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量子力学4 态和表象-2qz

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§4 态和力学量的表象

§4 态和力学量的表象

1．平均值公式 将 Ψ ( x, t ) 按 Q 的本征函数展开，
Ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x)
n ∗ ∗ Ψ ∗ ( x, t ) = ∑ an ( t )u n (x ) n
(4.3.1a) (4.3.1b)
F = ∫ Ψ ∗ ( x, t ) F ( x,
h ∂ ) Ψ ( x, t ) dx i ∂x ∧ h ∂ ∗ = ∫ ∑ am (t ) u ∗ ( x ) F ( x, ) an (t ) u n ( x )dx m i ∂x mn
于是乘上式两边并对x变化的整个范围区域积分422利用正交归一化条件423引进记号dx424423可写为425425就是421在q表象中的表示将它写为矩阵的形式22211211426简写为427所以算符在任一表象q中是一个矩阵矩阵元是fnm由424式确定
§4
态和力学量的表象
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 在前面，系统状态都是用坐标表象表示，但这不是唯一的，波函 数可以选用其他表象， 力学量则相应地表示为作用在这种波函数的算 符。 §4.1 态的表象 1．动量表象的波函数 设体系状态的归一化波函数为ψ ( x , t ) ，已知动量的本征函数
由归一化条件得：
∫ ψ ( x, t )
2
2
dx = ∫ c( p, t ) dp = 1
2
(4.1.4)
式 中 ψ ( x, t ) dx 是 坐 标 表 象 波 函 数 描 写 的 态 中 测 量 粒 子 位 置 在
x → x + dx 范围内出现粒子的几率； 而 c ( p, t ) dp 是坐标表象波函数描写
Fqq′ = ∫ u ∗ q ( x ) F (x ,

量子力学中的表象

量子力学中的表象

算符的表象
描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。 设在x表象中，算符 作用于波函数ψ (x,t)后得到一新的波函数
( x, t ) F ( x,i

并设在Q表象中波函数ψ (x,t)和Φ （x,t）分别以{a1(t),a2(t),…,an(t),…} 和{b1(t),b2(t),…,bn(t),…}表示,un(x)为 本征函数，则可得
( x, t ) a (t )u (t )d
aλ (t)就是Q表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。 从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表 象的概念与几何学中坐标系的概念类似。 一个特定的Q表象→一个特定的坐标系 本征函数→基矢 波函数是态矢量ψ 在各基矢方向“分量”→坐标分量

) ( x, t ) x
b (t )u ( x) a (t ) F ( x,i x ) u ( x)
n n n n n n

以
乘等式两边，再对整个空间积分，得 bm (t ) Fmn an (t ), (m 1,2, )
n
其中
Fmn um ( x) F ( x,i
w( x, t )dx ( x, t ) dx
2
由c(p,t）可知，粒子动量在p到p+dp之间的概率
w( p, t )dp c( p, t ) dp
2
如果ψ (x,t)所描写的状态是具有动量p’的自由粒子的状态，即 ψ (x,t)=ψ p’(x,t),则
iEp't / c( p, t ) p' ( x, t ) dx p ( x)dx p ' ( x) p ( x)e

量子力学 第四章

量子力学 第四章

∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。

一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。

3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。

认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。

ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。

1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。

3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。

(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。

量子力学第四章表象

量子力学第四章表象

第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。

这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。

为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。

以从r 表象变换到Q 表象为例。

r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。

设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。

当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。

当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。

下面只讨论无简并的情况。

在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。

当Q n 在整个展开系数中变动。

由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。

a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。

例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。

上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。

2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。

若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。

量子力学4-2

量子力学4-2

F21 F22 - ... F2n ...
................................
0
4.3-6
Fn1 Fn2 ... Fnn - ...
...............................
此式称为久期方程。求解可得到一组解：1,2 ,...n ...,
4.4-12
n
则 态 矢 量u x 在A、B表 象 中 的 表 示 分 别 为
a1 a2
t t
a
ant
b t ux,t xdx
m
x
Sm
u
x
,
t
dx
m
Sm
m
x
u
x,
t
dx
m
Sm am t (S )m am t
m
m
b1 b2
t t
b
b t
即
b S†a
第四章 态和力学量的表象
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
1、平均值公式
x,t ant unx
n
x,t an t un x
n
F
x,t Fˆ
x,
i
x
x, t dx
4.3-1
F
mn
am
t
um
x
Fˆ
x,
i
x
an t un xdx
mn
am
t
um
x Fˆ
x,
i
x
un
x
dxan
Hm1
Hm2
... H mn
...
...............................

