浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 专题九 圆周角定理的综合运用同步测试 (新版)新人教版

浙教版九年级数学同步试卷圆心角圆周角( 3 241 C AB O BAC 20° BOC ( )A20°°C40°D50°2 R R ( ) A3Q°B60°C30° 150°D60° 120°3 AOB 100° ACB ( )A130°B120°C100° D80°4 ABCD A=85° DCE ( )A75°R85°C70° D 5B O A D 80°O AB= BC=2 DA60°B120°C135°D150°6 AB O C AC 2BC()A AC 2BCB AB=2BC C AB=2ACD BC=2AC7A BC D8A BC D(324 )9 A B C O O R AB AC R BAC10、如图，点A， B， C 在⊙ O上，∠ A=25°，∠ B＝ 20°，则∠ AOB＝。

11．如图，⊙ O的直径 AB和弦 CD的延伸线订交于点P，∠ AOC=64°，∠ BOD＝ 16°，则∠ APC的度数为．．b5E2RGbCAP12、如图，点A、 B、 C 在⊙ 0 上，当 AC均分∠ 0CB时，能得出结论：（写出随意两个) 。

13．等腰直角三角形外接圆半径为3，则这个三角形三边的长为14、假如一个三角形的外心是这个三角形两条中线的交点，那么这个三角形的形状是15、弦 BC分⊙O为 l ： 3两部分，⊙ 0的直径等于4，则 BC=。

16、如图圆中弦AB、 CD订交于点E，，则∠ AEC=三、解答题 (17 ， 18 每题 5 分， 19— 25 每题 6 分，共 52 分 )17．如图，在△ABC中， BD、是两条高。

初中数学试卷桑水出品第二十四章圆24.1__圆的有关性质__24．1.1圆[见B本P36]1．下列命题正确的有(C)(1)半圆是弧；(2)弦是圆上两点之间的部分；(3)半径是弦；(4)直径是最长的弦；(5)在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】(1)弧是圆上任意两点间的部分；任意一条直径的两个端点在圆上把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆，因此(1)是正确的命题．(2)弦是连接圆上任意两点的线段，不是圆上两点之间的部分，因此(2)是错误的命题．(3)半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，不是弦．因此(3)是假命题．(4)直径是过圆心的弦，也是最长的弦．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是任意一条不过圆心的弦，连接OC，OD，在△OCD中，OC＋OD>CD，而AB＝OC＋OD，则AB>CD，因此直径是最长的弦．(5)圆心为O，半径为r的圆可以看成由所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形，因此(5)正确．所以(1)，(4)，(5)正确，选C.2．如图24－1－1所示，⊙O中点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为(A)A．2B．3C．4D．5图24－1－1 图24－1－2 图24－1－33．如图24－1－2，P 是⊙O 内的一点，P 到⊙O 的最小距离为4 cm ，最大距离为9 cm ，则该⊙O 的直径为( C )A ．6.5 cmB ．2.5 cmC ．13 cmD ．不可求【解析】 过O ，P 作直径AB ，则AB ＝PA ＋PB ＝4＋9＝13(cm)，故选C.4．图24－1－3中，__AC __是⊙O 的直径；弦有__AB ，BC ，AC __；劣弧有__AB ︵，BC ︵__；优弧有__BAC ︵，BCA ︵__．5．如图24－1－4所示，已知∠AOB ＝60°，则△AOB 是__等边__三角形．图24－1－4图24－1－56．如图24－1－5，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝22°， 则∠COB 的度数等于__44°__．【解析】∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝22°，∴∠BOC＝∠A＋∠C＝22°×2＝44°.7．如图24－1－6，以O为圆心的两个同心圆⊙O，大圆O的半径OC，OD分别交小圆O于A，B两点，求证：AB∥CD.证明：∵OA＝OB，OC＝OD，∴∠OAB＝12(180°－∠O)＝∠C，∴AB∥CD.图24－1－6图24－1－78．如图24－1－7，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE，点C为弧AB上一点，连接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.求证：CD＝CE.证明：∵OA＝OB，AD＝BE，∴OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.在△ODC 和△OEC 中，⎩⎨⎧OD ＝OE ，∠DOC ＝∠EOC ，OC ＝OC ，∴△ODC ≌△OEC ，∴CD ＝CE .9．如图24－1－8所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为．【解析】 连接OA ，构造Rt △OAB ，利用勾股定理，求出AB 的长．设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝CD ＝x ，又∠POM ＝45°，∠DCO ＝90°，∴∠ODC ＝∠POM ＝45°，∴DC ＝OC ＝x ，∴OB ＝2x .在Rt △OAB 中，AB 2＋OB 2＝OA 2，OA＝12MN ＝5，即x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5.图24－1－8图24－1－910．如图24－1－9，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.11．如图24－1－10，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E，F，求EF的长．图24－1－10解：连接OD.∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD.∵OD＝OA，∴EF＝OA＝4.12．如图24－1－11，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是⊙O的弦，且弦DF＝BE.求证：∠B ＝∠D.图24－1－11【解析】连接OF，OE，证明△DOF≌△BOE.证明：如图，连接OE，OF.在△DOF和△BOE中，⎩⎨⎧OF ＝OE ，OD ＝OB ，DF ＝BE ，∴△DOF ≌△BOE (SSS)．∴∠B ＝∠D .13．如图24－1－12所示，已知CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝51°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，求∠A 的度数．图24－1－12【解析】已知∠EOD＝51°，与未知∠A构成了内、外角关系，而∠E也未知，且AB＝OC 这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需连接半径OB，从而得到OB＝AB.解：如图所示，连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠A＝∠1.又∵OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.而∠DOE＝51°，∴3∠A＝51°，∴∠A＝17°.——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。

浙教新版九年级上册《3.5圆周角》2024年同步练习卷（7）一、选择题：本题共1小题，每小题3分，共3分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，AB、CD是的两条平行弦，交CD于E，过A点的切线交DC延长线于P，若，则的值是()A.18B.6C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

2.一圆周上有三点A，B，C，的平分线交边BC于D，交圆于E，已知，，，则______.3.如图，菱形OABC的顶点A、B、C在上，过点B作的切线交OA的延长线于点D，若的半径为5，则线段BD的长为______.4.如图，是的外接圆，AB为的直径，CD平分交AB于点D，CE切于点C，交AB的延长线于点E，若的半径为5，则DE的长为______.5.如图，AB是的直径，AC是弦，的平分线交于点D，于E，过点B作的切线交AD的延长线于F，若，则______.6.如图，中，弦AB、CD相交于点P，若，，，则DP为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

