第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。
但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。
金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。
大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。
后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。
这就是经典的自由电子气模型。
自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。
这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。
这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。
但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
第五章 能带理论3.1 根据a k π±=状态简并微扰结果，求出与E+、E- 对应的本征态波函数+ψ、-ψ，说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布（即2ψ），说明能隙的来源。
假设( V n = V n *)。
3.2 写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1,2,3)中，简约波数ak 2π=的0级波函数。
3.3 电子在周期场的势能函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na ，na x b m x V )1(,0])([21)(222当当ω其中ω,4b a =为常数(1) 试画出此势能曲线，并求其平均值。
(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。
3.4 设有二维正方晶格，其晶格势场)/2cos()/2cos(4),(a y a x U y x V ⋅⋅-=ππ，按弱周期场(近自由电子近似)处理，求出布里渊区角处)/,/(a a ππ的能隙。
3.5* 考虑晶格常数为a 和c 的三维简单六角晶体的第一布里渊区。
令G c 为平行于晶格c 轴的最短倒格矢。
(1) 证明对于六角密堆积结构，晶体势场V ( r ) 的傅里叶分量V ( G c )为零。
(2) V ( 2 G c ) 是否也为零？(3) 为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？(4) 为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？3.6用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带E s ( k )。
3.7 用 | n > 表示一维晶格第n 个格点的s 态，在只计入近邻作用的紧束缚近似下，写出矩阵元 < m | H | n > 的表达式。
3.8 由相同原子组成的一维原子链，每个原胞中有两个原子，原胞长度为a ，原胞内两个原子的相对距离为b :(1) 根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子s 态相对应的晶体波函数的形式。