量子力学4-1

量子力学4-1
∗ n
引入记号
Fnm h ∂ = ∫ u ( x )F x , um ( x )dx i ∂x
∗ n
4.2-4
4.2-3式改写为 式改写为
bn (t ) = ∑ Fnm am (t )
m
4.2-5
此式就是4.2-1式在 表象中的表示式。 式在Q表象中的表示式 此式就是 式在 表象中的表示式。
c ( p, t ) dp为Ψ ( x , t )所描写的态中测量粒子 动量的结果在
2
p → p + dp范围内的几率。 范围内的几率。
由上面讨论可知， 已知， 完全确定， 由上面讨论可知，若 Ψ ( x , t )已知， c ( p, t )完全确定，反之亦 中的波函数， 中的波函数。 中的波函数， c ( p, t )是同一状态在动量表象 中的波函数。
h ∂ ∑ bm (t )∫ u ( x )um ( x )dx = ∑ am (t )∫ u ( x )F x , i ∂x um ( x )dx m m
∗ n
4.2-2 4.2-3
h ∂ bn (t ) = ∑ ∫ u ( x )F x , um ( x )dxam (t ) m i ∂x
Ψ ( x , t ) = ∑ an (t )un ( x ) + ∫ aq (t )uq ( x )dx
∗ an (t ) = ∫ Ψ ( x, t )un ( x)dx ∗ aq (t ) = ∫ Ψ ( x, t )uq ( x)dx
n
4.1-14
∗ ∗ an (t )an (t ) + ∫ aq (t )aq (t )dq = 1 ∑ n
ˆ ˆ 表象的基； 任意算符Q的本征函数系 — —Q表象的基；

量子力学 第四章 态和力学量的表象

量子力学 第四章 态和力学量的表象

b 1 (t ) F11 F12 F1m a 1 (t ) a (t ) 2 b 2 (t ) F21 b n (t ) Fn1 Fn 2 Fnm a m (t )
矩阵 和 分别是 波函数 ( x, t ) 和 ( x, t ) 在Q 表象中 的形式。
F
an ( t )an ( t ) a ( t )a ( t )d 1 n
几种表象中态的表示的对比
坐标表象 描述态的变量 波函数 波函数模平方意 义 动量表象 Q表象
r
{ ( r , t ) }
表示粒子在某个 位置的概率
p { c(p, t ) }
q
{a n ( t ) }
px 1 p (x) e 2 i
(r , t ) 称为坐标表象中的状态波函数， C (P , t ) 称
c 动量表象中坐标算符的本征函数 坐标表象坐标算符的本征函数 (x, t ) x (x) (x x) 该处的x是变量，x‘为本征值
该本征函数在动量表象中的波函数
(r , t )
对于 (r , t ) 与 (q, t ) ，知道其一就可求得另一， 描述粒子同一状态。 因而 (q, t ) 与 (r , t ) (q, t ) 是以
力学量Q为变量的波函数，即粒子状态波函数在 Q 表象 2 中的表示，称为 Q 表象波函数， n (t ) 给出在 (r , t ) 态 a 中测量粒子的力学量qn(t) 取值的几率
1/ 2
e
1 ( x) C(p) p (x )dp

