冀教版-数学-八年级上册-二次根式比较大小的方法和技巧

比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。

例如，比较√5和√7的大小。

由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。

例如，比较√3和√8的大小。

由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。

例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。

由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。

四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。

例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。

通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。

例如，比较√3和√2的大小。

可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。

当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。

16．1.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1．重点：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a （a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a （a ≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a 有意义吗？ 老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y +．例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材P5 1，72．选用课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．-7B ．37C ．xD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B ．5 C ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1．a （a ≥0） 2．a 3．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：x=5．2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时，23x x +＋x 2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-416.1.2 二次根式(2)教学内容1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 教学目标理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键1．重点：a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2=a （a ≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a （a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a ）2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a （a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a （a ≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以（a ）2=a （a ≥0）例1 计算 1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32，（35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56，（72）2=22(7)724=． 三、巩固练习计算下列各式的值：（18）2 （23）2 （94）2 （0）2 （478）2 22(35)(53)-四、应用拓展例2 计算1．（1x +）2（x ≥0） 2．（2a ）2 3．（221a a ++）2 4．（24129x x -+）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 （1x +）2=x+1（2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221a a ++=a 2+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129x x -+）2=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：1．a （a ≥0）是一个非负数；2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P5 2，6，82．选用课时作业设计．第二课时作业设计 一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（-3）2=________．2．已知1x +有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（126）2 （4）（-323）2 (5) (2332)(2332)+- 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0） 3．已知1x y -++3x -=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3 （3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-6 2．（1）5=（5）2 （2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2 （4）x=（x ）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=81 4.（1）x 2-2=（x+2）（x-2）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x+3）（x-3） (3)略16.1.3 二次根式(3)教学内容2a ＝a （a ≥0）教学目标理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1．重点：2a ＝a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立． 教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式； 2．a （a ≥0）是一个非负数； 3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知（学生活动）填空：22=_______；20.01=_______；21()10=______；22()3=________；20=________；23()7=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．因此，一般地：2a =a （a ≥0） 例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4（3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？ （3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0； （2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展． 六、布置作业1．教材P 5习题16． 3、4、6．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计 一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）．A ．0B ．23 C ．423D ．以上都不对 2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A ．2a =2()a -≥-2a B ．2a >2()a ->-2a C ．2a <2()a -<-2a D ．-2a >2a =2()a - 二、填空题1．-0.0004=________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a •的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。

二次根式比较大小的方法和技巧
本文介绍二次根式比较大小的方法和技巧．目的是使同学们能熟练地掌握二次根式的运算法则，并掌握一些处理问题的方法和解题技巧,从而提高解题能力．
一、被开方数比较法
这个方法是基本方法，即若a>0,b〉0且a〉b,则a b
>，仅举一例供大家体会．
例1 先把根号外的因数移至根号内
二、平方比较法
∴ 先平方后再比较
三、求差比较法
要比较a与b的大小，只需比较a—b与零的大小即可,其步骤是(1)作差；(2）变形；（3)与零比;(4)作结论．
例3 设a>b〉c〉d，且x ab cd,y ac bd,z ad bc
=+=+=+
，比较x,y,z的大小．
四、求商比较法
若A，B同号，要比较A，B 的大小，只需A
B与1比较即可，其步骤是:(1)作商；(2)变形；(3）与1比;（4）
作结论．
五、有理化分子法
六、逆用公式法
例6 设a1003997,b1001999,c21001
=+=+=，试比较a，b,c的大小．
解∵a＞0，b＞0，c＞0，类似地，有
七、插入一个中间数法解∵3＞2,。

