四年级奥数专题11组合图形的计数

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

(7)十一、组合图形的计数（A）年级______班_____ 姓名_____得分_____一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?(6)12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?十一、组合图形的计数（B ）年级 ______班 _____ 姓名 _____得分 _____一、填空题:1.右图有( )个长方形.2.右图共有( )个长方形.3.下图共有( )个长方形.4.图中一共有多少个长方形?(含正方形).5.数一数图中三角形的个数.6.下图共有( )个三角形.7.下图一共有( )个三角形.8.图ABC ∆中,cm BC 4=,BC 边被分成四等分,BC 边上的高cm AH 2=,则图中所有三角形面积的和为多少?(以AH 为边的三角形不计算在内.9.下图共有( )个平行四边形.10.右图一共有( )个梯形.二、解答题:1.数一数,右图中有多少个正方形?2.如右图,数一数图中一共有多少个三角形?3.下图共有几个长方形?4.下图共有多少个长方形?———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 一共有321个.解: ①上横大长方形内有长方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)⨯(1+2)=108(个);②下横大长方形内有长方形:(7⨯6÷2)⨯(3⨯2÷2)=63(个);③竖大长方形内有长方形:(5⨯4÷2)⨯(7⨯6÷2)=210(个);④中间重复的长方形共有:(5⨯4÷2)⨯(3⨯2÷2)⨯2=60(个).⑤图中共有长方形: 108+63+210-60=321(个).2. 一共有64个.3. 一共有107个.解: (1+2+3+4)⨯(1+2+3)=60(个);(1+2+3)⨯(1+2+3)=36(个);1+2=3(个);(1+2)⨯4+2=14(个);图中共有长方形: 60+36-3+14=107(个).4. 一共有18个.解:分三类计算,边长是1的正方形有2+4=13(个),边长为2的正方形有4(个),边长为3 的正方形有1个.因此,图中共有正方形13+4+1=18(个).5. 一共有79个.解: 在大长方形中共有长方形:(3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形: (3+2+1)⨯(3+2+1)=36(个).在两个长方形中增加的长方形有:8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1个.所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).6. 右图一共有(150)个平行四边形.(5⨯4÷2)⨯(6⨯5÷2)=150(个).点金术:与算平行四边形的方法一样.7. 一共有(90)个.(6⨯5÷2)⨯(4⨯3÷2)=90(个).8. 一共有(55)个.解:分类进行统计,得边长为1的正方形有5⨯5=25(个);边长为2的正方形有4⨯4=16(个);边长为3的正方形有3⨯3=9(个);边长为4的正方形有2⨯2=4(个);边长为5的正方形有1⨯1=1(个).图中共有正方形: 25+16+9+4+1=55(个).9. 一共有60个.解:分类进行统计,得边长为1的正方形有4⨯7=28(个);边长为2的正方形有3⨯6=18(个);边长为3的正方形有2⨯5=10(个);边长为4的正方形有1⨯4=4(个).图中共有正方形: 4⨯7+3⨯6+2⨯5+1⨯4=60(个).10. 右图一共有(110)个正方形.解: 图中ABCD是一个4⨯10方格,其中正方形的个数是:4⨯10+3⨯9+2⨯8+1⨯7=90(个);图中CEPN是一个4⨯6方格,其中正方形的个数是:4⨯6+3⨯5+2⨯4+1⨯3=50(个);在上面的两项统计中,CDMN内的正方形被重复计算了一次,应该扣除.因CDMN是4⨯4方格,其中正方形的个数是:4⨯4+3⨯3+2⨯2+1⨯1=30(个).所以,图中正方形的个数是: 90+50-30=110(个).二、解答题:11. 一共有95个.解: ①中间部分的正方形有:52+42+32+22+12=55(个);②上、下部分的正方形有:(4+2+1)⨯2=14(个);③左、右部分的正方形有:(9+2+2)⨯2=26(个).共有正方形: 55+14+26=95(个).12. 共有46个.解: ①正摆着的正方形有:4⨯3+3⨯2+2⨯1=20(个);②斜摆着的正方形有:a.最小的正方形有17个;b.由4个小正方形组成的正方形有8个,c.由9个小正方形组成的正方形有1个.③图中共有正方形: 20+17+8+1=46(个).13. 至少有160个.解: 因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形: 100+100-40=160(个).14. 最多有7个.解: 最多有7个正方形.摆法如右图.———————————————答案——————————————————————1. 58个2. 25个3. 29个4. 1980个OA线段10×11÷2=55(条),图中10OB边上共有线段8×9÷2=36(条),8因此,图中共有长方形55×36=1980(个).5. 27个这样的图形只能分类数,可以采用类似数正方形的方法,从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有四层,它们的总数为:W①上=1+2+3+4=10(个).②尖朝下的三角形共有三层,它们的总数为:W①下=1+2+3=6(个).Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有三层,它们的总数为:W②上=1+2+3=6(个)②尖朝下的三角形只有一个,记为W=1(个).②下Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形:①尖朝上的三角形共有二层,它们的总数为:W③上=1+2=3(个).