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2019-2020年高中数学必修4平面向量（章节复习）最新精品导学案【课前导学】一、知识结构：二、知识梳理：（一）向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴向量：既有又有的量叫向量．零向量：的向量叫零向量．单位向量：的向量，叫单位向量．⑵平行向量（共线向量）叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶相等向量：且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴向量的加法法则：（Ⅰ）三角形法则：（四字概括）（Ⅱ）平行四边形法则：（四字概括）⑵向量的减法法则：三角形法则：由的终点指向的终点。
3．实数与向量的积⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下：① | λ|＝．②当λ＞0时，λ的方向与的方向；当λ＜0时，λ的方向与的方向；当λ＝0时，λa．⑵λ(μ)＝．(λ＋μ)＝．λ(＋b)＝．⑶共线向量定理：向量b与非零向量共线，当且仅当存在唯一个实数λ使得．4．平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ、2λ，使得．1（二）平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ．2．向量的坐标等于起点为 的向量的终点坐标，即，若(,)P x y ，则OP = 3．平面向量的坐标运算：（1）若＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：＋＝ －＝ λ＝（2）已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．4．两个向量＝(x 1、y 1)和b ＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．5．设P 1（x 1、y 1），P 2（x 2、y 2），线段12P P 的中点P 的坐标为 。
（三）平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b ，过O 点作＝，＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b 的 ．当θ＝0°时，与b ；当θ＝180°时，与b ；如果与b 的夹角是90°，我们说与b 垂直，记作 ．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做与b 的数量积（或内积），记作·b ，即·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则·b ＝ ． 3．向量的数量积的几何意义：|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)．·b 的几何意义是，数量·b 等于 ．4．向量数量积的性质：设、b 都是非零向量，是单位向量，θ是与b 的夹角． ⑴ ·＝·＝ ⑵ ⊥b ⇔ ⑶ 当与b 同向时，·b ＝ ；当与b 反向时，·b ＝ ． ⑷ cosθ＝ ． ⑸ |·b |≤ 5．向量数量积的运算律：⑴ ·b ＝ ；⑵ (λ)·b ＝ ＝·(λb ) ⑶ (＋)·c ＝【预习自测】1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2、化简下列各式：（1）()()AB CD AC BD ---= ；（2）-－ON OM += ； （3）-+++= ． （4）)(++()BO BC OM ++=__________3. △ABC 中,=a , =b ,则等于 ( )A BM CA.a b +B. ()a b -+C. a b -D. b a -4. 若|a |=1,| b a b -)⊥a ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.7505.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .【课中导学】例1：如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且 BN =31BD ，a AB AD b ==设， (1)试用a 与 b 表示出MC ， (2)求证：M 、N 、C 三点共线．例2. 已知：→a 、→b 、→c 是同一平面内的三个向量，其中→a =（1，2） （1）若|→c |=25，且→c ‖→a ，求→c 的坐标（2）若|→b |=25，且→a +2→b 与2→a -→b 垂直，求→a 与→b 的夹角θ.例3、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）,P 为一动点，及AB t OA OP +=， （1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算掌握两个向量和、差及数了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.学习目标 1...3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来乘向量的坐标运算法则平面向量的正交分解知识点一bbaaba互相垂直的两个向与垂直，记作的夹角是90°，则称向量.与思考如果向量⊥量能否作为平面内所有向量的一组基底？. 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底答案. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解梳理平面向量的坐标表示知识点二aiija＝30°，且是两个互相垂直的单位向量，向量|与|思考1 如图，向量的夹角是，a?ji，4，以向量为基底，如何表示向量ija.2 ＝＋23答案AAA点位置确定了吗？给定向量，则在平面直角坐标系内，给定点，的坐标为1)(1思考2aaa的位置确定了吗？ 1)，则向量＝(1，的坐标为AAAaaa的坐标为点位置确定.点，若给定坐标为对于向量(1，1)，则，给定答案对于a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任1)，此时给出了＝(1，a的位置还与其起点有关意平移，因此.→→→→BCOBCOAOAA点，，则为坐标原点，若将向量的坐标是多少？平移到思考3 设向量，＝(11)坐标是多少？→→OAOAAA(1，1)，1). 答案向量点坐标为的坐标为(1＝，梳理 (1)平面向量的坐标xyij作为基底.、①在平面直角坐标系中，分别取与轴、对于轴方向相同的两个单位向量axyaxiyj.＋平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数＝，，使得axyxya的坐标，记(叫做向量，)平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对axy). ，(＝作ij＝(0，1)，00)，＝(0，②在平面直角坐标平面中，0). ＝(1，(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系平面向量的坐标运算知识点三yxybyijxax，)，，思考设，、＝是分别与轴、(轴同向的两个单位向量，若设)＝(2112aabjybxiyjabaxi 如，R＝，λ＋)＋(，根据向量的线性运算性质，向量λ＋∈则＝，－2211ji何分别用基底表示？、jyabxxiy答案 )＋(＝(，＋＋)＋2211abxxiyyj，－) ＋－(＝()－2211axiyj.λ＋＝λλ11axybxy)，，＝梳理设(＝( ，，)2112→AxyBxyABxxyy)(＝－－已知点(，，)，即任意一个向量的坐标等于(，)，那么向量，11222211表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.类型一平面向量的坐标表示→xOyOAABAOxOABOA＝＝105°，＝45°，∠，∠3＝，4＝中，如图，在平面直角坐标系1 例→baAB.＝，OABC.四边形为平行四边形ba (1)求向量的坐标；，→BA (2)求向量的坐标；B.的坐标(3)求点MxAM(1)解作轴于点⊥，OAOM＝则·cos 45°2 ，2＝4×2＝2OAAM＝·sin 45°22. ＝4×＝22aA2). ＝(2222，，22)∴，故(2AOyAOC＝180°－105°＝75°，∠∵∠＝45°，COy∴∠＝30°.ABOC＝＝3又∵，????33333→→??OCABC，∴＝＝∴，－????2222??333??b.即＝，－??22??333→→??ABBA.＝(2)＝－，－??22333→→→ABOBOA)，2)＋＝(＋，＝(222(3)－22??333??.＝＋22，22－??22反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.ABCAABxC在第轴上，点边在在坐标原点，，顶点的正三角形2已知边长为1 跟踪训练．→→→→BDACBCDACAB.一象限，，为的坐标的中点，分别求向量，，CABABC2sin (2cos 60°，，解如图，正三角形的边长为2，则顶点0)(0，0)，，(2 60°)，31DC ()，∴，(1，，3)22→→ACAB＝，(1，∴3)＝(2，0)，→BC，3)＝(－，1＝(1－，23－0)3313→BD). ，＝(－＝(－2－，0)2222类型二平面向量的坐标运算→→→→→ABCAB a BC b CA c CM c CN，＝＝，＝＝，且已知，(－2，4)，3(3，－1)，－(3，－4).设2 例b.2＝－abc；33 ＋－(1)求a m b n c mn的值；(2)求满足，＝的实数＋→MNMN的坐标求的坐标及向量，.(3)abc＝(1，3)，，8). ＝(－6 解由已知得，－＝(5，－5)abc＝3(5，－5)＋(－6，－3)(1)3－＋3(1－3，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).m b n c mnmn a＝(5，－5))－6＝＋，，－3(2)∵＋＋8＝(mmn，＝－＝5－6，＋1????解得∴??nmn1.，－38＋＝－＝－5????O为坐标原点，设 (3)→→→CMOMOC c，∵＝＝3－→→OM c OC＝(3，24)＋(－3，－＋4)＝(0，20)，∴＝3M(0，20).∴→→→CNONOC b，又∵＝－＝2－→→ON b OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)∴＝－2＋，→NMN18).，－(9＝，∴2)，(9∴．反思与感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.ab＝(2，1)，求：＝(－1，2)跟踪训练2 已知，11ababab.－；；(2)(3)－(1)23＋323ab＝2(－1，32)＋3(2，(1)2解 1) ＋＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).ab＝(－1，2)－3(2，1) (2)3－＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).1111ab＝(－1，2)－(2(3)，－1) 232312172????????????