2013届苏锡常镇四市高三第三次模拟考试数学试卷2013-5-2

江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研（二）数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．（5分）（2013•镇江二模）已知i是虚数单位，复数对应的点在第四象限．解：∵
2．（5分）（2013•镇江二模）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B{x|﹣1≤x≤1}．
3．（5分）（2013•镇江二模）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，则数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为8．
（
（
4．（5分）（2013•镇江二模）“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．
5．（5分）（2013•镇江二模）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则
此双曲线方程为．
=1（y=可求得
y=
x的距离为，
==
=1
6．（5分）（2013•镇江二模）根据如图所示的流程图，输出的结果T为．
值为：
故答案为：．
7．（5分）（2013•镇江二模）在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和
为．
，所以。

2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 记函数f(x)=√3−x 的定义域为A ，函数g(x)=lg(x −1)的定义域为B ，则A ∩B =________．2. 已知复数z 满足(z +1)i =3+5i ，其中i 为虚数单位，则|z|=________．3. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为3，则输入x 的值为________．4. 如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是________．5. 已知函数f (x)＝2sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________．6. 在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →=(3, −1)，OB →=(0, 2)．若OC →⋅AB →=0，AC →=λOB →，则实数λ的值为________．8. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β，②若m ⊂α，α∩β=n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α // β，则m // n ； ④若m // α，m ⊂β，α∩β=n ，则m // n ．上述命题中为真命题的是________（填写所有真命题的序号）． 9.如图，在△ABC 中，∠B =45∘，D 是BC 边上的一点，AD =5，AC =7，DC =3，则AB 的长为________．10. 记定义在R 上的函数y =f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x 0∈[a, b]，使得f(b)−f(a)=f′(x 0)(b −a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a, b]上的“中值点”．那么函数f(x)=x 3−3x 在区间[−2, 2]上“中值点”的个数为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点F 是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，延长FA 与另一条渐近线交于点B ．若FB →=2FA →，则双曲线的离心率为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:x 2+y 2−(6−2m)x −4my +5m 2−6m =0，直线l 经过点(1, 0)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n =−n +p ，数列{b n }的通项公式为b n =2n−5．设c n ={a n ，a n ≤b n b n ，a n >b n，若在数列{c n }中，c 8>c n (n ∈N ∗, n ≠8)，则实数p 的取值范围是________．14. 设点P 是曲线y =x 2上的一个动点，曲线y =x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y =x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．二、解答题：本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知α，β∈(0, π)，且tanα=2，cosβ=−7√210． (1)求cos2α的值； (2)求2α−β的值．16.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A =√2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF // 平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．17. 已知函数f(x)=12m(x −1)2−2x +3+lnx ，m ∈R ．（1）当m =0时，求函数f(x)的单调增区间；（2）当m >0时，若曲线y =f(x)在点P(1, 1)处的切线l 与曲线y =f(x)有且只有一个公共点，求实数m 的值．18. 将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为lcm ． （1）若l =4，求S 1的最大值；（2）若S 1:S 2=1:2，求l 的取值范围．19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2m +y 28−m =1．（1）若椭圆C 的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围； （2）若m =6，①P 是椭圆C 上的动点，M 点的坐标为(1, 0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标；②过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点N ，证明：ABFN 是定值，并求出这个定值． 20. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）求证：数列{Snn }是等差数列；（2）若a 1=1，且对任意正整数n ，k(n >k)，都有√S n+k +√S n−k =2√S n 成立，求数列{a n }的通项公式；（3）记b n =a a n (a >0)，求证：b 1+b 2+⋯+b nn≤b 1+b n 2．21. 如图，三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，D ，E 分别为PB ，PC 中点．（1）若PA =2，求直线AE 与PB 所成角的余弦值； （2）若平面ADE ⊥平面PBC ，求PA 的长．22.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（1）求p 1，p 2的值； （2）求证：∑14p i −1n i=1>n 2n+1．三、【选做题】在23、24、25、26四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23. 选修4−1：几何证明选讲如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，线段OP 交⊙O 于点C ．若PA =12，PC =6，求AB 的长．24. 选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =|1ab 1|对应的变换将点A(1, 1)变为A′(0, 2)，将曲线C:xy =1变为曲线C′．（1）求实数a ，b 的值； （2）求曲线C′的方程．25. 选修4−4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π6)，点M 的极坐标为(6, π6)，直线l 过点M ，且与圆C 相切，求l 的极坐标方程．26. 选修4−5：不等式选讲解不等式x|x −4|−3<0．2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷答案1. (1, 3]2. 53. 84. 127 5. 236. 710 7. 2 8. ①④ 9.5√6210. 2 11. 212. 2x +y −2=0 13. (12, 17) 14.3√3215. 解：(1)cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α， 因为tanα=2， 所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tanα=2，所以α∈(0,π2)， 又cos2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin2α=45.因为β∈(0, π)，cosβ=−7√210．所以sinβ=√210，β∈(π2,π)，所以sin(2α−β)=sin2αcosβ−cos2αsinβ=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22，又2α−β∈(−π2,π2 )，所以2α−β=−π4．16. 证明：（1）如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵ F为C1B的中点，∴ FG= // 12C1C．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A= // C1C，E为A1A的中点，∴ FG= // EA，∴ 四边形AEFG是平行四边形．∴ EF // AG．∵ EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴ EF // 平面ABC．（2）∵ 点D是正△ABC的AC边的中点，∴ BD⊥AC，由正三棱柱ABC−A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴ BD⊥侧面ACC1A1．∴ BD⊥C1E．∵ A1C1AE =A1EAD=√2，∴ Rt△A1C1E∽Rt△AED，∴ ∠A1EC1=∠ADE．∴ ∠AED+∠A1EC1=90∘，∴ C1E⊥ED．∵ ED∩DB=D．∴ C1E⊥平面BDE．17. 解：（1）当m=0时，函数f(x)=−2x+3+lnx由题意知x>0，f′(x)=−2+1x =−2x+1x，令f′(x)>0，得0<x<12时，所以f(x)的增区间为(0, 12)．（2）由f′(x)=mx−m−2+1x，得f′(1)=−1，知曲线y=f(x)在点P(1, 1)处的切线l的方程为y=−x+2，于是方程：−x+2=f(x)即方程12m(x−1)2−x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g(x)=12m(x−1)2−x+1+lnx，(x>0)．则g′(x)=mx 2−(m+1)x+1x=(x−1)(mx−1)x，①当m=1时，g′(x)=(x−1)(x−1)x≥0，g(x)在(0, +∞)上为增函数，且g(1)=0，故m=1符合题设；②当m>1时，由g′(x)>0得0<x<1m或x>1，由g′(x)=(x−1)(mx−1)x <0得1m<x<1，故g(x)在区间(0, 1m )，(1, +∞)上单调递增，在(1, 1m)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→0时，g(x)→−∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故m>1不合题意；③当0<m<1时，由g′(x)=(x−1)(mx−1)x >0得0<x<1或x>1m，由g′(x)<0得1<x<1m，故g(x)在区间(0, 1)，(1m , +∞)上单调递增，在(1, 1m)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→+∞时，g(x)→+∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故0< m<1不合题意；∴ 由上述知：m=1．18. 解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：情形①情形②情形③①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．