7.本小题8分如图，是的外接圆，AB为的直径，的平分线交于点D，点E在CA的延长线上，且DE为切线.求证：；连接AD，若，，求DE的长.8.本小题8分如图，设是直角三角形，点D在斜边BC上，已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点求证：9.本小题8分如图，是等边的外接圆，点E在边AB上，过E作交于点D、G交AC于点F，若，AE、DE的长都是整数，求DE的长.10.本小题8分如图，已知：AB是的直径，AC是切线，A为切点，BC交于点D，切线DE交AC于点求证：答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图，连接AD、、CD是的两条平行弦，弧弧BD，过A点的切线交DC延长线于P，，交CD于E，，∽，，又，故选：连接AD、根据圆内两条平行弦所夹的弧相等，得弧弧BD，再根据等弧所对的圆周角相等，得，根据弦切角定理，得，则，根据平行线的性质，得，再根据相似三角形的判定得∽，再根据相似三角形的性质即可求解．此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、平行线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定及性质等，综合性较强，是一道好题．2.【答案】【解析】解：的平分线交边BC于D，交圆于E，，，，，，解得：，，故答案为：根据角平分线的性质得出，求出BD与CD的长，再利用相交弦定理求出即可．此题主要考查了相交弦定理以及角平分线的性质，根据角平分线性质得出，是解决问题的关键．3.【答案】【解析】解：连接OB，四边形OABC是菱形，，，，为等边三角形，，是的切线，，，，故答案为：连接OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，进而求出，根据切线的性质得到，根据正切的定义计算，得到答案．本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4.【答案】【解析】解：连接OC，切于点C，，，是直径，，，，，，平分，，，，，，，∽，，设，，，即，解得或舍，，，，故答案为：连接OC，根据切线的性质可证，再根据CD平分，可得，得，由∽，得，设，，可求出x的值，从而解决问题．本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．5.【答案】【解析】解：连接BD，是的直径，，，与相切于点B，，，，，于E，，，的平分线交于点D，，，，，≌，，，设，，则，解关于x的方程得，不符合题意，舍去，，故答案为：连接BD，由AB是的直径，得，则，由BF与相切于点B，证明，则，所以，再证明≌，得，则，设，，则，求得符合题意的x值为，即可求得，于是得到问题的答案．此题重点考查同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出是解题的关键．6.【答案】【解析】解：由相交弦定理得，，，解得，，故答案为：根据相交弦定理列式计算即可．本题考查的是相交弦定理的应用，掌握圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等是解题的关键．7.【答案】证明：连接OD，如图，的平分线交于点D，，，，为切线，，；解：作于H，如图，为的直径，，，，，在中，，，，，，，，，四边形AHDO为正方形，，，，∽，，即，，【解析】连接OD，如图，由于，根据圆周角定理得，则利用垂径定理有，再利用切线的性质得，于是可判断；作于H，如图，根据圆周角定理得，，在中，利用的正切可计算出，接着利用勾股定理可计算出，然后证明四边形AHDO为正方形得到，再证明∽，利用相似比可计算出，最后计算即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．8.【答案】证明：作于E，则，，又是AB的中点，，，，，∽，，而，，即【解析】作于E，由切割线定理：，可证明∽，则，从而得出本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质．9.【答案】解：连接AD、BG，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，由圆和等边三角形的对称性得：，设，，，，∽，，，即，由得：，，、y都是正整数，的值必须是一个完全平方数，，，2，3，4，代入计算可知：只有时，是完全平方数，此时或9；，即【解析】根据等边三角形的性质、平行线的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据相交弦定理得到，根据一元二次方程的求根公式、完全平方数求出y，得到答案．本题考查的是三角形的外接圆、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握等边三角形的判定与性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．10.【答案】解：如图，连接AD，是圆的直径．，则，DE是圆的切线．又【解析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，即可证得是直角三角形，再根据切线长定理即可证得，只要再证得即可．本题主要考查了切线长定理以及等腰三角形的判定定理，正确求证是解决本题的关键．。

浙教版九年级数学上册同步测试：3.5 圆周角一、选择题1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（）A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°8．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）A．B．C．D．9．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°10．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A ．B ．2C ．2D ．411．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于（ ）A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°12．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是（ ）A ．AD=AB B ．∠BOC=2∠DC ．∠D +∠BOC=90° D ．∠D=∠B13．如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．100°15．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20°B．46°C．55°D．70°16．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°17．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD二、填空题18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是．19．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N 两点，则∠APB的范围是．20．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．21．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是．22．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是．23．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．24．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．25．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=．26．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于cm．27．如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB=．三、解答题28．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：郊县人数/万人均耕地面积/公顷A 20 0.15B 5 0.20C 10 0.18求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；（2）先化简下式，再求值：，其中，；（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．29．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．30．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：（1）△AEB∽△OFC；（2）AD=2FO．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

圆周角定理的综合运用一 巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABC D 是⊙O 的内接四边形．求证：平行四边形ABCD 是矩形．图1证明：∠A ＋∠C ＝180 °(圆内接四边形对角互补)又∠A ＝∠C (平行四边形对角相等)∴∠A ＝∠C ＝90 °所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A ＝50°，则∠OCD 的度数是( A )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°图2变形1答图【解析】 如图，连接OB ，∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝2∠A ＝100°.∵OB ＝OC ，∴∠OCD＝∠OBC ＝180°－∠BOC 2＝40°. 如图3，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝__60°__．图3变形2答图【解析】 如图，连接DO 并延长，∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠B ＝∠AOC .∵∠AOC ＝2∠ADC ，∴∠B ＝2∠ADC .∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°，∴3∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°，∴∠B ＝∠AOC ＝120°.∵∠1＝∠OAD ＋∠ADO ，∠2＝∠OCD ＋∠CDO ，∴∠OAD ＋∠OCD ＝(∠1＋∠2)－(∠ADO ＋∠CDO )＝∠AOC －∠ADC ＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__150°__．【解析】 在优弧ADC ︵上取点D ，连接AD ，CD ，∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝30 °. ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝180°－∠ADC ＝180°－30°＝150°.故答案为150°.图4图5如图5，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为( A )A ．35°B ．45°C ．55°D ．75°如图6，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD .解：(1)在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°，又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形；(2)如图，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°.∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝30°.在Rt △BOD 中，∠ODB ＝90°，∠OBC ＝30°，∴OD ＝12OB ＝12×8＝4.图6变形5答图二 圆周角定理与垂径定理的综合(教材P89习题24.1第5题)如图7，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，试确定∠ADC 的大小．图7解：∵OA ⊥BC ，∴AC ︵＝AB ︵，∴∠ADC ＝12∠AOB ＝25°. 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3 cm ，则弦AB 的长为( A )图8A ．9 cmB ．3 3 cmC.92 cmD.332cm 解：∵∠CBA ＝30°，∴∠AOC ＝2∠CBA ＝60°，∵AB ⊥OC ， ∴∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝12×33＝323(cm)， 由勾股定理得：AD ＝OA 2－OD 2＝4.5 cm ，∵AB ⊥OC ，OC 过O ，∴AB ＝2AD ＝9(cm)，故选A.如图9，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为( D )图9 变形2答图A ．215B ．8C ．210D ．213【解析】 ∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB ＝8，∴AC ＝BC ＝4，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r －2，在Rt △AOC 中，∵AC ＝4，OC ＝r －2，∴OA 2＝AC 2＋OC 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，∴AE ＝2r ＝10，连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 中，∵AE ＝10，AB ＝8，∴BE ＝AE 2－AB 2＝102－82＝6，在Rt △BCE 中，∵BE ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.如图10，半圆O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( A )图10 变形3答图A ．4 5 cmB ．3 5 cmC ．5 5 cmD ．4 cm【解析】 连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵∠CAD ＝∠BAD (角平分线的性质)，∴CD ︵＝BD ︵，∴∠DOB ＝∠OAC ＝2∠BAD ，∴△AOF ≌△OED ，∴OE ＝AF ＝12AC ＝3 cm ， 在Rt △DOE 中，，DE ＝OD 2－OE 2＝4 cm ，在Rt △ADE 中，AD ＝DE 2＋AE 2＝4 5 cm ，故选A.如图11，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线E F 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__10.5__．图11 变形4答图【解析】 如图，当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵⊙O 的半径为7，∴GH ＝14.连接OA ，OB .∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴AB ＝OA ＝OB ＝7，∵点E ，F 分别是AC ，B C 的中点，∴EF ＝12AB ＝3.5， ∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝14－3.5＝10.5.故答案为10.5.如图12，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB ＝40°，∠APD ＝65°.(1)求∠B 的大小；(2)已知AD ＝6，求圆心O 到BD 的距离．图12变形5答图解：(1)∵∠APD ＝∠C ＋∠CAB ，∴∠C ＝∠APD －∠CAB ＝65°－40°＝25°.∴∠B ＝∠C ＝25°.(2)如图，过点O 作OE ⊥BD 于点E ，则DE ＝BE .又∵AO ＝BO ，∴OE ＝12AD ＝12×6＝3.∴圆心O 到BD 的距离为3.如图13所示，AB 是⊙O 的一条弦，E 在⊙O 上，设⊙O 的半径为4 cm ，AB ＝4 3 cm ，(1)求圆心O 到弦AB 的距离OD ；(2)求∠AEB 的度数．解：(1)连接OA ，OB .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝2 3 cm. 在Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，∴OD ＝OA 2－AD 2＝16－12＝2 (cm)；(2)Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，OD ＝2 cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.∵OA ＝OB ，OD ⊥AB ，∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴∠AEB ＝12∠AOB ＝60°. 图13图14 如图14，已知在⊙O 中，AB ＝43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，求BD 及OF 的长．解：∵AB ＝43，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，∴BF ＝12AB ＝43×12＝23，AF ＝AB 2－BF 2＝（43）2－（23）2＝6. ∵AC 是⊙O 的直径，∴BD ＝2BF ＝2×23＝4 3.设OF ＝x ，则OB ＝AF －OF ＝6－x ，在Rt △OBF 中，OB 2＝BF 2＋OF 2，即(6－x )2＝(23)2＋x 2，解得x ＝2，即OF ＝2.答：BD 的长是43，OF 的长是2.如图15，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E .(1)若AC ＝16，求AE 的长．(2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AC 与AE 有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上____________________________________________________________________．图15变形8答图解：(1)如图，连接OE ，∵AO 是⊙D 的直径，∴∠OEA ＝90°，∴OE ⊥AC .∵OE 过⊙O 的圆心O ，∴AE ＝CE ＝12AC ＝12×16＝8. (2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AE ＝12AC .人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是( )A ．130°B ．40°C ．90°D ．140°9．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，EF ＝m ，CD ＝n ，则AB 的长是( )A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0；④若|a |>|b |，则a －b a ＋b >0. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________． 12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a△b＝a·b－2a－b＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1.22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。