，－1，－，. ＝＝－??????36332类型三平面向量坐标运算的应用→→→ABCAPABAC(λ∈R)，试求＝λ＋λ已知点为何值时：(2，3)，(5，4)， (7，10).若例3 P在第一、三象限的角平分线上；点 (1)P在第三象限内点. (2)Pxy)，( 解设点，的坐标为→APxyxy－3)，，3)＝(则＝(－，2)－(2，→→ACAB3)]，－(2＋λ[(7，10)＋λ－＝(5，4)(2，3)). λ＋75λ，11)，＋λ(5，7)＝(3＋＝(3→→→ACAPAB ＝，＋∵λxx，λ5＋5λ，＋5＝－2＝3????∴则??yy.，λ7λ＝4＋1－3＝＋7????P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋(1)若点7λ，1∴λ＝.2，<0＋5λ5??P∴λ<(2)若点－在第三象限内，则1.?，λ4＋7<0??1P在第一、三象限角平分线上；时，点∴当λ＝2P.在第三象限内时，点1－<λ当．反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.ab m a n b mnmn－R8)(，若(1，－2))，＋，则∈＝跟踪训练3 已知向量(9＝(2，1)，，－＝的值为________.答案－3ab m a n b mnmn)＝(9，2－＝(28)＋，解析∵(2＝，1)，，＝(1，－2)，∴即－＋mmn，2＝92，＋＝????mn＝2－－5＝－解得故3.??nnm，＝，2－5＝－8????abab等于( －21)＝(－2，1.设平面向量，则＝(3，5)，)A.(7，3)B.(7，7)C.(1，7)D.(1，3)答案 A1→→→OAOBAB的坐标是( ，则向量 )＝(－5，－2.已知向量，－＝(32)，1)211????????，－4－4， A. B.????22D.(8，－C.(8，1) 1)A答案→→→OAABOB＝－，＝(－8，解析∵1)11??→??AB，4－.＝∴??22→→DBCCBAABCDAD的，则顶点＝2，且3.已知四边形，的三个顶点(0，2)1(－，－2)，(3，1))坐标为(71????????，－22， A.B.????22D.(1，3)C.(3，2)A答案→DxyBC＝(4，3)，)，则，设解析点坐标为(→ADxy，2)－，(＝x2＝??x，4＝2?7?→→?DADBC(2，2).，得，∴由∴＝?72yy，??－23＝2＝????2→→ABACBC等于( 3)，则向量) 2)，向量＝(－4.已知点4(0，1)，，－(3，A.(－7，－4) B.(7，4)D.(14) ，4)C.(－1，A答案→→→→→ABBCACABAC4). －(7，－＝(－4，－3)－(3 解析，＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝1)－＝xy b x abcca，，(满足＋5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，＝yxy＝＋R∈)，则________.19 答案7ab＝(2，，2) 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得，＝(1解析c＝(3，，4).3)－yx，＋23＝??b yx ac，∴＝＋∵?yx，＝2－34??17?x?719?xy＝解得.＋因此72?y?.＝71.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量→ABxxyy). ，(的终点坐标不是向量的坐标，此时＝－－ABAB．3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.课时作业一、选择题abba的坐标是( － (1，0)，那么向量1.已知向量3＝(－1，2)，) ＝A.(－4，2) B.(－4，－2)D.(4C.(4，2) ，－2)D答案ab，故选2)(3＋1，0－2)＝(4，－＝＝3(1，0)－(－1，2)(3，0)－(－1，2)解析 3＝－D.1aaabb)等于( ＝(42.已知，－－(1＝，2)，10)＋，则2B.(2A.(－2，－2) ，2)D.(2，－2，2) 2)C.(－D答案bcabca的值分别为，则λ＋λ，＝(34)，且，＝已知向量3.λ＝(1，2)，＝(2，3)，λ2121) ( B.1，－2 －2，1 A.D.－1C.2，－1 ，2D答案，＝λ＋2λ3，1λ＝－????121解得解析由??2.2λλ4，＝＝＋3λ????212→→→ABCDADABACBDOCO的坐标是，，则相交于点＝(－2，3)4.在?，对角线中，已知，＝(37)，( ) 11????????5－，5－，－ B.A.????2211????????5，，－5 D.C. ????22B答案11→→→→ADACCOAB)＋(解析＝－＝－22111????5，－－，故选＝×(3，3)2＝－×(－，－7)B. ??222．13→→→OBOOAOB)( 5.如果将，则＝ (，)绕原点的坐标是逆时针方向旋转120°得到221331) )B.(，－A.(－，222213－D.(3) ，C.(－) 1，22D答案13→→OBOAO120°得到＝逆时针方向旋转(，)解析因为所在直线的倾斜角为30°，绕原点223ByAB，轴对称，由此可知－所在直线的倾斜角为150°，所以点坐标为，(两点关于2113→OB D. －，))，故，故选的坐标是(222ccacab xy b) 等于，则)，若3( －2 ＋6.已知向量2)＝(5，，3)＝(－4，－，＝＝(0，B.(2323，－12) ，12) A.(－D.(－0) C.(7，7，0)A答案y acb x解析∵＝(5，2)，－＝(4，－3)，)＝(，，cba＋，＝3－20且acb12).23，－－－－815，－66)＝(－23－－＝2(4，－3)3(5，2)＝(－∴＝→→PPMNMNPNPM点的坐标为＝－，(－27)，(10，－2)，点2是线段，则上的点，且7.已知) (B.(2216) ，－11) A.(－14，D.(2C.(6，，1) 4)D 答案二、填空题eeaeeae＋，为基底，将分解成λ，则以，－(2，3)－＝(1，2)＝(1已知8.＝，2)，112211e____________. ∈，(λλλR)的形式为221241eea＝＋答案2177eae)，R∈，λ(＋λ解析设＝λλ2211122则(－2λ＝3)，－(2＋2)，(1λ＝，1－2)λ(λ＋3λλ，)21，2121．1??，λ＝17，－1＝λ－2λ??21?由解得?43λ，2＝2λ＋???21?.＝λ2741eea. ＝所以＋217711→→BCBCACA________.－－8，10)(2，－4)，，则(0，6)，的坐标是(9.已知平面上三点426)－3，答案 (→→yBDxDBCxyACA________. ，，则(2，＝)，且10.已知＋(－1，－2)，＝(2，3)，－(2，0)11 答案2→AC 2)，(－1，，0)－(－1，－2)＝解析∵＝(－2→yyxBDx，，－3)－(2，＝(3)＝(－，2)→→yxBDAC，－1，，22)－6)又∵2＝＝，即(2(－43??xx，1－4＝－2，＝??2?∴由解得?y，22－6＝????y，＝411yx.＋∴＝2→→→→→MNCNCBBACCMCA的坐标为＝2－3，－4)，＝3，则11.已知2(－，4)，，(3，－1)，(________.18)(9，－答案→CM，＝(3，解析 24)＝3(1，8)→CN，(12，6)＝2(6，3)＝→→→CMCNMN18).＝(9，－，6)－(3＝，－24)＝(12→→OAOAxOAOA的坐标为＝612.已知，∠是坐标原点，点|在第二象限，＝150°，向量|________.3)3(－，3答案πAOCAOBCOCOAB＝.22，2)，为坐标原点，点，且∠在∠内，||＝，，－13.已知(30)(04→→→OCOAOB ________.＝λ，则)R∈λ(＋λ＝设2答案3πCCExEAOC＝知，过轴于点作⊥，由∠解析4OECE|＝2|，| |＝→→→→→OCOEOBOAOB，＋所以＝＝λ＋→→OEOA，λ即＝2所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.3三、解答题abcpabcabp. 3、＋，＝(1，2)，求表示＝2已知14.，并用基底＝(2，1)，＋＝(－1，3)pabc＋3＝2＋解＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13).p x a y b，＝＋设19?x?，＝7yx，2＝－2???解得则有?yx24，＝＋313???y?.＝71924pab.∴＋＝77四、探究与拓展11→→→→→ABACABDABACDCD的坐标、，.＝－－(1，2)，，求点(2，8)及和＝15.已知点33CxyDxy)，，)，解设点((，2112→→ACxyAB ＝(3，6)－2)由题意可得，＝(，＋1，11→→BAyDAx6).3，－＝(－1－2－－)，＝(22，11→→→→BAABDAAC，∵，＝＝－331yx，，2)(3＝，6)＝∴(＋1，(1－2)1131yx，，＝(12)＝－)(－3，－6)－(－1－222，3xx，＝1－11＋1＝，－????21和则有??yy，2＝2－2－2＝????21．xx，，2＝－＝0????21解得和??yy0.＝4＝????21CD的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，∴，→CD＝(－∴2，－4).。
平面向量专题复习与练习导学案知识点1．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使AP ＝x AB ，或对直线外任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB (x ＋y ＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量e 1，e 2不共线，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中e 1，e 2是平面的一组基底，e 1，e 2分别称为基向量．[典例1] 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 、N 分别是DA 、BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1、e 2为基底表示向量DC 、BC 、MN .[对点训练]1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．2．(2015高考新课标2)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．3.(2015高考北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB y AC =+， 则x = ；y = ． 4．在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4知识点2.