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数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析A 试题2007.1第一部分:填空题10⨯51.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成TA LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________，请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数:a = ___________ b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =,迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________,其收敛阶为___________6。
设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7。
要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9。
用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =,希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________,此时该方法是几阶的：___________10。
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式. 解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑(2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1］上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式.解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=,且()1x ρ=，这样，有()()()()()()()()1120011011201100012101,11,,3123,,,,32269,324dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ========++==++=⎰⎰⎰⎰⎰ 所以,法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦再回代解该方程，得到14a =,0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、 设()xf x e =,[0,1]x ∈，试求()f x 在［0， 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式. 解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样,有()()()()()()100012110101100100110,111,31,,2, 1.7183,1x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===========⎰⎰⎰⎰⎰所以，法方程为0111 1.7183211123a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦解法方程，得到00.8732a =,1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.8732 1.6902S x x =+例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。
XX 理工大学数值分析考试题〔07〕一．填空〔每空3分，共30分〕1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有 位有效数字。
2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f =，018[2,2,...2]f =。
3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A =；A ∞=；2A =2()cond A =。
4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为。
6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L 〔L 为下三角阵，主对角线元素>0〕，a 的取值X围应为。
7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是。
〔注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
〕二．推导与计算〔一〕对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。
〔12分〕〔二〕已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。
请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。
〔8分〕〔三〕利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。
〔8分〕〔四〕设A=1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。
〔10分〕〔五〕确定节点与系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()A f x A f x ≈+⎰。
〔10分〕〔六〕对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。
数值分析A 试题
2007.1
第一部分：填空题10⨯5
1.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________
00n n n ,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________
9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8
L x x x =-+,求积分1
241()()ax bx c L x dx -++=⎰___________其中,,a b c 为常数。
第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）
1.（14分）已知方程组,Ax b =其中31,32a A b a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi 和Gauss-seidel 迭代法收敛的a 的取值范
2y 3c （1） 取初值(0)(0.5,0.5)T x =，用Newton 迭代(1)x 。
（2） 记12(,)T x x x =，并设122111(cos )4()11()48x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。
试证明不动点迭代法(1)()k k x x +=Φ在*x 处具有局部收敛性。
4（14分）试构造Gauss 型求积公式：1
11221()()()(),x f x dx A f x A f x ρ-≈+⎰其中，权函数
2().x x ρ=构造步骤如下：
（1） 构造区间[1,1]-上权函数为2
x 的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss 点12,x x
（2） 写出求积系数12,A A ，并给出求积公式代数精确度的次数
5
1. 2.3.4. 5.
6. （1）设B 奇异，证明11A B A A A
--=,其中∙为算子范数。
（2）证明最佳n 次平方逼近函数奇偶性与()f x 相同
第三份，韩老师2002.1
1. 单步法122(,)3(,(,))433n n n n n n n n h h h y y f t y f t y f t y +=+
+++ （1）1,n T +收敛阶
（2）绝对稳定区间
（3）对052,1,y y y '=-+=在0.2,0.5,1h =时讨论数值扰动的稳定性
2.
（3）算一步QR 迭代，得到2A
6. 1B <,证明I B -可逆，并证明11I B B
-<
-
第四份，郑老师2006年
填空：
1. 3.1425926是π的几位有效数字
2. 3()1f x x x =+-，求均差[1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4]f f f
3. simpson 公式得代数精度是几阶
4. cot New es -积分系数k C 的和是多少 ()Af x +
除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。
1、H=[1,0;1,2] 求H 的2范数，1条件数
2、A 为一个三阶矩阵，含参数a,求A 对称正定是a 的范围；
给定一个a ，求LL(T)分解。
3、cos（πX），给X=0；0.25；0.5，利用2阶拉格朗日差值多项式，求X=0.4时的值
4、求一个多步法的误差主项，y（n+2）-1/2y（n+1）-1//2y(n)=h(f(n+2)-1/4f
（n+1）+3/4f（n）)
5、x在（0，h）间的定积分，求高斯法代数精度，af（0）+b*f（h/3）+1/4*f(h),并求
a、b
6、拉格朗日差值，x乘以插值基函数的求和
7、A=[2，-1,0;-1,2，a;0,-1,2],b=[1,0,-1],AX=b,求BJ和J法收敛时a的范围
8、f(x)=1/x-a,求牛顿迭代公式的收敛阶
9、求一个以x为权函数的，2次正交多项式
大题
一、A=[10,a,0;c,10,c;0,a,5]，b=（10,7,14），
1、求J法收敛的充要条件
2、a=c=1时，sor法收敛的充要条件，并写出w=1时，sor分量形式
3、a=2，c=0时x=x+a（Ax-b），收敛时a的范围，a=？时收敛最快
二、给x0，用牛顿求积公式求x1；证明一个全局收敛
三、单步法展开，求误差主项和收敛阶，绝对稳定性区间（老师上课讲过例题）
四、A和A-B都是非奇异的，证明||inv（A-B）||《1/(1/||inv(A)||-||B||)
5道大题，若干小题，卷面成绩满分70
1.(1)求f(x)=sqrt(1-x^2)在span{1,x,x^2}上，权函数为rou=1/sqrt(1-x^2)的最佳平方逼近多项式
(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=∫p(x)l(x)dx=∫p(x)l^2(x)dx，其中l(k)为Lagrange 多项式
2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程A TAx=A Tb，各种方法的收敛性怎样？（其中0<w<2)
(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1;0 1 3]求其cholysky分解
3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β
(2)已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ
4(1)f(x)=[x2^2-x1^2-x1 其精确解为x*=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式
sin(x1^2)-x2];
(2)已知G(x)=[x2^2-x1^2
sin(x1^2)];
给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因
5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性
(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了)。