初中数学试卷桑水出品24．1.3 弧、弦、圆心角 [见A 本P39]1．若AB ︵，CD ︵是同一圆上的两段弧，且AB ︵＝CD ︵，则弦AB 与弦CD 之间的关系是( C ) A ．AB ＜CD B ．AB ＞CD C ．AB ＝CD D ．不能确定【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．2．如图24－1－27所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 为( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°【解析】 易知∠EOB ＝180°－60°＝120°.∵C ，D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ，∴∠COE ＝23∠EOB ，∴∠COE ＝23×120°＝80°.故选C.图24－1－27 图24－1－28图24－1－293．如图24－1－28，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D ，延长OD 交⊙O 于E ，则下列说法错误的是( D )A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOE C.AE ︵＝BE ︵D ．OD ＝DE【解析】 由垂径定理得A ，C 正确．又由AE ︵＝BE ︵得∠AOE ＝∠BOE ，故B 正确，故选D. 4．如图24－1－29，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝( D ) A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°【解析】 ∠AOC ＝180°－∠BOC ＝180°－110°＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠D ＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠A －∠D ＝180°－70°×2＝40°.故选D. 5．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为( B ) A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CD C ．AB ＞2CD D ．不能确定【解析】 如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，则有AB ︵＝CE ︵，∴AB ＝CE .∵CD ＋DE ＝2CD ＞CE ＝AB ，∴AB ＜2CD .6．如图24－1－30，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD＝( B )A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°图24－1－30图24－1－317．如图24－1－31所示，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB ＝60°，那么与线段OA 相等的线段有__OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB __；与AC ︵相等的弧有__CD ︵和DB ︵__． 8．如图24－1－32，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝42°，则∠B ＝__69°__．【解析】 ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝12×(180°－42°)＝69°.图24－1－32图24－1－339．如图24－1－33，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD 交OC于点E，则∠AEO的度数是__67.5°__．【解析】因为OD平分∠BOC，所以∠BOD＝12∠BOC＝12×90°＝45°.因为OA＝OD，所以∠A＝∠D.又因为∠BOD＝∠A＋∠D＝2∠A，所以∠A＝12∠BOD＝12×45°＝22.5°，所以∠AEO＝90°－22.5°＝67.5°.10．如图24－1－34所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB的大小关系是__AC＝CB__．图24－1－34图24－1－3511．如图24－1－35，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为__70__度．【解析】连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝90°－∠B＝55°.∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝55°，∴∠ACD＝180°－2∠A＝70°.12．如图24－1－36，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.求证：(1)∠BAC＝∠BCA；(2)∠ABO＝∠CBO.图24－1－36【解析】(1)在⊙O中，有圆心角∠AOB＝∠BOC，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB＝BC，在△ABC中，AB＝BC，则∠BAC＝∠BCA.(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.(2)∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO，同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，∴∠ABO＝∠CBO.13．如图24－1－37所示，已知AB为⊙O的直径，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥AB，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.图24－1－37第13题答图【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明． 证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD . 又OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ， ∴OM ＝ON ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ， ∴∠COA ＝∠DOB ，∴AC ︵＝BD ︵.14．如图24－1－38所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，连接AB ，BC ，CA .(1)试确定△ABC 的形状； (2)若AB ＝a ，求⊙O 的半径．图24－1－38第14题答图解： (1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，∴AB ＝BC ＝CA (在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC 为等边三角形． (2)如图，连接OA ，OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，垂足为E .∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA (在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)． 又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠COA ＝360°(周角的定义)， ∴∠BOC ＝120°.又∵OB ＝OC ，OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝60°，BE ＝EC ＝12BC ＝12AB ＝12a (等腰三角形三线合一)． ∴∠OBE ＝90°－∠BOE ＝30°.∴OE ＝12OB . 根据勾股定理得BE 2＋OE 2＝OB 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB 2＝OB 2， 解得OB ＝33a (负值已舍)，即⊙O 的半径为33a .15．如图24－1－39，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点．连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD .【解析】 连接OB ，OF ，得到等边△AOB ，△AOF ，据此并结合圆的性质，即可推理出AB ＝AF ＝AO ＝OD ，从而得到AB ＋AF ＝AD .图24－1－39解：连接OB ，OF .∵A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB ＝∠AOF ＝60°，又∵OA ＝OB ，OA ＝OF ，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝AO ＝OD ，∴AB ＋AF ＝AO ＋OD ＝AD .16．已知如图24－1－40，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为多少？图24－1－40第16题答图 【解析】 利用圆的对称性，找到AP ＋BP 取最小值时的P 点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．解：作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，连接BA ′交MN 于P ，连接PA ，则PA ＋PB 最小，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B ，连接OA ，OA ′，OB .∵AN ︵＝13MN ︵，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°.∵AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，即AP ＋BP 的最小值是 2.。