平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)；②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)；③λa ＝(λa 1，λa 2)；④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R)，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)； ⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0；⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22； ⑧若θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22 .[典例2] (1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 (2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152 [对点训练](1)若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9 (2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°知识点3、平面向量的数量积；两个向量的数量积是a ·b ＝|a ||b |cos θ，θ为a 与b 的夹角，[典例3] 已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.[对点训练](1)已知单位向量a ，b 的夹角为π3，则|a －2b |＝________.(2)已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角θ＝2π3，则a 在e 方向上的投影为________．(3)已知在△ABC 中，∠A ＝π2，AB ＝2，AC ＝4，AF ＝ 12AB ，CE ＝12CA ，BD ＝14BC ，则DE ·DF 的值为________．专题突破专题一 有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λ b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [例1] 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．[变式训练] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .专题二 有关向量的夹角、垂直问题非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 21 . [例2] 已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求向量a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．[变式训练] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________．专题三 有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a |2＝a 2＝a·a ； (2)|a ±b |2＝a 2±2a·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2； (4)应用三角形或平行四边形法则．[例3] （1）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1(2)设向量a ＝(0，－1)，向量b ＝(cos x ，sin x )，则|a ＋b |的取值范围为________．[变式训练] 已知向量a 和b 的模都是2，其夹角为60°，又知OP →＝a ＋2b ，OQ →＝－2a ＋b ，则|PQ →|＝________．巩固练习1．若向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝1 B ．|a |＝|b | C ．(a －b )⊥b D ．a ∥b2．已知向量a ，b 不共线，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝13．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC → D.AM →4．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |＞|b |5．已知OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，OP →＝(x ，0)，则当AP →·BP →最小时，x 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．16．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)7．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A. AD →＝－13AB →＋43AC →B. AD →＝13AB →－43AC →C. AD →＝43AB →＋13AC →D. AD →＝43AB →－13AC →8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．直角梯形9．设D 为边长是2的等边△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则AD →·AC →的值是( )A.143 B ．－143 C.43D ．4 10．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD →·AB →＝AD →·AC →，则AD →·AB →的值等于( ) A ．－4 B ．0 C ．4 D ．811．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |212．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定 13．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．14．设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．15.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且]3,6[ππ-∈x (1)求a·b 及|a ＋b |； (2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．。
第一章 三角函数 章末复习学习目标1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的图象.4.理解三角函数y=sin x ，y=cos x ，y=tan x 的性质.5.了解函数y=Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y=Asin(ωx＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=yx (x≠0). 2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α=1. (2)商数关系：tan α=sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z .3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质类型一 三角函数的概念例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ=- 255，则y= .反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P(x ，y)，P 到原点的距离为r(r ＞0).则sin α=y r ，cos α=xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1.已知角α的终边在直线3x ＋4y=0上，求sin α，cos α，tan α的值.类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2.已知关于x 的方程2x 2- (3＋1)x ＋m=0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：(1)cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ1＋tan (π－θ)；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α=1及sin αcos α=tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cosαsin α.注意应用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.跟踪训练2.已知f(α)=sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f(α)；(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求cos α- sin α的值；(3)若α=- 47π4，求f(α)的值.类型三 三角函数的图象与性质例3.将函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y=3sin x 的图象. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g(x)的最小值和最大值.反思与感悟研究y=Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.跟踪训练3 函数f(x)=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示. (1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值.类型四 三角函数的最值和值域命题角度1 可化为y=Asin (ωx＋φ)＋k 型例4.求函数y=- 2sin(x ＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.反思与感悟利用y=Asin(ωx＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4.已知函数y=asin(2x ＋π6)＋b 在x∈[0，π2]上的值域为[- 5，1]，求a ，b 的值.命题角度2 可化为sin x 或cos x 的二次函数型例5.已知|x|≤π4，求函数f(x)=cos 2x ＋sin x 的最小值.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5.已知函数f(x)=- sin 2x- asin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为- 4，若实数a>0， 求a ，b 的值.类型五 数形结合思想在三角函数中的应用例6.