第九章 组合计数定理

组合数定理组合数定理是组合数学中的一个重要定理，它在排列组合问题的解决中起到了至关重要的作用。

本文将介绍什么是组合数定理、其重要性以及如何运用组合数定理解决实际问题。

首先，让我们来了解什么是组合数。

组合数是指从n个不同元素中取出r个元素（r≤n），不考虑元素的顺序，所组成的集合的个数。

用数学符号表示，组合数记作C(n, r)或者(nCr)。

组合数定理告诉我们，组合数可以通过以下公式计算出来：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数的乘积。

例如，5! =5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120。

组合数定理的重要性体现在以下几个方面：1. 组合数定理在概率论中的应用。

在计算概率时，有时需要计算从一个集合中选取特定数量的元素的可能性。

组合数定理提供了一种快速计算这种可能性的方法。

2. 组合数定理在组合优化中的应用。

组合优化是研究将元素排列或组合以获得最佳结果的一门学科。

组合数定理可以帮助寻找最优解的算法设计和解决问题。

3. 组合数定理在计算机科学中的应用。

在算法设计和分析中，我们经常需要计算从一个集合中选择特定数量的元素的可能性，以确定算法的复杂性。

组合数定理为计算这些可能性提供了有效的解决方法。

除了上述重要性之外，组合数定理还可以用于求解实际问题。

例如，在搭配衣服时，我们希望知道从若干种颜色中选择m种颜色进行搭配的可能性。

这时可以使用组合数定理来计算搭配的可能性。

另一个例子是在排列球队时，我们希望知道从n个球队中选择r个球队进行比赛的可能性。

同样，组合数定理可以帮助我们计算出这种选择的可能性。

综上所述，组合数定理是组合数学中重要的定理之一。

它不仅在理论研究中有着重要的地位，而且在实际问题的解决中也起到了指导作用。

通过运用组合数定理，我们可以更准确、高效地解决排列组合问题。

希望本文能为读者提供一些指导意义，帮助他们更好地掌握组合数定理的应用。

组合数学知识点组合数学是数学中的一个分支，研究的是离散的结构和计算方法。

它在数学中具有广泛的应用，包括计算、统计、密码学、信息科学等领域。

本文将介绍一些组合数学的基本概念和知识点。

一、排列与组合排列与组合是组合数学中最基本的概念。

排列指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式，它考虑元素的顺序。

而组合则是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，它不考虑元素的顺序。

1.1 排列在排列中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列，且要求选取的元素都不相同，则称为从 n 个元素中选取 r 个不同元素的排列，表示为 P(n, r)。

排列的计算公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

1.2 组合在组合中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素组成一个集合，且不考虑选取元素的顺序，则称为从 n 个元素中选取 r 个元素的组合，表示为 C(n, r)。

组合的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)二、二项式系数二项式系数也是组合数学中的重要概念。

对于任意非负整数 n 和非负整数 r，二项式系数 C(n, r) 表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。

二项式系数具有以下性质：1. 对称性：C(n, r) = C(n, n-r)2. 递推关系：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)二项式系数是组合数学中的基本构建块，它在代数、概率、统计等领域中有重要的应用。

三、图论中的组合数学组合数学在图论中有广泛的应用。

以下是几个常见的图论中的组合数学知识点：3.1 树和森林在图论中，树是一个没有回路的连通图。

一个有 n 个顶点的树含有 n-1 条边。

而森林是由若干个不相交的树组成的图。

3.2 图的匹配图的匹配是指一个图中的边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

组合数定理组合数定理是组合数学中的重要定理之一。

在数学中，组合数是从给定集合中选择出特定个数的元素组成的集合的个数，通常用C(n, k)表示。

组合数定理主要研究的是这些组合数的性质和计算方法。

首先，我们需要了解一下组合数的定义。

给定一个n 元素的集合，从中选取k个元素，组成一个无序的集合，这样的集合个数即为组合数。

组合数的计算方法可以通过以下公式进行计算：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)其中n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1，0的阶乘定义为1。