②尖朝下的三角形零个,记为W=0(个).③下=1(个).Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形,只有一个,记为W④上所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27(个).我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数,即按尖朝上与朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种:W①上=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(个)Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种:W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0则尖朝下的三角形共有6+1+0+0=7(个)所以,尖朝上与尖朝下的三角形一共有:20+7=27(个)尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和,其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数,依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数,直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和,它的第一个恰是尖朝上的第二个和,依次各个和都比上一个和少最大的两个加数,以此类推直到零为止.6. 126个Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:(1) W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.7. 35个Ⅰ.与ABE∆相同的三角形共有5个;Ⅱ.与ABP∆相同的三角形共有10个;Ⅲ.与ABF∆相同的三角形共有5个;Ⅳ.与AFP∆相同的三角形共有5个;∆相同的三角形共有5个;Ⅴ.与ACD∆相同的三角形共有5个.Ⅵ.与AGD所以图中共有三角形为5+10+5+5+5+5+5=35(个).8. 20平方厘米底边为1cm的三角形面积和为:)⨯÷⨯;cm=422(412底边为2cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm3(62222底边为3cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm2(62232底边为4cm的三角形面积和为:)=⨯÷⨯;cm(412242图中所有三角形面积和为:)=+++.cm(42420669. 315个=÷⨯⨯(个)7(=⨯⨯÷216315)215)26(510. 45个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)×(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)×(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)二、解答题11. 有124个.①基本的三角形有:4×9=36(个).:4×9=36(个).:4×3×2=24(个).④由九个基本的三角形组成的三角形:4×2=8(个).⑤由八个基本的三角形组成的三角形:4×4=16(个).⑥由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).12. 有100个.这是个对称图形,我们可按如下三步顺序来数:第一步:大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形:AEOH、EBFO、OFCG、HOGD,每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步:每两个小矩形组合成的图形共有四个,如:ABFH、EBCG、HFCD、AEGD,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步:每三个小矩形占据的部分图形共有四个:如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC,每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4就是整个图形中所包含的三角形的个数.Ⅰ.在小矩形AEOH中:①由一个三角形构成的8个.②由两个三角形构成的三角形有5个.③由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内17个三角形.Ⅱ.在由两个小矩形组合成的图形中,如矩形AEGD,共有5个三角形.Ⅲ.由三个小矩形占据的部分图形中,如△ABC,共有2个三角形.所以整个图形共有三角形个数是:(8+5+5+5+2)×4=25×4=100(个).13. 有270个.①除去四周凸出部分,中间大长方形内共有长方形:(7×6÷2)×(4×3÷2)=126(个);②左、右凸出部分共有长方形:(3×2÷2)×(7+6)+(5×4÷2)×(5+4)=39+90=129(个);③上、下凸出部分共有长方形:1×(8+7)=15(个).④图中共有长方形:126+129+15=270(个).14. 有133个①在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);②在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个);③在①与②中重复的长方形有:1+2=3(个);④两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)×(2+2)+1×(2+2)=16(个).⑤图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).。