已知方程sin(x ＋π3)=m2在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围.反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.跟踪训练6.设函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0).若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .1.若一个α角的终边上有一点P(- 4，a)，且sin α·cos α=34，则a 的值为( ) A.4 3 B.±4 3 C.- 43或- 433D. 32.已知f(α)=sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f(- 31π3)的值为( )A.12B.- 13C.- 12D.133.函数y=|sin x|＋sin|x|的值域为( )A.[- 2，2]B.[- 1，1]C.[0，2]D.[0，1]4.函数f(x)=2sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2，- π3B.2，- π6C.4，- π6D.4，π35.已知函数f(x)=- sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f(x)≤174对一切x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法. 课时作业 一、选择题1.已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.11π6 D.5π32.若sin(π- α)=- 53，且α∈(π，3π2)，则sin(π2＋α)等于( )A.- 53B.53C.- 23D.233.已知函数f(x)=12(sin x ＋cos x)- 12|sin x- cos x|，则f(x)的值域为( )A.[- 1，1]B.[-22，1] C.[- 1，22] D.[- 1，- 22]4.设函数f(x)=4sin(2x ＋1)- x ，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( ) A.[- 4，- 2] B.[- 2，0] C.[0，2] D.[2，4]5.将函数y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增6.函数f(x)=Asin(ωx＋θ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)等于( )A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3D.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π67.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=π3对称；③在区间[5π6，π]上是单调递增函数”的一个函数可以是( )A.y=cos(2x- π3)B.y=sin(2x- π6)C.y=sin(2x ＋5π6)D.y=sin(x 2＋π6)二、填空题8.设x∈(0，π)，则f(x)=cos 2x ＋sin x 的最大值是 .9.函数y=f(x)=Asin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)的值等于 .10.设函数f(x)=sin(2x ＋π3)，下列命题：①f(x)的图象关于直线x=π3对称；②f(x)的图象关于点(π12，0)对称；③把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数.其中正确命题的序号为 .11.已知函数f(x)=sin(2x ＋φ)，若f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (π6)对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)， 则f(x)的单调递增区间是 .三、解答题12.若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 1－sin α1＋sin α ＋ 1＋sin α1－sin α=22，求tan α.13.已知f(x)=3sin(2x ＋π4)- 1.(1)f(x)的图象是由y=sin x 的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值.四、探究与拓展14.将函数f(x)=2sin(ωx - π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[- π6，π4]上为增函数，则ω的最大值为 .15.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.答案解析例1答案为：- 8；解析： r=x 2＋y 2=16＋y 2，且sin θ=-255， 所以sin θ=y r =y 16＋y 2=- 255，所以θ为第四象限角，解得y=- 8.跟踪训练1.解：∵角α的终边在直线3x＋4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，- 3t)(t≠0)，则x=4t，y=- 3t.r=x 2＋y 2=(4t )2＋(－3t )2=5|t|.当t＞0时，r=5t，sin α=y r =－3t 5t =- 35，cos α=x r =4t 5t =45，tan α=y x =－3t 4t =- 34；当t＜0时，r=- 5t，sin α=y r =－3t －5t =35，cos α=x r =4t －5t =- 45，tan α=y x =－3t 4t =- 34.综上可知，sin α=- 35，cos α=45，tan α=- 34或sin α=35，cos α=- 45，tan α=- 34.例2.解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ=3＋12，sin θcos θ=m2.(1)原式=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ=sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ=sin 2θsin θ－cos θ- cos 2θsin θ－cos θ=sin θ＋cos θ=3＋12. (2)由sin θ＋cos θ=3＋12， 两边平方可得1＋2sin θcos θ=4＋234，1＋2×m 2=1＋32，m=32.(3)由m=32可解方程2x 2- (3＋1)x＋32=0，得两根12和32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32或 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.∵θ∈(0，2π)，∴θ=π6或π3.跟踪训练2.解：(1)f(α)=sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)=sin α·cos α.(2)由f(α)=sin α·cos α=18可知，(cos α- sin α)2=cos 2α- 2sin α·cos α＋sin 2α=1- 2sin α·cos α=1- 2×18=34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α- sin α<0，∴cos α- sin α=-32.(3)∵α=- 47π4=- 6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－47π4 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4 =cos π4·sin π4=22×22=12.例3.解：(1)函数y= 3 sin x的图象向下平移1个单位长度得y=3sin x- 1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的3π倍，得到y=3sin π3x- 1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y=3sin(π3x- π3)- 1的图象，∴函数y=f(x)的最小正周期为T=2ππ3=6.由2kπ- π2≤π3x- π3≤2kπ＋π2，k∈Z ，得6k - 12≤x≤6k＋52，k∈Z ，∴函数y=f(x)的单调递增区间是[6k - 12，6k＋52]，k∈Z .(2)∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=2对称，∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y=f(x)的最值.∵当x∈[3，4]时，π3x- π3∈[2π3，π]，∴sin(π3x- π3)∈[0，32]，∴f(x)∈[- 1，12].∴当x∈[0，1]时，y=g(x)的最小值是- 1，最大值为12.跟踪训练3解：(1)f(x)的最小正周期为π，x 0=7π6，y 0=3.(2)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，于是， 当2x＋π6=0，即x=- π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6=- π2，即x=- π3时，f(x)取得最小值- 3.例4.解：∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈[π6，7π6]，∴- 12≤sin(x＋π6)≤1.当sin(x＋π6)=1，即x=π3时，y取得最小值1.当sin(x＋π6)=- 12，即x=π时，y取得最大值4.∴函数y=- 2sin(x＋π6)＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.跟踪训练4.解：∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[- 12，1].∴当a＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a＋b＝1，－a2＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝4，b＝－3；当a＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋b＝1，a＋b＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝－1.∴a，b的取值分别是4，- 3或- 4，- 1.例5.解：y=f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1.令t=sin x，∵|x|≤π4，∴- 22≤sin x≤22.则y=- t 2＋t＋1=- (t- 12)2＋54(- 22≤t≤22)，∴当t=-22，即x=- π4时，f(x)有最小值，且最小值为- (- 22- 12)2＋54=1－22. 