组合数的计算方法还可以通过递推公式进行计算：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个递推公式的意思是，要么选择n作为组合的一部分，那么剩下的k-1个元素就要从剩下的n-1个元素中选择；要么不选择n，那么k个元素就要从剩下的n-1个元素中选择。

通过递推公式，我们可以通过计算相对较小的组合数，迭代地计算出较大的组合数。

组合数定理具有以下几个重要的性质：1. 对任意整数n和k，组合数C(n, k)满足对称性质：C(n, k) = C(n, n-k)。

这是由组合数的定义以及递推公式可以得到的结论。

2. 组合数满足递推关系：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。

这个递推关系可以用来计算较大的组合数，通过计算较小的组合数，不断迭代得到结果。

3. 组合数的性质可以帮助我们解决很多实际问题。

比如，在排列组合数的计算中，组合数可以用来解决从n个元素中选择k个元素的问题；在概率论中，组合数可以用来计算事件的发生概率。

除了上述性质外，组合数定理还有一些重要的应用：1. 组合公式的应用：组合数定理可以用来简化复杂的组合公式，使得计算更加方便。

比如，通过组合数定理，我们可以证明等式(1+x)^n = C(n, 0)*x^0 + C(n, 1)*x^1 + ... + C(n, n)*x^n。

组合数学基础知识组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。

它在计算机科学、密码学、统计学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起走进组合数学的世界，了解一些它的基础知识。

首先，我们来谈谈排列与组合。

排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。

比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列的方式就有 5×4×3 ＝ 60 种。

而组合则是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑它们的顺序。

还是刚才的例子，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合方式，就有 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。

我们再来看一下加法原理和乘法原理。

加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

比如，要从 A 地到 C 地，可以先从 A 地到 B 地有 3 条路，再从 B 地到 C 地有 4 条路，那么从 A 地到 C 地就一共有 3 ＋ 4 ＝ 7 条路。

乘法原理则是，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有m1×m2×…×mn 种不同的方法。

比如，一个密码由三位数字组成，第一位可以是 0 到 9 中的任意一个数字，第二位和第三位也是如此，那么总共的密码组合就有 10×10×10 ＝ 1000 种。

在组合数学中，还有一个重要的概念是容斥原理。

容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。

假设我们有三个集合 A、B、C，那么它们的并集中元素的个数可以通过以下公式计算：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜A∩C| ｜B∩C| ＋｜A∩B∩C|。

组合数定理1. 引言组合数定理是组合数学中的一项重要理论。

在计算组合问题时，我们经常需要计算从n个元素中选取k个元素的组合数。

而组合数定理提供了一种便捷的方法来计算这些组合数。

2. 组合数的定义在介绍组合数定理之前，我们先来回顾一下组合数的定义。

定义1：从n个元素中选取k个元素的组合数，记作C(n,k)，表示从n个元素中选取k个元素的不同方式的数量。

其中，n和k都是非负整数，并且满足0 <= k <= n。

根据定义，我们可以得到以下公式来计算组合数：公式1： C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，“!”表示阶乘运算。

3. 组合数定理在实际应用中，我们经常需要计算大量的组合数。

直接使用公式1进行计算可能会导致复杂度较高，并且容易出现溢出等问题。

为了解决这些问题，我们引入了组合数定理。

定理1（二项式定理）：对于任意非负整数n和整数m，有以下等式成立：(1 + x)^n = C(n,0) * x^0 + C(n,1) * x^1 + C(n,2) * x^2 + … + C(n,n) * x^n该等式被称为二项式定理，其中(1 + x)^n表示一个多项式的展开形式。

根据定理1，我们可以通过展开(1 + x)^n来计算组合数C(n,k)。

具体方法如下：方法1：展开(1 + x)n，并观察x k的系数，即可得到C(n,k)的值。

例如，当n=4时，展开(1+x)^4可以得到：(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4观察上述展开式中x的指数和系数，可以得到C(4,0)=1、C(4,1)=4、C(4,2)=6、C(4,3)=4和C(4,4)=1。