因为x 2+y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时取等号，所以S 1=12xy ≤4，当且仅当x =y =2√2时取等号，即S 1的最大值为4．（2）由题意知，长方形的面积为S =6×8=48， 因为S 1:S 2=1:2，S 1≤S 2，所以S 1=16，S 2=32．当折痕是情形①时，设AM =xcm ，AN =ycm ，则12xy =16，即y =32x，由{0≤x ≤80≤32x ≤6，解得163≤x ≤8，所以l =√x 2+y 2=√x 2+322x 2，163≤x ≤8，设f(x)=x 2+322x2，x >0，则f′(x)=2x −2×322x 3=2(x 2+32)(x+4√2)(x−4√2)x 3，x >0，故当x ∈(163,4√2)时f′(x)<0，f(x)递减，当x ∈(4√2, 8)时，f′(x)>0，f(x)递增，且f(163)=6449，f(8)=80，所以f(x)的取值范围为[64, 80]，从而l 的范围是[8, 4√5]．当折痕是情形②时，设AM =xcm ，DN =ycm ，则12(x +y)×6=16，即y =163−x ，由{0≤x ≤80≤163−x ≤8，解得0≤x ≤163，所以l =√62+(x −y)2=√62+4(x −83)2，0≤x ≤163，所以l 的范围为[6, 2√1453]； 当折痕是情形③时，设BN =xcm ，AM =ycm ，则12(x +y)×8=16，即y =4−x ， 由{0≤x ≤60≤4−x ≤6，得0≤x ≤4，所以l =√82+(x −y)2=√82+4(x −2)2，0≤x ≤4， 所以l 的取值范围为[8, 4√5]， 综上，l 的取值范围为[6, 4√5]． 19. 解：（1）由题意得，m >8−m >0，解得4<m <8， 所以实数m 的取值范围是(4, 8)； （2）因为m =6，所以椭圆C 的方程为x 26+y 22=1，①设点P 坐标为(x, y)，则x 26+y 22=1，因为点M 的坐标为(1, 0)，所以PM 2=(x −1)2+y 2=x 2−2x +1+2−x 23=23x 2−2x +3=23(x −32)2+32，x ∈[−√6，√6]，所以当x =32时，PM 的最小值为√62，此时对应的点P 坐标为(32,±√52)；②由a 2=6，b 2=2，得c 2=4，即c =2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2, 0)，右准线方程为x =3，离心率e =√63， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 的中点H(x 0, y 0)， 则x 126+y 122=1，x 226+y 222=1，两式相减得，x 12−x 226+y 12−y 222=0，即k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−x3y 0，令k =k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y −y 0=−1k (x −x 0)， 令y =0，则x N =ky 0+x 0=23x 0，因为F(2, 0)，所以FN =|x N −2|=23|x 0−3|， 因为AB =AF +BF =e(3−x 1)+e(3−x 2)=2√63|x 0−3|．故ABFN =2√63×32=√6，即ABFN 为定值√6．20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，（1）由于S n =na 1+n(n−1)2d ，从而S nn =a 1+n−12d ，所以当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=(a 1+n−12d)−(a 1+n−22d)=d 2，即数列{Snn }是等差数列．（2）∵ 对任意正整数n ，k(n >k)，都有√S n+k +√S n−k =2√S n 成立， ∴ √S n+1+√S n−1=2√S n ，即数列{√S n }是等差数列，设其公差为t ， 则√S n =√S 1+(n −1)t =1+(n −1)t ，所以S n =[1+(n −1)t]2，所以当n ≥2时，a n =S n −S n−1=[1+(n −1)t]2−[1+(n −2)t]2=2t 2n −3t 2+2t ， 又由等差数列{a n }中，a 2−a 1=a 3−a 2，即(4t 2−3t 2+2t)−1=(6t 2−3t 2+2t)−(4t 2−3t 2+2t)所以t =1，即a n =2n −1．（3）由于a n =a 1+(n −1)d ，b n =a a n ，则b n+1b n=a a n+1−a n =a d ，即数列{b n }是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q(q >0)． 以下证明：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k =1+n ．∵ (b 1+b n )−(b p +b k )=b 1+b 1q n−1−b 1q p−1−b 1q k−1=b 1(q p−1−1)(q k−1−1)， 当q >1时，因为y =q x 为增函数，p −1≥0，k −1≥0， ∴ q p−1−1≥0，q k−1−1≥0，∴ b 1+b n ≥b p +b k ； 当q =1时，b 1+b n =b p +b k ；当q =1时，因为y =q x 为减函数，p −1≥0，k −1≥0， ∴ q p−1−1≤0，q k−1−1≤0，∴ b 1+b n ≥b p +b k ，综上：b 1+b n ≥b p +b k ，其中p ，k 为正整数，且p +k =1+n ．∴ n(b 1+b n )=(b 1+b n )+(b 1+b n )+…(b 1+b n )≥(b 1+b n )+(b 2+b n−1)+…(b n +b 1) =(b 1+b 2+...+b n )+(b n +b n−1+...+b 1)，即b 1+b 2+⋯+b nn≤b 1+b n 2．21. 解：（1）如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ．以A 为坐标原点，过A 且与FB 平行的直线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(0, 0, 0)，B(√3, 1, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)∴ PB →=(√3, 1, −2)，AE →=(0, 1, 1)设直线AE 、PB 所成的角为θ，则cosθ=||PB →|⋅|AE →|˙|=14 即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14；（2）设PA =a ，则P(0, 0, a)，可得PB →=(√3, 1, −a)，PC →=(0, 2, −a)设平面PBC 的法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⋅PB →=0且n 1→⋅PC →=0∴ {√3x +y −az =02y −az =0，令z =2，得y =a ，x =√33．可得n 1→=(√33a, a, 2)是平面PBC 的一个法向量 ∵ D 、E 分别为PB 、PC 中点，∴ D(√32, 12, a2)，E(0, 1, a 2) 因此，AD →=(√32, 12, a2)，AE →=(0, 1, a 2)，类似求平面PBC 法向量n 1→的方法，可得平面ADE 的一个法向量n 2→=(−√33a, −a, 2) ∵ 平面ADE ⊥平面PBC ，∴ n 1→⊥n 2→，可得n 1→⋅n 2→=−13a 2−a 2+4=0，解之得a =√3因此，线段PA 的长等于√3．22. 解：（1）棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A 出发．由3条路径，所以p 1=23．棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p 2=23×23+13(1−23)=59． （2）因为移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率为p n ． 故落在下底面顶点的概率为1−p n ．于是，移了n +1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n+1=23p n +13(1−p n )=13p n +13，从而p n+1−12=13(p n −12)，所以数列{p n −12}是等比数列，首项为16公比为13，所以p n −12=16×(13)n−1，用数学归纳法证明：∑14p i−1n i=1>n 2n+1．①当n =1时左式=14×23−1=35，右式=12，因为35>12，所以不等式成立． 当n =2时，左式=14×23−1+14×59−1=7855，右式=43，所以不等式成立；②假设n =k(k ≥2)不等式成立，即∑14p i −1k i=1>k 2k+1．则n =k +1时，左式=∑14p i−1k i=1+14pk+1−1>k 2k+1+14(12+12×13k+1)−1=k 2k+1+3k+13k+1+2，要证k 2k+1+3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2，只要证3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2−k 2k+1，即证：3k+13k+1+2≥k 2+3k+1k 2+3k+2， 只要证23k+1≤1k 2+3k+1，只要证3k+1≥2k 2+6k +2，因为k ≥2，所以3k+1=3(1+2)k ≥3(1+2k +4C k 2)=6k 2+3=2k 2+6k +2+2k(2k −3)+1>2k 2+6k +2 所以k 2k+1+3k+13k+1+2≥(k+1)2k+2，即n =k +1时不等式也成立，由①②可知∑14p i−1n i=1>n 2n+1对任意n ∈N ∗都成立．23. 解：如图所示，延长PO 交⊙O 于D 点，连接AO ，BO ，AB 交OP 于点E ． ∵ PA 与⊙O 相切，∴ PA 2=PC ⋅PD ． 设⊙O 的半径为R ，∵ PA =12，PC =6． ∴ 122=6(6+2R)，解得R =9．∵ PA ，PB 与⊙O 都相切，∴ PA =PB ． 又∵ OA =OB ，∴ OP 垂直平分AB ． 即OP ⊥AB ，AB =2OE ．在Rt △OAP 中，12OA ⋅AP =12OP ⋅AE ． ∴ AE =9×126+9=365．∴ AB =725．24. 解：（1）由已知得M [1′1′]=[0′2′]，即[1a b 1][1′1′]=[0′2′]，∴ {1+a =0b +1=2 ∴ {a =−1b =1． （2）设点P(x ′, y ′)是曲线C:xy =1上的任意一点，变换后的点为P ′(x, y)则[1−111][x′′y′′]=[x′y′]，即{x′−y′=x x′+y′=y ，解得{x′=x+y 2y′=y−x 2， 因为x′y′=1，所以y+x 2×y−x 2=1，即y 24−x 24=1．即曲线C′的方程为y 24−x 24=1．25. 解：圆C 的直角坐标方程为(x −√3)2+(y −1)2=4．…点M 的直角坐标为(3√3, 3)，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为；y −3=k(x −3√3)， 圆心到直线的距离为r =2，…因为圆心到直线l 的距离d =√3k−2|√k 2+1=2，所以k =0或k =√3．故所求直线的方程为y =3或√3x −y −6=0， 其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin(π3−θ)=3…26. 解：原不等式转化为：{x ≥4x 2−4x −3<0或{x <4x 2−x +3>0解得{x ≥42−√7<x <2+√7或{x <4x <1或x >3即4≤x <2+√7或3<x <4或x <1．综上不等式的解集为：{x|x <1或3<x <2+√7}．。

