浅谈三角函数有理式积分的求法

一道三角函数有理式不定积分的计算方法探讨作者：胡艳霞来源：《科技资讯》2018年第24期摘要：本文对一道三角函数有理式不定积分进行了多种解法的探讨，运用了不定积分的多种积分方法，其中综合应用了凑微分、第二类换元法（包括三角代换和倒代换）和分部积分法，而且把不定积分的几种主要积分方法给学活了。

通过一题多解，有利于学生突破思维的局限性，拓宽学生的解题思路，帮助学生掌握不定积分方法之间的纵横联系，进而培养学生的发散思维和综合能力。

关键词：三角函数有理式不定积分一题多解高等数学中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（c）-0194-02Abstract： In this paper， a trigonometric function rational expression indefinite integral discussed a variety of solution. It is helpful for students to break through the limitations of thinking through multiple solutions， widening the thinking of solving problems of students， further training students' divergent thinking and comprehensive ability.Key Words： Trigonometric function rational expression； Indefinite integral； Multi-solutions； Higher mathematics不定积分是《高等数学》的一个非常重要的内容，也是微积分学的一个重要组成部分。

而计算不定积分是积分的一块核心内容，由于不定积分的计算方法因题而异、灵活多变、技巧性比较强，这对于初学者来说是一个难点。

三角函数的有理式积分
本文将介绍三角函数的有理式积分的求解方法。

首先，我们会讲解什么是有理式，以及三角函数的相关定义和性质。

接着，我们将以三角函数为主题，详细介绍有理式积分的基本思路和方法，并配以实例讲解，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。

最后，我们会总结一些注意事项和技巧，帮助读者在做题过程中避免一些常见错误，提高解题效率和准确率。

本文适合高中数学和大学数学相关专业的学生、教师和爱好者阅读和参考。

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有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。

有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。

1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。

2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。

三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。

由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。

1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。

2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。

3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。

总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。

三角有理式积分
三角有理式积分是实际生活中经常使用的一种积分形式，它以三角函数作为基函数来计算积分。

它的定义非常简单：在n维的平面上，把函数f（x，y）分解成n’以三角函数π（x，y）为基函数的线性有理组合，则它的定积分为：
III（f，π）=∫∫∫f（x，y）π（x，y）dxdy。

三角有理式积分的优点是可以很容易地将拆分成线性有理组合，这样积分就可以比较准确地运用函数表达式进行计算，节约大量的计算时间和精力。

除此之外，另一个优点是，由于它有理式表达式的性质，噪声信号可以很容易削弱，建立准确的积分量。

另外，三角有理式积分可以消除回旋和复数成分，以便能够准确地确定积分结果。

它还可以用来解决积分微分方程，可以更有效地求解微分方程，从而更好地计算某种物理过程发生的详细步骤。

由此可见，三角有理式积分在工程、物理和数学等领域确实拥有重要的应用。

三角有理式积分作为一种新型的数学方法，它既可以提高计算效率，又可以消除噪声，这种特性使得它在计算中的绝对优势无可限量。

未来，它可能会被广泛应用于工程、物理和数学等多方面。

§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数） 然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解 设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。

三角函数的积分如何计算三角函数的积分及应用三角函数在数学中起到了重要的作用，而计算三角函数的积分是数学中的一个基本问题。

本文将介绍如何计算三角函数的积分以及其在实际应用中的意义。

一、三角函数的积分计算方法1.1 正弦函数的积分首先考虑正弦函数的积分，即∫sin(x)dx。

根据积分的定义，可以使用换元法进行求解。

令u = cos(x)，则du = -sin(x)dx。

将u代入积分式中，得到∫sin(x)dx = -∫du = -u + C，其中C为常数。

1.2 余弦函数的积分接下来考虑余弦函数的积分，即∫cos(x)dx。

同样使用换元法，令u = sin(x)，则du = cos(x)dx。

将u代入积分式中，得到∫cos(x)dx = ∫du = u + C，其中C为常数。

1.3 正切函数的积分正切函数的积分即∫tan(x)dx。

可以使用换元法或者部分分式分解来求解。

如果使用换元法，可以令u = tan(x)，则du = sec^2(x)dx。

将u代入积分式中，得到∫tan(x)dx = ∫du/u = ln|u| + C。

而如果使用部分分式分解，可以将tan(x)表示为sin(x)/cos(x)，然后将分母cos(x)进行因式分解。

1.4 余切函数的积分余切函数的积分即∫cot(x)dx。

可以使用换元法或者部分分式分解来求解。

如果使用换元法，可以令u = cot(x)，则du = -csc^2(x)dx。

将u 代入积分式中，得到∫cot(x)dx = ∫-du/u = -ln|u| + C。

而如果使用部分分式分解，可以将cot(x)表示为cos(x)/sin(x)，然后将分母sin(x)进行因式分解。

二、三角函数积分的应用三角函数积分在数学中有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。

2.1 物理学中的应用三角函数积分在物理学中经常用于描述运动的规律。

例如，在简谐振动中，运动物体的位置可以用正弦函数或余弦函数表示。

§6–6 三角函数有理式积分基础知识导学1．定义三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作：R (sin x ,cos x )2．⎰R (sin x ,cos x )dx 的求法（1） 利用三角恒等式和变量代换，把⎰R (sin x ,cos x )dx 化为熟悉的积分；（2）利用下面三种函数代换，把三角函数原积分转化为新变量t 的有理函数积分，而有理函数的积分已经解决，所以三角有理式的积分也就解决了。