通过这种方法，我们可以快速计算出较小规模的组合数。

4. 组合数定理的应用组合数定理在实际问题中有广泛的应用。

下面我们介绍一些常见的应用场景。

4.1. 排列组合问题在排列组合问题中，我们经常需要计算从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的方式数量。

组合计数与概率主讲：李 生1、组合计数一、计数原理【分类计数原理】 设A 为完成一件事情的所有方法的集合，它可以划分为n 个互不相交的非空子集A 1，A 2，…，A n ，|A i |=m i (i =1,2,…,n )，那么完成这件事情的总方法数为：N=|A|=m 1+m 2+…+m n ；【分步计数原理】 设A 为完成一件事情的所有方法的集合，且完成这件事情需要几个步骤，实现第i (i =1,2,…,n )个步骤的方法的集合为A i ，|A i |=m i ,那么完成这件事情的总方法数为N=|A|=m 1×m 2×…×m n ；例1.（2011山西赛区预赛）在集合{1,2,,2011}A = 中，末位数字为1的元素个数为 ． 例2． 在由n 2个小方格组成的正方形中，有多少个由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形？ 例3．设整数a ,b ,c 为三角形三边，a +b =n ∈N ，1≤c ≤n -1，求这样的整边三角形的个数． 二、常见计数公式1． 相异元素的排列与组合【排列】：从n 个不同元素中取m （m ≤n ）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取m 个不同元素的排列的个数称为排列数，记为mn A ，则有!(1)(2)(1)()!mn n A n n n n m n m =---+=- ，其中!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，并规定0!1=．【组合】：从n 个不同元素中取m （m ≤n ）个不同元素，并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取m 个不同元素的组合的个数称为组合数，记为mn C ，则有!!()!mm n nm m A n C A m n m ==-．例4．（2011吉林赛区预赛）现有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱111ABC A B C -各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不同，且每种颜色的灯泡都至少有一个的安装方法共有 种． 2．圆排列【定义】 从n 元集中任取r 个不同元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n 个不同元素的r -圆排列，其排列数记为rn H ．圆排列的特点有两个：①无头无尾；②按同一方向转换后仍是同一个排列．例5．（2006江苏高考）右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率为 ．例6．（全国联赛题）8个女孩和25个男孩围成一圈．（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）（1）女孩不相邻，有多少种排法？（2）任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法． 3．重复排列【定义】从n 个不同元素中允许重复地任取r 个元素排成一列，称为n 个不同元素的r -可重排列． 4．不全相异元素的全排列【定义】 设n 个元素可分为k 组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i 组的元素个数为i n ),...,2,1(k i =，n n n n k =+++...21，则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．不难证明，n 个元素的不全相异元素的全排列个数为!!...!!21k n n n n ．例7．（2006江苏高考）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ▲ 种不同的方法（用数字作答）． 例8．一段楼梯共有12级台阶，某人上楼时，有时一步迈一台阶，有时一步迈两台阶，问此人共有多少种上楼的方法？ 5．多组组合【定义】 将n 个不同的元素分成有编号的k 个组称为n 个不同元素的一个k -组合．若第i 组有i n 个元素，（k i ,...,2,1=），则不同的分组方法数为!!...!!21,...,,21k n n n n n n n n C k=．例9．把n 个不同的球，分别装入m 个盒子中，使其中1m 个盒子中每个都有1p 个球，2m 个盒子中每个都有2p 个球，…，k m 个盒子中每个都有k p 个球，这里，k k k m p m p m p n m m m m +++=+++=...,...221121，求下列情况下，各有多少种不同放法：（1）盒子均不相同；（2）装有相同数目的球的盒子相同． 6．重复组合【定义】 从n 个不同的元素中允许重复地任取r 个元素的组合称为n 个不同元素的r —可重组合．不难证明，n 个不同元素的r —可重组合的个数为rr n C 1-+．【定理】 不定方程r x x x n =+++...21的非负整数解的个数为rr n C 1-+．【推论】 不定方程r x x x n =+++...21的正整数解的个数为11--n r C ．例10．（2011天津）将9()a b c d +++展开之后再合并同类项，所得多项式的项数是多少？ 例11．（2002全国）已知两个实数集{}12100,,,A a a a = 与{}1250,,,B b b b = ．若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原像，且12100()()()f a f a f a ≤≤≤ ，则这样的映射共有 （ ）（A ）50100C （B ）4899C （C ）49100C （D ）4999C 三、组合计数问题的常用方法1．“算两次”原理：设1212{,,,},{,,,}m n A a a a B b b b == 是两个有限集合，将所有形如(,)(1,1)i j a b i m j n ≤≤≤≤的有序对构成的集合称为A 与B 的笛卡尔乘积，并用记号A B ⨯表示．对任意i a A ∈，设{(,)|}(1,2,,i i C a b b B i m =∈= ，对任意i b B∈，设{(,)|i iD a b a A i n =∈= ，于是11||||||mni j i j A B C D ==⨯==∑∑，这个等式叫做富比尼（Fubini ）原理，又称算两次原理．