专训1 比较二次根式大小的八种方法名师点金：二次根式的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法．较常见的比较方法有：平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法等．平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．作商法2．比较4－3与2＋3的大小．分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．分母有理化法4．比较12－3与13－2的大小．作差法5．比较19－13与23的大小．倒数法6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．特殊值法7．用“<”连接x ，1x，x 2，x.(0<x<1) 定义法8．比较5－a 与3a －6的大小．答案1．解：因为(6＋11)2＝17＋266，(14＋3)2＝17＋242，17＋266＞17＋242，所以(6＋11)2>(14＋3)2. 又因为6＋11>0，14＋3>0， 所以6＋11＞14＋ 3.2．解：因为4－32＋3＝(4－3)(2－3)＝11－63，63≈10.39， 所以11－63＜1.又因为4－3>0，2＋3>0，所以4－3＜2＋ 3.3．解：因为15－14 ＝（15－14）（15＋14）15＋14＝115＋14， 14－13 ＝（14－13）（14＋13）14＋13＝114＋13， 且15＋14＞14＋13，15＋14>0，14＋13>0， 所以115＋14<114＋13，即15－14＜14－13.4．解：因为12－3＝2＋3，13－2＝3＋2，2＋3＞3＋2， 所以12－3＞13－2. 5．解：因为19－13－23＝19－33，19－3>0，所以19－33>0.所以19－13>23. 6．解：1x ＝1n ＋3－n ＋1＝ n ＋3＋n ＋12＞0， 1y ＝1n ＋2－n＝n ＋2＋n 2＞0. 因为n ＋3＋n ＋1＞n ＋2＋n ＞0，所以1x ＞1y ＞0.所以x ＜y. 7．解：因为0＜x ＜1，所以不妨取特殊值x ＝14，则x 2＝116，x ＝12，1x＝4. 所以x 2＜x ＜x ＜1x. 8．解：因为5－a ≥0，所以a ≤5.所以a －6＜0.所以3a －6＜0.所以5－a ＞3a －6.初中数学试卷桑水出品。

冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识基础上，进一步对根式的学习。

本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算。

通过学习二次根式，学生能够更深入地理解实数的概念，提高解决问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习，使学生掌握二次根式的相关知识，为后续学习二次根式的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等知识，具备了一定的数学基础。

但部分学生对根式的理解可能还停留在表面，对二次根式的定义和性质不够清晰。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导，使学生能够真正理解并掌握二次根式的相关知识。

三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的定义和性质；2.运用案例分析法，讲解二次根式的运算方法；3.利用实践操作法，让学生在实际问题中运用二次根式。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT；2.准备充足的练习题；3.准备与教学内容相关的案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

例如，计算一个物体的高度，可以利用二次根式求解。

通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——二次根式。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义和性质。

首先，通过PPT展示二次根式的表达形式，让学生了解二次根式的基本结构。

然后，解释二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。

在这个过程中，注意引导学生参与讨论，提问学生对二次根式的理解，及时解答学生的疑问。

3.操练（20分钟）讲解二次根式的运算方法。

二次根式的化简与比较大小二次根式是数学中常见的一种形式，它可以表示为根号下一个数的形式。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和比较大小的操作。