九年级第⼀学期数学上册《圆周⾓》同步练习题及答案--同步练习+专项练习九年级数学上册《圆周⾓》同步练习题及答案同步练习 + 专项练习1 + 专项练习2同步练习⼀、选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°2143OB AC(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的⼤⼩关系是（） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（）．A ．3B ．3+3C ．5-123 D ．5⼆、填空题1．半径为2a 的⊙O 中，弦AB 的长为23a ，则弦AB 所对的圆周⾓的度数是________．2．如图4，A 、B 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．?O BAC2ED(4) (5)3．如图5，已知△ABC 为⊙O 内接三⾓形，BC=?1，?∠A=?60?°，?则⊙O?半径为_______．三、综合提⾼题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三⾓形．（2）若BC=4cm，求⊙O的⾯积．3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上⼀点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆⼼C的坐标．参考答案⼀、1．D 2．B 3．D⼆、1．120°或60° 2．90° 3．3三、1．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，⼜AB AC，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三⾓形．（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂⾜为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x ，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=433．（1）略（2）4，（-23，2）专项练习1◆随堂检测1．如图，图中圆周⾓的个数是( )A．9 B．12 C．8 D． 142．如图，圆∠BOC=100 o，则圆周⾓∠BAC为( )A．100 o B．130 o C．50 o D．80o3．如图，AB为⊙O的直径，点C在QO上，∠B=50 o，则∠A等于( )A．80 o B．60 o C．50 o D．40 o4．如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25o，则∠ACB的⼤⼩为___________．5．如图，等腰三⾓形ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D．则BD的长为___________．◆典例分析如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．第1题第2题第3题第4题第5题分析：所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直⾓三⾓形的直⾓边问题，由于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直⾓三⾓形，⼜因为CD平分∠ACB，所以可得= ，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴= ．在等腰直⾓三⾓形ADB中，点评：利⽤“直径所对的圆周⾓是直⾓”构造直⾓三⾓形解题．◆课下作业●拓展提⾼1．如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2．如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50 o．则∠ADC=_______．3．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30 o，D是AC上任意⼀点，那么∠D的度数是 ( )A．150 o B．120 o C．100 o D．90 o4．如图,?ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30o，则∠CAD等于( )A．30 o B．40 oC．50 o D． 60 o5．如图，∠APC=∠CPB=60 o，请推测△ABC是什么三⾓形，并证明猜想的正确性．第1题第2题第3题6．如图，AD 是?ABC 的⾼，AE 是?ABC 的外接圆的直径．试说明AB ·AC=AE ·AD ．7．如图，点A 、B 、C 为圆O 上的三个点，∠AOB=13∠BOC, ∠BAC=45 o，求∠ACB 的度数．8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上⼀点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂⾜为点D(AD(1)试说明AC 2=AG ·AF ；(2)若点E 是AD(点A 、D 除外)上任意⼀点，上述结论是否仍然成⽴?若成⽴．请画出图形，并给予证明；若不成⽴，请说明理由．●体验中考1．(温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆⼼⾓，∠AOB=80°，则弧AB 所对圆周⾓∠ACB 的度数是( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．80°2．(凉⼭州)如图，O ⊙是ABC △的外接圆，已知50ABO ∠=°，则ACB ∠的⼤⼩为( ) A ．40° B ．30° C ．45° D ．50° 3．(⼭西省)如图所⽰，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则D ∠= 度．4． (宁夏)已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°． (1)求EBC ∠的度数； (2)求证：BD CD =．参考答案◆随堂检测1．B 提⽰：利⽤弧来找圆周⾓ 2．C 提⽰01502BAC BOC ∠=∠= 3．D 提⽰：000AB C 90B 5040A ∴∠=∠=∴∠=直径，，⼜， 4．650提⽰：000BAO OBA 251AOB 130C AOB 652OA OB =∴∠=∠=∴∠=∴∠=∠=，，， 5．011a AD AB ADB=90AD BC BD a 22∴∠∴⊥（提⽰：连接，直径，，，由“三线合⼀”得：=）◆课下作业●拓展提⾼ 1． 500提⽰：0,AC=AB,AOB=2ADC=50AO BC ⊥∴∠∠由垂径定理知：2． 400 提⽰：连接BC ，000AB ACB=90,50,40,BAC ADC ∴∠∠=∴∠=直径，⼜3． B 提⽰：连接BC ，0000AB ACB 90BAC 30ABC 60D ABC 180D=120∴∠=∠=∴∠=∠+∠=∴∠直径，，⼜，由圆的内接四边形性质可知：，4．D5．ABC 解：是正三⾓形，00ABC APC 60BAC=60,ABC ∴∠=∠=∠∴同弧所对的圆周⾓相等，，同理是正三⾓形6．BE 证明：连接，00AB AB C E AE ABE 90AD BC ADC 90ABE ADC ABE ADC AD =AB AC AEAB AC AD AE∴∠=∠∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∴∴∴?=?=，，是直径，，，，，7．解：同弧所对的圆周⾓等于圆⼼⾓的⼀半000BOC 2BAC 901AOB BOC 3031ACB AOB 152∴∠=∠=∠=∠=∴∠=∠=，8．(1)证明：BC 连接，()0002AB ACB B+CAB 90CD AB ACD CAB 90B ACD AC B F F ACD CAG AC AGCAG FAC AC AF AGAF AC2∴∠∴∠∠=⊥∴∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠∴∴=∴=?直径，=90，，，，，，，⼜是公共⾓，，，仍然成⽴●体验中考1． A 提⽰：1B AOB 2AC ∠=∠ 2．A 3．300提⽰：00B 1A 30D B 30∠=∠-∠=∴∠=∠=，4．000000ABC AB=AC ABC C A ABC 67.5AB AEB 90ABE 45EBC 22.5AD AB ,AD DB BD=DC∴∠∠∠∴∠=∠=∴∠=∴∠=∴∠∴⊥∴解：（1）在等腰三⾓形中，，=，=45，直径，，，（2）连接，直径，ADB=90，专项练习2⼀、填空题:1.如图1,等边三⾓形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任⼀点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对⾓线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三⾓形;________对相似⽐不等于1的相似三⾓形.3.已知,如图3,∠BAC的对⾓∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径, BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.⼆、选择题:7.如图7,已知圆⼼⾓∠BOC=100°, 则圆周⾓∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同⼀个圆上,四边形ABCD 的对⾓线把四个内⾓分成的⼋个⾓中,相等的⾓有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的⾓的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R 的圆中有⼀条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周⾓的度数是( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上⼀点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.16.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD.(1)P 是CAD 上⼀点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的⼤⼩关系, 并说明理由. (2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.17.在⾜球⽐赛场上,甲、⼄两名队员互相配合向对⽅球门MN进攻.当甲带球部到A点时,⼄随后冲到B点,)如图所⽰,此时甲是⾃⼰直接射门好,还是迅速将球回传给⼄,让⼄射门好呢?