例三角函数有理式的积分

微积分公式大全导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:22221sin cos 11u u x x u u -==++, ,一些初等函数:两个重要极限:22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=⋅'=-⋅'='=+'=222(arcsin )(arccos )1(arctan )11(arc cot )11()x x x x x x thx ch '='='=+'=-+'=2222sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x xdx xdx x C x dx xdx x Cx x xdx x C x xdx x Ca a dx Ca shxdx chx C chxdx shx C x C==+==-+⋅=+⋅=-+=+=+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x Cxdx x x C xdx x x Cdx xC a x a a dx x aC x a a x a dx a xC a x a a x xC a=-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x三角函数公式:·和差化积公式:·积化和差公式:·和差角公式: ·万能公式、正切代换、其他公式:·倍角公式:·半角公式:sin cos 221cos sin 1cos sin tancot 2sin 1cos 2sin 1cos αααααααααααα==-+=====+-[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ= ++-=+--=++-=-+--sin sin 2sin22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-3332sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3tan tan tan 313tan αααααααααα=-=--=-222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin cot 1cot 22cot 2tan tan 21tan αααααααααααα==-=-=--==-2222222222222tan1tan 22sin cos 1tan 1tan 221tan cos sin 1tan 1tan tan sec 1cot csc 1|sin ||||tan |x xx x x xx x x x xx x x x x x x -==++==++=-=-<<, , , sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββα±=±±=±±=⋅⋅±=·正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcsin arccos arctan arccot 2 2x x x xππ=-=-高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑值定理与导数应用:拉格朗日值定理。

§6–6 三角函数有理式积分基础知识导学1．定义三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，记作：R (sin x ,cos x )2．⎰R (sin x ,cos x )dx 的求法（1） 利用三角恒等式和变量代换，把⎰R (sin x ,cos x )dx 化为熟悉的积分；（2）利用下面三种函数代换，把三角函数原积分转化为新变量t 的有理函数积分，而有理函数的积分已经解决，所以三角有理式的积分也就解决了。

三种变量代换① 对⎰R (sin x ,cos x )dx ，利用万能公式，即令t = tg 2x ，则sin x =212t t +，cos x =2211t t +-，dx =212t +dt ② 对⎰R (sin x )cos xdx 或⎰R (cos x ) sin xdx 令t = sin x 或t = cos x③ 对⎰R (sin 2 x , cos 2 x ) dx 或⎰R (tg x ) dx令t = tg x 重点难点突破1．在计算三角函数有理式的积分时，要注意分析被积函数的特点，充分利用三角函数恒等式，达到简化计算的目的。

2．下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换，在计算中常常用到。

① 形如⎰sin m x cos n x dx 的积分如果m ，n 中至少有一个为奇数时，若m 为奇数，则令cos x = t ；若n 为奇数，则令sin x = t如果m ，n 皆为偶数，则作变换sin 2 x =22cos 1x -,cos 2 x =22cos 1x + ② 形如⎰tg m x dx ,和⎰ctg m x dx 的积分，其中m 为正整数 利用tg 2x = sec 2x －1， ctg 2x = csc 2x －1降低正切或余切函数的幂指数。

③ 形如⎰tg m x sec n x dx ,和⎰ctg m x csc n x dx ，其中n 为正偶数 利用sec 2x =1+tg 2x ，csc 2x =1 +ctg 2x 降低正切或余切函数的幂指数。

有理函数及三角函数有理式的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指可以表示为常熟分式的函数，称为有理函数。