2013年江苏省五市高考数学三模试卷（南通、泰州、扬州、连云港、淮安）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A=(-2，1]，B=[-1，2)，则A∪B= ．【答案】(-2，2)【解析】试题分析：已知集合A=(-2，1]，B=[-1，2)，根据并集的定义进行求解．∵集合A=(-2，1]，B=[-1，2)，A∪B=(-2，2)，故答案为：(-2，2)．2.设复数z满足(3+4i)z+5=0(i是虚数单位)，则复数z的模为．【答案】1【解析】试题分析：直接移项已知方程，两边求模，化简即可．因为复数z满足(3+4i)z+5=0，所以(3+4i)z=-5，两边求模可得：|(3+4i)||z|=5，所以|z|=1．故答案为：1．3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．【答案】2400【解析】试题分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．经过第一次循环得到结果为s=400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=2×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=3×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=4×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=5×400，此时满足判断框的条件，经过第二次循环得到结果为s=6×400，此时不满足判断框的条件，执行输出s，即输出2400．故答案为：2400．4.“M＞N”是“log2M＞log2N”成立的条件．【答案】必要不充分【解析】试题分析：当M＞N时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2M＞log2N，即前者不一定推出后者；当log2M＞log2N时，根据对数函数的单调性知有M＞N，即后者可以推出前者，得到结论．∵当M＞N时，不确定两个数字的正负，不一定得到log2M＞log2N，即前者不一定推出后者；当log2M＞log2N时，根据对数函数的单调性知有M＞N，即后者可以推出前者，∴“M＞N”是“log2M＞log2N”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分5.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h～120km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为．【答案】15【解析】试题分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数．正常行驶在60km/h～120km/h的频率为20×(0.0100+0.0150+0.0175)=0.85，非正常行驶的频率有1-0.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有100×0.15=15．故答案为：15．6.在平面直角坐标系x O y中，抛物线x2=2py(p＞0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为．【答案】4【解析】试题分析：先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．依题意可知抛物线的准线方程为y=点A与抛物线焦点的距离为3，∴纵坐标为1，点A到准线的距离为+1=3，解得p=4．抛物线焦点(0，2)，准线方程为y=-2，∴焦点到准线的距离为：4．故答案为：4．7.从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为．【答案】【解析】试题分析：所有的取法共有=36种方法，用列举法求得其中，满足条件的取法共有三种方法，由此求得所求事件的概率．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的数a和b，所有的取法共有=36种方法，其中，满足个数恰是另一个数的3倍的取法有1和3，2和6，3和9，共三种方法，故其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为=，故答案为．8.在平面直角坐标系x O y中，设点P为圆C：(x-1)2+y2=4上的任意一点，点Q(2a，a-3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为．【答案】【解析】试题分析：根据点Q的坐标可得点Q在直线x-2y-6=0上，求出圆心(1，0)到直线x-2y-6=0的距离，再将此距离减去半径，即得所求．设点Q(x，y)，则x=2a，y=a-3，∴x-2y-6=0，故点Q在直线x-2y-6=0上．由于圆心(1，0)到直线x-2y-6=0的距离为d==，故则线段PQ长度的最小值为-2，故答案为-2．9.函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2013)的值为．【答案】【解析】试题分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，球的函数的解析式，再利用诱导公式求得f(2013)的值为．由函数的图象可得A=5，周期T==11-(-1)=12，∴ω=．再由五点法作图可得(-1)+φ=0，∴φ=，故函数f(x)=5sin(x+)．故f(2013)=5sin(+)=5sin=5sin(336π-)=5sin(-)=-5sin=，故答案为．10.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2-a1=1．当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n= ．【答案】2n-1【解析】试题分析：设出等比数列的公比，代入a2-a1=1后求出首项和公比的关系，把a3用公比表示，利用二次函数求最值求出使a3最小的q的值，则通项公式可求．设等比数列的公比为q(q＞0)，由a2-a1=1，得a1(q-1)=1，所以．=(q＞0)，而，当q=2时有最大值，所以当q=2时a3有最小值4．此时．所以数列{a n}的通项公式a n=2n-1．故答案为2n-1．11.已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为．【答案】【解析】试题分析：由f(x)是偶函数可得x＞0时恒有f(-x)=f(x)，根据该恒等式即可求得a，b，c的值，从而得到f(x)，令t=f(x)，可解得A，B，C三点的横坐标，根据AB=BC可列关于t的方程，解出即可．因为f(x)是偶函数，所以x＞0时恒有f(-x)=f(x)，即x2-bx+c=ax2-2x-1，所以(a-1)x2+(b-2)x-c-1=0，所以，解得a=1，b=2，c=-1，所以f(x)=，由t=x2+2x-1，即x2+2x-1-t=0，解得x=-1±，故x A=-1-，x B=-1+，由t=x2-2x-1，即x2-2x-1-t=0，解得x=1±，故x C=1-，因为AB=BC，所以x B-x A=x C-x B，即2=2-2，解得t=-，故答案为：-．12.过点P(-1，0)作曲线C：y=e x的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，…，依次下去，得到第n+1(n∈N)个切点T n+1．则点T n+1的坐标为．【答案】(n，e n)【解析】试题分析：设T1(x1，)，可得切线方程代入点P坐标，可解得x1=0，即T1(0，1)，可得H1(0，0)，在写切线方程代入点H1(0，0)，可得T2(1，e)，H2(1，0)，…由此可得推得规律，从而可得结论．设T1(x1，)，此处的导数值为，故切线方程为y-=(x-x1)，代入点P(-1，0)可得0-=(-1-x1)，解得x1=0，即T1(0，1)，H1(0，0)，同理可得过点H1再作曲线C的切线方程为y-=(x-x2)，代入点H1(0，0)，可得0-=(0-x2)，可解得x2=1，故T2(1，e)，H2(1，0)，…依次下去，可得T n+1的坐标为(n，e n)故答案为：(n，e n)13.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，，CD=．若，则的值为．【答案】13【解析】试题分析：由题意求得，=①，=②，把①、②相加求得2=，由此可得=2．由求得+=15+ +，把它代入的表达式可得的值．如图所示：∵==+，∴=①；∵==+，∴=②．把①、②相加求得2=，由AB=1，，CD=，平方可得2×4=1+2+3，∴=2．设AB和CD相较于点O，∵=()•(-)=--+，∴+=15++．∴=()•()=+--=15++--=15+•()+•()=15++=15+=15+=15-=15-2=13，故答案为13．14.已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1＞a2＞a3，则a4的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：先根据题意a1+a2+a3=0得a1≥0a3≤0a1≥|a2|-a3≥|a2|．对于方程a1a42+a2a4-a2=0，将a4看成未知数，解二次方程得a4=-•±•，设=x，由a1≥|a2|知-1≤x≤1，利用a4=-x±的单调性结合x的取值范围，即可得出a4的取值范围．a1+a2+a3=0得a1≥0，a3≤0，a1≥|a2|-a3≥|a2|．a4==-•±•，设=x，由a1≥|a2|．知-1≤x≤1，a4=-x±，由x2+4x≥0，得0≤x≤1，当a4=-x+时，有当x=1，a4取最大，最大值a4=-+；当a4=-x-时，有当x=1，a4取最小，最小值a4=--；则a4的取值范围是．故答案为：．二、解答题(本大题共12小题，共80.0分)15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等．(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：平面PAC⊥平面ABCD．【答案】证明：(1)在矩形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．(2)如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，又PA=PB=PC=PD，故PO⊥AC，PO⊥BD又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．【解析】(1)由矩形ABCD，对边平行得到AB∥CD，结合线面平行的判定定理得到AB∥平面PCD；(2)连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得PO⊥AC，PO⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PO⊥平面ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC⊥平面ABCD．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角B的大小；(2)设T=sin2A+sin2B+sin2C，求T的取值范围．【答案】解：(1)∵在△ABC中，b2=a2+c2-2accos B，∴b2-a2-c2=-2accos B，同理可得c2-a2-b2=-2abcos C∵∴，∵sin C≠0，可得sin B cos C=2sin A cos B-sin C cos B，∴2sin A cos B=sin B cos C+sin C cos B=sin(B+C)=sin A，∵sin A≠0，∴等式两边约去sin A，可得，∵0＜B＜π，∴角B的大小．(2)∵B=，sin2A=(1-cos2A)，sin2C=(1-cos2C)T=sin2A+sin2B+sin2C=∵A+C=，可得2C=-2A，∴cos2A+cos2C=cos2A+cos(-2A)=cos2A-sin2A=sin(-2A)因此，=-sin(-2A)∵，可得-＜-2A＜，∴-1≤sin(-2A)，可得＜-sin(-A)≤因此，T=sin2A+sin2B+sin2C的取值范围为(，]【解析】(1)根据余弦定理，将题中等式化简整理，可得sin B cos C=2sin A cos B-sin C cos B，称项化简得2sin A cos B=sin(B+C)=sin A，在两边约去sin A得，结合三角形内角取值范围即可得到角B的大小；(2)根据B=代入，结合二倍角的余弦公式降次，再用辅助角公式合并可得T=sin2A+sin2B+sin2C=-sin(-2A)．最后根据角A的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到T的取值范围．17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm，中间留有厚度为x的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d的均匀介质，两侧的温度差为△T，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中k为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．(注：玻璃的热传导系数为4×10-3J•mm/°C，空气的热传导系数为2.5×10-4J•mm/°C．)(1)设室内，室外温度均分别为T1，T2，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为，且．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量(结果用T1，T2及x表示)；(2)为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x的大小？【答案】解：(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q1，Q2，则，===．(2)由(1)知，当=4%时，解得x=12(mm)．答：当x=12mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%．