为什么?(不考虑其他因素参考答案1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A8.C9.B10.C11.B12.C13.连接OC 、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°, 故△COD 是等边三⾓形,从⽽CD= 4cm.14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD 是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC 2+CD 2=AD 2,即2AC 2=36,AC 2.15.连接BD,则∴AB 是直径,∴∠ADB=90°. ∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴PD CDPB AB=. 在Rt △PBD 中,cos ∠BPD=PD CD PB AB ==34, 设PD=3x,PB=4x,则=,∴tan ∠BPD=BD PD ==. 16.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB ⊥CD,AB 是直径,∴BC BD =,∴∠COB= ∠DOB.∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD. (2)∠CP ′D+∠COB=180°. 理由如下:连接P ′P,则∠P ′CD=∠P ′PD,∠P ′PC=∠P ′DC.∴∠P ′CD+∠P ′DC=∠P ′PD+∠P ′PC=∠CPD.∴∠CP ′D=180°-(∠P ′CD+∠P ′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 从⽽∠CP ′D+∠COB=180°.17.迅速回传⼄,让⼄射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不⼤,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各⾃对球门MN 的张⾓的⼤⼩,当张⾓越⼤时,射中的机会就越⼤,如图所⽰,则∠A∠A, 从⽽B 处对MN 的张⾓较⼤,在B 处射门射中的机会⼤些.a.。

微专题__圆周角定理的综合运用_一巧作辅助线教材P91作业题第5题)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数．图1 教材母题答图解：如答图，连结DC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角．[2016·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B )A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°图2 变形1答图【解析】如答图，连结OB.∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理得∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.故选B.如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°图3 变形2答图【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°， 根据圆周角定理，得∠BPC ＝12∠BOC ＝45°.如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B ) A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°图4 变形3答图【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上， ∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵，∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B.如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径．图5 变形4答图解：如答图，连结AO ，BO ，AO 交BC 于点D . 则根据垂径定理的逆定理，得OA ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝12.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝5. 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OA －AD ＝r －5. 在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2＋OD 2＝OB 2， 即122＋(r －5)2＝r 2，解得r ＝16.9， 即⊙O 的半径为16.9.如图6，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 交AC 于点D .若∠A ＝30°，OD ＝20，求CD 的长．图6 变形5答图解：如答图，连结BC .∵OD ⊥AB ，∠A ＝30°，OD ＝20，∴AD ＝2OD ＝40，∴OA ＝AD 2－OD 2＝20 3. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝2OA ＝403，且∠ACB ＝90°， ∴BC ＝12AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝60，∴CD ＝AC －AD ＝60－40＝20.二 圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用教材P93作业题第5题)一个圆形人工湖如图7所示，弦AB 是湖上的一座桥．已知AB 长为100 m ，圆周角∠C ＝45°.求这个人工湖的直径．图7 教材母题答图解：如答图，设圆心为O，连结OA，OB.∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，∴OA＝AB2＝502(m)，∴这个人工湖的直径为2OA＝1002(m)．【思想方法】直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．[2016·嘉善模拟]如图8，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE.若CE＝2，则BD的长为．图8 变形1答图【解析】如答图，延长BA，CE交于点M.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，∴△ABD≌△ACM，∴BD＝CM，∵BE平分∠ABC，∴∠EBM＝∠EBC，∵BE＝BE，∠BEC＝∠BEM，∴△BEC≌△BEM，∴EC＝EM，∴BD＝CM＝2CE＝2 2.如图9，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请添加一个条件__AB＝AC或BD＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD__，使△ABD≌△ACD.图9如图10，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，求⊙O的半径．图10 变形3答图解：如答图，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结BD . ∵∠D ，∠C 所对的圆弧都为AB ︵， ∴∠D ＝∠C ＝30°.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°， ∴AD ＝2AB ＝4(cm)，∴AO ＝12AD ＝2(cm)，即⊙O 的半径为2 cm.在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E . (1)如图11①，∠E 的度数为__60°__；(2)如图②，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图③，弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．图11解：(1)如答图①，连结OD ，OC ，BD . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DBC ＝30°， ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－30°＝60°，∴∠E 的度数为60°；(2)补全图形如答图②，直线AD ，CB 交于点E ，连结OD ，OC ，AC . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°， ∵∠DAC ＋∠DBC ＝12×360°＝180°，∴∠DBC＝150°，∴∠EBD＝180°－∠DBC＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°；(3)如答图③，连结OD，OC，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°.①②③变形4答图三圆周角定理的创新应用(教材P92例3)如图12，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝50°.问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？图12解：当张角∠ASB<∠ACB时，船在弓形暗礁区外；当张角∠ASB＝∠ACB时，船在弓形暗礁区边上；当张角∠ASB>∠ACB时，船在弓形暗礁区内，∴要使船保证不进入暗礁区，必须使∠ASB<∠ACB，即∠ASB<50°.【思想方法】由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常用来考查动点问题．