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信道编码基本概念 线性分组码循环码卷积码交织技术Hailiang Xiong Shandong University❑实际信道中传输数字信号时，由于信道传输特性的不理想及加性噪声的影响，我们接收到的数字信号不可避免地会发生错误。
❑合理设计基带信号，选择调制解调方式等可以使误比特率降低；但如果得到的误比特率仍无法满足要求，则必须采用信道编码，即差错控制编码来降低误比特率。
Hailiang Xiong Shandong University❑信道编码的基本做法：在发送端给被传输的信息序列附加上一定的监督码元，这些多余的监督码元和信息码元之间有某种确定的关连规则（约束关系）。
接收端则按照这种既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输中发生错误，则信息码元和监督码元之间的关系将受到破坏，从而可以发现错误甚至纠正错误。
Hailiang Xiong Shandong University1.信道编码在通信系统中的位置和作用Hailiang Xiong Shandong University2.信道编码的基本分类：线性码和非线性码；分组码和非分组码（依据构造，编译码过程，性能指标）。
❑三种主要的信道编译码原理线性分组码循环码卷积码3.了解其他类型的信道编码以及相关编码界限❑信道编码的性能分析❑信道编码的发展与应用Hailiang Xiong Shandong University9.1 信道编码的基本概念1. 信道传输所引起的差错类型随机差错：一般无记忆信道中发生噪声独立随机的干扰每个传输码元——接收码元中错误也是独立随机出现。
高斯白噪声信道、卫星信道、光纤信道、微波视距中继传播信道突发差错：一般有记忆信道中发生噪声、干扰具有相关性——错误成对成串出现。
实际衰落信道、无线移动信道、短波信道等 混合信道：信道中既有独立随机错误也有突发性错误发生Hailiang Xiong Shandong University9.1 信道编码的定义与分类❑信道编码基本分类：纠独立随机差错码，纠突发差错码，纠混合差错码❑对应不同的信道特性设计和选择信道编码的类型。
信道编码的不同功能：检错码、纠错码和纠删码（纠错检错，发生不可纠错误可发出错误指示或简单删除信息码元）按信息码元和监督码元间的约束关系：分组码、卷积码按信息码元在编码后是否保持原来形式不变：系统码和非系统码 按码元取值不同：二进制码、多进制码Hailiang Xiong Shandong University2. 信道编码基本概念❑依据一定的规律在信息码元中加入一定的多余码元，保证传输的可靠性。
❑信道编码的任务：构造以最小的多余度（冗余度）换取最大抗干扰性能的好码。
(1) 重复码：a不重复发送b重复发送一次c 重复发送2次或多次Hailiang Xiong Shandong University将同一信息比特u 重复n 遍形成的码字——（n ，1）错误概率：（重复三次）若信道错误概率p =0.01则编码后错误概率降为p =0.000298，编码效率同时降低1/3。
2233233(1)(32)e P C p p C p p p =-+=-基本编码方式：Hailiang Xiong Shandong University(2) 线性分组码❑软判决与硬判决译码（简单理解：译码器输入比特的选取）❑码距：两个码组中对应位置上具有不同二进制码元的位数❑码重（汉明重量）：线性分组码中，将码字（组）中所含1的数目定义为码字（组）的重量❑编码效率：平均每个编码器输出符号所携带的信息比特数❑编码信道：研究信道编码和译码的信道模型二元码、硬判决时，建模为BSC（二元对称）信道软判决时，建模为AWGN信道Hailiang Xiong Shandong University❑信道编码性能参数主要的性能参数有差错概率、编码增益、检纠错能力。
编码增益：给定差错概率下，通过编码所能实现的比特信噪比的减少量检错能力l ：d min ≥l +1纠错能力t ：d min ≥2t +1检错l 纠错t ：d min ≥l+t +1Hailiang Xiong Shandong University(3) 基本线性分组码a.（奇）偶监督码❑码字由n 个码元组成，n -1个信息码元，另一码元为奇（偶）监督码元——（n ，n -1）奇偶监督码，码率1/(n -1)可检测到奇数个错误图样，如果错误个数为偶数则无法检测。
❑考虑（4，3）偶监督码，信息比特000 100 010 110 001 101 011 111检验比特0 1 1 0 1 0 0 1码字0000 1001 0101 1100 0011 1010 0110 1111无法检测到的错误概率：，若p =0.01，则无法检测到的错误概率P e =5.8807*10-4112101,,...,,n n n i i C C C C C C ---=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑2224422444(1)6(1)e P C p p C p p p p =-+=-+Hailiang Xiong Shandong Universityb.恒比码❑每个码组中“1”和“0”的个数保持恒定，因而比值恒定。