【解析】(1)直接由单位面积上通过的热量公式求得单层玻璃在单位面积上通过的热量．分别求出双层玻璃在单位面积上经过玻璃及空气隔层的热量，利用合比定理转化为含有T1，T2的关于x的表达式；(2)利用在单位面积上经过两种玻璃的热量的比值等于4%求取x的值．18.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆的右焦点为F(1，0)，离心率为．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OE=EF．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．【答案】解：(1)由题意，得c=1，，故，可得b2=a2-c2=1，∴椭圆的方程为．①(2)证明：设直线AB的方程为y=kx，②直线CD的方程为y=-k(x-1)，③由①②联解，得点A的横坐标为，点B的横坐标为，同理，联解①③，得点C的横坐标为，D的横坐标为记A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1-x3))，D(x4，k(1-x4))，因此，直线AC，BD的斜率之和为====0．即直线AC，BD的斜率之和为0(定值)【解析】(1)根据题意，建立关于a、c的方程组，解之可得且c=1，再用平方关系算出b2=1，即可得到椭圆的方程；(2)设直线AB的方程为y=kx，与椭圆方程联解可得A的横坐标为，点B的横坐标为，同理得到点C、D的横坐标关于k的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线AC，BD的斜率之和为0，从而证出所求证的命题是真命题．19.已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b n}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．(1)若a5=b5，q=3，求数列{a n•b n}的前n项和；(2)若存在正整数k(k≥2)，使得a k=b k．试比较a n与b n的大小，并说明理由．【答案】解：(1)依题意，，故，所以a n=1+20(n-1)=20n-19，令，①则，②①-②得，==(29-20n)•3n-29，所以．(2)因为a k=b k，所以1+(k-1)d=q k-1，即，故，又，所以==，(ⅰ)当1＜n＜k时，由q＞1知，=＜0；(ⅱ)当n＞k时，由q＞1知，=(q-1)2q k-2(n-k)＞0，综上所述，当1＜n＜k时，a n＞b n；当n＞k时，a n＜b n；当n=1时，a n=b n．【解析】(1)由q=3，b1=1可求得b5，从而得到a5，由a1=1及通项公式可求得a n，利用错位相减法即可求得数列{a n•b n}的前n项和；(2)由a k=b k，即1+(k-1)d=q k-1，得，，作差b n-a n变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；20.设f(x)是定义在(0，+∞)的可导函数，且不恒为0，记．若对定义域内的每一个x，总有g n(x)＜0，则称f(x)为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有，则称f(x)为“n阶不减函数”(为函数g n(x)的导函数)．(1)若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；(2)对任给的“2阶不减函数”f(x)，如果存在常数c，使得f(x)＜c恒成立，试判断f(x)是否为“2阶负函数”？并说明理由．【答案】解：(1)依题意，在(0，+∞)上单调递增，故恒成立，得，因为x＞0，所以a≤0．而当a≤0时，显然在(0，+∞)恒成立，所以a≤0．(2)①先证f(x)≤0：若不存在正实数x0，使得g2(x0)＞0，则g2(x)≤0恒成立．假设存在正实数x0，使得g2(x0)＞0，则有f(x0)＞0，由题意，当x＞0时，，可得g2(x)在(0，+∞)上单调递增，当x＞x0时，恒成立，即恒成立，故必存在x1＞x0，使得(其中m为任意常数)，这与f(x)＜c恒成立(即f(x)有上界)矛盾，故假设不成立，所以当x＞0时，g2(x)≤0，即f(x)≤0；②再证f(x)=0无解：假设存在正实数x2，使得f(x2)=0，则对于任意x3＞x2＞0，有，即有f(x3)＞0，这与①矛盾，故假设不成立，所以f(x)=0无解，综上得f(x)＜0，即g2(x)＜0，故所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”．【解析】(1)根据“n阶不减函数”的定义，设=，将[g1(x)] ≥0化简整理，可得在(0，+∞)上恒成立，因此a≤0．再将a≤0代入g1(x)表达式，可得g1(x)＜0在(0，+∞)上恒成立，由此可得满足条件的实数a的取值范围为(-∞，0]；(2)分两步：①根据“存在常数c，使得f(x)＜c恒成立”，结合反证法证出g2(x)≤0对任意x∈(0，+∞)成立，从而得到f(x)≤0任意x∈(0，+∞)恒成立；②根据“2阶不减函数”的性质，结合函数的单调性和不等式的性质证出方程f(x)=0无解．由以上两条，即可得到所有满足题设的f(x)都是“2阶负函数”．21.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O的半径为3，两条弦AB，CD交于点P，且AP=1，CP=3，．求证：△APC≌△DPB．【答案】证明：延长OP交⊙O与点E，F，由相交弦定理得，又AP=1，CP=3，∴DP=1，BP=3，∴AP=DP，BP=CP，而∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB．【解析】利用相交弦定理即可得出DP，BP，再利用三角形全等．的判定方法即可证明22.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值．【答案】解：由题意，矩阵M的行列式=0，解得x=5，矩阵M=的特征多项式=(λ-5)(λ-6)-(-5)×(-6)，令f(λ)=0并化简得λ2-11λ=0，解得λ=0或λ=11，所以矩阵M的特征值为0和11．【解析】先根据矩阵M=不存在逆矩阵得出对应的行列式等于0求出x，再根据特征值的定义列出特征多项式，令f(λ)=0解方程可得特征值即可．23.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，已知A(0，1)，B(0，-1)，C(t，0)，，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程(以t为参数)及普通方程．【答案】解：直线AC的方程为，①直线BD的方程为，②由①②解得，动点P的轨迹的参数方程为(t为参数，且t≠0)，将平方得，③将平方得，④由③④得，．(注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“x≠0”扣(1分)．)【解析】因为动点P为动直线直线AC、BD的交点，所以可用消参法求P的轨迹方程．先利用A，B，C，D四点坐标，则可得到含参数的直线AC、BD方程，再消去参数，即可得到求动点P的轨迹的参数方程，最后消去参数t化成普通方程即可．24.选修4-5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：．【答案】证明：先证，只要证2(a n+1+b n+1)≥(a+b)(a n+b n)，即要证a n+1+b n+1-a n b-ab n≥0，即要证(a-b)(a n-b n)≥0，若a≥b，则a-b≥0，a n-b n≥0，所以，(a-b)(a n-b n)≥0．若a＜b，则a-b＜0，a n-b n＜0，所以(a-b)(a n-b n)＞0，综上，可得(a-b)(a n-b n)≥0，从而．因为，所以．【解析】先用分析法证明，再利用基本不等式，即可证得成立．25.设n∈N*且n≥2，证明：+2[a1(a2+a3+…+a n)+a2(a3+a4+…+a n)+…+a n-1a n]．【答案】证明：(1)当n=2时，有，命题成立．(2)假设当n=k(k≥2)时，命题成立，即+2[a1(a2+a3+…+a k)+a2(a3+a4+…+a k)+…+a k-1a k]成立，那么，当n=k+1时，有==+2[a1(a2+a3+…+a k)+a2(a3+a4+…+a k)+…+a k-1a k]+2(a1+a2+…=+2[a1(a2+a3+…+a k+a k+1)+a2(a3+a4+…+a k+a k+1)+…+a k a k+1]．所以当n=k+1时，命题也成立．根据(1)和(2)，可知结论对任意的n∈N*且n≥2都成立．【解析】直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，(1)验证n=2时不等式成立；(2)假设当n=k(k≥2)时成立，利用上假设证明n=k+1时，不等式也成立．26.如图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的，，，．游戏规则如下：①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分；②(ⅰ)若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束；(ⅱ)若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．(1)求ξ=0的概率；(2)求ξ的概率分布及数学期望．【答案】解：(1)事件“ξ=0”包含：“首次积分为0分”事件A和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”事件B，且A与B两者互斥，∵P(A)=，又∵由题意参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，∴P(B)=．∴；(2)ξ的所有可能取值为0，10，40，100，由(1)知，又，，，所以ξ的概率分布为：因此，(分)．【解析】(1)事件“ξ=0”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，利用互斥事件的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式即可得出；(2)ξ的所有可能取值为0，10，40，100，利用互斥事件的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式和数学期望计算公式即可得出．。

【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编2：函数一、填空题1 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数,直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ,B ,C ,D .若AB BC =,则实数t 的值为______. 【答案】74- 2 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈,0)(≥x f 且9)()1(22=++x f x f .已知当]1,0[∈x 时,有242)(--=x x f ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛62013f 的值为________. 【答案】53 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数f (x )=32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥,若关于x 的方程f (x )=kx 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是______. 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ,当]1,0[∈t 时,]1,0[))((∈t f f ,则实数t 的取值范围是_____. 【答案】37[log ,1]35 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设函数()ln f x x =的定义域为(),M +∞,且0M >,对于任意a ,b ,(,)c M ∈+∞,若a ,b ,c 是直角三角形的三条边长,且()f a ,()f b ,()f c 也能成为三角形的三条边长,那么M 的最小值为________. 【答案】26 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥,且()()f a f b =,则()bf a 的取值范围是__. 【答案】5[,3)4;7 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x < 0时,f (x )=x + e x(e 为自然对数的底数),则()ln6f 的值为____. 【答案】1ln 66- 8 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(a)>f(b), 则f(-a)_________ f(-b)(填“>”或:“<”)【答案】<9 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++,则55(2)(2)22f f -++--=_____. 