有理函数主要由多项式和
不定积分所组成。

1.直接积分法：即把有理函数积分后的结果表达式化成原函数的另一种表达形式，常
用整理、贝塞尔曲线等方法来解决。

2.常熟分式积分法：将有理函数分解成分加函数，然后分别积分，再把积分结果求和。

三角函数是一类有特殊解析特性的函数，它们其中包括正弦、余弦函数、正切函数等等。

由于三角函数以及它们的倒数和反函数都有解析特性，因此其积分是容易解决的。

1.利用倒数公式积分：针对三角函数有一系列专有倒数公式，其中包括 Ma 矩阵公式
和高尔文三角函数积分公式。

2.利用反函数积分：由于三角函数都有反函数，因此也可以利用反函数将三角函数的
积分问题转化为反函数的积分问题，从而轻松解决。

3.利用改元积分：改元积分是把变量改为一些更简单的函数，然后分别积分得出结果，可以将三角函数的积分转化为改元积分，以减少积分的难度。

总之，有理函数和三角函数都可以通过不同的方法解决积分问题，在解决的时候需要
根据具体的函数情况来选择最适合的积分法，才能更好的解决积分问题。

三角有理式积分
三角有理式积分是实际生活中经常使用的一种积分形式，它以三角函数作为基函数来计算积分。

它的定义非常简单：在n维的平面上，把函数f（x，y）分解成n’以三角函数π（x，y）为基函数的线性有理组合，则它的定积分为：
III（f，π）=∫∫∫f（x，y）π（x，y）dxdy。

