把因式移入根号内，变为比较被开方数的大小这种方法是比较根式大小的基本方法。

例如：比较15和11的大小解：15＝11＝∵2475＞1815∴15＞11二、把两数平方后，先比较它们的平方的大小，再比较根式的大小这种方法是比较根式大小的一种常用的方法。

例如：比较＋与的大小解：∵（＋）2＝7＋2＝7＋（）2 ＝10＝7＋7＋＞7＋∴＋＞要特别注意：当两数都为正数时，它们的大小关系与平方后的大小关系是一致的，两数为负数时，则与平方后的大小关系相反。

如：比较－与-的大小解：（－）2＝10－2＝10－（-）2＝5＝10－（－）2＜（-）2∴－＞-三、将两数求差，再将其差与0进行比较1、如果a－b＞0，则a＞b；2、如果a－b＝0，则a＝b；3、如果a－b＜0，则a＜b。

例如：比较与的大小解: －＝＝＜0∴＜三、将两数相除，看商是否大于11、如果＞1，则a＞b；2、如果＝1，则a＝b；3、如果＜1，则a＜b。

例如：比较（＋）10 与（8＋2）5 的大小解：＝＝＝（）5 ＞15＝1∴（＋）10 ＞（8＋2）5四、把分母或分子进行有理化后再进行比较例如：⑴比较与的大小解：∵＝＝4＋＝＝6＋∴＜⑵比较－与－的大小解：∵（－）（＋）＝14－13＝1－）（＋）＝13－12＝1∴（－）（＋）＝（－）（＋）又∵＋＞＋∴－＜－将⑴中分母进行有理化；⑵中两式相当于把分子进行有理化，这样很容易得出比较结果。

五、选取合适的中间数，比较各数与中间数的大小，从而得出比较结果例如：比较与0.53的大小解∵＞10.53＜1∴＞0.53总之：比较根式的大小的方法有很多种，我们在学习中根据题目特征，巧用方法，就能使许多问题迎刃而解。

二次根式比较大小的方法和技巧
本文介绍二次根式比较大小的方法和技巧．目的是使同学们能熟练地掌握二次根式的运算法则，并掌握一些处理问题的方法和解题技巧，从而提高解题能力．
一、被开方数比较法
这个方法是基本方法，即若a>0,b>0且a>b,则a b
>，仅举一例供大家体会．例1 先把根号外的因数移至根号内
二、平方比较法
∴先平方后再比较
三、求差比较法
要比较a与b的大小，只需比较a-b与零的大小即可，其步骤是(1)作差；(2)变形；(3)与零比；(4)作结论．
例3 设a>b>c>d,且x ab cd,y ac bd,z ad bc
=+=+=+，比较x，y，z
的大小．
四、求商比较法
若A，B同号，要比较A，B 的大小，只需A
B与1比较即可，其步骤是：（1）作商；(2)
变形；(3)与1比；(4)作结论．
五、有理化分子法
六、逆用公式法
例6 设a1003997,b1001999,c21001
===a，b，c的大小．
解∵a＞0，b＞0，c＞0，
类似地，有
七、插入一个中间数法
解∵3＞2，
河北正定中学赵建勋。

比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。

因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。

方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。

因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。

注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。

方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。

对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。

方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。

当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。

因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。

方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。

对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。

因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。

方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。

通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。

方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。

因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。

这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。

方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。

比较二次根式大小的几种方法比较含有二次根式的式子的大小，如果不允许查表和使用计算器，会感到棘手，因此在学习中掌握几种比较的方法是非常必要的。

一、移动法把根号外的非负因式移到根号内比较被开方数大小。

例1. 比较62和53的大小。

解：因为6226722=⨯= 5335752=⨯=所以6253<.二、平方法例2. 比较72和63的大小.解：因为()72492982=⨯= ()633631082=⨯=所以 7263<.三、作差法例3. 比较225-和52-的大小. 解：因为()()22552225523225---=--+=-又因为()()3218252022== 所以 322532250<-< 所以 22552-<-四、配方法 例4. 比较8215-和1263-的大小.解：82155215353-=-+=-12639227333-=-+=-因为53< 所以8251263-<-五、分子或分母有理化例5. 比较76-和65-的大小.解：因为76-()()=-++767676 =+17665-()()=-++656565=+165因为 7665+>+所以 7665-<-.例6. 比较176-和152-的大小. 解：将分母有理化因为17676-=+， 15252-=+ 因为 7654+>+ 所以 176152->-六、借助中间值比较法例7. 比较52+和371-的大小.解：因为53<所以525+< 因为376> 所以 3715-> 所以 52371+<-七、缩放法在解题时，有时则需要将某个式子适当地放大或缩小，进行比较。

例8. 比较()323-与32的大小.解：()32332333332-=+<+=. 所以 ()32332-<.例9. 比较18981+与20011-的大小.解：因为189811849143144+>+=+= 2001145144-<-=所以 1898120011+>-.。

专训2比较二次根式大小的八种方法比较二次根式的大小是数学中常见的问题。

在本文中，将介绍八种常见的方法来比较二次根式的大小。

这些方法包括化简、通过比较系数、平方、提取公因数、借助图像、使用近似值、利用性质、以及使用不等式。

通过掌握这些方法，可以更加灵活地处理二次根式的大小关系问题。

第一种方法是化简。

化简是将二次根式转化为最简形式，并比较它们的系数和根号中的数值来判断大小关系。

例如，对于√2和√3，可以将它们分别化简为1.414和1.732，然后进行比较。

在进行比较时，可以直接比较这些数的大小。

第二种方法是比较系数。

对于形如a√b和c√d的二次根式，可以通过比较a和c的大小来判断它们的大小关系。

如果a>c，则a√b>c√d；如果a=c，则需要比较b和d的大小；如果a<a，则a√b<c√d。

第三种方法是平方。

如果对于正实数a，有a²>b，则√a>√b。

这个性质可以推广到二次根式的比较中。

例如，对于√5和2，可以计算它们的平方分别为5和4，可以得出结论√5>2第四种方法是提取公因数。

如果两个二次根式的根号中的数值相同，可以将它们提取出来，然后比较系数的大小。

例如，对于√3和2√3，可以将它们都提取出√3，然后比较系数的大小，可以得出结论2>1，即2√3>√3第五种方法是借助图像。

可以将二次根式的值表示在数轴上，并比较它们在数轴上的位置来判断大小关系。

例如，可以将√2和√3在数轴上表示出来，并比较它们的位置关系。

第六种方法是使用近似值。

可以利用计算器或其他工具将二次根式近似为小数，然后直接比较这些小数的大小。

例如，可以近似计算出√2≈1.414和√3≈1.732，然后比较它们的大小。

第七种方法是利用性质。

可以利用二次根式的性质来进行推导和比较。

例如，可以利用开方的非负性质来判断二次根式的大小关系，即对于非负实数a，有√a>0。

第八种方法是使用不等式。