【答案】810．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）函数22()log (4)f x x =-的值域为______.【答案】(,2]-∞11．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知关于x 的函数y=2(1)t x t x-+(f∈R)的定义域为D,存在区间[a,b]⊆D,f(x)的值域也是[a,b].当t 变化时,b-a 的最大值=______________. 【答案】23312．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数2log ()3x x f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤,则=)]0([f f ____. 【答案】013．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）定义在R 上的函数()f x ,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=,当(2,0)x ∈- 时,()4x f x =,则(2013)f =________.【答案】答案:14. 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用.14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）方程lg(2)1x x +=有______个不同的实数根.【答案】2;15．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知函数21(1),02,()(2),2x x f x f x x ⎧⎪--≤<=⎨-≥⎪⎩, 若关于x 的方程()f x kx =(0)k >有且仅有四个根, 其最大根为, 则函数225()6724g t t t =-+的值域为 . 【答案】41[,1)25--16．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数f (x )=⎩⎨⎧2，x ∈[0，1]x ，x ∉[0，1].则使f [f (x )]=2成立的实数x 的集合为________. 【答案】{x |0≤x ≤1,或x =2};二、填空题17．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由; 若函数3()1x a g x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围;若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值. 【答案】解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0] 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的(2)因为33()311x a a g x x x +-==+++,①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a ++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增. ①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a h a b ≥⎧⎨≤⎩(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解 综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=。

南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 2 2α＝－ 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π π π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－ ， )，所以 2α－ β＝－ ．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－ ， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416． 证明 （ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2 ＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17． 解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解， 即关于 x 的方程1 2－ x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4． 所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19． 解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x 2 y 2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2 ＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3 ， x ∈ [－6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20． 解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立， 因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a an ，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( q p －1－ 1)( q k －1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x 为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 q p －1－ 1≥0， q k －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x 为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0，p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明 如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1 0，即 1＋ a ＝0，解 （ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ， ， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223． 解（ 1）p 1＝ ，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n － ＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞ 4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2 ＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k 23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋ 3k+1＋ 2≥ k ＋ 2 ．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。

江苏苏锡常镇四市届高三第三次模拟考试数学Word 版含答案 1 / 1）届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)）．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i 5i，其中i 是虚数单位，则|z|＝________． 3. 已知双曲线C 的方程为x24－y 2＝1，则其离心率为________． 4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________．T ←1i ←2While T<6T ←2Ti ←i ＋2End WhilePrint i(第4题)5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6.口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S12S8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx －π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a2＋1a －2b2＋4b的最小值为________．10.已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．。

开始结束20<z是输出xy否（第9题图）x ←1, y ←1 z ←x + yx ←y y ←z苏州中学2013届高三“三模”数学试卷2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M ,则=M C U ▲ ． 2．记),()21(2R b a bi a i ∈+=+，则点),(b a P 位于第 ▲ 象限． 3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组[1.5,3.5) [3.5,5.5) [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5)频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是 ▲ .4．已知向量(cos ,sin )a θθ= ，向量(3,1)b = ，则2a b -的最大值为 ▲ ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③. 若 α//m ，β//m ，则 βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则 βα⊥． 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲． 7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =__▲___． 8．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是___▲___．9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ． 10．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为____▲____．11．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 ▲． 13．在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB CB y CA CA x CP ⋅+⋅=，则xy 的最大值为 ▲ ．14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数称为“莫言函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当1=a ，1=b 时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数)0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域； (Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.16．（本小题满分14分）直三棱柱111C B A ABC -中，a BC BB AB ===211，︒=∠90ABC ，N 、F 分别为11C A 、11C B 的中点．（Ⅰ）求证：⊥CF 平面NFB ； （Ⅱ）求四面体BCN F -的体积．17．（本小题满分14分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别OxyMN种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式； （2）求试验田ABCD 占地面积的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 过点)3,2(，且它的离心率21=e ．