量子力学4态和力学量的表象

量子力学4态和力学量的表象

在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下
都是不变的。
（2）算符对态的作用 Fˆ
Fˆ
Fˆ SFˆS S SFˆ S 量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前 面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的。
§4.5 狄拉克符号
量子力学的规律和所选用的表象无关，讨论量子力学中的 态和力学量也可不用具体表象。不通过具体表象的描述方 式是狄拉克最先引用的，在这种描述方式中狄拉克引入了 一套符号，叫狄拉克符号。优点： （1）运算简捷， （2） 不用在具体表象中讨论问题
F (x,t)Fˆ(x,t)dx
在Q 表象中 (x,t) am (t)um (x)
m
F am (t)um (x)Fˆan (t)un (x)dx mn
am (t) um (x)Fˆun (x)dxan (t) mn
am (t)Fmnan (t)
mn
矩阵表示
F a1 (t) a2 (t)
一幺正矩阵 S 相联系。
么正矩阵 S S SS 1 S S 1
SS I
证明： (S S )kj Sk Sj Sk Sj
u (x)uk (x)dx u (x)u j (x)dx
dxdx u (x)u (x)uk (x)u j (x)
dxdx
(
x
x)u
mn
Sm m (x)Fˆn (x)dxSn Sm FmnSn
mn
mn
F SFS
§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示
态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量 和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。注意，这 里的矩阵可能是无穷维，也可能矩阵指标是连续变化的。

量子力学 表象理论

量子力学 表象理论

⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ i 1 − h E21t ⎟ e ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ⎠ 1 e
i − E10t h
（9）
2 力学量算符在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 ∧ ∂ 2.1 任意力学量算符 F ( x,−ih ) 在 Q 表象中的表示 ∂x
∧
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ u1 = ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜M⎟ ⎝ ⎠
态矢的矩阵形式仍为
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ u2 = ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜M⎟ ⎝ ⎠
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜M⎟ K K un = ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜M⎟ ⎝ ⎠
（7）
2
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ψ = a1u1 + a 2 u 2 + L = a1 ⎜ ⎟ + a 2 0 ⎜ ⎟ ⎜M⎟ ⎝ ⎠
（20）
（1）动量算符 p x
∧ v ∧ v v v v v ′ * ′ ′ ′′ ( p x ) p′p′′ = ∫ u * p′ ( r ) p x u p′′ ( r ) dr = p x ∫ u p′ ( r )u p′′ ( r )dr = p xδ ( p − p )
∧
动量算符在自身表象中即为动量 p x （或 p ） （2）坐标算符 x
v
（8）
v 即自身表象中是以动量 p 为变量的 δ 函数（ x 表象中同样存在以坐标 x′ 为变量的 δ 函数，它是坐标算符 x 的属于本征值 x′ 的本征函数） （2）能量表象（中心力场能量为例） 力学量完全集 H , L2 , L z 的共同本征函数ψ nlm (r ,θ , ϕ ) 作为能量表象的基底， 对任意态

态和力学量的表象

态和力学量的表象
§
由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开
例如，动量的本征函数表示
组成完全系，任意波函数 可以按 展开为
，
展开系数 由下式给出
.
设 已归一化，则容易证明 也是归一化的， 代表体系处于 所描写的态中，发现粒子位置在 范围内的几率； 代表在该态下发现粒子动量在 范围内的几率。 和 描写同一状态。我们称 是这个状态在 -表象（坐标表象）中的波函数； 是同一状态在 -表象（动量表象）中的波函数。动量表象中的波函数 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
，
取其复数共轭，并考虑到量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，得
，
即 ，或 。
算符在自身表象中的矩阵表示有何形式呢？设 是算符 的本征函数，相应的本征值为 ，即
，
则在 表象中，矩阵元为
.
由此可见，算符 在自身表象中的表示是一个对角矩阵:
，
对角元为基本征值：
.
因此，可以通过把算符的矩阵表示对角化求得该算符的本征值，这是一种非常重要的方法，以后还会看到。
，
即
.
上式即为 在 表象中的表示，其中 是 在 表象中的表示， 是算符 在 表象中的表示。（3）式可写成矩阵形式：
，
或简记为
2.薛定谔方程
在坐标表象中，薛定谔方程形式为
，
将(2)式代入（5）式，得
，
以 左乘上式两边，并对 积分得
.
式中
是哈密顿算符 在 表象中的矩阵元，（6）式即为薛定谔方程在 表象中的表示，写成矩阵形式：
.
方程（11）称为久期方程。求解久期方程可以得到一组 值（一般的上述行列式是几维的， 就有几个解）： ，它们就是 的本征值。就其中一个本征值 代入方程（10）中，可解出一组本征矢（ ），或表成列矢：