三角有理式积分的优点是可以很容易地将拆分成线性有理组合，这样积分就可以比较准确地运用函数表达式进行计算，节约大量的计算时间和精力。

除此之外，另一个优点是，由于它有理式表达式的性质，噪声信号可以很容易削弱，建立准确的积分量。

另外，三角有理式积分可以消除回旋和复数成分，以便能够准确地确定积分结果。

它还可以用来解决积分微分方程，可以更有效地求解微分方程，从而更好地计算某种物理过程发生的详细步骤。

由此可见，三角有理式积分在工程、物理和数学等领域确实拥有重要的应用。

三角有理式积分作为一种新型的数学方法，它既可以提高计算效率，又可以消除噪声，这种特性使得它在计算中的绝对优势无可限量。

未来，它可能会被广泛应用于工程、物理和数学等多方面。

§3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分..在那里，因为被积函数都很特殊，因为被积函数都很特殊，所以用所以用所以用“拼凑的方法”“拼凑的方法”就求出了它们的积分就求出了它们的积分..这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. .1.有理函数的积分法有理函数的积分()d ()p x x q x ò[ [其中其中()p x 和()q x 都是多项式都是多项式] ] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数总可以积出来，即可把它表示成初等函数..积分方法的要点是：第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式假分式..在这种情形下，就用多项式除法（见下面例2727）），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即()()()()()p x r x s x q x q x =+ [ [其中分子其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数的次数] ] 于是，()d ()p x x q x ò()()d d ()r x s x x x q x =+òò右端第一项是多项式的积分右端第一项是多项式的积分((用分项积分法可以积出来用分项积分法可以积出来))，所以就变成求有理函数真分式的积分()d ()r x x q x ò. . 关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题关于多项式除法，请看下面的例题. . 例27 例如求有理函数假分式的积分522d 36x x x x -++ò首先像做整数除法那样，做多项式除法：由此可得63225++-x x x 3212323336x x x x +æö=-+ç÷+èø其次再逐项积分，即(余式) 23+x (被除式) （除式）255336000202x x x x x ++++-+++xx x x 40220233-+-+-+-（商式）31233x x -5342222212321132d d d d 33123363636x x x x x x x x x x x x x x x -+++æö=-+=-+ç÷+++èøòòòò这样就变成求这样就变成求((右端最后一个右端最后一个))有理函数真分式的积分有理函数真分式的积分. .第二，第二，对于真分式对于真分式()()r x q x ，先把分母上的多项式()q x 分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积二次因式的乘积((根据代数基本定理，这是可能的).).然后用待定系数法然后用待定系数法然后用待定系数法((或拼凑方法或拼凑方法))把()()r x q x 化成不超出下面这些“最简分式”的和：化成不超出下面这些“最简分式”的和：22,,,()()n m A B Cx D Ex Fx a x b x px q x rx s ++--++++(n 和m 为正整数为正整数)) (分子比分母上的基因式低一次分子比分母上的基因式低一次) )这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. . 我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法我们用例子来说明上述方法. .⑴分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求例如求2353d (2)x x x ++ò，可令，可令2323532(2)(2)(2)x A B C x x x x +=++++++将右端通分，将右端通分，并比较两端分子，并比较两端分子，并比较两端分子，即即C x B x A x ++++º+)2()2(3522，则得三元线性方程组则得三元线性方程组ïîïíì=++=+=（常数项）的系数）（的系数）（3240452C B A x B A x A ， 解得解得ïîïíì=-==23205C B A 于是得于是得3232)2(23)2(2025)2(35+++-+=++x x x x x 因此，因此， 2353d (2)x x x ++ò2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =-++++òòò220235ln 222(2)x x x =++-++【注1】上面求待定系数的方法是比较两端x 的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据2253(2)(2)x A x B x C +º++++，则，则第一步，让2x =-，得23C =；第二步，在2253(2)(2)x A x B x C +º++++两端关于x 求导数，得102(2)x A x B º++. 再令2x =-，得20B =-；第三步，在102(2)x A x B º++两端关于x 求导数，则得102A =，即5A =.【注2】把真分式2353(2)x x ++化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法: :25323(510)22x x x x +=-+++,222253510232023522(2)(2)(2)x x x x x x x +-=+=-++++++ 232353520232(2)(2)(2)x x x x x +=-+++++ ( (你看懂了吗你看懂了吗你看懂了吗?) ?)⑵分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求d ()()cx d x x a x b +--ò，可令，可令 bx Ba x Ab x a x d cx -+-=--+))((（A 和B 为待定系数）为待定系数） 然后根据恒等式()()cx d A x b B x a +º-+-，求出待定系数A 和B .于是，于是，d ()()cx d x x a x b +=--òd d ln ||ln ||A B x x A x a B x b x a x b +=-+---òò例29 求2d (3)(5)x x x x ---ò.解 设53)5)(3(2-+-=---x Bx A x x x (B A ,为待定常数为待定常数) ) 则得)3()5(2-+-º-x B x A x ，即，即2)35()(-º+-+x B A x B A 比较两端常数项和x 的系数，则得线性方程组的系数，则得线性方程组îíì=+=+1235BA B A 解得23,21=-=B A ( (求求B A 和的另一个方法见下注的另一个方法见下注).).).因此，因此，因此， 523321)5)(3(2-+--=---x x x x x 从而得从而得2d(3)(5)x x x x ---ò113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x x x =--+-=--+---òò【注】在式2(5)(3)x A x B x -º-+-中，让3x =，则得12A =-，所以12A =-；再让5x =，则得32B =，所以32B =.