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有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。
有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。
1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。
2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。
三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。
由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。
1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。
2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。
3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。
总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。
§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数） 然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解 设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。
§3.6有理函数与三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数与三角函数有理式积分法，掌握有理函数与三角函数有理式积分法的一般步骤与其应用。
重点：有理函数与三角函数有理式积分法与其应用 难点：有理函数与三角函数有理式积分法与其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发〔换元积分法与分部积分法〕已经求出了一些不定积分。
从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。
即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出〞。
例如，⎰⎰⎰⎰+-31,,ln ,sin 2x dx dx e x dx dx x x x ，被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数X 围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。
本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套〞“拆〞，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。
“变〞，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑〞，即凑微法〔第一类换元法〕。
“换〞，即第二类换元法〔三角代换、倒代换、指数代换法等〕。
“分〞，即分部积分法。
“套〞，即套基本公式。
求不定积分的主要技巧在一个“巧〞字和一个“练〞字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。
二、有理函数的积分有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即=)(x R m m m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++=----11101110)()( 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 与m b b b b ,,,,210 都是实数，通常总假定分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b .当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如111122234-++++=-+x x x x x x x .多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算．鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.在实数X 围内，真分式)()(x Q x P 总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：① 如果)(x Q 中有因式ka x )(-，那么分解后相应有下列k 个最简分式之和)()()(121a x A a x A a x A k k k -++-+-- ， 其中1A 、2A 、…、k A 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项a x A-；② 如果)(x Q 中有因式k q px x )(2++〔042<-q p 〕，那么分解后相应有下列k 个最简分式之和q px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-21222211)()( ，其中i M 、i N 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项q px x NMx +++2. 有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式〔部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式〕。
精品文档§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分教学目的： 使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法， 掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。
重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、 不定积分性质和两种基本积分发 （换元积分法与分部积分法） 已经求出了一些不定积分。
从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数， 而求不定积分却没有那样容易。
即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。
例如，sin x dx, dx , e x 2 dx ,dx ， xln x1 x 3被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。
本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。
“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、 乘一项除一项、 分子分母有理化、 提取公因子； 三角恒等变形： 半角、倍角公式， 平方和公式， 积化和差、 和差化积、 和角公式； 陪完全平方： 根号下配完全平方、分母配完全平方等； “凑”，即凑微法（第一类换元法） 。
“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等） 。
“分”，即分部积分法。
“套”，即套基本公式。
求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。
二、 有理函数的积分 有理函数R( x)是指由两个多项式的商所表函数，即P( x) a 0 x na 1x n 1a n 1 x a n R( x) Q( x)b 0 x m b 1 x m 1b m 1 x b m其中 m 和 n 都是非负整数； a 0 , a 1 , a 2, , a n 及 b 0 , b 1, b 2 , , b m都是实数，通常总假定 分子多项式 P( x) 与分母多项式 Q(x)之间没有公因式，并且 a 0 0 ， b 0 0 .当 n m 时，称 R(x) 为真分式；而当 n m 时，称R( x)为假分式 .一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如x 4 x 3 x 2 x 1x 1 22多 式的 分容易 算， 因此，有理函数的 分主要是解决真分式的 分 ，而真分式的 分往往是 化 最 分式来 算． 此，我 先来 真分式分解 最 分式.P( x)在 数范 内，真分式 Q ( x)可以分解成最 分式之和，且具有 的 关系：①如果 Q( x) 中有因式( x a) k，那么分解后相 有下列 k 个最 分式之和A 1 A 2A k( x a) k ( x a) k 1( x a) ，其中A 1 、A2 、⋯、A k都是常数 .特 地，如果 kA 1 ，那么分解后只有一x a ；②如果 Q( x) 中有因式 ( x 2pxq)k（ p24q），那么分解后相 有下列k 个最 分式之和M 1 x N 1M 2 x N 2M k x N k (x 2px q) k(x 2px q) k 1x 2px q ，Mx N其中M i 、N i都是常数 .特 地，如果 k 1 ，那么分解后只有一x 2px q .有理真分式 能分解 若干个部分分式之和的形式（部分分式是指 一种 分式，其分母 一次因式或二次 因式） 。