量子力学4态和力学量的表象

量子力学4态和力学量的表象

(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))

量子力学课件第四章

量子力学课件第四章

相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
§4.1 态的表象
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：
( x, t )
a (t )u ( x)
n n n
an (t ) u n * ( x )( x.t )dx

若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。
Q的矩阵形式
ˆ Qnm u n * ( x)Qu m ( x)dx Qm u n * ( x)u m ( x)dx Qm nm
结论： 算符在自身表象中是一个对角矩阵，对角元素就是算符 的本征值。


§4.２ 算符的矩阵表示
算符在自身表象中是一个对角矩阵
Q1 0 Q 0
（一）动量表象
动量本征方程:
i p (r ) p p (r )
1 2 e
ipx /
一维动量本征函数： p ( x )
组 成 完 备 系
任一状态Ψ可按其展开
( x, t )

C ( p, t ) p ( x)dp
展开系数
C ( p, t ) p * ( x)( x, t )dx
§4.1 态的表象
1
a
m n
m
* (t )an (t ) mn

n
an * (t )an (t ) 1
由此可知，| an| 2 表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量 Q 得
Qn的概率。 a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
就是Ψ(x,t)所描写的状态在 Q 表象中的表示。
Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。

量子力学专题--态的表象

量子力学专题--态的表象

（二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
a2(t)
a1(t ) * a2 (t ) * an (t ) *
an
(t
)
an (t ) * an (t ) 1
n
（2）含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
思考
• 力学量的表象如何表示？即算符在各种表 象下的表示。
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在
p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。

同济大学量子力第四章态和力学量表象

同济大学量子力第四章态和力学量表象

(t
)
简写成
F * F
（二）本征方程
Fˆ ( x) ( x) 写成矩阵形式 久
期
F 表成显式 方 程
F11
F21
Fn1
F12 F22
F1n F2n
a1 a2
a1 a2
Fn2
Fnn
an
an
方程组有不完全为零解的条件是 系数行列式等于零
m
n
am(t)*[ um *(x)Fˆun(x)dx]an(t)
mn
am (t )* Fmnan (t )
mn
F11
F21
F a1 *(t),a2 *(t),,am *(t)
Fm1
F12 F22
F1n F2n
a1(t) a2 (t )
Fm2
Fmn
an
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
a2(t)
an(t)
共轭矩阵
a1(t)* a2(t)* an(t)*
归一化可写为
a1 (t )
a2(t)
a1 (t ) *
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是

量子力学中几种表象及其之间的关系

量子力学中几种表象及其之间的关系
w(x,t)dx (x,t) 2 dx
c 由(p,t）可知，粒子动量在 p 到 p+dp 之间的概率
w( p,t)dp c( p,t) 2 dp
如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量 p’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=
ψp’(x,t),则
c(
p,
t)
p'
(
x,
t
)
p
(
x)dx
p'
(
x)
p
则含时 Schrodinger 方程的一般解为
x, t
C eiEnt / n
nx
n
Cn 为迭加常数，由初始条件决定。
若 x,t 0 x
则
Cn
dx
* n
x
x
x
x
其相应的本征态为 P,本征函数为
1
2
eipx /
p (x) 构成正交完备集，体系的波函数 (x,t) 可以用 p (x) 展开，即
bmnm
m
bn
表象变换
a1
设表象“A”中
A
a2
其基为
n
算符 Lmn dxm* xLˆ x x
显然，任意波函数
x,t ann bn n
n
n
dx
* m
:
an
dx
*
mn
bnmn bm
n
n
记 Smn
dx
*
mn
则
Smnan bm 或 B S A
n
S 矩阵式么正的
(x)eiEp't
/
dx
( p' p)eiEp 't /
在动量表象中，粒子具有确定动量 p’的波函数是以动量 p 为变量 的δ函数。 那么，态在任意力学量 Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量 Q 具有分立的本征值 Q1,Q2,…Qn…，对应的本征函数为 u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中 的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成

