一类三角函数有理式的不定积分

三角函数求不定积分方法总结三角函数的不定积分是高等数学中的重要内容之一。

在求解三角函数的不定积分时，有一些常用的方法和技巧，本文将对这些方法进行总结。

首先，我们来回顾一下三角函数的定义。

在单位圆上，对于任意一点P(1,θ)，定义正弦函数sin(θ)等于P的纵坐标，定义余弦函数cos(θ)等于P的横坐标，定义正切函数tan(θ)等于P的纵坐标除以横坐标。

根据这些定义，可以得到三角函数的一些性质。

对于三角函数的不定积分，下面是一些常用的方法和技巧：1. 基本积分公式：根据三角函数的基本性质，可以得到一些基本积分公式。

例如，∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C这些基本积分公式在求解三角函数的不定积分时非常有用。

2. 凑微分法：如果需要求解的三角函数积分形式与基本积分公式不完全匹配，可以通过凑微分的方法将积分式子变形。

例如，∫sin^2(x) dx = ∫(1 - cos^2(x)) dx = ∫dx - ∫cos^2(x) dx = x -∫cos^2(x) dx接下来，可以使用换元法或者其他方法继续进行求解。

3. 倒代换法：当求解的三角函数积分中含有三角函数的幂函数时，可以考虑使用倒代换法。

具体步骤如下：1）将三角函数的幂函数的一部分提取出来，用一个新的变量代替。

2）根据新的变量的取值范围，将原积分限进行相应的改写。

3）将原积分表示为新变量的积分形式。

4）对新变量的积分进行求解。

5）将新变量的积分结果转换回原变量。

4. 积化和差公式：对于一些较为复杂的三角函数积分，可以考虑使用积化和差公式进行简化。

例如，积化和差公式之一为：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)将三角函数积分中的和差形式利用积化和差公式变换为乘积形式后，便于求解。

5. 稍减一法：当三角函数的幂函数中指数比较大时，可以考虑使用稍减一法。

第4节 可有理化函数的不定积分4.1三角函数有理式的不定积分设(sin ,cos )R x x 是sin ,cos x x 的有理分式，要做积分(sin ,cos )R x x dx ⎰。

作变换tan2x t =。

2222222112111tan ,cos ,1cos ,cos 122111cos 2x x t x x x t t t +=+==+==-+++221cos 1t x t-=+ 2221sin 2sin cos 2tan cos (1cos )122221x x x x t x t x t t ⎛⎫-===+=+ ⎪+⎝⎭22sin 1tx t =+ 221dx dt t =+2222212(sin ,cos ),111t t R x x dx R dt t t t⎛⎫-=⎪+++⎝⎭⎰⎰ 变成了有理函数的积分。

以上这些公式，可以背下来，也可以练熟推导过程需要时推出来。

tan2xt =总可以把三角函数有理式的不定积分变为有理函数的积分。

因此称它为万能变换。

从上面可以看出，虽然用万能变换总可以把积分做出来，但是它非常麻烦。

因此万能变换只能是最后一招。

【例4.1】 求不定积分d 2sin cos 5xx x．解、用万能变换tan 2x t =。

22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t=+。

22222222112412sin cos 5151111111322331133tan 1dx dtt t x x t t t dt d t d t t t x C C =--++-+++⎛⎫==+= ⎪++⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ 【例4.2】 求不定积分3sin d 1cos xx x．解、()()322sin sin 1cos cos cos 1cos 1cos 1cos x x xdx d x d x x x x-=-=-+++⎰⎰⎰ ()()21cos 1cos cos cos 2x d x x x C =-=-+⎰（注意：我们这里没有用万能变换。

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

三角函数的不定积分计算与应用在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在各个领域都有广泛的应用。

