图形计数

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。

方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。

（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。

（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。

【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。

要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。

每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。

至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。

第二讲图形的计数知识点：本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。

图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。

在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。

最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。

教学目标：通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。

2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。

3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

第一课时教学时间：教学内容：数线段和角教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。

2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。

重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。

2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。

教学过程：一.例题1如下图中有多少条线段？ＡＢＣＤＥ（1）学生先独立数一数，并交流结论。

（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条；由4条基本线段构成的线段有AE共1条；方法二：从线段的两个端点出发去数：以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条；以C点为左端点的线段有CD、CE共2条；以D点为左端点的线段有DE共1条；2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？二、教学数角1.例2如下图中共有几个角？O A（1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中AOB COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个；由3个基本角构成的角有AOD共1个；方法二：从角的一边出发来数以OA为一边的角有AOB AOC AOD 共3个；以OB为一边的角有BOC BOD 共2个；以OC 为一边的角只有COD1个。

第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。

二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。

例（1）数出右图中总共有多少个角例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例（3）数一数图中长方形的个数例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.例（5）数一数图中三角形的个数例（6）数一数图中一共有多少个三角形？A一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?B一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2. 下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长方形.4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.5. 图形中有_____个三角形.6．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.7. 把一条长15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）C1. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.2. 下图中共有_____个正方形.3. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。

第10讲图形中的计数小朋友们，在生活中我们经常遇到这样的问题，图形中有多少个三角形？图形中有多少个长方形？现在我们就来讨论这个问题．数一数，图中共有多少条线段？【正确答案】我们在数数时，总是按照一定顺序数，1，2，3，…，从小到大，而且每次加1．一段为一条的有4条；两段为一条的有3条；三段为一条的有2条；四段为一条的有1条.一共有4+3+2+1=10（条）数一数，图中共有多少条线段？【正确答案】21条数一数，下图中有多少个角？【正确答案】如图，一共有6个数一数，图中共有几个角？【正确答案】45个数一数，下图中有多少个三角形？【正确答案】图中有小三角形，有大三角形，按从小到大的顺序数，先数小三角形．如图，有四个小三角形，1、2、3、4，再数大三角形，只有一个，所以一共有4+1=5（个）三角形．【正确答案】27个数一数，下图中共有多少个长方形？【正确答案】按从小到大的顺序数一个一个有4个；两个合为一个有4个；四个合为一个有1个所以共有4+4+1=9（个）长方形．【正确答案】45个数一数，下面的立体图中有多少个三角形？【正确答案】立体图形，我们也要找一个顺序．如下面的分解图，可以知道一共有4个三角形数一数，图中共有多少个长方形？【正确答案】15个数一数，图中一共有多少个三角形？【正确答案】一共有3+4+1=8（个）三角形数一数，下图中有几个圆？【正确答案】6个数一数，图中一共有多少个正方形？解一共有4+5+1=10（个）正方形下图中共有14个正方形，请你都找出来。

【正确答案】14个数一数，图中共有几个小正方体木块。

【正确答案】上层有4个小正方体木块，下层有5个小正方体木块．共有4+5=9（个）小正方体木块．用剪刀将下面的平面展开图剪下来，看看能不能折叠成正方体。

（1）（2）（3）【正确答案】（1）（3）能折成正方体（2）不能1.数一数，下列各图中有多少个三角形？（1）（2）（3）【正确答案】（1）3个（2）8个（3）5个2.数一数，下列各图中有多少个正方形？（1）（2）（3）【正确答案】（1）6个（2）3个（3）7个3.数一数，下图中有多少个长方形？（1）（2）（3）【正确答案】（1）11个（2）18个（3）5个4.找出只含一个圆圈的正方形的个数。