本文将探讨二次根式的化简和比较大小的方法。

一、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。

最简形式是指分子和分母互质，且分母不含根号的形式。

1. 化简含有相同根号的二次根式当二次根式中含有相同根号时，可以将它们合并为一个根号下的数。

例如，化简√3 + √3。

由于√3 + √3 = 2√3，所以√3 + √3可以化简为2√3。

2. 化简含有不同根号的二次根式当二次根式中含有不同根号时，可以尝试将其化简为一个根号下的数。

例如，化简√2 + √8。

首先，我们可以将√8写成√(2 × 4)，即√(2 × 2 × 2)。

然后，我们可以将√2 + √(2 × 2 × 2)化简为√2 + 2√2，即3√2。

二、二次根式的比较大小比较二次根式的大小时，可以使用以下方法：1. 平方比较法平方比较法是将二次根式的平方进行比较。

由于平方是非负数，所以比较二次根式的平方可以得到它们的大小关系。

例如，比较√5和√7的大小。

首先，我们可以计算它们的平方，即5和7。

由于5小于7，所以√5小于√7。

2. 通分比较法通分比较法是将二次根式的分母进行通分，然后比较分子的大小。

通分后，分母不再含有根号，可以直接比较分子的大小。

例如，比较√3/√2和√5/√2的大小。

首先，我们可以将分母通分为2，得到√3/2和√5/2。

由于√3小于√5，所以√3/2小于√5/2。

三、综合运用在实际问题中，我们常常需要综合运用化简和比较大小的方法来解决问题。

例如，我们需要比较√3 + √2和√5的大小。

首先，我们可以将√3 + √2化简为√6。

然后，我们可以比较√6和√5的大小。

由于6大于5，所以√6大于√5。

因此，√3 +√2大于√5。

又如，我们需要比较√3 - √2和√5的大小。

冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》是学生在掌握了实数、有理数、无理数等基础知识后的进一步学习。

这部分内容主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。

通过这部分的学习，学生能够更好地理解实数体系，提高解决实际问题的能力。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维和运算能力。

但部分学生对二次根式的理解可能还存在困难，因此在教学过程中需要关注这部分学生的学习情况，加强引导和辅导。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲授法、引导法、实践法、讨论法等多种教学方法，关注学生的学习情况，充分调动学生的积极性，引导学生主动探索、积极思考。

六. 教学准备1.教学课件；2.练习题；3.教学用具（如黑板、粉笔等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引发学生对二次根式的兴趣，如：求一个正方形的对角线长度。

引导学生回顾实数、有理数、无理数等基础知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过举例让学生理解二次根式的含义，掌握二次根式的基本性质。

如：√4=2，√9=3，√a2=|a|等。

3.操练（15分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如：√16+√25，√9−√4等。

教师引导学生总结运算规律，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）通过解决实际问题，运用二次根式进行计算，如：一个正方体的体积是64立方厘米，求它的棱长。

让学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

5.拓展（10分钟）讲解二次根式的混合运算，引导学生掌握混合运算的顺序和法则。

比较二次根式大小的8种方法要比较二次根式的大小，我们可以使用以下八种方法：方法一：使用绝对值对于任意两个正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

这是因为二次根式对应的数值是非负数，而且二次根式是单调递增的。

因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其数值，然后使用绝对值比较大小。

方法二：使用二次根式的平方对于任意正实数a和b，如果a>b，则a²>b²。

因此，我们可以比较二次根式的大小，先计算其平方，然后比较平方的大小。

注意这种方法只适用于非负的二次根式，对于负二次根式需要使用其他方法。

方法三：使用分数形式将二次根式转换为分数形式可以更直观地比较大小。

对于任意正实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

通过将二次根式转换成相同的分母，我们可以直接比较分子的大小。

方法四：使用当量形式对于任意非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

但对于负实数，我们需要使用当量形式来进行比较。

当a和b都是负数时，如果a>b，则√a<√b。

因此，在比较负二次根式大小时，我们需要将其写成当量形式。

方法五：使用图形方法可以通过绘制二次根式的图形来比较大小。

对于平方根函数√x来说，当x增大时，其图像也增大。

因此，我们可以绘制二次根式的图像，并观察两个二次根式的位置关系，从而比较其大小。

方法六：使用近似值如果我们只是需要大致比较二次根式的大小，而不需要精确值，可以使用近似值来进行比较。

通过计算二次根式的近似值（如保留小数点后两位），然后比较近似值的大小，可以得到二次根式大小的一个估计。

方法七：使用指数运算对于任意正实数a和b以及正整数n，如果a>b，则aⁿ>bⁿ。

因此，我们可以将二次根式的指数提取出来，然后比较指数运算的结果。

这种方法适用于有多项式表达式中的二次根式。

方法八：使用代数方法对于给定的二次根式，我们可以使用代数方法将其转化为有理数。

冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生掌握二次根式加减的运算方法，发展学生的逻辑思维能力。

本节内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和乘除运算的基础上进行学习的，为以后学习更复杂的数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本性质，能进行二次根式的乘除运算。