例12．一张正方形纸片内有1000个点，这些点及正方形的顶点中任意3点不共线，然后在这些点及正方形顶点之间连一些线段，将正方形全部分成小三角形（以所连线段及正方形的边为边，且所连线段除端点外，两两无公共点），问一共连有多少条线段？一共得到多少个三角形？ 2．赋值方法：例13．A 、B 、C 、D 、E 共5人围成一个圈，进行传球游戏游戏，每个人可将球传给左边或右边与之相邻的人，开始时球在A 手中，问传球10次后球又回到A 手中的概率是多少？ 3．递推方法：例14．（2003江苏高考）某城市在中心广场建造一个花囿，花囿分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）例15．（加拿大数学奥林匹克题）数1,2,…，n 的排列满足：每个数或者大于它前面的所有的数，或者小于它前面所有的数，试问有多少个这样的排列？ 4．映射方法与一般对应方法：例16．（1）求凸n 边形的对角线条数．（2）设凸n 边形的任意3条对角线不交于形内同一个点，求它的对角线在形内的交点的个数．例17．1，2，3，4，……，49中取出六个不同的数字，其中至少有两个是相邻的取法种数是多少？ 分析：考虑总数中去掉任何两个都互不相邻的总数．5．容斥原理：用||A 表示集合A 的元素个数，则有（1）||||||||A B A B A B ⋃=+-⋂；（2）||||||||||||||||A B C A B C A B A C B C A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂； （3）12111112||||||||(1)||nn i i j i j k i i j ni j k nn n A A A A A A A A A A A A =≤<≤≤<<≤-⋃⋃⋃=-⋂+⋂⋂-+-⋂⋂⋂∑∑∑例18．（莫斯科竞赛题）在小于1000的正整数中，既不被5整除又不被7整除的数有多少个？ 【逐步淘汰原理】设S 是有限集合，(1,2,,)i A S i n ⊂= ，i A 在S 中的补集为i A ，则有12121212111||||||||||||||||(1)||n n n nn i i j i j k n i i j ni j k nA A A A A A S A A A S A A A A A A A A A =≤<≤≤<<≤⋂⋂⋂=⋃⋃⋃=-⋃⋃⋃=-+⋂-⋂⋂++-⋂⋂⋂∑∑∑．例19．有n 封写给不同的n 个人的信和n 个配套的写有收信人地址的信封，现将n 封信一对一地装入到n 个信封中去，结果发现没有一封信是装对信封的，问该问题的概率是多少？ 6．反射原理【反射原理】：如图，A 、B 为平面直角坐标系中x个整数值点，设A '是A 关于X 轴的对称点．则从A 到B 触到X 轴的路径数等于A '到B 的路径总数．例20.电影院售票处有2n 个人排队买票，每张票5购一张，其中只带一张5元与只带一张10元的各有n 人，时售票处没有零钱可找．试问大家都能顺利买到票，售票员始终不会找不出零钱的概率是多少？2、概 率事件A 的概率()[]0,1P A ∈，若()0P A =则A 为不可能事件，若()1P A =，则A 为必然事件． 古典概型：若随机试验E 的基本事件只有有限个且每一个基本事件出现的可能性相等，则称试验E 是古典概率．古典概型中，事件A 的概率计算公式：()A P A E =中的基本事件数中的基本事件总数．几何概型：若试验E 的样本空间为可度量的几何区域Ω，且Ω中任意一个子区域出现的可能性大小与该子区域的几何度量成正比，而与它的位置、形状无关，则称试验E 是几何概型．几何概型中，事件A 的概率计算公式：()A P A =Ω的几何度量的几何度量．若事件A 和B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+，其中A B +表示A 和B 中至少有一个发生．特别地，()()1P A P A =-．若事件A 和B 未必互斥，则()()()()P A B P A P B P A B +=+-⋅，其中A B ⋅表示A 和B 同时发生．特别地，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C ++=++-⋅-⋅-⋅+⋅⋅若事件A 和B 是两个相互独立的事件，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅．特别地，()()1n kk kn n P k C p p -=-．条件概率：设A 和B 是两个事件，且()0P B >，则称()()()P A B P A B P B ⋅=为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率．在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质，易见，()()P A B P A =A ⇔和B 相互独立．两个相互未必独立事件同时发生的概率：()()()P A B P B P A B ⋅=⋅．全概率公式：设12,,,n A A A 是互斥的事件，且()0i P A >，事件B 总是与12,,,n A A A 之一同时发生，则B 发生的概率为()()()1niii P B P A P B A ==∑．贝叶斯公式：在全概率公式假定之下，有()()()()()()()1i i i i ni i i P A P B A P B A P A B P B P A P B A =⋅==∑，1,2,,i n = ．【赛题解析】例21.（2011甘肃）将正整数1,2,……，7任意分成两组，使得每组至少有一个数，则第一组数的和与第二组数的和相等的概率是 ．例22．（2006全国）袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球．．，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .例23.（2011上海）甲、乙两运动员乒乓球比赛正在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜，若甲、乙两人每局取胜的概率都是0.5,则甲最后获胜的概率是 ．例24．（2006南昌）甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为32,乙获胜的概率为31,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为 . 例25．（2004全国）一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关.问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。