高二物理竞赛课件：量子力学公式及方程的表象表述

高二物理竞赛课件：量子力学公式及方程的表象表述

排成一列矢,
就是力学量算符 Fˆ 对应于本征值 n 的 本征矢量(待归一化)
设力学量 Fˆ 的正交归一化本征矢量完备组为 {| n }
| t Cn(t) | n
n
| Cn(t) |2 力学量 Fˆ 取值为 n 的几率
在 Qˆ 表象中，有
Cn(t) n | t n | Qi Qi | t i Qi | n * Qi | t i
Qi
|
t
*
F (Q) ij
Qj
|
t
(Q) Fˆ (Q)
(Q)
ij
矩阵表示式为
F Q1 | t *, , Qi | t *,
F (Q 11
)
F (Q i1
)
F (Q) 1j
Q1
|
t
F (Q) ij
Qj
|
t
设本征值方程为 Fˆ | n n | n
左乘 Q，i | 故本征值方程化为
Qi |Fˆ | Qj Qj | n n Qi | n , i 1,2,3,
j
矩阵表示式为
F11
F1 j
Q1
|
n
Q1 | n
Fi1
Fij
Qj
|
n
n
Qj
|
n
记
a(n ) j
Q, j
| n
方程改写为:
F11 n
Fi1
F1 j
Fij n
a1
Q1 | n *, , Qi | n *,
可记为:
Cn(t) Nhomakorabea(Q) n
(
Q
)
(t
)
Q1 | t
Qi | t
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§4.2 算符的矩阵表示
1
内 容
• （一）力学量算符的矩阵表示
• （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 • （三）Q 有连续本征值的情况
2
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
假设只有分立本征值，将 Q表象： Φ, Ψ按{un(x)}展开：
( x , t ) a m ( t )um ( x ) m 代入 ( x , t ) bm ( t )um ( x ) m
分立谱 连续谱
算符F在Q表象仍是一个矩 阵，矩阵元由下式确定：
un * ( x )，um ( x ) an ( t )，bm ( t )
uq * ( x )，uq ( x )
aq ( t ), bq ( t )
Fqq ˆ uq * ( x )F ( x, i x )uq ( x )dx
{a m ( t )}
{bn ( t )}
坐标表象 ( x, t )
( x, t )
ˆ H ˆ F
H nm
Fnm
bn ( t )

m
Fnm a m ( t )
n 1,2,
写成矩阵形式
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1 F12 F22 Fn 2 F1m F2 m Fnm a1 ( t ) a2 ( t ) am (t )
简写成
F * F
17
（二）本征方程
写成矩阵形式
ˆ F ( x ) ( x )
F
表成显式
F11 F21 Fn1
F12 F22 Fn 2

F1n F2 n Fnn


a1 a2 an
a1 a2 an
18
（二）本征方程
F12 F1n a1 F11 F22 F2 n a2 F21 0 Fn1 Fn 2 Fnn a n
13
例4： 求动量表象中 F的矩阵元
2. ˆ F x
x pp p * ( x ) x p ( x )dx


2
2
p
1
[e
ipx /
x ] p ( x )dx
p ( x )dx
1
( i )e
p
ipx /
(i p ) p * ( x ) p ( x )dx
例如： L2, Lz的共同本征 函数Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共同表象中的矩阵 形式就特别简单。

1 Y11 0 0 0 Y10 1 0 0 Y11 0 1
1 0 1
0 1 0
*
Lx
厄 密 矩 阵Ly 0 i 2 0i 0 i
0 i 0
0 i 2 0
i 0 i
0 i 0
i 0 0 0 i i 2 i 0 0
0 i 2 0
m