但学生在进行二次根式的加减运算时，容易出错，对运算规则理解不深。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生理解二次根式加减的运算规则，并通过大量的练习，巩固所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的加减运算方法，能正确进行二次根式的加减运算。

2.过程与方法：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让学生体验到数学的乐趣。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减运算方法。

2.难点：理解二次根式加减的运算规则，并能灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次根式加减的运算规则。

2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式加减的运算规则，培养学生的自主学习能力。

3.练习法：通过大量的练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式加减运算的课件，用于课堂演示。

2.练习题：准备适量的练习题，用于课堂练习和课后巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例，引导学生思考二次根式加减的问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件，呈现二次根式加减的运算规则，引导学生发现并理解规则。

3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式加减的运算练习，及时纠正学生的错误，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师继续提供练习题，让学生独立完成，检查学生的掌握情况。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式加减在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。

冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等基础知识之后，进一步研究根式的一章。

这一节内容主要包括二次根式的概念、性质和运算。

通过学习这一节内容，学生能够更深入地了解根式，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于二次根式这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和讲解来理解和掌握。

同时，学生对于根式的运算可能也存在一些困惑，需要通过练习和讲解来加深理解。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.过程与方法：通过实例和讲解，培养学生观察、分析和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

五.说教学方法与手段1.采用启发式教学法，引导学生主动思考和探索。

2.通过实例和讲解，帮助学生理解和掌握二次根式的概念和性质。

3.通过练习和讲解，引导学生掌握二次根式的运算方法。

4.利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，增加课堂的趣味性和生动性。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次根式的概念，激发学生的兴趣。

2.新课导入：讲解二次根式的概念和性质，通过实例让学生理解和掌握。

3.课堂练习：让学生通过练习，加深对二次根式的理解和掌握。

4.二次根式的运算：讲解二次根式的运算方法，让学生通过练习掌握。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生巩固记忆。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出二次根式的概念和性质，以及运算方法。

可以设计一些图示和，帮助学生理解和记忆。

八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习情况和课堂反馈来进行。

比较二次根式大小的8种方法比较大小是学习数学过程中经常会遇到的，通常用到的方法就是作差法，但是有时要对两个数进行大小的比较，仅仅用作差法是不行的，那怎么办呢？别担心，本节整理的8种比较大小的方法，如果你能全掌握，那就可以对比较大小的题目通吃”了，这8种方法不仅适用于二次根式大小的比较，对于其他数的大小比较也适用。

当然，本节是结合二次根式比较大小的题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小的比较，又掌握了8种比较大小的方法，可谓收获良多。

接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法：平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一：平方法……根号内的数相加为同一个数时。

平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。

方法一平方法L比较>用+/7与√14+√3的大小. 解:T(√⅛+ √TΓ)2 = 17 + 2 V66, (∕14÷√⅛)2 = 17÷2 √42,17÷2 √66>17 + 2 /42÷Λ(√6 + √TΓ)a>( √14÷√3)^/-√6+ √11 >√14+vX方法二：作商法向1靠拢，化同类项。

作商法是把要比较大小的两个数相除， 根据除得的商来判断原来数值的大小， 除 得的商分大于1 ,等于1,或小于1。

方法二作商法>Q UL + 2>0 ΛV ^±1 ⅛∕c +2 M+3 V z o ÷2 方法三：分子有理化法... 根号内的数差为同一个数时，将分子化 1 ,比分母。

分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的， 通过对分子有理化来判断出 大小，再确定原数值的大小。

2.比较7?石+2 忘“与石后的大小解 √<ι + 1 . √Z Λ + 21 ）（、d +3） « + 4 √Λ ÷3 皿+2 .« ÷3方法三分子有理化法3.比较J15—∖A1 与√ 14一√33的大小.解：√115 - ./14 =-/15-->∕14) ( y^15+ √^14) _λ∕l5÷ /41/5 +√l4t√14 --√13 = J吊-/Hb(√⅞¾+√⅞)=1√14÷ /13√14÷13*V√15+ √14>√14+ /13, √15+ √14>0^κΛ4十帀>°√i5+√i4*^√14+√i3,'^'2+√3>√3+√2∙” 1 、11 _ ............. ”一： k Szs三: aaassa—^BBaSaaSsa⅛⅛⅛2 — J3 \^3—庞方法四：分母有理化法方法分母有理化法丄比较的大小*解二詁乃聖厉"谆... 根号内的数相似，化同为目标。