排列组合问题(教案)第一章：排列与组合的基本概念1.1 排列的概念：排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。

1.2 组合的概念：组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。

1.3 排列数与组合数的表示：排列数用符号A(n,m)表示，组合数用符号C(n,m)表示。

第二章：排列数的计算方法2.1 排列数的直接计算方法：A(n,m) = n ×(n-1) ×(n-2) ××(n-m+1)，当n≥m时成立。

2.2 排列数的递推计算方法：A(n,m) = A(n-1,m-1) ×(n-m+1)，当n≥m时成立。

2.3 排列数的周期性：对于任意的正整数n和m，A(n,m)与A(n,n-m)相等。

第三章：组合数的计算方法3.1 组合数的直接计算方法：C(n,m) = A(n,m) / m!，当n≥m时成立。

3.2 组合数的递推计算方法：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，当n≥m时成立。

3.3 组合数的性质：C(n,m) = C(n,n-m)，且C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)。

第四章：排列组合的应用实例4.1 人员选拔问题：从n个人中选拔m个人，有多少种不同的选拔方式？4.2 活动安排问题：有n个活动，每个活动可以独立进行或进行，有多少种不同的安排方式？4.3 物品分配问题：有n个相同的物品，需要分成m组，每组至少有一个物品，有多少种不同的分配方式？第五章：排列组合问题拓展5.1 错位排列问题：将一个长度为n的序列中的每个元素错位排列，求错位排列的总数。

5.2 循环排列问题：将一个长度为n的序列进行循环排列，求循环排列的总数。

5.3 限制条件的排列组合问题：在排列组合问题中，添加一些限制条件，如元素不可重复使用等，求解符合条件的排列组合总数。