不定积分是微积分中的基本概念之一，它可以用于计算函数的原函数。

本文将介绍三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用。

一、三角函数的不定积分计算方法1. 正弦函数的不定积分正弦函数是三角函数中最常见的一种。

对于正弦函数sin(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C为常数。

2. 余弦函数的不定积分余弦函数是另一种常见的三角函数。

对于余弦函数cos(x)，其不定积分可以通过以下公式计算：∫cos(x) dx = sin(x) + C同样，C为常数。

3. 正切函数的不定积分正切函数tan(x)的不定积分可通过以下公式计算：∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C其中ln为自然对数，C为常数。

二、三角函数不定积分的应用1. 面积计算三角函数的不定积分可以用于计算闭曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

例如，给定一个函数f(x)，通过计算∫f(x) dx，我们可以得到曲线f(x)与x轴之间的面积。

2. 物理问题三角函数的不定积分在物理学中有广泛的应用。

例如，在运动学中，通过计算加速度函数的不定积分，可以得到速度函数和位移函数。

这在描述物体的运动过程中非常有用。

3. 工程问题三角函数的不定积分在工程学中也有一定的应用。

例如，在电路分析中，通过计算电流和电压函数的不定积分，可以得到电路中的电荷量和电流量。

4. 统计学问题在统计学中，三角函数的不定积分也有一定的应用。

例如，在频率分析中，通过计算函数的傅里叶级数展开式，可以得到信号的频谱分布。

综上所述，三角函数的不定积分计算方法以及其在实际问题中的应用非常广泛。

通过掌握计算方法，我们可以更好地理解三角函数的性质，并将其应用于不同领域的问题求解中。

第二单元 Ch9 不定积分2.2三角函数有理式的不定积分222sin cos 22sin sin cos 22x x x x x =+22tan 21tan 2x x =+22,1t t =+2222212(sin ,cos )d ,d .111t t R x x x R t t t t ⎛⎫-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰d 1t t=+⎰ln 1t C =++ln 1tan .2x C =++对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理0,R 函数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.20(,)(,).R u v R u v u =因此20(1cos ,cos )d(cos )R x x x =--⎰0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得20(1,)d .R t t t =--⎰20(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x =⎰⎰20(sin ,cos )d (sin ,cos )cos d R x x x R x x x x =⎰⎰20(sin ,1sin )d(sin )R x x x =-⎰20(,1)d .R t t t =-⎰0(iii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得1221d(tan )tan ,1tan 1tan x R x x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰1221d ,.11t R t t t⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰2cos 2dcos 12cos cos x x x x -=+-⎰2d 212t t t t =-+-⎰221cos x-+1arctan tan .a x C ab b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a ⎪⎝⎭例4 求不定积分解本题除一般解法(化为有理式的积分)外，还有一种较巧妙的解法.立即知道可由方程组于是就可求得。

三角函数求不定积分方法总结三角函数是数学中常见的一类函数，在计算机科学、物理学、工程技术等领域都有广泛的应用。

求三角函数的不定积分是数学中的常见问题，需要掌握一定的方法和技巧。

本文将总结一些求三角函数不定积分的常用方法，并给出相关参考内容。

1. 基本积分公式：对于三角函数，我们可以利用基本积分公式来求不定积分。

基本积分公式包括：- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$- $\int \cos x \, dx = \sin x + C$- $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$- $\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$- $\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$- $\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$这些公式是求三角函数不定积分的基础，可以直接应用。

2. 倒代换法（合并积分）：有时候，我们可以通过倒代换的方法将一个复杂的三角函数不定积分转化为一个简单的不定积分。

例如，对于积分 $\int\sin^3 x \, dx$，我们可以令 $u = \cos x$，然后利用 $u$ 来表示$\sin x$，并应用基本积分公式。

最后再用 $u$ 代替原来的变量 $x$。

3. 半角公式：半角公式是将一个角的正弦、余弦和切线用另一个角的正弦、余弦和切线表示的公式。

在求三角函数的不定积分中，半角公式可以帮助我们将一个复杂的三角函数变为一个简单的三角函数。

例如，对于积分 $\int \sin^2 x \, dx$，我们可以利用半角公式将其转化为 $\frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx$，然后应用基本积分公式求出不定积分。

4. 积化和差法：积化和差法是一种将乘积形式的函数转化为和差形式的方法。