直线t kx y l +=:与椭圆1C 交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当23=k 时，求证：M 、N 两点的横坐标的平方和为定值； （Ⅲ）若直线l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切，椭圆上一点P 满足OP ON OM λ=+，求实数λ的取值范围． 19．（本小题满分16分）已知数列}{n a ，{}n b ，且满足1n n n a a b +-=（1,2,3,n = ）.（1）若10,2n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（2）若11(2)n n n b b b n +-+=≥，且121,2b b ==.记61(1)n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为常数列；（3）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且11a =,121,2b b ==.求数列{}n a 的前36项和36S ．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值． 答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．…………题………………11．12．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．16．17．OxyMN18． 19．20.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e ，求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．GF E DC B A （第21—A 题图）C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙二人都回答错的概率是112，乙、丙二人都回答对的概率是41． （Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率； （Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）已知数集},,,{21n a a a A ⋅⋅⋅=，其中n a a a <⋅⋅⋅<<≤210，且3≥n ，若对j i ,∀（n j i ≤≤≤1），i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ． （Ⅰ）分别判断数集}3,1,0{与数集}6,4,2,0{是否具有性质P ，说明理由； （Ⅱ）已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．①求证：0A ∈；②判断数列821a a a ,,, 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由． 数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]级___________ 姓名_____________…………内……………不……………要……………答……………题………………GFEDCB A （第21—A 题图）C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]D．[选修4 - 5：不等式选讲]22．23．参考答案1．}6,5,3{ 2．二 3．116 4．4 5．① 6．1222=-y x 7．68．2 9．13810．214-11．2a < 12．34π 13．3 14．π3 15．(Ⅰ)由已知可得: )0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f …………………………………………7分(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=． …………………………………………14分 16．(Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1B ⊥AB , BC ⊥AB ,又B 1B BC =B ，∴AB ⊥平面BB 1C 1C .又Ｎ、Ｆ分别为A 1 C 1、B 1 C 1的中点∴AB ∥A 1B 1∥NF . ∴NF ⊥平面BB 1C 1C .因为FC ⊂平面BB 1C 1C .所以NF ⊥FC . 取BC 中点G ，有BG =GF =GC .∴BF ⊥FC ，又 NF FB =F ， ∴FC ⊥平面NFB . ··················································································· 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 11NF BCC B ⊥平面,111122NF A B a ==, NF BB BC NF S V V BCF BCF N BCN F ⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--121313136121261a a a a =⋅⋅⋅=． …………………………………………14分 17．解：(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则800)2)(4(=--y x ……………………………………2分 42792-+=x xy ……………………………………4分试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx ……………………………………6分(2令t x =-4，0>t ，则32002808S t t=++， …………………………………9分 968≥ …………………………………11分当且仅当tt 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． …………13分 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. …………14分18．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x由已知得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===+2222221134b ac a c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==6822b a所以椭圆的标准方程为：16822=+y x ………………………………4分 (Ⅱ) 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1682322y x t x y ，得024434622=-++t tx x ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则862442)634(2)(22212212221=-⋅--=-+=+t t x x x x x x ，为定值．…………9分（Ⅲ）因为直线t kx y l +=：与圆1)1(22=+-y x 相切 所以，)0(1211||22≠-=⇒=++t tt k k k t把t kx y +=代入16822=+y x 并整理得：02448)43(222=-+++t ktx x k 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为，),(2121y y x x OP ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktP 又因为点P 在椭圆上， 所以，1)43(6)43(8222222222=+++λλk t k t k11)1(2432222222++=+=⇒tt k t λ． 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ，所以 202<<λ，所以λ的取值范围为 )2,0()0,2(⋃-． …………………………16分19，解：（Ⅰ）2n a n n =-． …………………………………………4分 （Ⅱ）先证30n n b b ++=，即6360n n b b ++=，………………………………………7分然后165616362()0n n n n n n C C a a b b ++-+-=-=+= ，数列{}n c 为常数列…………………10分 （Ⅲ）36795S= …………………………16分20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(5分) (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．A 证明：连结EF ．∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°． ∴BAD EFD ∠+∠=180°． ∴A D F E ,,,四点共圆． ∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅． …10分 21．B 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1283221b c ，即832=+b ，1262=+c ，2=b ，3=c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2231M ．设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(///y x P ， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 2321//，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx y y x x 232//，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=432////y x y x y x ， 代入148522=++y xy x ，得22/2/=+y x．即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程是222=+y x ．…………………10分 21．C l 的直角坐标方程为232y x =+，2cos()4πρθ=-的直角坐标方程为2222()()122x y -+-=， 所以圆心22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到直线l 的距离64d =，102AB ∴= …………………10分 21．D 证：13)(2+-=x x x f ，|||)()(|22a a x x a f x f +--=-∴1=-⋅+-x a x a 1<+-x a ，又1()21+-=-+- x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．………………10分22．解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A 、B 、C ，则43)(=A P ，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,41)()(,121)()(C P B P C P A P 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--.41)()(,121)](1)[431(C P B P C P 解得83)(=B P ，32)(=C P ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，2,1,0=X ．41)2(==X P ，2453185)()()0(=⨯===C P B P X P ． 2413)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P ． 所以随机变量X 的分布列为2425412241312450)(=⨯+⨯+⨯=X E ． …………………10分 23．解：（Ⅰ）由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． ………………………………………4分（Ⅱ）①},,,{821a a a A ⋅⋅⋅= 具有性质P ，所以88a a +与88a a -中至少有一个属于A ， 由8210a a a <⋅⋅⋅<<≤，有888a a a >+，故A a a ∉+88，A a a ∈-=∴880， 故01=a ． ………………………………………4分②8210a a a <⋅⋅⋅<<= ，88a a a k >+∴，故)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∉+k A a a k ． 由A 具有性质P 知，)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∈-k A a a k ， 又18287888a a a a a a a a -<-<⋅⋅⋅<-<- ，818728278188,,,,a a a a a a a a a a a a =-=-⋅⋅⋅=-=-∴，即)8,,2,1(89⋅⋅⋅==+-i a a a i i ……①由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A ， 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A ，3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ ，而638=-a a ，077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =-即),,,(72178 ==+-i a a a i i……②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ，即781a a a a i i -=--（8,,3,2⋅⋅⋅=i ）．故821a a a ,,, 构成等差数列．………………10分。