比较二次根式大小得8种方法比较大小就是学习数学过程中经常会遇到得,通常用到得方法就就是作差法,但就是有时要对两个数进行大小得比较,仅仅用作差法就是不行得，那怎么办呢?别担心，本节整理得8种比较大小得方法,如果您能全掌握,那就可以对比较大小得题目“通吃”了,这８种方法不仅适用于二次根式大小得比较，对于其她数得大小比较也适用。

当然,本节就是结合二次根式比较大小得题型来讲述这8种方法，既学会了二次根式大小得比较,又掌握了8种比较大小得方法，可谓收获良多。

接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小得8种方法:平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一:平方法……根号内得数相加为同一个数时。

平方法就是对要比较大小得两个数先平方,根据平方后数据得大小来确定原数得大小。

方法二:作商法……向1靠拢,化同类项。

作商法就是把要比较大小得两个数相除，根据除得得商来判断原来数值得大小,除得得商分大于1,等于1，或小于1。

方法三:分子有理化法……根号内得数差为同一个数时,将分子化1,比分母。

分子有理化法就是专门针对二次根式比较大小来说得,通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值得大小。

方法四:分母有理化法……根号内得数相似,化同为目标。

分母有理化就是通过对二次根式乘以有理化因式后,将原来得二次根式化简成最简二次根式再比较大小。

方法五:作差法(最常用）作差法就就是将比较大小得两个数相减，根据所得得差来瞧两数得大小,也就是平时比较大小最常用得方法。

方法六：倒数法倒数法就就是先求出原数倒数得大小，再根据倒数得大小来确定原来数值得大小。

方法七：特殊值法特殊值法就就是通过对比较大小得代数式子赋特殊值得方法来确定大小得方法。

方法八：定义法以上就就是比较二次根式大小得8种方法，其中第５种最常用!这8种方法您掌握了几种呢？。

比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是数学中常见的一种数形式，可以写成形如根号下a的形式，其中a是一个非负实数。

在比较二次根式大小时，可以使用一些巧妙的方法来简化计算和判断。

下面将介绍几种比较二次根式大小的巧妙方法：1.平方比较法：对于非负实数a和b，如果a>b，则a的平方大于b的平方，即a^2>b^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a>b，那么根号下a的值大于根号下b的值。

这种方法适用于比较两个非负实数的根号值大小。

例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，计算3的平方和2的平方，得到3^2=9和2^2=4、由于9>4，可以得出根号下3>根号下22.平方和比较法：对于非负实数a、b和非负整数n，如果a^2+b^2>(a+n)^2，则a^2+b^2大于(a+n)^2、因此，对于任意非负实数a和b，如果a^2+b^2>(a+n)^2，那么根号下a的值大于根号下(a+n)的值。

这种方法适用于比较一个非负实数和一个非负整数之和的平方和与平方的大小。

例如，要比较根号下7和根号下6+1的大小：首先，计算7和(6+1)^2，得到7和(6+1)^2=7和49、由于7<49，可以得出根号下7<根号下6+13.有理化分子法：对于非负实数a和b，可以使用有理化分子法将二次根式的分子有理化，然后比较分子的大小。

有理化分子的基本原理是将根号a的分子乘以根号a的共轭形式，即分子为a，分母为1、例如，有理化分子根号3的过程为：根号3*根号3=3、然后，可以比较有理化分子后的值的大小。

例如首先，有理化分子根号下3得到3，有理化分子根号下2得到2、因此，可以得出根号下3>根号下24.二次根式近似法：对于无法直接比较大小的二次根式，可以将其转化为十进制近似值，然后比较近似值的大小。