⑶分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法 例如例如[[注意注意,,分母没有实根2(40)p q -<]，22222111(1)d d d 424x x ux px q u A p q px ==+++-æö++ç÷èøòòò24,22q p p u x A æö-ç÷=+=ç÷èø(套用积分公式)1arctan u A A =2222arctan 44q q x p p p+-=-2222(2)(2)d (0)d d 2b bx p p x ax ba a ax a ax x x px qx px qx px qæö++-+ç÷+èø¹==++++++òòò222d()21d 22ax px q a b p x a x px q x px q++æö=+-ç÷++++èøòò2221ln()d 22aa bx px q p x a x px q æö=+++-ç÷++èøò(套用前一题的结果套用前一题的结果).). ⑷分母为二次重因式的真分式的积分法例30 例如求积分例如求积分322221d (1)x x x x x -+++ò.若用待定系数法，就令若用待定系数法，就令322222221(1)1(1)x xAx B Cx D x x x x x x -+++=+++++++若不用待定系数法，可依次用多项式除法：若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，3222212(2)(3)11x x x x x x x x -++=-+++++；第二步，32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x -+-+=+++++++于是，于是，32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x xx x x x x x x x -+-+=+++++++òòò其中右端第一个积分其中右端第一个积分22222231(21)71d(1)7d d d 1212121322x x x x x x x x x x x x x x -+-++==-++++++æöæö++ç÷ç÷èøèøòòòò217221ln(1)arctan 2233x x x +=++-×而第二个积分而第二个积分2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xxx x x x x x x x x +++++==+++++++++òòòò2222113d (1)1322x x x x =-+++éùæöæöêú++ç÷ç÷êúèøèøëûò[套积分公式⒇] ⑸分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求22d ()()bx cx d x x a x px q ++-++ò时，可令时，可令 q x p x C x B a x Aq x p x a x d x c x b ++++-=++-++222))((然后根据恒等式然后根据恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++º++++-求出待定系数A 、B 和C . 于是，于是，22d ()()bx cx dx x a x px q ++-++ò2ln ||d Bx C A x a x x px q +=-+++ò (注意2xpx q ++没有实根没有实根,,即240p q -<)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数x sin 与x cos 经过有限次的有理运算经过有限次的有理运算((加、减、乘、除加、减、乘、除))得到的函数，记成)cos ,(sin x x R .下面介绍的是形如积分的是形如积分(sin ,cos )d R x x x ò的积分法的积分法..例如积分例如积分2cos d 2sin cos x x x x +ò，1d 2sin cos 1x x x -+ò，1d (0)cos x ab a b x ¹+ò等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分..这里介绍的是一般方法这里介绍的是一般方法..你在做题时．．．．．，还是要具体问题具体分析．．．．．．．．．．．，未必就一定要用这里介绍的方法．．．．．．．．．．．．．．（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）方法要麻烦一些）. .令2tan xt =(称它为半角替换或万能替换称它为半角替换或万能替换))，则，则2222122tan12tan22sec 2tan22cos2tan22cos2sin2sin t t x x xx xx x x x +=+==== 22222222112tan12tan 1)2tan 1(2cos 2sin 2cos cos t t x x x x x x x +-=+-=-=-= t t t x d 12)arctan 2(d d 2+==于是，于是，(sin ,cos )d R x x xò2222212,d 111t t R t t t t-æö=ç÷+++èøò这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分..在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单必用半角替换，而用其它三角替换会更简单..例如例如()i 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令cos t x =； ()ii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，令sin t x =； ()iii 当(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，令tan t x =.习题1.求下面的原函数：⑴25d (3)x x x --ò； ⑵⑵325d (2)x x x --ò；⑶23354d (1)x x x x -+-ò； ⑷⑷3223242d 21x x x x x x -++-+ò. 答案：⑴323ln -+-x x；⑵2)2(2122-+--x x ；⑶2)1(1111ln 3-----x x x ； ⑷171ln 94232---++x x x x .2.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x d )3)(2(73ò---； ⑵⑵x x x x d 2152ò-++； ⑶⑶x x x x x x d )2)(2(2342ò+---. 答案：⑴3ln 22ln -+-x x ；⑵1ln 22ln 3-++x x ；⑶2ln 252ln ln 21++-+x x x . 3.求下面的原函数：求下面的原函数：⑴x x x x x d )1)(2(23222ò++-+； ⑵⑵x x x x x d )32)(1(2ò+++； ⑶⑶x x x d 134ò+. 答案：⑴x x arctan )1ln(2-+；⑵21arctan 21)32ln(411ln 212++++++-x x x x ；⑶312arctan 311)1(ln 6121222--+-++x x x x x . 4.根据提示，请把下面的演算做到底：根据提示，请把下面的演算做到底：⑴tan 21d 2sin cos 1x t x x x æö=ç÷èø====-+ò⑵(cos )1d (2cos )sin t x x x x ======+ò⑶2(sin )cos d 2sin cos t x xx x x ======+ò⑷3(tan )3sin d sin cos t x xx x x======+ò答案：⑴22tan2tan ln21+x x ；⑵32)cos 1()cos 1()cos 2(ln 61x x x +-+；⑶12sin 1ln 222sin 1x x +--+；⑷÷÷øöççèæ---+-x x x x x x x sin 3sin cos 2arctan 31cos sin 1)cos (sin ln 612.。