跟踪训练5.解：令t=sin x，则g(t)=- t 2- at＋b＋1=- ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a 22＋a 24＋b＋1，且t∈[- 1，1].根据对称轴t 0=- a2与区间[- 1，1]的位置关系进行分类讨论.①当- a2≤- 1，即a≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g (－1)＝a＋b＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2.②当- 1<- a2<0，即0<a<2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋b＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a＋b＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝－2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a＝－6，b＝－10(舍)，综上所述，a=2，b=- 2.例6.解：函数y=sin(x＋π3)，x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin(x＋π3)=m2在[0，π]上有两个解等价于函数y 1=sin(x＋π3)，y 2=m2在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点， 所以32≤m2＜1，即3≤m＜2.跟踪训练6.答案为：π；解析：记f(x)的最小正周期为T.由题意知T 2≥π2- π6=π3.又f(π2)=f(2π3)=- f(π6)，且2π3-π2=π6，可作出示意图如图所示(一种情况)，∴x1=(π2＋π6)×12=π3，x2=(π2＋2π3)×12=7π12，∴T4=x2- x1=7π12-π3=π4，∴T=π.1.答案为：C；解析：由三角函数定义可知，r=a2＋16，sin α=aa2＋16，cos α=－4a2＋16，sin α·cos α=－4aa2＋16=34，得a=- 43或-433.2.答案为：C；解析：∵f(α)=sin αcos(－α)cos(π＋α)tan α=sin αcos α－cos α·sin αcos α=- cos α，∴f(-31π3)=- cos(-31π3)=- cos(10π＋π3)=- cosπ3=-12.3.答案为：C；解析：∵f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|sin x|＋sin x(x≥0)，|sin x|－sin x(x＜0)，∴0≤f(x)≤2.故选C.4.答案为：A；解析：从图象可得34T=5π12-⎝⎛⎭⎪⎫－π3=3π4，∴T=π=2πω，∴ω=2.又∵f⎝⎛⎭⎪⎫5π12=2sin⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ=2sin⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ=2，且-π2＜φ＜π2，∴φ=-π3.5.解：令t=sin x，则t∈[- 1，1]，则函数可化为f(t)=- t2＋t＋a=- (t-12)2＋a＋14.当t=12时，f(t)max=a＋14，即f(x)max=a＋14；当t=- 1时，f(t)min=a- 2，即f(x)min=a- 2.故函数f(x)的值域为[a- 2，a＋14].所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4.故实数a的取值范围为[3，4].课时作业1.答案为：D；解析：因为sin5π6=sin⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=sinπ6=12，cos5π6=cos⎝⎛⎭⎪⎫π－π6=- cosπ6=-32，所以点⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，co s 5π6在第四象限. 又因为tan α=cos5π6sin5π6=- 3=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3=tan 5π3， 所以角α的最小正值为5π3.故选D.2.答案为：C解析：∵sin(π- α)=- 53，∴sin α=- 53，又∵α∈(π，3π2)，∴cos α=- 1－sin 2α=- 1－59=- 23，∴sin(π2＋α)=cos α=- 23，故选C. 3.答案为：C；解析：f(x)=12(sin x＋cos x)- 12|sin x- cos x|=⎩⎪⎨⎪⎧sin x，sin x≤cos x，cos x，sin x＞cos x.函数f(x)的图象如图所示，由f(x)的图象，知f(x)的值域为[- 1，22].4.答案为：A；解析：由数形结合的思想，画出函数y=4sin(2x＋1)与y=x的图象，观察可知选A.5.答案为：B；解析：y=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π2个单位长度得到y=3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象. ∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，则2x - 2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴y=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增. 6.答案为：A；解析：由图象知A=2，∵5π12- ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3=34T，∴T=π，∴ω=2.∵2×5π12＋θ=π2＋2kπ(k∈Z )，∴可取θ=- π3，∴f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 7.答案为：B解析：由T=2πω=π知，ω=2，D错；图象与对称轴的交点为最值点，即当x=π3时，函数值为最值，A错；由B的单调递增区间，可得- π2＋2kπ≤2x - π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，即为[- π6＋kπ，π3＋kπ](k∈Z )，当k=1时，[5π6，π]∈[5π6，4π3]，故选B.8.答案为：54；解析：∵f(x)=cos 2x＋sin x=- sin 2x＋sin x＋1=- ⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54. 又∵x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，∴当sin x=12时，f(x)的最大值是54.9.答案为：2解析：由图知A=2，ω=π4，φ=0，∴f(x)=2sin π4x，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)=0.又f(x)的周期为8，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014).=f(1)＋f(2)＋…＋f(6)= 2.10.答案为：③解析：f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程满足2x＋π3=π2＋kπ(k∈Z )，解得x=π12＋kπ2(k∈Z )；f(x)=sin(2x＋π3)的图象的对称中心的横坐标满足2x＋π3=kπ(k∈Z )，解得x=- π6＋kπ2(k∈Z )；f(x)的周期为T=2π2=π，由(2x＋π3)∈[2kπ-π2，2kπ＋π2](k∈Z )，得f(x)的增区间为[kπ- 5π12，kπ＋π12](k∈Z )；把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到f(x)=sin[2(x＋π12)＋π3]=sin(2x＋π2)=cos 2x的图象，为偶函数.故只有③正确.11.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z )； 解析：由题意可知，当x=π6时，f(x)取最值.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ=±1， ∴π3＋φ=π2＋kπ(k∈Z )，∴φ=π6＋kπ(k∈Z ). 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即- sin φ>sin φ， ∴sin φ<0.不妨取φ=- 5π6，则f(x)=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令- π2＋2kπ≤2x - 5π6≤π2＋2kπ(k∈Z )，则π3＋2kπ≤2x≤4π3＋2kπ(k∈Z )，∴π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z )，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z ). 12.解：∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，∴α是第二象限角，∴ 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α= (1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α =2|cos α|=2－cos α=22， ∴cos α=-22，则sin α=22，tan α=- 1. 13.解：(1)将函数y=sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sin x的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin 2x的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y=3sin(2x＋π4)的图象，最后把所得到的函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin(2x＋π4)- 1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x＋π4=π2＋kπ(k∈Z )，得对称轴方程为x=π8＋kπ2(k∈Z ).当2x＋π4=π2＋2kπ(k∈Z )，即x=π8＋kπ(k∈Z )时，f(x)取得最大值2. 14.答案为：2； 15.解：(1)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π. 由- π＋2kπ≤2x - π4≤2kπ(k∈Z )，得- 3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z )，故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ(k∈Z ). (2)因为f(x)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8=0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4=- 2cos π4=- 1， 所以函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x=π8；最小值为- 1，此时x=π2.。