使用计算器或其他计算工具可以方便地进行这种近似计算。

例如，要比较根号下3和根号下2的大小：首先，使用计算器计算根号下3的近似值为1.732，根号下2的近似值为1.414、由于1.732>1.414，可以得出根号下3>根号下2总之，比较二次根式大小可以使用平方比较法、平方和比较法、有理化分子法和二次根式近似法等巧妙方法。

二次根式大小比较的常用方法1.利用平方根的性质：如果两个数的平方根相同，那么这两个数一定相等。

即对于任意正实数a和b，如果√a=√b，则a=b。

利用这个性质，我们可以对二次根式进行大小比较。

2.化简二次根式：利用二次根式的性质，我们可以将二次根式化简为最简形式。

例如，对于√2和√3，我们可以将它们化简为√6和√3，然后比较它们的大小。

通常情况下，我们将二次根式化简为含有最小素数因子的形式，这样可以更容易比较大小。

3.平方根的分子分母相等法：对于二次根式的大小比较，我们可以通过比较它们的分母。

如果分母相等，那么我们可以通过比较分子的大小来确定二次根式大小的关系。

例如，对于√5和√2，我们可以将它们分别表示为(√5)/(√1)和(√2)/(√1)，由于分母相等，在分子的大小比较中，√5大于√2，因此√5大于√24.乘法法则：对于以二次根式为因子的乘法式，我们可以通过乘法法则来确定它们的大小关系。

根据乘法法则，如果一个数的平方大于另一个数的平方，那么这个数就大于另一个数。

例如，对于√3和√5来说，我们可以将它们相乘得到√15和√1，由于15大于1，所以√15大于√1、通过这个乘法法则，我们可以对多个二次根式的大小进行比较。

5.通过比较被开方数的大小：被开方数的大小也决定了二次根式的大小关系。

例如，对于√7和√5来说，我们可以通过比较7和5的大小来确定它们的大小关系。

由于7大于5，所以√7大于√5、这个方法适用于对没有公共因子的二次根式进行大小比较。

在实际运用中，我们可以根据需要选择合适的方法进行二次根式大小比较。

有时候需要结合多种方法来确定二次根式的大小关系。

熟练掌握这些方法，可以帮助我们更好地理解二次根式的性质和进行大小比较。

冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.3《二次根式的加减运算》这一节主要介绍了二次根式加减运算的法则，并通过实例来展示如何运用这些法则进行计算。

本节内容是学生在学习了二次根式的性质和乘除运算后的进一步拓展，对于学生理解和掌握二次根式的运算规律，提高解决实际问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了二次根式的基本知识和运算方法，对于本节课的内容，他们需要将已知的知识进行运用和拓展，学会如何进行二次根式的加减运算。

然而，学生在运算过程中可能会遇到一些困难，如根式的合并、系数的选择等，因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解运算规律，帮助他们克服这些困难。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次根式的加减运算法则，能够熟练地进行二次根式的加减运算。

2.过程与方法：通过实例讲解，让学生学会如何运用运算法则，提高解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心，使他们在学习过程中感受到数学的美妙。

四. 说教学重难点1.教学重点：掌握二次根式的加减运算法则，能够正确进行二次根式的加减运算。

2.教学难点：理解二次根式加减运算中的系数选择和根式合并的方法。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、示范法、练习法等教学方法，结合多媒体课件和黑板，引导学生逐步掌握二次根式的加减运算。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次根式的性质和乘除运算，引出本节课的内容——二次根式的加减运算。

2.讲解新课：讲解二次根式的加减运算法则，并通过实例展示如何运用这些法则进行计算。

3.课堂练习：让学生独立完成一些二次根式的加减运算题目，巩固所学知识。

4.总结提升：对本节课的内容进行总结，强调运算法则和注意事项。

5.课后作业：布置一些有关的课后练习，让学生进一步巩固二次根式的加减运算。

七. 说板书设计板书设计如下：15.3 二次根式的加减运算1.同号相加，系数相加，根式不变；2.异号相减，系数相减，根式不变；3.合并同类项，系数相加减，根式不变。