我国电传通信中“5中取3码”——每个5bit 码组中必须含有3个“1”（2个“0”），总数共有种来表示十进制数。
c.汉明码❑能纠正单个随机错误的线性分组码325510C C ==Hailiang Xiong Shandong University❑差错控制类型对信道编码的要求ARQ（自动请求重发）——反馈信道（时延）●适用于非实时数据传输系统●要求信道编码具有检错功能FEC（前向纠错）●适用于实时通信系统中●要求信道编码具有纠错功能HEC（混合纠错）ARQ+FEC，即能检错又能纠错●首先收端进行检错，如错误在纠错范围内则纠正，否则请求重传Hailiang Xiong Shandong University信道编码主要涉及的数学知识：有限域运算、矩阵运算。
❑有限域初步知识：Galois 域——迦罗华域❑有限域：指有限各元素的集合，可按规则进行代数四则运算，且运算结果仍属于集合中的有限元素。
❑对于二元域，记为GF(2)，其内码元满足模二运算。
❑二元扩展域GF(2n )——由GF(2)元素的一切长度为n 的序列组成的集合（二进制数组的集合）。
,'(2),(2)n n GF GF α∈∈x x 设()''''11221100',,...,,n n n n x x x x x x x x ----⊕=⊕⊕⊕⊕x x 加法：()1210,,...,,n n x x x x αααα--=⋅⋅⋅⋅αx 乘法：Hailiang Xiong Shandong University9.2 线性分组码❑3.1基本概念（1）线性分组码数学定义：编码前信息码元空间U k ，经映射f ，编码后码字空间C n ，即f: U k →C n ，其中n>k 。
若f 进一步满足线性关系：，其中则称f 为线性编码映射，进一步若f 为一一对应映射，则f 为唯一可译线性编码。
由f 编写成的码c 称为线性分组码。
()()()u u'u u'f f f αβαβ⊕=⊕,(2){0,1},u u'k GF αβ∈=∈U 与Hailiang Xiong Shandong University（2）线性分组码的基本概念与性质分组：按每k 个信息位进行编码，输出n 位码，记为(n,k ) 码。
编码效率k/n线性：码字集中任意码字的线性组合仍是码字（码字的集合C 对加法封闭）；全零序列也是线性分组码中的一个码字。
线性分组码中任意两个不同码字间汉明距离的最小值称为码组的最小距离1212,,,i j i j C C C C C C C αααα∈∈+∈若则其中、是码元符号集中的任意元素min ,,min (,)i j i j c c i jd d c c ≠=Hailiang Xiong Shandong University（2）线性分组码的基本概念与性质除全零码外，码子的最小重量称为码组（字）的最小重量线性分组码各码字之间的最小距离等于某非零码字的最小汉明重量min 0min ()i i c W W c ≠=⏹线性分组码的判断依据：码字集合对加法封闭，包含全零序列——线性分组码min mind W =Hailiang Xiong Shandong University3.2 生成矩阵和监督矩阵（1）生成矩阵（n，k）线性分组码的构造——依据给定的k个信息码元，设计满足编码条件（最小码距、码率）的n-k个监督码元。
例: 二元（7，3）线性分组码，n=7, k=3, r=7-3=4, u=(u2,u1, u0)→c=(c6, c5,c4,c3, c2, c1,c0)。
构造：编码位高位直接对应信息位；编码位低位为监督位。
c=uG设信息码元序列为u，长度为k，由c=uG可以得到一个n位的码组，也即由k个信息位经过一个线性变换矩阵G产生。
G——生成矩阵。
Hailiang Xiong Shandong University若生成矩阵可以分解成两个子块，G=[I ；Q]其中I 为k 介单位矩阵，Q 为k *(n -k )阶矩阵，则c 为系统码，又称为组织码，G 为系统码的生成矩阵（典型生成矩阵）。
系统码与非系统码：若信息分组以不变的形式出现在线性分组码的任意k 位（一般为前k 位），则称此码组为系统码，否则称为非系统码。
（如果编码其输出的比特流中原样包含了信息比特，叫系统码。
编码输出中的这些原始信息位也叫系统位。
）111121......n k kn k g g g g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g G g Hailiang Xiong Shandong University（2）生成矩阵的特性：生成矩阵G 一定是k 行n 列的k *n 阶矩阵，G 的每行构成一行矢量，共有k 个行矢量[g 1,g 2,…,g k ]T 线性分组码的每个码组（字）是生成矩阵G 各行矢量的线性组合。
G 的每一行是一个码字生成矩阵G 的各行线性无关 对非系统码的生成矩阵，总可以经过初等行变换及列交换构造成另一等价的系统码的生成矩阵，并且这两个线性分组码检、纠错性能相同。
()121101122110,...,,...k k k k k k g g u u u u g u g u g u g g ----⎛⎫ ⎪ ⎪==++++ ⎪ ⎪⎝⎭c =uG Hailiang Xiong Shandong University❑列的交换和初等行变换不改变矩阵的秩，变换后矩阵的各行矢量仍线性无关。