原来不定积分也有公母之分一类三角有理式积分母系公式的推导不定积分（也被称为积分运算的第二部分，第一部分是定积分）是微积分中的一个重要概念。

在不定积分中，我们需要找到一个函数的原函数（也被称为不定积分）。

不定积分与定积分不同，它不需要明确的上下限。

在这个过程中，我们也会遇到一些特殊的函数形式，比如三角有理式。

这些函数需要使用公母公式进行积分。

以下将对一类三角有理式积分的母系公式进行推导。

首先，让我们考虑一个一般的三角有理式积分：∫R(sin^m(x) * cos^n(x)) dx其中R代表有理函数，m和n代表任意整数。

我们可以考虑将sin^m(x)和cos^n(x)中的一个三角函数替换成它的复数形式，然后使用欧拉公式进行展开。

我们知道，欧拉公式可以写为：e^ix = cos(x) + i*sin(x)e^-ix = cos(x) - i*sin(x)根据这个公式，我们可以将sin(x)和cos(x)替换为复数形式，得到：sin(x) = (e^ix - e^-ix)/(2i)cos(x) = (e^ix + e^-ix)/2现在，我们将这些复数形式的三角函数代入原始的三角有理式积分中，得到：∫R(((e^ix - e^-ix)/(2i))^m * ((e^ix + e^-ix)/2)^n) dx将指数展开，并化简形式，得到：∫R(1/(2^(m+n+i) * i^(m-n)) * (e^ix)^(m+n) * (e^-ix)^(n-m)) dx根据指数幂的性质，我们知道(e^ix)^(m+n) = e^i(m+n)x 和 (e^-ix)^(n-m) = e^-i(n-m)x。

代入上式，并化简，得到：∫R(1/(2^(m+n+i) * i^(m-n)) * e^i(m+n)x * e^-i(n-m)x) dx根据指数幂的性质，我们知道e^i(m+n)x * e^-i(n-m)x = e^2imx = cos(2mx) + i*sin(2mx)。

第二单元 Ch9 不定积分2.2三角函数有理式的不定积分222sin cos 22sin sin cos 22x x x x x =+22tan 21tan 2x x =+22,1t t =+2222212(sin ,cos )d ,d .111t t R x x x R t t t t ⎛⎫-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰d 1t t=+⎰ln 1t C =++ln 1tan .2x C =++对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理0,R 函数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.20(,)(,).R u v R u v u =因此20(1cos ,cos )d(cos )R x x x =--⎰0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得20(1,)d .R t t t =--⎰20(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x =⎰⎰20(sin ,cos )d (sin ,cos )cos d R x x x R x x x x =⎰⎰20(sin ,1sin )d(sin )R x x x =-⎰20(,1)d .R t t t =-⎰0(iii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得1221d(tan )tan ,1tan 1tan x R x x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰1221d ,.11t R t t t⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰2cos 2dcos 12cos cos x x x x -=+-⎰2d 212t t t t =-+-⎰221cos x-+1arctan tan .a x C ab b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ⎪⎝⎭例4 求不定积分解本题除一般解法(化为有理式的积分)外，还有一种较巧妙的解法.立即知道可由方程组于是就可求得。

高等数学之三角函数有理式的积分问题方法总结
三角函数有理式R（sinx,cosx）是由sinx，cosx及常数作为运算单元，经有限次的加减乘除得到的函数，它的积分使用万能代换t=tan(x/2)都可以化为有理函数的积分。

万能代换对于此类积分尽管具有普遍性，但是解题过程过于繁琐。

对于某些特殊情况可不使用万能代换，也可将此类积分化为有理函数的积分，通常的方法如下：
（1）若R（sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)(关于cox是奇函数)，则可令t=sinx；（2）若R（-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)(关于sinx是奇函数)，则可令t=cosx；（3）若R（-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，则可令t=tanx；
题型一：利用万能公式求解
例1：
分析：解决三角函数有理式的基本方法就是万能公式。

解：
题型二：若R（sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)(关于cox是奇函数)，则可令t=sinx；例2：
解：
题型三：若R（-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，则可令t=tanx；例3：
解：。

2017考研数学(二)中如何求三角函数有理式的积分？ 在2017考研数学（二）的考试大纲中，要求考生“会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分”。