15.3二次根式的加减运算教学目标【知识与能力】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的加减运算法则.【教学难点】能正确地计算二次根式的加减法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)2√5与√20的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】计算下列各式.(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)y+2y+3y;(4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图]复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.导入二:【课件2】一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是√5米,第二块草坪的长是20米,宽也是√5米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:10√5+20√5等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.[设计意图]从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)√2+√3呢?(3)√2+√2呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.二、新知构建：活动一:二次根式的加减运算思路一 1.试着做做【课件3】 计算下列各式.(1)5√3+2√3; (2)√12+√75; (3)6√7-√17. 2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么? 3.你能试着解决它们吗?解:(1)5√3+2√3=(5+2)√3=7√3.(2)√12+√75=2√3+5√3=(2+5)√3=7√3. (3)6√7-√17=6√7-17√7=(6-17)√7=41√77.归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?4.像5√3和2√3,3√a 和2√a ,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关. 5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变. [设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系. 思路二(针对导入三)说理:事实上,如果√2+√3=√5,那么√2+√2=√4,而√4=2,也就是说√2+√2=2,这显然是错误的.提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?(12+13=15)(2)那么√2+√2到底等于多少呢?√2+√3呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.计算:√18+√32-√50.解:√18+√32-√50=3√2+4√2-5√2=(3+4-5)√2=2√2.上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用. 活动二:例题讲解 【课件4】计算下列各式. (1)2√3-3√12+5√27;(2)√8+√0.5-(√0.2-√132).先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.解:(1)原式=2√3-6√3+15√3=11√3. (2)原式=2√2+√12-( √15-14√12)=2√2+√22-√55+√28=21√28-√55. 说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.请同学们完成下面两道题.【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式. (1)2√28-3√63+5√49; (2)√24+√16-( √56+√0.96).引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成. 提示:(1)35-5√7. (2)53√630-√306. 【课件6】计算下列各式.(1)2√12-3√13-√27; (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13). 提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗? (2)能否将它们化简呢? 学生自主完成.解:(1)2√12-3√13-√27=4√3-√3-3√3=0. (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13)=4√3-10×√55-3×(3√5-√33)=4√3-2√5-9√5+√3=5√3-11√5.总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+√5=2√5是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如2 3√2+5√2=173√2,不能写成523√2.(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:[设计意图]通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.三、课堂小结：1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.2.二次根式的加减法的步骤:(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;(3)合并被开方数相同的最简二次根式.。