从而得到，有理真分式的 分 可以 以下四种形式的部分分式的 分：（ 1）A dx; （ 2）A n dxx a( x a)（ 2）Mx N dx( p 2 4q0)x 2 px q（ 3）Mx N dx (p 2q 0),其中系数 A 、M 、 N 为常数( x 2 px q) n4上所述， 有理函数分解 多 式及部分分式之和以后，各个部分都能 出，且原函数都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。
由上述定理，我 得到求有理真分式不定 分P n ( x)dx 的步 ：Q m ( x)第一步将 Q m ( x) 分解 （ 2）的形式；P n ( x)第二步将分解 （ 3）的形式；第三步 求各部分分式的原函数。
下面通 具体的 例来 明分解的方法和步 ．1例 1把x(x1) 2分解 最 分式之和.解：根据真分式的性质可设1ABC x( x 1) 2=x (x 1)2( x 1)上式两端去分母后，得1A(x 1)2Bx Cx( x 1)(1) 或1 ( A C )x 2( 2 A B C ) x A(2)因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有A C 02 A B CA 1 从而解得 A1， B 1， C1 .1111于是得x( x1)2=x( x 1) 2(x 1) .注：此题定 A 、 B 、C 还有另法：在恒等式⑴中，代入适当的x值，即可求出待定的常数 .在式⑴中令 x1，得 B 1；令 x0，得 A ；1再令 x2，得 C1 .于是得11 11x( x 1) 2 = x ( x 1) 2( x 1) .x3例 2 把 x 25x6 分解为最简分式之和．解：因为x 2 5x 6 (x 2)(x 3)x 3A B所以，令 x 2 5x 6x 2 x3 ，其中 A 、 B 为待定常数．上式两端去分母后，得x 3 A( x3) B( x2)(3)或x 3 ( A B) x (3A2B)(4)比较两端系数有A B 1(3A B)3从而解得 A5， B6 .所以x 35 6x 2 5x 6x 2 x 3注： 此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数．x 2例 3 把( x2)( x 2 2x2)分解为最简分式之和．解：因为分母中 x 22 x 2 为二次质因式，故应分解为x 2ABxC 两端去分母得( x 2)( x 2 2x 2)x 2 x 22x 2x 2 A(x 22x2) (BxC )( x 2)比较两端对应项的系数不难求得 A 2 ， B1，C2所以x 22x 2( x 2)( x 2 2x 2)x 2 x 22x 2由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和，其积分最终归结为多项式、AAMxNMx Nx a 、 ( x a) k 、 x 2pxq 、 (x 2px q) k (kN , k1, p 24q 0) 等五类函数的积分． 显然，前面四类都比较容易积出， 我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论.x34x 22x9dx例 4求x 25x 6.x 3 4x 22x9x 1x 3解：因为x25x6x25x6x 35 6又由前面例 2 知 x 25x6 x 2 x3x34x 22x 9dx56x1所以 ,dxx 2 5x 6x 2 x 3x 2 x 5 ln x 26 ln x3C21dx例 5 求x(x1)2.解：因为1111x( x 1)2=x ( x 1)2( x 1)所以1dx1 11)21 dxx( x 1) 2x ( x( x1)1dx1dx1 dx(x 1) 2xx 1ln x1ln x 1 Cx1.x 2dx求(x 2)( x 2例 62 x 2).解：由例 3 可得x 2dx2 dxx 2 dx(x2)( x 2 2x 2)x2 x 22x 212)1x2( 2xdx2 dxx 22xx 2 2x 2又21 2x2 dx1dx2 x 2x22x 22x 2 1 d ( x 2 2x 2)d (x 1)2x 22x2( x 1)2 11 ln x2 2x 2 arctan( x 1) C从而2x 2dx ln(x 2) 2 arctan( x 1) C(x 2)( x 22x 2) x22x 2二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。
由于各种三角函数都可用 sin x 及 cos x 的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由 sin x 、cos x 及常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为 R(sin x ，cos x) ,其中 R(u,v) 表示两个变量的有理式，积分R(sin x, cosx)dx 称为三角有理式的积分。
下面通过举例来说明这类函数的积分方法.1dx求 1 sin x例 7cos x .解：因为2 sin xcos x2 tan xsin x 22 2sin 2x cos 2 x 1 tan 2 x2 22cos 2xsin 2 x 1 tan 2 xcos x 22 2sin 2 x cos 2 xtan 2 x1x2 22tan u所以 ,令 2，则 x 2 arctanu ，于是2u1 u2 2dusin x1 u2 ， cos x1 u2 ， dx1 u2 .代入原积分得12du1dx12u1 u2 1 u 21sin x1u21 u2cos x1 duln 1uC1 uln 1tan xC2 .精品文档一般说来，对于三角函数有理式积分，总可作变量代换理函数的积分 .即有tanxu2 R2uR(sin x, cos x)dx1 u 21 sin xdx例 8 求sin x(1 cos x)tanxu，则 x2 arctanu ，于是解：令21 sin x1 1 u2 dusin x(1 cos x)dxu21 ln u 1 u2 u C241ln tanx1tan 2x tanx2 24 22tan xu2 ，将其转化为 u 的有, 1u 222 2 du1 u1 uC.最后需要指出的是： 上面所谈两类函数的积分方法是常规方法， 虽然有效但往往非常麻烦，因此， 在具体解题时， 应尽量采用其它简便方法，只有在用其它方法难以积分的情况下 才采用上述方法 .如下面的例题x 2dx例 9 求 x 3 1解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规方法做，但用下列方法计算较简便x2dx 1 d ( x 31) 1ln x 31 Cx 31 3 x 3 1 3.x 5 dx例10 求(x 1) 2.解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计算较简便x 5 2 dx ( x 1) 2 6 dx1dx 6 1 2 dx (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)1 1) 6 12 d ( x 1)d ( x ( x 1)x 16ln x 1 Cx 1sin xdx 例11求1 sin x .解：此例属于三角函数有理式积分，用下面做法计算较为简便sin x dxsin x(1 sin x) dx sin x dx1cos 2 x dx 1 sin xcos 2 x cos 2 x cos 2 xd (cos x) 1 dx dx22cos x cos x1tan x x Ccos x精品文档c sin xd cos x220) 形如(的积分，一般可将被积函数的分子凑成分母与dx aba sin x bcosx分母的导数的线形组合，即令c sin xd cos x A( a sin x b cos x) B(a sin x b cos x) ，通过比较等式两端sin x 和 cosx 的系数，求出 A 和 B.对形如sin mx cosnxdx, sin mxsin nxdx, cosmxcosnxdx 的积分一般是将被积函数积化和差后再积分。