2013届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2013．3一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上．1. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{1，2，3，5}，则∁．B)＝________∩(A U ．是虚数单位，则a ＝________i ，其中i ＝22＋ai1－i若实数a 满足2. 1l “是”m ＝1“＋my ＋2＝0，则：(3m －2)x 2：mx ＋y ＋3＝0，l 1已知m 为实数，直线l 3. )条件．”既不充分也不必要”“必要不充分”“充分不必要”“充要“的________(填”2l ∥ 4. 根据右图所示的伪代码，输出的结果T 为________．(第4题)5. 已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若l β，且α⊥β，则l ⊥α；② 若l ⊥β，且α∥β，则l ⊥α； ③ 若l ⊥β，且α⊥β，则l ∥α；④ 若α∩β＝m ，且l ∥m ，则l ∥α. 则正确的命题是________．(填序号)6.正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为________．7. 已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．8. 已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．9. 设S n 、T n 分别是等差数列{a n }、{b n }的前n 项和，已知Sn Tn ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a10b3＋b18＋a11b6＋b15＝________． 10.已知F 1、F 2是双曲线的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11.在平面直角坐标系xOy 中，A(1，0)，函数y ＝e x 的图象与y 轴的交点为B ，P 为函数y ＝e x 图象上的任意一点，则OP →·AB →的最小值为________．12. 若对于给定的正实数k ，函数f(x)＝kx的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是________．T ←1I ←3While I<20T ←T ＋I I ←I ＋2 End While Print T13. 已知函数f(x)＝xx ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＋f ⎝⎛⎭⎫－52－2＝________． 14.设函数f(x)＝lnx 的定义域为(M ，＋∞)，且M>0，对于任意a 、b 、c ∈(M ，＋∞)，若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，且f(a)、f(b)、f(c)也能成为三角形的三条边长，那么M 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1) 若BA →·BC →＝32，b ＝3，求a ＋c 的值；(2) 求2sinA －sinC 的取值范围．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，已知E 、F 、G 分别为棱AB 、AC 、A 1C 1的中点，∠ACB ＝90°，A 1F ⊥平面ABC ，CH ⊥BG ，H 为垂足．求证：(1) A 1E ∥平面GBC ； (2) BG ⊥平面ACH.＋cx 满足f(1)＝0，设f(x)的导函数为f′(x)，满2＋bx 3，函数f(x)＝ax R ∈已知实数a 、b 、c 足f′(0)f′(1)>0. 的取值范围；ca(1) 求 (2)))，求证2(x f ，2))，B(x 1，f(x 1，A(x 2，x 1设a 为常数，且a>0，已知函数f(x)的两个极值点为x .⎝⎛⎦⎤－2a 9，－a 6∈：直线AB 的斜率k某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O ，半径为R(m)的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA 、EB 、EC 、ED 所在圆的圆心都是O 、半径都是R(m)、圆弧的圆心角都是θ(rad)；灯杆EF 垂直于地面，杆顶E 到地面的距离1B 1是四条侧棱，正方形A 1D 1C 1B 1是正四棱锥FA 1、FD 1、FC 1、FB 1)，且h>R ；灯脚FA m 为h()．已知灯杆、灯脚造rad )，四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ(m 的外接圆半径为R(1D 1C a3价都是每米a(元)，灯托造价是每米(元)，其中R 、h 、a 都为常数．设该灯架的总造价为y(元)．(1) 求y 关于θ的函数关系式； (2) 当θ取何值时，y 取得最小值？x24已知椭圆E ：＝4上有一动点P ，P 在x 轴上方，C(1，0)，直线2＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 、B ，圆x 2＋y PA 交椭圆E 于点D ，连结DC 、PB.(1) 若∠ADC ＝90°，求△ADC 的面积S ；，求λ的取值范围．2＝λk 1k ，若2、k 1(2) 设直线PB 、DC 的斜率存在且分别为k＝＋n m ，对于任意正整数m 、n ，S n 的各项都为正数，其前n 项和为S }n 设数列{a －1恒成立．2a2m （1＋S2n ） 的通项公式；}n 及数列{a 4、a 3、a 2＝1，求a 1(1) 若a 是等比数列．}n ，求证：数列{a ＋1)2＋a 1(a 2＝a 4(2) 若a2013届高三模拟考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知CB 是⊙O 的一条弦，A 是⊙O 上任意一点，过点A 作⊙O 的切线交直线CB 于点P ，D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝∠ABP.＝BP·BD.2求证：ABB. (选修42：矩阵与变换)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a c 0＝A 矩阵.β5A ，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝β，已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝1α＝－1，其对应的一个特征向量为1的一个特征值λC. (选修44：坐标系与参数方程)＝0.sinθ(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＋2⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t已知直线l 的参数方程： (1) 将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．D. (选修45：不等式选讲)a＋2b＋3c＝6，求数，且已知a、b、c为正＋a＋12b＋13c＋1的最大值．＋【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.(1) 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2) 求二面角ODFE的正弦值．23. (本小题满分10分)(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山，一位游客浏览这三个景点的概率都是0. 5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；(2)某城市有n(n为奇数，n≥3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的数学期望．2013届高三模拟考试试卷(一)(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准41789.28. 3 797. 186. ②5. 4. 100 3. 充分不必要 2. 2 ，4，6}1. {2 214. 13. 8 ⎝⎛⎭⎫0，9212. 11. 1 ＋1310. (2分).π3B ＝ ∴A 、B 、C 成等差数列， ∵解：(1) 15. ，(3分)32＝cosB ac ∴，32＝BC →·BA → ∵ ，即ac ＝3.(4分)32＝ac 12 ∴ ，(5分)cosB －2ac 2＋c 2＝a 2，b 3＝b ∵ －3ac ＝3.(6分)2－ac ＝3，即(a ＋c)2＋c 2a ∴ (7分).3a ＋c ＝2 ∴＝12，2(a ＋c) ∴ (8分)sinC －⎝⎛⎭⎫2π3－C sin ＝2sinC －sinA (2) 2 (10分)cosC.3＝sinC －⎝⎛⎭⎫32cosC ＋12sinC ＝2 (12分).⎝⎛⎭⎫－32，3∈cosC 3 ∴，2π30<C< ∵ (14分).⎝⎛⎭⎫－32，3的取值范围是sinC －2sinA ∴ 16. 证明：(1) 取BC 中点M ，连结EM 、GM. ，(2分)AC ∥G 1，A AC 12＝G 1AC ，且A ∥，EM AC 12＝EM ∵ ＝EM ，(4分)G 1，A EM ∥G 1A ∴ 是平行四边形，(5分)GME 1四边形A ∴ GM.∥E 1A ∴ 平面GBC.(7分)∥E 1A ∴平面GBC ，平面GBC ，GM E 1又A 、AC 中点，1C 1中，G 、F 分别为A ABC 1C 1B 1(2) 在三棱柱A (9分)CG .∥F 1A ∴为平行四边形，FCG 1四边形A ∴，FC ∥G 1＝FC 且A G 1A ∴ 平面ABC.⊥CG ∴平面ABC ，⊥F 1A ∵ ∵ AC 平面ABC ，∴ CG ⊥AC.(10分)∵ CB ⊥AC ，CG 、CB 平面GCB ，CG ∩CB ＝C ，∴ AC ⊥平面BCG.(11分)∵ BG 平面BCG ，∴ AC ⊥BG .(12分)∵ CH ⊥CG ，且AC ∩CH ＝C ，AC 、CH 平面ACH ，故BG ⊥平面ACH.(14分)17. (1) 解：∵ f(1)＝a ＋b ＋c ＝0，∴ b ＝－(a ＋c)．(1分)＋2bx ＋c ，(3分)2(x)＝3ax f′ ∵ ，(4分)>02c(3a ＋2b ＋c)＝c(a －c)＝ac －c ∴(0)＝c ，f′(1)＝3a ＋2b ＋c.f′ ∴ ∴ a ≠0，c ≠0.(5分)，(6分)>02⎝⎛⎭⎫c a －c a∴ (7分)<1.ca0< ∴ (8分).c3a＝2·x 1，x 2b 3a ＝－2＋x 1x ∴＋2bx ＋c ＝0，2(2) 证明：令f′(x)＝3ax （ax32＋bx22＋cx 2）－（ax31＋bx21＋cx 1）x 2－x 1＝f （x2）－f （x1）x2－x2＝k ∴ （x2－x1）[a （x22＋x 2x 1＋x21）]＋b （x 2＋x 1）＋c]x 2－x 1＝)＋c1＋x 2)＋b(x 21＋x 1x 2＋x 2＝a(x )＋c(11分)1＋x 2]＋b(x 1x 2－x 2)1x ＋2＝a[(x ＋c⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＋b ⎝⎛⎭⎫4b29a2－c 3a ＝a (12分).⎝⎛⎭⎫－b2a2＋3c a 2a 9＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4b29a2－c 3a ＋b a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＋c a ＝a (0，1)．∈＝－1－t ，t ba，则c a 令t ＝ ＋t －1)，(13分)2(－t 2a9＋3t]＝2[－(1＋t)2a 9则k ＝ (14分).⎝⎛⎦⎤－2a 9，－a6∈k ∴，⎝⎛⎦⎤－1，－34∈＋t －12，－t a>0 ∵，Rtanθ＝1＝θ，且FO 1FO 1A ∠，由题意：118. 