第二章平面向量学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b=(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b=(x1－x2，y1－y2)数乘(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0λa=(λx1，λy1)向量的数量积运算a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a=0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b=x1x2＋y1y2(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，a ∥b 有唯一实数λ使得b =λa (a ≠0)x 1y 2－x 2y 1=0 a ⊥ba ·b =0x 1x 2＋y 1y 2=0类型一 向量的线性运算例1.如图所示，在△ABC 中，AN →=13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →=mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题. 跟踪训练1在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →=13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.类型二 向量的数量积运算例2.已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，且|k a ＋b |=3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小.反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0. (2)求向量的夹角和模的问题 ①设a =(x 1，y 1)，则|a |=x 21＋y 21.②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)，cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2.已知向量OA →=(3，－4)，OB →=(6，－3)，OC →=(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值.类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3.已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性. 跟踪训练3.如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在»AB 上，且∠COB =30°， 若OC →=λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于( )A. 3B.33 C.433D.2 31.在菱形ABCD 中，若AC =2，则CA →·AB →等于( )A.2B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=6，|AD →|=4.若点M ，N 满足BM →=3MC →，DN →=2NC →，则AM →·NM →等于( )A.20B.15C.9D.63.已知向量a =(2，3)，b =(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12 B.2 C.－12 D.－2 4.若向量OA →=(1，－3)，|OA →|=|OB →|，OA →·OB →=0，则|AB →|=________. 5.平面向量a =(3，－1)，b =⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x =a ＋(t 2－3)b ，y =－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k =f (t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是( )A.OA →－OB →=AB →B.AB →＋BA →=0C.0·AB →=0D.AB →＋BC →＋CD →=AD →2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →=(1，－2)，AD →=(2，1)，则AD →·AC →等于( )A.5B.4C.3D.2 3.设向量a =(2，4)与向量b =(x ，6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.64.若平面向量b 与向量a =(1，－2)的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于( ) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)5.已知向量m =(λ＋1，1)，n =(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－16.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →=BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π68.如图所示，在△ABC 中，AD =DB ，AE =EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →=a ，AC →=b ，AF →=x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 二、填空题9.若|a |=1，|b |=2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |=1，|b |=3，则|5a －b |=________. 11.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|=3|CO →|，当AO →=xAB →＋yAC →时，x －y =________.12.已知向量a ，b 满足|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为60°， 则b 在a 方向上的投影是________.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|=3，|AC →|=2.若AP →=λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.三、解答题14.若OA →=(sin θ，－1)，OB →=(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值.四、探究与拓展15.已知OA →=(1，0)，OB →=(0，1)，OM →=(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点. (1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.。
《平面向量》全章复习与巩固【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示;2.向量的线性运算(1)通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;(2)通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义;(3)了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;(3)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一:向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:a b c等.(1)字母表示法:如,,,(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.,x y,则(3)坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为() (),x y称为OA的坐标,记为OA＝(),x y.3.相等向量:=.长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为a b4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算 1.运算定义OB OA -＝(x 2-xcos a b a b =⋅a b ⋅＝x 1x 2+y 1y 22.运算律 加法:①a b b a +=+(交换律); ②()()a b c a b c ++=++(结合律) 实数与向量的乘积:①()a b a b λλλ+=+; ②()a a a λμλμ+=+;③()()a a λμλμ= 两个向量的数量积:①a →·b →＝b →·a →; ②(a λ→)·b →＝a →·(b λ→)＝λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →＝a →·c →+b →·c →3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+,称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则→--OA ＝(x,y);当向量起点不在原点时,向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则→--AB ＝(x 2-x 1,y 2-y 1)(2)两个向量平行的充要条件 符号语言:)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ坐标语言为:设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==,则a →∥b →⇔(x 1,y 1)＝λ(x 2,y 2),或x 1y 2-x 2y 1＝0. (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言:⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a坐标语言:设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==,则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x (4)两个向量数量积的重要性质:①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度);②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断); ③cos a b a bθ⋅=⋅ (求角度).