二次根式大小比较九法在学习二次根式时，常会碰到这样一类题，不查表，不求二次根式的值，來比较几个二次根式的大小.不少同学在解答这类题时缺少方法与对策.因此，介绍一些二次根式大小比较的技巧是很有必要的.一般地，几个二次根式的大小，除了能直接比较的以外，主要有以下九种方法.一、移因式于根号内的比较法730 =-二、平方比较法平方法要注意根号内代数式的正负.例2 •比较77和1 +历的大小.解W）2=7（1 +丽）2 = 4 + 2馆7与4+2需各减去4,得：3和2厲32 = 9,（2馅）2 = 12因9<12,故3<2馅，即7<4+2馅・•・丽<1 +馆三、求差比较法例3・己知巾=3-巧，b = ^-2, C=5-2AJ^,则弘b, c的大小顺序是A. a >b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>c>a解T a- c= 3- （5- 2^/5）= A/5-2>0 ・•・ a>cXc —b= 5- 2j5-（巧-2） = 7-3^>0c>b 故得a>c>b,选（B）.四、求商比较法求商法要注意根式的符号.例4比较5 -語与2 + 的大小.…5-語=Q-希）（2-希）阱.2 + £ _ （2 + 循）（2 _ 羽）= 13-773而0<13 - 7馅=13- 7M7<13-TM4 = 15-/3/. ^-^<1,即5—馅<2+厲2 + J3五、例数比较法例5 若Dl, P = A/1993^-71993a-1, q= 71993a-1 _ 71993a,r= 71993^-V1993a + 1,s = 71993a + l-71993a.则P，q, r, s中取值最小的一个是[]A. pB. qC. rD. s解显然p>0, s>0, q<0, r<0.故只需比较q与r的大小.・・丄= _______ 1 _______■ q ~ 71993a-1-71993a_ 71993a-1 +71993a~ G/1993a-l -^/1993^）（71993a-1 + 71993^）=-(71993a-1 + V1993a) r 71993a-71993a-1=-(71993a + 71993a+ 1)而71993a-1 + Vl 993a <V1993a + 71993a+ 1故.*.q<rHPq<小，选(E)・q r六、分子有理化法例6比较2庞-后和襄-2的大小・解2血-衣_ (2強-虧)(2=应+后)V6 + 2V22近+汞庁° （來-2）（來+ 2） 2 M6 _ N = 尸 =46 + 22 + 76 •.•2強+來〉2 +馬七、传递比较法例彳比较厉+2与妬-2的大小. 解显然75<3, V57>7.则有75+2<5, 757-2>5二^+2<^57-2 ・八、设辅助未知数比较法则宀辟时而共返故器塔5.3 3^2 + 43九、放缩法• 0 j • • x 43例9.己知n> 0, tt 较TiTI-2石与1 的大小. 解 T2 Jn + 1 - 2、R。

二次根式比较大小的方法和技巧
本文介绍二次根式比较大小的方法和技巧．目的是使同学们能熟练地掌握二次根式的运算法则 ，并掌握一些处理问题的方法和解题技巧，从而提高解题能力．
一、被开方数比较法
这个方法是基本方法，即若a>0,b>0且a>b,>
例1 先把根号外的因数移至根号内
二、平方比较法
∴ 先平方后再比较
三、求差比较法
要比较a 与b 的大小，只需比较a-b 与零的大小即可，其步骤是(1)作差；(2)变形；(3)与零比；(4)作结论．
例3 设a>b>c>d,且x y z ===x ，y ，z
的大小．
四、求商比较法
若A，B同号，要比较A，B的大小，只需A
B与1比较即可，其步骤是：（1）作商；(2)
变形；(3)与1比；(4)作结论．
五、有理化分子法
六、逆用公式法
例6
设a b
===
a，b，c的大小．
解∵a＞0，b＞0，c＞0，
类似地，有
七、插入一个中间数法
解∵3＞2，。

比较二次根式大小的8种方法比较大小是学习数学过程中经常会遇到的,通常用到的方法就是作差法，但是有时要对两个数进行大小的比较，仅仅用作差法是不行的，那怎么办呢？别担心，本节整理的8种比较大小的方法，如果你能全掌握,那就可以对比较大小的题目“通吃"了，这8种方法不仅适用于二次根式大小的比较,对于其他数的大小比较也适用。

当然，本节是结合二次根式比较大小的题型来讲述这8种方法,既学会了二次根式大小的比较,又掌握了8种比较大小的方法,可谓收获良多。

接下来就让带大家一起来学习比较二次根式大小的8种方法：平方法、作商法、分子有理化、分母有理化、作差法、倒数法、特殊值法、定义法方法一:平方法……根号内的数相加为同一个数时。

平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。

方法二：作商法……向1靠拢，化同类项。

作商法是把要比较大小的两个数相除,根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。

方法三:分子有理化法……根号内的数差为同一个数时,将分子化1，比分母。

分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。

方法四：分母有理化法……根号内的数相似，化同为目标.分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小.方法五：作差法（最常用）作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。

方法六：倒数法倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。

方法七：特殊值法特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋特殊值的方法来确定大小的方法。

方法八：定义法以上就是比较二次根式大小的8种方法，其中第5种最常用！这8种方法你掌握了几种呢？。