如图13，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为( D )图13A.74 B ．1 C.74或1 D.74或1或94【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵在Rt △ABC 中，BC ＝2 cm ，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝4(cm)． ①当∠BFE ＝90°时，∵在Rt △BEF 中，∠ABC ＝60°，则∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2BF ＝2(cm)，∴AE ＝AB －BE ＝2(cm)，∴E 点运动的距离为2 cm 或6 cm ，故t ＝1 s 或3 s ， 由于0≤t ＜3，故t ＝3 s 不合题意，舍去， ∴当∠BFE ＝90°时，t ＝1 s ；②当∠BEF ＝90°时，同①可求得BE ＝12 cm ，此时AE ＝AB －BE ＝72(cm)，∴E 点运动的距离为72 cm 或92 cm ，∴t ＝74 s 或94s.综上所述，当t 的值为1或74或94时，△BEF 是直角三角形．故选D.[2016·山西]请阅读下列材料，并完成相应的任务．阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯学者Al －Biruni(973～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联一家出版社在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．。

初中数学试卷桑水出品24．2.2直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系[见A本P43]1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(B)【解析】∵⊙O的半径r为5，圆心O到直线l的距离d为3，且0＜d＜r，∴直线l与⊙O 的位置关系是相交且直线l不经过圆心．2．已知圆的半径是5 cm，如果圆心到直线的距离是5 cm，那么直线和圆的位置关系是(B) A．相交B．相切C．相离D．内含【解析】d＝r＝5 cm，故选B.3．[2013·青岛]直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(C)A．r＜6 B．r＝6C．r＞6 D．r≥6【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝6，∴r＞6.4．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(D) A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交【解析】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP 不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交，故直线l与⊙O 的位置关系是相切或相交．5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C)A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若圆C 与直线AB 相切，则r 的值为( B )A ．2 cmB ．2.4 cmC ．3 cmD ．4 cm7．在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝10，以C 为圆心，分别以5，52，8为半径作圆，那么直线AB 与圆的位置关系分别为__相离__、__相切__、__相交__．【解析】 C 到AB 的距离d ＝5 2.当d ＝52＞r ＝5时，直线AB 与圆相离；当d ＝52＝r 时，直线AB 与圆相切；当d ＝52＜r ＝8时，直线AB 与圆相交．8．已知⊙O 的面积为9π cm 2，若点O 到直线l 的距离为π cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是__相离__．【解析】 因为⊙O 的面积为9π cm 2，所以⊙O 的半径r ＝3 cm ，而点O 到直线l 的距离d ＝π cm ，所以d ＞r ，所以直线l 与⊙O 相离．图24－2－79．如图24－2－7，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__相交__．【解析】 在Rt △ABC 中，因为∠C ＝90°，∠A ＝60°，所以∠B ＝30°，所以AB ＝2AC .由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＋42＝4AC 2，解得AC ＝433(负值已舍)，所以AB ＝2AC＝83 3.设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC ·BC AB ＝433×4833＝2 cm ＜3 cm ，所以以点C 为圆心，以3 cm长为半径的⊙C与AB的位置关系是相交．10．已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24 cm，以r为半径作⊙P.(1)若r＝12 cm，试判断⊙P与OB的位置关系；(2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．图24－2－8解：过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP＝90°.∵∠AOB＝30°，OP＝24 cm，∴PC＝OP＝12 cm.(1)当r＝12 cm时，r＝PC，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB位置关系是相切．(2)当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r需满足的条件是：0 cm＜r＜12 cm.图24－2－911．如图24－2－9，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－2与⊙O的位置关系是(B)A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能12．如图24－2－10，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点(0，n)．且与直线y＝－n始终保持相切，则n＝__14a__(用含a的代数式表示)．图24－2－10【解析】如图，连接PF.设⊙P与直线y＝－n相切于点E，连接PE.则PE⊥AE.∵动点P在抛物线y＝ax2上，∴设P(m，am2)．∵⊙P恒过点F(0，n)，∴PE＝PF，即m＝2n又∵am2＝n∴n＝1 4a.故答案是1 4a.13．如图24－2－11，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.图24－2－11(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式来表示)； (2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？解：(1)分别过A ，O 两点作AE ⊥CD ，OF ⊥CD ，垂足分别是点E ，F ， ∴AE ∥OF ，OF 就是圆心O 到CD 的距离． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴AE ＝OF .在△ADE 中，∠D ＝60°，∠AED ＝90°，∴∠DAE ＝30°，∴DE ＝12AD ＝12m ，∴AE ＝AD 2－DE 2＝m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝32m ，∴OF ＝AE ＝32m . (2)∵OF ＝32m ，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝10， ∴当OF ＝5时，CD 与⊙O 相切于F 点，即32m ＝5，m ＝1033，∴当m ＝1033时，CD 与⊙O 相切．14．如图24－2－12所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，且AD ＝12BC ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，试问以EF 为直径的圆与BC 有怎样的位置关系．图24－2－12第14题答图解：如图所示，过EF的中点O作OG⊥BC于G，∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF为△ABC的中位线．∴EF＝12BC，即BC＝2EF.又∵OG⊥BC，AD⊥BC，EF是△ABC的中位线，AD＝12BC，∴OG＝12AD＝14BC＝14×2EF＝12EF＝OF.∴以EF为直径的圆与BC相切．15．如图24－2－13所示，点A是一个半径为300 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄间修一条长为1 000 m的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．图24－2－13第15题答图【解析】此题实质上是判断直线BC与⊙A的位置关系．问题的关键是求出点A到直线BC 的距离AH的长，可设AH＝x，在Rt△ABH和Rt△ACH中分别用x表示出BH及CH，然后依据BH＋CH＝BC构建方程求解即可．解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，设AH＝x m.∵∠ABC＝45°，∴BH＝AH＝x m．∵∠ACB＝30°，∴AC＝2x m，由勾股定理可得CH＝3x m.又∵BH＋CH＝BC，BC＝1 000 m，∴x＋3x＝1 000，解得x＝500(3－1)>300，即BC与⊙A相离，故此公路不会穿过森林公园．16．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘侵袭．