图形计数幼儿园教案一、教学目标1.能够识别常见的几何图形，如圆、方、三角形等；2.能够正确数出一组图形中相同图形的数量；3.能够对几何图形进行简单的分类和比较。

二、教学内容1.常见几何图形的命名和特征；2.图形计数的方法；3.几何图形的分类和比较。

三、教学步骤1. 导入环节教师可以使用一些诸如观看卡通片、看图片和玩游戏等活动来介绍几何图形的概念，激发幼儿们的学习兴趣，提高教学效果。

2. 学习环节2.1 常见几何图形的命名和特征先给孩子展示常见的几何图形，例如圆、方、三角形、长方形等。

接着，让他们通过对这些图形的形状和特征进行观察和讨论，来确定这些图形的名称和特征。

2.2 图形计数的方法在孩子们熟悉了常见几何图形的名称和特征之后，可以开始教授图形计数的方法。

可以通过让孩子们将一组相同的图形分类，并计数其中图形的数量的方法来加深他们对图形和数字概念的理解。

2.3 几何图形的分类和比较为了让孩子们更好地掌握几何图形的概念，还需要教授几何图形的分类和比较。

可以通过让孩子们将不同的图形进行比较，并根据图形的特征进行分类的方法来教授这一内容。

3. 巩固与延伸环节在教学的最后阶段，教师可以通过一些游戏和互动活动来帮助孩子们巩固所学知识，并进一步拓展他们的思考和认知能力。

例如，可以将孩子们分成小组，并让他们进行图形计数和图形分类，或者让他们进行几何图形的拼图游戏，以此来帮助他们更加深入地了解几何概念和计数方法。

四、教学评估在教学的不同阶段，教师可以通过观察和记录学生的表现，来对他们进行评估。

例如，测试学生如何命名和识别几何图形，以及他们能否正确计数和分类图形。

五、教学反思教师应该不断地反思教学过程中的问题，并尝试寻找最佳的教学方式和方法。

这样可以不断优化教学方案，并提高教育教学的质量。

第二讲图形计数【知识精讲】数线段规律：一条直线上如果有n个点，那么线段总数为1+2+3+⋯+（n−1）.数角规律：角的个数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是射线的条数减1，同时也是基本角的个数。

数三角形规律：数三角形时，可以简化成数有共同顶点的角的个数，或是数公共底边上线段的条数。

数长方形规律：一个规则的长方形图形（由m行、n列构成），它的长方形总数为（1+2+3+⋯+m）×（1+2+3+⋯+n）.数正方形规律：对于n行n列（n×n）的大正方形来说，正方形的总数为1×1+2×2+3×3+⋯+n×n.例题1：数一数，图中共有多少条线段？练习1：数一数，图中共有多少条线段？例题2：数一数，下图中有多少个角？练习2：数一数，图中共有几个角？例题3：数一数，下图中有几个三角形。

练习3：数一数，下图中有几个三角形。

例题4：数一数，图中共有（）个三角形。

练习4：数一数，图中共有（）个三角形。

例题5：数一数，下图中有多少个长方形？练习5：数一数，图中共有多少个长方形？例题6：含有☆的正方形有（）个。

练习6：含有☆的正方形有（）个。

例题7：在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（）个正方形。

练习7：下面有20个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。

用这样的方法，你可以得到（）个正方形。

巩固练习1、下图中一共有（）条线段.2、下图中有_____个三角形.3、数一数，一共有( )个长方形.4、在下图中,所有正方形的个数是______.5、下面有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。

用这样的方法，你可以得到（）个正方形。

图形的计数【知识要点】1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为()1231n ++++-3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来 【典型题解】例1.（数线段）数出下面图形中有多少条线段？练一练1.下图共有（ ）条线段2.下图共有（ ）条线段3.下图共有（ ）条线段4.图中共有（ ）条线段例2.（数角）数出图中锐角的个数练一练1.数出下面各图中，锐角的个数2.下图中共有（ ）个锐角例3.（数三角形 ）下图中有几个三角形？练一练1.数出下图中，共有（ ）个三角形2.数出下面各图中的三角形的个数3.图中共有（ ）个三角形4.数出下图中共有多少个三角形5.图中共有多少个三角形例4.（数长方形）数一数下图中的长方形有多少个？ （2（1）（3）（4例5.下图中有多少个长方形方形包含＊号 ？ 练一练1.图中共有（ ）个长方形2.数出下面各图形中长方形的个数3.数一数，下面图形中共有多少个长方形（包括正方形）4.数出下图中含有﹡号的长方形个数例6.（数正方形）数一数下图中的正方形有多少个？ 练一练1.数出下面各图中正方形的个数2.数一数下图中的正方形有多少个包含＊号 ？3.图中共有（ ）个正方形。