要点诠释: 1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明;(2)向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路:先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用:①证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1,y 1)＝λ(x 2,y 2)②证明垂直问题,常用垂直的充要条件⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔02121=+y y x x③求夹角问题,利用cos a b a bθ⋅=⋅222221212121y x y x y y x x +++=④求线段的长度,可以利用2||→→=a a 或12(PP x =【典型例题】类型一:平面向量的概念 例1.给出下列命题: ①若|a |＝|b |,则a ＝b ;②若A,B,C,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a //b ; ⑤ 若a //b ,b //c ,则a //c ; 其中正确的序号是 .(2)设0a 为单位向量,(1)若a 为平面内的某个向量,则0a a a =⋅;(2)若a 与0a 平行,则0a a a =⋅;(3)若a 与0a 平行且1a =,则0a a =.上述命题中,假命题个数是( )A.0B.1C.2D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。
第二章平面向量1 向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.ab共线、一、向量aba＋b、. 例1 如图，已知共线向量，求作ab同向；、(1)abab|； |、＞反向，且||(2)abab|.|(3)|、＜反向，且|→→→aOAaABbOBab，具体作法是：当，＝作法在与＝平行的同一条直线上作出三个向量＋＝，abababababa＋与|与；当、的方向相同，长度为|方向相反时，|与方向相同时，＋＋|babab||.|||为了直观，将三个向量中绝对值最与|、－中长度长的向量方向相同，长度为aabab.作图如下：，大的向量沿与垂直的方向稍加平移，然后分别标上，＋abab. ，求作－例2 如图，已知共线向量、abab|；| 同向，且|＞(1)|、abab|；|| |(2)、＜同向，且ab反向、(3).→→→OOAaOBbBAababa＋(＝－，＝－，则＝可看作是－.事实上作法在平面上任取一点，作babab，作图如下：，按照这个理解和－＋的作图方法不难作出 )ab不共线二、向量、.如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图ab. 3 如图，已知向量、例abab. ；求作：(1)(2)＋－作法1 (应用三角形法则)O.一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点(1)→OAaa重合，再将直尺一边与三角板的另一＝第一步：作，方法是将一个三角板的直角边与O，一直角边与直尺的一边重合的位直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点→→OAaOAa同向与|，并使|置，在此基础上取|.|＝→→ABbAB此处最易错的是把第二步：同第一步方法作出，一定要保证方向相同且长度相等＝.(b的方向相反作成与.)→→OBOBBOBab. 第三步：作处打上箭头，，即连接＋，在即为作图如下：abO；， (2)第一步：在平面上位置之外任取一点→→OOAaOBb；作＝＝第二步：依照前面方法过，→ABABAab. 处加上箭头，向量－即为第三步：连接，在作图如下：点评向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”.作法2 (应用平行四边形法则)→AAABa，在平面上任取一点，以点＝为起点作→→→bDBaABCDABADbADACba?＝，以，为邻边作，则＝＋，＝－.作图如下：点评向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是→→AB b AB b.＝＝－，可实际上作的是“作法不一”，比如作法中要求的是作只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.2 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面.一、化简例1 化简下列各式：→→→→ABCDACBD)； (1)(2－－2)－(1abab)]. 6(42[3(2＋8－)－(2)24→→→→ABCDACBD)(2－－)－解 (1)(2→→→→→→→→ABCDACBDABDCCABD 22＋－＋－＋＋2＝2＝→→→→→→→ABBDDCCAADDAAD. ＝2)＋(＝＋＋＝2()＋1abab)] 6(4－[3(22＋8－)(2)2411ababab) 36＋)＝＝(6(＋24－24－＋1218242433ab.＋＝－42点评向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法abc等看，，则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数→→→→→→ABCMMAMBMCmABACmAM成立，则＝02 例如图，已知△和点满足＋＋＝，若存在实数使得＋m________.＝→→→MAMBMC＝0，＋＋解析如图，因为→→→MAMBMC)，＝－( 即＋→→→AMMBMC，即＋＝AMBCD点，于，交延长→→DBCAMMD，2边的中点，所以所以是＝3→→→→→→ADAMABACADAM，，所以＝＋3＝所以2＝2m＝3. 所以答案 3点评求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值.三、表示向量2→→ABCADABDEBCACEBCAMDEN，＝，，交∥边上的中线交于点例3 如图所示，在△于中，3→→→→→→→AB a AC bab AEBCDEDNAM.，用向量、，、设表示＝、，＝、2→→DEBCADAB，，解因为∥＝322→→→→→AEAC b BCACAB ba，－所以－＝＝＝，＝3322→→ADEABCDEBC ba)，，得－＝(＝由△∽△33MABCBCDEBC，的中点，又∥是△底边11→→DNDE ba)，(所以＝＝－32．111→→→→AMABBM a BC abaab).(－＝＋＋)＝＝＋＝(＋222点评用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.3 平面向量的基本定理应用三技巧eea＝，技巧一构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若为基底，且21xx ＝??21ee y e y e xx来求解＋＋，则用＝.?21112212yy＝??21→→→→OABOAOBMNOMOAONOB|＝1∶4，设＝1∶3，，使|例1 在△|的边，|∶|上分别取点|∶|，|→→→ANBMPOA a OB bab OP. ，线段，与＝交于点表示向量，记，用＝BPM共线，，解∵，→→sBPsPM，∴存在常数＝，使s1→→→OPOOM.＝则＋ss＋1＋1s1→→→OPOBOA即＋＝ss?＋31＋?1s1ba. ＝＋①ss＋＋1??31→→tAPtPN，同理，存在常数＝，使t1→OP ab.＋则②＝tt?1＋4?1＋s1??＝st?3?1＋1＋?ba 不共线，∴∵，，t1??＝ts?＋1?4＋1．9?s?＝223→?OP ab.＝＋，∴解之得11118?t?＝3→→→OAOBOP在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基，作为基底，构造点评这里选取底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解. eea x e＋构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若为基底，，＝技巧二1121y eb x e y eab xyxy ＝0”来求解＝，则＋∥，－，且.→→→→→→OABOCOAODOBADBCMOA a OB b .121221221211＝，设，，与例2 如图，在△＝中，交于点＝＝，42→ab OM；用表示、 (1)→→→→ACEBDFEFMOEpOAOFqOB，上取一点＝，使＝过(2)已知在线段上取一点，，在线段点，设13求证：＋＝1.qp77→OMm a n b，则 (1)解设＋＝1→→bb AD a mAM a n.，＋＝(＋－1)＝－2→→ADAMAMD与∵点共线，∴、共线，、1nmnm，∴①＋2＝1. ∴( －1)－(－1)×＝0211→→→→CMOMOCm a n b CB ab.(－)，＋而＝＋－＝－＝44→→CMBCMCB共线，∵共线，∴、、与11nmmn＝1.②∴－－(＝0.∴4－) ＋4431nm＝联立①②可得，＝，7713→b OM a.＋∴＝7713→→b pEF ba p a EMq，)－＝ (2)证明(＋＝－＋，77．→→EFEM共线，∵与13pqp)＝－∴(－×(－)0. 771313qpqp，即＋∴＝－1. ＝－qp7777点评这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.eeee不共线)，根据λ，λ＝＋λλ＝0的形式(将题目中的已知条件转化成技巧三21112221.来求解＝0→→→CPCPQPABCAPBP的延长线与＝内一点，且满足条件0＋2，设＋例3 如图，已知3是△为→→CQ p ABCP p.表示的交点，令，试用向量＝→→→→→→APAQQPBPBQQP，∵＋＝＝＋，解→→→→→AQQPBQQPCP＝032(，＋∴()＋＋)＋→→→→AQQPBQCP＝03，＋2 ∴＋＋3ABQCPQ三点共线，，三点共线，又∵，，，→→→→AQBQCPQP，λ＝，∴μ＝→→→→BQQPBQQP＝0，3μ＋3 ＋2＋λ∴→→BQQP＝0.3μ)λ＋2)(3＋＋∴(，0＋2＝λ??→→QPBQ，而为不共线向量，∴?0.μ＝3＋3??→→→CPQPPQ. ＝－1.∴＝＝－2∴λ＝－，μ→→→→CQCPPQCP p.2＋＝＝2故＝→→BQQP eλ这里选取，两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成点评11e＝0的形式来求解＋λ.224 直线的方向向量和法向量的应用由于直线和平面向量的学习分散在必.直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具．修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析.一、直线的方向向量1.