由于过去曾经出现了计算三角函数有理式的不定积分的真题，故在2017考研的数学（二）科目中有可能出现类似考题，掌握一些计算该类不定积分的方法和技巧是有现实意义的。

（一）2017考研数学二考点复习：求三角函数有理式的不定积分的方法和技巧 计算三角函数有理式的不定积分的常见方法和技巧如下所述。

（1）万能公式法计算三角函数有理式的不定积分对三角函数有理式的不定积分 ，若令tan(/2)u x =，则有于是 。

由于这种方法的解答过程往往很复杂，一般情况下不采用万能公式法将三角函数有理式转化为有理函数，针对特定类型有特定的方法技巧进行积分。

（2）技巧一若被积函数中出现1cos x +，一般用。

（3）技巧二若被积函数中出现cos sin a x b x +，往往变换成 或 的形式。

（4）技巧三若被积函数中含sin cos x x 及2sin x 、2cos x ，一般用22(sin )sin 2, d(cos x)=-sin2xdx, d(sinxcosx)=cos2xdx d x xdx =，这是一种凑微分的技巧。

（5）技巧四若分子分母都是sin x 或cos x 二次，常使用分子分母同除以2cos x 。

这也是一种凑微分的技巧，往往凑出正切函数的微分。

（6）技巧五若被积函数的形式如下： ， 往往令cos sin (cos sin )(cos sin )'a x b x A c x d x B c x d x +=+++。

这是用待定系数法来凑微分的技巧，可以凑出分母的微分。

（二）2017考研数学二考点复习之数学二真题解析(sin ,cos )R x x dx ⎰2222212sin , cosx=, dx=, 111u u x du u u u -=+++2222212(sin ,cos )(,)111u u R x x dx R du u u u-=+++⎰⎰21cos 2cos 2xx +=)x θ+)x θ+cos sin cos sin a x b x c x d x ++下面请随文都教育看一下往年数学（二）科目中求三角函数有理式的不定积分的一道真题及解析，体会解题方法和技巧，以便牢固掌握该类问题的解题方法。

三角有理式积分换元法哎呀，今天咱们聊聊三角有理式积分换元法，这可是一门让人又爱又恨的技巧。

听起来有点复杂，其实就像一杯浓浓的咖啡，前面可能有点苦，慢慢品尝后会觉得香浓可口，越喝越上瘾。

想想那种时候，刚开始接触积分的时候，心里是不是有种小鹿乱撞的感觉？满脑子都是公式和符号，根本搞不清楚哪里是重点，哪里是干扰项。

咱们得知道，三角有理式积分就是指那些包含三角函数的有理式。

举个简单的例子，像 (frac{sin x{cos^2 x) 这种东西。

看着就有点晕，心里直犯嘀咕。

不过，别着急，换元法就是咱们的好朋友，能把这复杂的积分变得简单又清晰。

想象一下，咱们走进一个迷宫，换元法就像是给你一把钥匙，瞬间打开了通往出口的大门。

可以说，遇到复杂的三角函数，换元法就像那句老话“有困难，找帮助”。

你可能会问，换元法到底咋用呢？其实很简单。

我们选择一个合适的变量替代，比如说，令 (u = sin x) 或者 (u = cos x)。

一旦你这样做了，原本复杂的式子就会变得轻松很多。

就像把一块儿硬邦邦的肉，剁成了一片片的薄肉，简单得很。

微分也要跟着来，(du) 也得换成对应的表达式，哎呀，这样就能顺顺利利地把积分进行下去了，真的是顺风顺水，轻松得不得了。

大家可能会觉得换元法太简单了，难道这就能解决所有问题吗？可不是的，有些积分需要咱们的灵活应变。

就像厨师做菜，拿着食谱不如用心去尝试。

可能有些题目，换元之后，发现简化没什么效果，甚至还会增加复杂度。

这时候，咱们就得果断换换思路，像变魔术一样，找找其他的办法。

反正，数学就像一场游戏，失败了也无所谓，咱们再来一次。

说到这里，来个小故事吧。

前几天，我在图书馆里遇到一个哥们儿，他正愁眉苦脸地在研究三角积分。

旁边的我实在看不下去了，就过去聊聊。

他一脸无奈，说这些三角函数就像调皮的小鬼，老是让他抓不住。

哈哈，我跟他说，你试试换元法，给他们换个身份试试。

于是他一试，眼睛一亮，原来这么简单！我看着他那高兴的样子，就像小孩子拿到了心爱的玩具，哈哈，真是太好玩了。