第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右图中总合有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），因此∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：图中总合有10 个角。

方法 2：用公式计算：边数×（边数—1）÷ 25 ×（ 5-1 ）÷ 2=10练一练：数一数右图中总合有多少个角？例（ 2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看 BC、MN、 GH 这 3 条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ ABC中，被 GH和 MN分红了三层，每一层的三角形同样多，因此只需算出一层三角形个数就能够了。

(5 ×4÷2)×3=30(个)答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。

练一练：图中共有多少个三角形？例（ 3）数一数图中长方形的个数解析：长边线段有：6× 5÷ 2=15宽边线段有： 4 ×3÷2=6共有长方形： 15×6 = 90（个）答：共有长方形90 个。

几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼： 3（段），双拼： 2（段），三拼： 1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数 3 段： 3+2+1=6（段）或者，线段个数 =基础线段数×端点÷ 2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

或者，角的个数 =最小角个数×（最小角个数 +1）÷ 2又，角的个数 =射线的个数×（射线个数 -1 ）÷ 2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数 =底边线段个数 ( 每个底边基础线段构成一个基础三角形 )或者，三角形的个数 =最小三角形个数×（最小三角形个数 +1）÷ 2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。

例 4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（ 1）使用分层计数法：图（ 1）图（ 2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层：0（个）中层：0（个）上下层： 4+3+2+1=10（个）下层：0（个）上中层：4+3+2+1=10（个）中下层：0（个）上中下层：4+3+2+1=10总数： 10+0+10=20（个）总数：10+10+10=30（个）方法（ 2）公式法：第一层三角形的总数×层数公式法：第一层三角形的总数×层数图（ 1）图（ 2）第一层：4+3+2+1=10（个）第一层：4+3+2+1=10（个）层数：2（层）层数：3（层）总数：10× 2=20（个）总数：10×3=30（个）例 5、下列图形中各有多少个三角形？分层法：上层： 4+3+2+1=10（个）下层：4（个）（吹泡泡法）上下层：4+3+2+1=10（个）总数： 10+4+10=24（个）小 TIPS：吹泡泡法例 6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形 1、4、3 号，共 3 个。

考试要求1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识结构一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅．组合因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅ m m n nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n nC C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n n C =，01n C =．三、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：（1）m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．（2）m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．（3）m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．四、排除法对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．重难点（1）组合数公式（2）插板法例题精讲一、组合之计算问题【例1】计算：26C ，46C 欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】计算：27C ，57C ．【例2】计算：⑴198200C ；⑵5556C ；⑶981001001002C C -．【巩固】计算：⑴312C ；⑵9981000C ；⑶2288P C -．二、组合之基本应用【例3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【例1】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【例2】在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？【例3】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？【巩固】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？三、组合之插板法【例4】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【例5】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。

第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷25×（5-1）÷2=10练一练：数一数右图中总共有多少个角？例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH这3条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。

(5×4÷2) ×3=30(个)答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。

练一练：图中共有多少个三角形？例（3）数一数图中长方形的个数分析：长边线段有：6×5÷2=15宽边线段有： 4×3÷2=6共有长方形：15×6 = 90（个）答：共有长方形90个。

学员姓名：年级：四年级吧课时数：2小时辅导类型：拔高型辅导科目：数学学科教师：课题奥数题授课时间教材区域小四数学（下册）学习目标1、图形的计数问题；2、几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。

学员授课过程一、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

练一练：数一数右图中总共有多少个角？例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。

姓名：巧数图形个数“数图形的个数”是趣味图形问题的一种，由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理有次序地数图形的方法。

数图形的个数时，既不能同一图形数两次，又不能把有的图形漏掉不数，常用的计算方法有按顺序和分类数两种。

下面举例介绍两种方法的运用规律：例：数一数下面图中有多少条线段。

第一：按含基本线段的顺序去数。

上图一共有5条小线段，这每条小线段就是基本线段，有5条基本线段，包含有两条基本线段的有4条……第二：按端点进行分类去数。

以线段最左边的点为第一个端点，第二个点为第二个端点……为了方便同学们计数，向大家介绍数线段、三角形、角数量的公式：1+2+…+（n－2）+（n－1）＝2)1(nn一、试一试，看谁数得又对又快。

一共有（）个三角形。

一共有（）个角。

二、填空。

1. 算式中有乘法和加、减法，应先算（）；算式中有除法和加、减法，应先算（）；算式中有括号的，应先算（）。

2. 在计算25＋13×2时,先算( )法,再算( )法。

3. 在计算78÷16×3时，先算（）法，再算（）法。

4. 在算式50－20÷5里，如果要先算减法，那么算式应该是：（）。

里填上“＜”“＞”或“＝”。

20×5＋×（5＋3）48÷6÷÷（6×8）280－37－280－（37＋163）60－24÷60－24）÷12小故事明明和沉沉都十分喜欢数学。

一天明明问沉沉：“你最喜欢几？”“我最喜欢9。

”“那你说说从1数到100，要说几次‘9’？”“啊！……这”沉沉被难住了，“这要数一数才能知道，一分钟时间。

”同学们，请你在一分钟内说出从1到100有多少个9？。

第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．二、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

方法2：用公式计算：边数×（边数—1）÷25×（5-1）÷2=10练一练：数一数右图中总共有多少个角？例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看BC、MN、GH这3条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ABC中，被GH和MN分成了三层，每一层的三角形一样多，所以只要算出一层三角形个数就可以了。

(5×4÷2) ×3=30(个)答：在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。

练一练：图中共有多少个三角形？例（3）数一数图中长方形的个数分析：长边线段有：6×5÷2=15宽边线段有： 4×3÷2=6共有长方形：15×6 = 90（个）答：共有长方形90个。

巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）基础线段要求：手拉手，肩并肩对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。

例4、下列图形中各有多少个三角形？分析与解：方法（1）使用分层计数法：方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数例5、下列图形中各有多少个三角形？小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。

再数两个图形合成的（双拼）三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。

最后数由1+2+3+4号组成的（四拼）大三角形，有1个。

所以3+4+1=8，共8个三角形。

例8、下列各图形中，长方形的个数各是多少？分析与解：对于（单层）基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。

学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。

过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。

在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。

情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。

在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。

教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。

难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。

再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。

下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。