定义→PPlAxByCPP以及与它平行的非零向量都称＋设0，＋是直线上的不同两点，那么向量：＝2112→lPxyPxyPPxxyy)－，－)为直线，则的方向向量，若，((，，)的坐标为(；特别当121221222111lxxxkk)，直线≠0，直线的斜率与是它的一个方向向轴不垂直时，即存在时，那么－(112lx轴平行时，方向向量可为(1，与0)量；当直线；而无论斜率存在与否，其方向向量均可BA). ，表示为(－2.应用(1)求直线方程ABCAB边上的中线、，求(18，－(7，9)例1 已知三角形三顶点坐标分别为，(2，－3)，9)C的内角平分线方程. 高线方程以及∠解①求中线方程→→→→CBCAABCDCBCA＝(边上的中线＋的方向向量为，，0)－＝(－16，－12)由于，那么＝(－2541，－12)，1212????CD，1的斜率为，，因而直线也就是??414112CDyx－18)，＝(那么直线的方程为－941xy＋15341－＝整理得120.②求高线方程9＋34k＝＝－由于，AB237－－4????AB，－1，因而的方向向量为??3ABCEAB，⊥边上的高而3????CE，1，则直线的方向向量为??43CEyx－18)(，那么高线的方程为－9＝4xy－18＝0. 4整理得3－C的内角平分线方程③求∠→→CBCA43????，－－，1，0)，＝＝(－??55→→CACB||||C则∠的内角平分线的方向向量为→→CACB139????????，1－，－，，也就是＝＋????355→→CACB||||1xyCF，的方程为－－9＝(18)因而内角平分线3yx0.＝整理得＋－39yxBAxyAxByCx－()，()，与直线＋＋－＋0＝平行的直线方程是( 点评一般地，经过点000yAyyAxByCBxx0.(＋)＋－＝0垂直的直线方程是－(＝－))＝0；与直线000 (2)求直线夹角πmmxllxyy.6＝0与－15＝0的夹角为：，求－3例2 已知的值：＋＋3214v l，＝(－3解直线，的方向向量为1)11m v l (1，3直线，的方向向量为)＝22πll与∵，的夹角为214m vv2－||3|3|·21vv，〉|＝∴|cos〈＝，＝21vv2||||2m9＋＋1·1921122mmmm.解得＝18＝－＋9或－2＝0.化简得63bxklyklykxb v，其)点评一般地，设直线，直线：，＝＝：＋＋，其方向向量为＝(121121112kkkkk v时，设夹＋≠0＝0时，两直线的夹角为方向向量为90°；当＝(1，＋)，当11222211k vv k|·＋|||12211CxBylA，其方向＋＝θ角为，则cos θ＝＝；若设直线＋：01111vv|||·|22kk＋·1＋12121ACBAxByABl＝cos θ)＝0向量为(－，，其方向向量为)，直线(：－＋，那么，＋22212212AABB|＋|2112 .2222BABA＋＋·2211二、直线的法向量1.定义AxByC n l n l的法向量.垂直，则称向量＋＝0的法向量：如果向量为直线与直线直线＋因vnv AxByC v 而言，其方向向量为＝＋＋此若直线的方向向量为0，则·0＝，从而对于直线BA nvn AB). ＝(，0(＝，－)，则由于·＝，于是可取2.应用判断直线的位置关系(1)．axaylaxyala0. ＋例3 已知直线＝：(2－＋＋2－＝0与直线1)：21all，求实数⊥(1)若的值；21all.，求实数∥(2)若的值21aall n a n－1解直线(2，，的法向量分别为＝(，，－1)，)＝2112aal nn aaaal 时，＝0＝1.∴－1)＋(－1)×或＝0，解得(1)若1⊥＝，则0·＝或(22211ll.⊥21a12a n aall n＝－，∴，且－(2＝－1±∥－1)×(－1)＝(2)若0.∥解得，则22121aa1－2lal.2＝－1±≠2.∴时，∥21n xClAByCxlABy，它们的法向量分别为＝0，＝＋：点评一般地，设直线＋：＋＋0122112211n lBl nn BA n AB n AAB，即⊥∥＋(，反之亦然；当，，当)＝⊥0，即＝(，时，)，＝212121*********lBlllABA.＝0时，重合∥与或－21122211求点到直线的距离(2)CBylAxMxy. ：外一点＋＝例4 已知点＋(0，)为直线00CByAx||＋＋00dylMx.)到直线，＝求证：点的距离(0022BA＋nn lxPyAxByC＝设是直线(，的一个法向量，不妨取)是直线＝＋0＋上任一点，证明11→n PMlAxByCdyABMx方向上投影的长度，：的距离＋在到直线＋(，等于向量).则＝(，0)00.如图所示→→n PMdPM|＝|，|·|cos〈〉→n PM|| ＝n||BAxxyy|，?|??－·，－?1100＝22BA＋yxAxBy||??－??＋－1001＝22BA＋ByByAxAx|－?|＋＋?1001＝.22BA＋Pxyl上，，)∵点在直线(11AxByCAxByC＋0＋∴＋＝，∴，＝－1111．CAxBy||＋＋00d.∴＝22BA＋CAxByClAxByl＋＋：＋＋同理应用直线的法向量可以证明平行直线＝：0与直线点评2121CC|－|1222dABCC.＝0(的距离为＋)≠0且＝≠2122BA＋证明过程如下：CByClAxByxPyPxylAx上任意两＋＝设(＝，0)，，直线(：，)分别为直线＋：＋＋022********→n yxyxll n ABPP上的投影的长，点，取直线)，的一个法向量(＝(＝，－)，则－在向量12211122ll. 、度，就是两平行线的距离21→n PP||，·→→21n dPPPP〉|＝|，＝||cos〈2211n||ByAxxy|?·?|?－?，，－1212＝22BA＋yByxAx|?＋|??－－?1122＝22BA＋ByCAxCAxBy|－??＋|?－?|＋|112221＝ .＝2222BBAA＋＋5 向量法证明三点共线平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明.去分析、解决问题，有益于培养创新能力→→→CBOAOCAOB. 1.求证：、、＝λ三点共线＋μ，其中λ＋μ＝已知典例→→kACAB.如)＝得三点共线思路通过向量共线(→→→→→→→OAOCOAOBOAOCOB－μ＋)μ.∴－μ，则－＝得＝＋如图，由证明λμ1λ1μ＝λ＋＝(1→→OAOC，)－(μ＝→→ABAC，＝∴μABC三点共线.∴、、O具有灵活性； 1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点思考→→ABCOBOA＋＝、μ)：若，满足、λ、三点共线，则存在唯一实数对λ2.反之也成立(证明略→OC，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质；μ11→→→→OBOAOCBACOACOB的一个向(为＋中线)，点λ3.特别地，＝μ＝时，的中点，揭示了△＝22量公式，应用广泛.应用举例1ABCDMABNBDBNBD.是上，且的中点，点利用向量法在例1 如图，平行四边形中，点＝3MNC三点共线、.证明：、→→→BBNBMBC，且λ＋μ＋μ＝思路分析选择点，只须证明1.＝λ11111→→→→→→→→BDBABCNBDBBDBNBDBABCBA＋)＝，得证明由已知＋＝＝＋，又点＝在＝上，且(33333→BC.MAB的中点，又点是121→→→→→→→BMBABABMBNBMBC..∴∴＋＝＝，即2＝23321MNC三点共线、. 而＋＝1.∴、33→→MNmMC简洁＝证明过程比证明点评 .11OACBBDBCODABEBEBA.＝如图，平行四边形例2 中，＝，与相交于，求证：34思路分析可以借助向量知识，只需证明：1→→→→→EBABABOBCODBE，使λ＋μ，又＝、1、、三点共线，存在唯一实数对＝λ，而μ＝，且＋4→→→→→BABEBEBOBD.λ与＋μ的关系，从而得到＝→→→→→kBAEABEBOBABCB、证明由已知条件，＝＝＋三点共线，可设，又，则、→→→kBCBEkBO①＝＋，OED三点共线，则存在唯一实数对λ、μ、，又、→→→BEBOBD，且λ＋μ＋μ使＝＝λ1.1→→BDBC，＝又31→→→BEBOBC，＝λ＋μ②∴31?k，＝4k?，＝λ??11??k，，＝λ＝μ解得根据①②得43???3μλ＋＝1，?.＝μ411→→BEBABEBA.∴，∴＝＝44点评借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.6 平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍：1.重心三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为2∶1.在→→GABCGABCGAGB＋是△向量表达形式中，设点所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有1→→→→→→→→GCPGPAPBPCPGAGBGCG是，则点反之，若＝或(＝＋＋0＋＋)(其中为平面任意一点).＋0＝3ABCGABC分别是三角形的重心和三个顶点，且坐在向量的坐标表示中，若，，，△的重心.xxxyyy＋＋＋＋311223yCxyxyGxxByyxA.，则有)，＝，)，(，)，()(标分别为，，(，＝31221333．→→→ABCOOAOBOCSSS的值，试求∶＋2∶＋3. 例已知△内一点＝满足关系0AOBCOABOC△△△OBBBBOBOCCCCOCABACBC.至，，使解如图，延长，连接至，使＝＝2，延长，11111111→→→→OBOBOCOC. ＝，则3＝211→→→OAOBOC＝0，＋由条件，得＋11OABC的重心∴点.是△111SBOCSCOASAOBSSABC的面积从而＝△，其中△＝表示△△＝.SSSSSSBOCSBOCS.1111113111111＝△，＝＝，×＝＝△∴BOCCOAAOB1△1△△19622318111SSS＝∶∶∶＝1∶2∶3.∶于是OAOBOCGAGBGC＝0与三角形的重心性质＋本题条件＋2＋＋3 AOBBOCCOA△△△1896→→→→→→十分类似，因此我们＝0点评O成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点通过添加辅助线，构造一个三角形，使点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.→→→ABCOOAOBOCSSS＝0，则＋λ∶＋λ∶引申推广已知△＝内一点λ满足关系AOBBOCCOA△△△321λ∶λ∶λ. 3122.垂心H是.在向量表达形式中，若三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边→→→→→→→→→→→→→→222222ABCHAHBHBHCHCHAHABCHBCAHCABHAHB··＋＝.·＝或反之，若＋△的垂心，则＝·＋＝→→→→HBHCHCHAHABC的垂心＝. ·＝是△·，则3.内心三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距→→→→→→IABCBCIACAIBABIC＝|·的内心，则有||·|·＋＋|离相等.在向量表达形式中，若点是△|→→→→→→BCIACAIBABICIABC的内心，则点|. |·0.反之，若|是△|·＝＋||·0＋4.外心三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶→→→→→→OABCOAOBBAOBOCCB)·是△＝的外心，则((＋＋)·点的距离相等.在向量表达形式中，若点→→→→→→→→→OCOAACOAOBOCOAOBOCOABC的外，则点＝＝反之，若＝＝或(＝＋)·＝0||||||.||||||是△.心．。