如图24－2－14所示，近日，A城气象局测得沙尘暴的中心在A城的正西方向240 km的B处，正以每小时12 km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴的中心150 km的范围内为受影响区域．(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？(2)若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？图24－2－14第16题答图解：(1)如图所示，过A作AC⊥BM于C，则AC＝12AB＝120<150，因此A城受到这次沙尘暴的影响．(2)设沙尘暴由B移动到D点时A城刚好受到这次沙尘暴的影响，则AD＝150，DC＝AD2－AC2＝90，那么A城遭受影响的时间为＝2DC12＝2×9012＝15(h)．第2课时切线的判定和性质[见B本P44]1．下列结论中，正确的是(D)A．圆的切线必垂直于半径B．垂直于切线的直线必经过圆心C．垂直于切线的直线必经过切点D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线【解析】根据切线的性质来判断．选项A中，只有过切点的半径才与切线垂直；选项B中，只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项C中，只有垂直于切线的半径才经过切点，所以A，B，C都错误，故选D.2．如图24－2－15，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC＝70°，则∠A等于(B)A．15°B．20°C．30°D．70°【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝20°.图24－2－15图24－2－163．如图24－2－16所示，⊙O与直线AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，若∠BAC＝30°，则∠B等于(B)A．29°B．30°C．31°D．32°【解析】连接OA，则∠OAB＝90°，又∠CAB＝30°，∴∠OAC＝60°.又OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠O＝60°，∴∠B＝30°.4．如图24－2－17所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(A)图24－2－17A．50°B．40°C．60°D．70°【解析】连接OC，∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°，∴∠BOC＝40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，则∠E＝90°－40°＝50°.图24－2－185．如图24－2－18，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(A)A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD6．如图24－2－19，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点C，若∠AOB＝120°，则大圆半径R与小圆半径r之间满足(C)A．R＝3r B．R＝3rC．R＝2r D．R＝22r【解析】连接OC，因为大圆的弦切小圆于点C，所以OC⊥AB，又因为OA＝OB，所以∠AOC＝12×120°＝60°，所以∠A＝30°，所以OA＝2OC，即R＝2r，故选C.图24－2－19图24－2－207．如图24－2－20，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2 cm，∠P＝30°，则PO＝__4__cm.8．如图24－2－21，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝26°，则∠ACB的度数为__32°__．图24－2－21图24－2－229．如图24－2－22，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__AB⊥BC__．【解析】当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，理由是：经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线．10．如图24－2－23，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于B点，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是__6__．图24－2－23图24－2－2411．如图24－2－24，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线．解：(1)连接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.(2)证明：∵BC＝CP，∴.∠CBP＝∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．12．如图24－2－25，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．图24－2－25第12题答图解：(1)直线BD 与⊙O 相切．理由如下：如图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠DAB ＝∠B ＝30°，∴∠ODB ＝180°－∠ODA －∠DAB －∠B ＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD ⊥BD ，∴直线BD 与⊙O 相切．(2)如图，连接CD ，由(1)知，∠ODA ＝∠DAB ＝30°， ∴∠DOB ＝∠ODA ＋∠DAB ＝60°.又∵OC ＝OD ， ∴△DOC 是等边三角形，∴OA ＝OD ＝CD ＝5. 又∵∠B ＝30°，∠ODB ＝90°，∴OB ＝2OD ＝10， ∴AB ＝OA ＋OB ＝5＋10＝15.13．如图24－2－26，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC ＝∠D ＝60°.(1)求∠ABC 的度数； (2)求证：AE 是⊙O 的切线．解：(1)∵∠ABC 与∠D 都是AC ︵所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠D ＝60°.(2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC ＋∠EAC ＝30°＋60°＝90°，即BA ⊥AE ，∴AE 是⊙O 的切线．图24－2－26图24－2－2714．如图24－2－27，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.求证：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△CDB.证明：(1)∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD，∴∠ACO＝∠A＝30°，∠ODC＝∠OCD＝90°－∠ACO ＝60°.又∵BC与⊙O切于C点，∴∠OCB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠OCD＝30°，∴∠B ＝∠ODC－∠BCD＝30°，∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD.(2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，∴AC＝BC，∴△AOC≌△CDB.图24－2－2815．如图24－2－28，△OAC中，以O为圆心、OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA.(1)判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若OA＝5，OD＝1，求线段AC的长．解：(1)∵点A，B在⊙O上，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB.∵∠CAD＝∠CDA＝∠BDO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥CO，∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA＝90°，即∠OAC＝90°，∴AC是⊙O的切线．(2)设AC长为x.∵∠CAD＝∠CDA，∴CD＝AC，即CD长为x.由(1)知OA⊥AC，∴在Rt△OAC中，OA2＋AC2＝OC2，即52＋x2＝(1＋x)2，解得x＝12，即线段AC的长为12.16．如图24－2－29，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB的延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP的值．图24－2－29第16题答图【解析】(1)由PC是⊙O的切线知PC⊥OC，又∠CPA＝30°，故只要知道OC即可求得PC 的长；(2)在圆中，半径相等是证角相等的重要手段，此题只要在△APM中，求∠A＋∠APM 的大小即可．解：(1)如图所示，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∵∠CPA＝30°，OC＝AB 2＝3，∴OP＝2OC＝6，∴PC＝OP2－OC2＝3 3.(2)∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.∵PM是∠CPA的平分线，∴∠CPM＝∠MPA.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.在△APC中，∵∠A＋∠ACP＋∠CPA＝180°，∴2∠A＋2∠MPA＋90°＝180°，∴∠A＋∠MPA＝45°，∴∠CMP＝∠A＋∠MPA＝45°，即∠CMP的大小不发生变化且∠CMP＝45°.。