解：(1) 延长EF 与地面交于O (2分)，Rsinθ＝F 1，A R tanθ从而EF ＝h － (8分)a.⎝⎛⎭⎫h －R tan θ＋4R sinθ＋a3＝4θR y (注：每写对一个部件造价得2分)＋ha ，(9分)⎝⎛⎭⎫4θ3＋4－cosθsinθ(2) y ＝Ra ，4－cosθsinθ＋4θ3设f(θ)＝(11分)4sin2θ＋3－12cosθ3sin2θ令f′(θ)＝＝0.（1－2cosθ）（7＋2cosθ）3sin2θ＝ (12分).π3＝θ ∴ 时，y′>0，(13分)⎝⎛⎭⎫π3，π2∈时，y′<0；θ⎝⎛⎭⎫0，π3∈当θ (14分).π4<0θ ∴，<1R h ＝0tanθ，其中⎝⎛⎭⎫θ0，π2∈设θ 时，y 最小．(15分)π3θ＝ ∴，⎝⎛⎭⎫θ0，π2∈π3 ∴ 时，灯架的总造价取得最小值．(16分)π3故当θ＝ .2＝AC 2＋DC 2AD ∴，°ADC ＝90∠ ∵19. 解：(1) 设D(x ，y)， ＝9.2＋y 2＋(x －1)2＋y 2则(x ＋2) (2分)①＋x －2＝0.2＋y 2即x ②＝1.2＋y x24∴点D 在椭圆E 上， ∵ 联立①②，消去y ， ＋4x －4＝0，(4分)2得3x .23x ＝ ∴－2<x<2， ∵ .223代入椭圆方程，得y ＝ (6分).2＝223×3×12ADC 的面积S ＝△ ∴ ＝1，2＋y x24(x ＋2)，代入椭圆方程y0x0＋2)，直线PA 方程为y ＝0，y 0(2) 设P(x －4＝0.2(x ＋2)y20（x 0＋2）2×＋42－4＝0，得x 2＋4y 2即x －4＝0.2(x ＋2)2－x0x0＋2×＋42x ∴＝4，20＋y 20x ∵ ＝0.(8分)0)x ＋24－20x 0＋(32－16x 2)x 0整理得(10－3x ＋2)y ＝0，也得8分)0－4(x 2)y 20＋4＋4y 0＋4x 20(注：消去x ，可得方程(x .10x0－1210－3x0＝1)，则x 1，y 1此方程有一根为－2，设D(x (10分).4y010－3x0＝1代入直线PA 方程，得y (12分).4y013x0－22＝4y010－3x010x0－1210－3x0－1＝y1x1－1＝2，k y0x0－2＝1则k (14分).⎝⎛⎭⎫13＋4x0－2×14＝13x0－22x0－2×14＝y0x0－24y013x0－22＝k1k2λ＝ ∴，2＝λk 1k ∵ (0，3)．(16分)∪，0)∞λ的取值范围为(－ ∴，2213≠0，x <20－2<x ∵ ①.2a2m （1＋S2n ）＝＋n m (1) 解：由条件，得1＋S 20. ②.2a2（1＋S2n ）＝＋1n 中，令m ＝1，得1＋S ①在 ③.2a4（1＋S2n ）＝＋2n 令m ＝2，得1＋S＝q ，a4a2)．记*N ∈(n a4a2＝1＋Sn ＋21＋Sn ＋1，得②÷③ )是公比为q 的等比数列．*N ∈2，n ≥(n }n 则数列{1＋S (2分)④)．*N ∈2，n ≥(n －2n )q 2＝(1＋S n ＋S 1 ∴ ⑤.－3n )q 2＝(1＋S －1n 时，1＋S 3≥n )．(*)(4分)*N ∈3，n ≥(q －1)(n －3n )q 2＝(1＋S n ，得a ⑤－④ .2a2（1＋S2）＝2中，令m ＝n ＝1，得1＋S ①在 .1＝1＋a 2a ∴.2＝2a 2)．则1＋S 2(1＋S 22a ＝2)2(1＋S ∴ ＝2.(6分)2a ∴＝1，1a ∵ .2a2（1＋S4）＝3，n ＝2，得1＋S 中，令m ＝1①在 ⑥)．4＋a 3＝4(4＋a 2)3则(4＋a .2a4（1＋S2）＝3中，令m ＝2，n ＝1，得1＋S ①在 ⑦.4＝8a 2)3则(4＋a ＝8.(8分)4＝4，a 3，解得a ⑥⑦由 )，*N ∈3，n ≥(q －1)(n －3n )q 2＝(1＋S n 则q ＝2，由a )，*N ∈3，n ≥(n －1n (2－1)＝2－3n 2×＝4n 得a )．(10分)*N ∈(n －1n ＝2n a ∴＝2也适合上式，2a ∴＝1，1a ∵ .2a4（1＋S4）＝4，得1＋S 中，令m ＝2，n ＝2①(2) 证明：在 (12分).4＝a 3＋S 1 ∴.4＝2a 41＋S 则 .2a2（1＋S4）＝3中，令m ＝1，n ＝2，得1＋S ①在 .2a2×2a4＝4a ∴，2a2（1＋S3＋a4）＝3则1＋S ＝2.·q 2＝4a 4则a )．(*)(14分)*N ∈3，n ≥(n －3n )22＝(1＋S n 代入(*)，得a ＋1＝4.2＋a 1＋1)，得a 2＋a 1(a 2＝a 4由条件a )．*N ∈3，n ≥(n －1n ＝2－3n 2×＝4n ＝2.则a 2a ∴＝1，1a ∴，1＝1＋a 2a ∵ )．*N ∈(n －1n ＝2n a ∴＝2也适合上式，2a ∴＝1，1a ∵ 是等比数列．(16分)}n 数列{a ∴2013届高三模拟考试试卷(一)(苏锡常镇)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲证明：AP 与⊙O 相切于点A ，AB 为⊙O 的弦，则∠PAB ＝∠ACB.(2分)在⊙O 中，∠ACB ＝∠ADB ，∴ ∠ADB ＝∠PAB.又在△DBA 和△ABP 中，∠DBA ＝∠ABP ，(5分)∴ △DBA ∽△ABP ，(8分) ＝BP·BD.(10分)2，即AB DB AB＝BA BP ∴ B. 选修42：矩阵与变换(1分).⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋a －c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a c 0＝1Aα解：由题意 (3分)⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a ＝1，c ＝1， ∴ ＝2.(5分)2＝－1，λ1－λ－2＝0.则λ2的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)λ－2＝λA ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2α＝2的一个特征向量为2属于特征值λ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，－x ＋2y ＝0，＝2，特征方程2当λ (7分).⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝β ∴ (10分).⎣⎢⎡⎦⎥⎤19098＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2152×＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 15(－1)×＝(－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤215A ＝β5A ∴ C. 选修44：坐标系与参数方程(2分).3＋1＋2x 3解：(1) 直线l 的普通方程为y ＝－ ＋2y ＝0.(4分)2＋y 2圆C 的普通方程为x (2) 在圆C 上任取一点P(cosθ，－1＋sinθ)(θ∈[0，2π))，P 到直线l 的距离为(6分)⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－2－232＝|3cosθ＋sinθ－2－23|1＋（3）2＝d (8分).2＋23－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π32＝(10分).⎝⎛⎭⎫32，－12，此时P 3＝min 时，d π6当θ＝ D. 选修45：不等式选讲(3分)2)3c ＋1＋1·2b ＋1＋1·a ＋1＝(1·2)3c ＋1＋2b ＋1＋a ＋1解：( ](6分)2)3c ＋1＋(2)2b ＋1＋(2)a ＋1)[(2＋12＋12(1≤ ＝3[(a ＋2b ＋3c)＋3]＝27.(7分)，(8分)3＝327≤3c ＋1＋2b ＋1＋a ＋1所以 时等号成立．(9分)23，即a ＝2，b ＝1，c ＝3c ＋1＝2b ＋1＝a ＋1仅当当且 (10分).3故所求式子的最大值是3 22. 解：(1) 以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的线为y 轴，OP 所在的线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．(1分)＝4，20＋y 20)，且x >00，y 0>0，0)(x 0，y 0设F(x＝(0，1，0)，(2分)DE →－1，－2)，0，y 0＝(x EF →则 ＝1.(3分)0－1＝0，故y 0＝y DE →·EF →，则DE →⊥EF 即DE ⊥EF ∵ ＝(0，－2，2)．(4分)BD →，0，－2)，3＝(EF →，1，0)，3(F ∴ (5分).147＝47×22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝cosα设异面直线EF 与BD 所成角为α，则 ⎩⎨⎧z1＝0，3x1＋y1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧n1⊥OD →，n1⊥OF →，)，则1z ，1，y 1＝(x 1n (2) 设平面ODF 的法向量为 ，0)．(6分)3＝(1，－1n ，平面ODF 的一个法向量为3＝－1＝1，得y 1令x )，2，z 2，y 2＝(x 2n 设平面DEF 的法向量为 (8分).⎝⎛⎭⎫1，0，32＝2n 同理可得平面DEF 的一个法向量为 (9分).77＝17＝⎪⎪⎪⎪n1·n2|n1||n2|＝cosβ|设二面角ODFE 的平面角为β，则| (10分).427＝sinβ ∴ 23. 解：(1) 游客游览景点个数为0，1，2，3.ξ可能取值为1，3.(1分)；34＝3⎝⎛⎭⎫1213C ＝22⎝⎛⎭⎫1－121⎝⎛⎭⎫1213C ＋⎝⎛⎭⎫1－122⎝⎛⎭⎫1223C (ξ＝1)＝P .14＝3⎝⎛⎭⎫1203C ＝23⎝⎛⎭⎫1203C ＋3⎝⎛⎭⎫123C (ξ＝3)＝P ξ的分布列为ξ 1 3P 34 14(4分).32＝14×＋334×＝1Eξ ∴ (2) 当n ＝2k ＋1，k ∈N 时，游客游览景点个数可能为0，1，2，…，2k ＋1.ξ可能取值为1，3，5，…，2k ＋1.(5分)；k 2k ＋1C 2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2k ⎝⎛⎭⎫1－12×k ＋1⎝⎛⎭⎫12k ＋12k ＋1C ＋k ＋1⎝⎛⎭⎫1－12×k ⎝⎛⎭⎫12k 2k ＋1C (ξ＝1)＝P 2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2k －1⎝⎛⎭⎫1－12×k ＋2⎝⎛⎭⎫12k ＋22k ＋1C ＋k ＋2⎝⎛⎭⎫1－12×k －1⎝⎛⎭⎫12k －12k ＋1C (ξ＝3)＝P ；k －12k ＋1C2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝20⎝⎛⎭⎫1－12×2k ＋1⎝⎛⎭⎫122k ＋1C ＋2k ＋1⎝⎛⎭⎫1－12×0⎝⎛⎭⎫1202k ＋1C (ξ＝2k ＋1)＝P .02k ＋1C 2k ＋1⎝⎛⎭⎫1212k ＋1C ×2×＋[(2k ＋1－1)－1]2k ＋1⎝⎛⎭⎫1202k ＋1C ×2×＝(2k ＋1－0)Eξ ∴ (6分)2k ＋1⎝⎛⎭⎫12k 2k ＋1C ×＋[(2k ＋1－k)－k]…＋2k ＋1⎝⎛⎭⎫122k ＋1C ×2×＋[(2k ＋1－2)－2] ]k 2k ＋1C ＋(2k ＋1－k)…＋2k ＋1C ＋(2k －1)12k ＋1C ＋2k 02k ＋1C [(2k ＋1){2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2 ]}k 2k ＋1C ＋k …＋2k ＋1C ×＋212k ＋1C ×＋102k ＋1C ×－[0－2k ＋1C×＋(2k －1)2k ＋1C×＋2k 2k ＋1C×[(2k ＋1){2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2]k ＋12k ＋1C ×＋(k ＋1)…＋ ]}．(7分)k 2k ＋1C ＋k …＋12k ＋1C ×＋102k ＋1C ×－[0 ，n)，…i ＝1，2，3，(i －1n －1C ＝n i n C i ∵ 12kC ＋02k C (×)－(2k ＋1)k 2k C ＋…＋2k －1C ＋2k C (×[(2k ＋1)2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2Eξ ∴)]k －12k C ＋…＋ (8分))]k －12k C ＋…＋12k C ＋02k C )－(k 2k C ＋…＋－12k C ＋2k C [(×(2k ＋1)×2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2 (9分)k 2k C ×)(2k ＋1×2k ＋1⎝⎛⎭⎫12×＝2 .－1n n －12C n 2n －1＝ (10分).－1n n －12C n2n －1答：ξ的数学期望Eξ为。

徐州、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。