m
ˆ bm (t ) un * um ( x )dx [ un * F ( x , i x )um ( x )dx]am ( t )
m

m
bm ( t ) nm Fnm am ( t )
m
bn ( t ) Fnm a m ( t )
m
Q表象的 表达方式
4
Q表象的表达方式 Q表象
Fpp p * ( x )F ( x , i x ) p ( x )dx
1. ˆ ˆ F p
ˆ p pp p * ( x ) p p ( x )dx
要计算此积分，需要 知道 F的具体形式.
p p * ( x ) p ( x )dx
p ( p p)
1 ˆ ˆ Lx u1 ( L L )Y11 2 1 ˆ ˆ Lx u2 ( L L )Y10 2 1 ˆ ˆ Lx u3 ( L L )Y11 2
1 2 1 2 1
Y10 (Y11 Y11 ) Y10
ˆ ˆ Lx 1 ( L L ) 2 LYlm l ( l 1) m( m 1)Yl ,m 1
6
ˆ ( Lx )ij ui * Lx u j d i , j 1,2,3
ˆ ˆ Lx 1 ( L L ) 2
利用如下公式可得
LYlm l ( l 1) m( m 1)Yl ,m 1

ˆ * ( x , t ) F ( x , t )dx
F
a
m
m
ˆ * (t )um * ( x )F an (t )un ( x )dx
n
ˆ am (t ) * [ um * ( x )Fun ( x )dx]an (t )
m n
am (t ) * Fmnan (t )
ˆ ˆ ( x , t ) F ( x , p)( x , t ) ˆ F ( x , i )( x , t )
x

m
ˆ bm (t )um ( x ) F ( x, i x ) am (t )um ( x )
m
3
两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分

m
ˆ bm (t )um ( x ) F ( x, i x ) am (t )um ( x )
久 期方 程
求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn, ....就是F的本征值。
将其分别代入原齐次线性方程组就能 得到相应于各λi的本征矢
a1 i a2 i a ni

i 1,2, , n
于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。20
简写成
Φ=FΨ
5
例： 求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。 令： u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1
Lx矩阵是3×3矩阵
则 Lx 的矩阵元可如下计算：
ˆ ( Lx )ij ui * Lx u j d i , j 1,2,3
利用如下公式可得
m n
式右写 成矩阵 相乘形 式
16
写成矩阵形式为
F11 F21 F a1 * ( t ), a2 * ( t ), , am * ( t ) Fm1 F12 F22 Fm 2 F2 n Fmn F1n a1 ( t ) a2 ( t ) an ( t )
Q1 0 Q 0
0 Q2 0
0
Qn
11
（三） Q 有连续本征值的情况
（1）只有连续本征值
如果 Q 只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用， 只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变化 的 q，求和换成积分，见下表。
9
例2：在例1中给出了 Lx, Ly在 L2, Lz表象 中的矩阵形式，下面我们验证一下这两个 矩阵是厄密矩阵。
L x

0 1 2 0
1 0 1
0 1 0

0 1 2 0

1 0 1
0 1 0
*
0 1 2 0
7
2
由此得Lx矩阵元
(Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 = （ /2）1/2
写成 矩 阵
0 Lx 1 2 0 1 0 1 0 1 0
i 0 i
0 i 0
Ly
10
（2）力学量算符在自身表象中的形式
ˆ u ( x) Q u ( x) Q n n n
Q的矩阵形式
ˆ Qnm un * ( x )Qum ( x )dx Qm un * ( x )um ( x )dx Qm nm
结论： 算符在自身表象中是一对 角矩阵，对角元素就是算 符的本征值。
21
例2：求 Lx本征态在 Lz表象中的矩阵表示，只讨论 (=1)情况。
解
Lx的本征方程为：
0 1 2 0
例1： Â 本征函数 um(x) 在自身表象中的矩阵表示。 同样将 um(x) 按 Â 的本征函数展开：
n
um ( x ) an un ( x )
1 an 0
nm nm
显 然 有
所以 um(x) 在自身表象中的矩阵表示如下：
1 0 0 u1 0 0 1 0 u2 0 0 0 um am 1 0
(i ) ( p p)
14
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
（一）平均值公式
（二）本征方程 （三）Schrodinger方程的矩阵形式
15
（一）平均值公式
坐标表象平均值公式
F
在Q表象中
( x , t ) an ( t )un ( x ) n * ( x , t ) an * ( t )un * ( x ) n