三种变量代换① 对⎰R (sin x ,cos x )dx ，利用万能公式，即令t = tg 2x ，则sin x =212t t +，cos x =2211t t +-，dx =212t +dt ② 对⎰R (sin x )cos xdx 或⎰R (cos x ) sin xdx 令t = sin x 或t = cos x③ 对⎰R (sin 2 x , cos 2 x ) dx 或⎰R (tg x ) dx令t = tg x 重点难点突破1．在计算三角函数有理式的积分时，要注意分析被积函数的特点，充分利用三角函数恒等式，达到简化计算的目的。

2．下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换，在计算中常常用到。

① 形如⎰sin m x cos n x dx 的积分如果m ，n 中至少有一个为奇数时，若m 为奇数，则令cos x = t ；若n 为奇数，则令sin x = t如果m ，n 皆为偶数，则作变换sin 2 x =22cos 1x -,cos 2 x =22cos 1x + ② 形如⎰tg m x dx ,和⎰ctg m x dx 的积分，其中m 为正整数 利用tg 2x = sec 2x －1， ctg 2x = csc 2x －1降低正切或余切函数的幂指数。

③ 形如⎰tg m x sec n x dx ,和⎰ctg m x csc n x dx ，其中n 为正偶数 利用sec 2x =1+tg 2x ，csc 2x =1 +ctg 2x 降低正切或余切函数的幂指数。

高等数学之三角函数有理式的积分问题方法总结
三角函数有理式R（sinx,cosx）是由sinx，cosx及常数作为运算单元，经有限次的加减乘除得到的函数，它的积分使用万能代换t=tan(x/2)都可以化为有理函数的积分。

万能代换对于此类积分尽管具有普遍性，但是解题过程过于繁琐。

对于某些特殊情况可不使用万能代换，也可将此类积分化为有理函数的积分，通常的方法如下：
（1）若R（sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)(关于cox是奇函数)，则可令t=sinx；（2）若R（-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)(关于sinx是奇函数)，则可令t=cosx；（3）若R（-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，则可令t=tanx；
题型一：利用万能公式求解
例1：
分析：解决三角函数有理式的基本方法就是万能公式。

解：
题型二：若R（sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)(关于cox是奇函数)，则可令t=sinx；例2：
解：
题型三：若R（-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，则可令t=tanx；例3：
解：。

2017考研数学(二)中如何求三角函数有理式的积分？ 在2017考研数学（二）的考试大纲中，要求考生“会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分”。

由于过去曾经出现了计算三角函数有理式的不定积分的真题，故在2017考研的数学（二）科目中有可能出现类似考题，掌握一些计算该类不定积分的方法和技巧是有现实意义的。

（一）2017考研数学二考点复习：求三角函数有理式的不定积分的方法和技巧 计算三角函数有理式的不定积分的常见方法和技巧如下所述。

（1）万能公式法计算三角函数有理式的不定积分对三角函数有理式的不定积分 ，若令tan(/2)u x =，则有于是 。

由于这种方法的解答过程往往很复杂，一般情况下不采用万能公式法将三角函数有理式转化为有理函数，针对特定类型有特定的方法技巧进行积分。

（2）技巧一若被积函数中出现1cos x +，一般用。

（3）技巧二若被积函数中出现cos sin a x b x +，往往变换成 或 的形式。

（4）技巧三若被积函数中含sin cos x x 及2sin x 、2cos x ，一般用22(sin )sin 2, d(cos x)=-sin2xdx, d(sinxcosx)=cos2xdx d x xdx =，这是一种凑微分的技巧。

（5）技巧四若分子分母都是sin x 或cos x 二次，常使用分子分母同除以2cos x 。

这也是一种凑微分的技巧，往往凑出正切函数的微分。

（6）技巧五若被积函数的形式如下： ， 往往令cos sin (cos sin )(cos sin )'a x b x A c x d x B c x d x +=+++。

这是用待定系数法来凑微分的技巧，可以凑出分母的微分。

（二）2017考研数学二考点复习之数学二真题解析(sin ,cos )R x x dx ⎰2222212sin , cosx=, dx=, 111u u x du u u u -=+++2222212(sin ,cos )(,)111u u R x x dx R du u u u-=+++⎰⎰21cos 2cos 2xx +=)x θ+)x θ+cos sin cos sin a x b x c x d x ++下面请随文都教育看一下往年数学（二）科目中求三角函数有理式的不定积分的一道真题及解析，体会解题方法和技巧，以便牢固掌握该类问题的解题方法。