有理函数和三角函数有理式的积分法

§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分.在那里，因为被积函数都很特殊，所以用“拼凑的方法”就求出了它们的积分.这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分.当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了.1.有理函数的积分法 有理函数的积分()d ()p x x q x ⎰[其中()p x 和()q x 都是多项式] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数.积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式.在这种情形下，就用多项式除法（见下面例27），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数] 于是，()d ()p x x q x ⎰()()d d ()r x s x x x q x =+⎰⎰右端第一项是多项式的积分(用分项积分法可以积出来)，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ⎰. 关于多项式除法，请看下面的例题.例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++⎰首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭其次再逐项积分，即(余式)23+x (被除式)（除式） 255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式） 31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++⎛⎫=-+=-+⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰这样就变成求(右端最后一个)有理函数真分式的积分.第二，对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积(根据代数基本定理，这是可能的).然后用待定系数法(或拼凑方法)把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n mA B Cx D Ex F x a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数) (分子比分母上的基因式低一次)这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. 我们用例子来说明上述方法.⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求2353d (2)x x x ++⎰，可令 2323532(2)(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++将右端通分，并比较两端分子，即C x B x A x ++++≡+)2()2(3522，则得三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==23205C B A于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x因此，2353d (2)x x x ++⎰2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++⎰⎰⎰220235ln 222(2)x x x =++-++ 【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +≡++++，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +≡++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B ≡++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B ≡++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法:25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ (你看懂了吗?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx dx x a x b +--⎰，可令bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +≡-+-，求出待定系数A 和B .于是，d ()()cx dx x a x b +=--⎰d d ln ||ln ||ABx x A x a B x b x ax b+=-+---⎰⎰例29 求2d (3)(5)x x x x ---⎰.解 设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数) 则得)3()5(2-+-≡-x B x A x ，即2)35()(-≡+-+x B A x B A比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组⎩⎨⎧=+=+1235B A B A 解得23,21=-=B A (求B A 和的另一个方法见下注).因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x从而得2d (3)(5)x x x x ---⎰113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---⎰⎰【注】在式2(5)(3)x A x B x -≡-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如[注意,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x u x px qu Ap q px ==+++-⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰,2p u x A ⎛ =+ ⎝⎭(套用积分公式)1arctan u A A== 2222(2)(2)d (0)d d 2b b x p p x ax b a a a x a a x x x px q x px qx px q⎛⎫++-+⎪+⎝⎭≠==++++++⎰⎰⎰222d()21d 22a x px q a bp x a x px qx px q++⎛⎫=+- ⎪++++⎝⎭⎰⎰2221ln()d 22a a b x px q p x ax px q⎛⎫=+++- ⎪++⎝⎭⎰(套用前一题的结果).⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分322221d (1)x x x x x -+++⎰.若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x x Ax B Cx Dx x x x x x -+++=+++++++ 若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++ 于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x -+-+=+++++++⎰⎰⎰其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 12121212x x x x xx x x x x x x x x -+-++==-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰217ln(1)22x x =++-而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x +++++==+++++++++⎰⎰⎰⎰2222113d (1)12x x x x =-+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰[套积分公式⒇]⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++⎰时，可令 qx p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))(( 然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，22d ()()bx cx dxx a x px q ++-++⎰2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++⎰(注意2x px q ++没有实根,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算(加、减、乘、除)得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ⎰的积分法.例如积分2cos d 2sin cos x x x x +⎰，1d 2sin cos 1x x x -+⎰，1d (0)cos x ab a b x≠+⎰等. 实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分.这里介绍的是一般方法.你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）.令2tan x t =(称它为半角替换或万能替换)，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos 2tan 22cos 2sin 2sin t t x xx x x x x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x xx x x x x +-=+-=-=-= t tt x d 12)arctan 2(d d 2+== 于是，(sin ,cos )d R x x x ⎰2222212,d 111t t R t t t t -⎛⎫= ⎪+++⎝⎭⎰这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分.在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单.例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --⎰； ⑵325d (2)x x x --⎰； ⑶23354d (1)x x x x -+-⎰； ⑷3223242d 21x x x x x x -++-+⎰.答案：⑴323ln -+-x x ；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x . 2.求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73⎰---； ⑵x x x x d 2152⎰-++； ⑶x x x x x x d )2)(2(2342⎰+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x .3.求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222⎰++-+； ⑵x x x x x d )32)(1(2⎰+++； ⑶x x x d 134⎰+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x .4.根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭====-+⎰⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x======+⎰⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x======+⎰ ⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+⎰答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。