零点存在定理的教案

2014年高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1一、内容及其解析（一）内容：零点存在性定理．（二）解析：本节课是关于函数零点的一节概念及探究课，是高中新课改人教A版教材第三章的第一节课的第二小节，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其它知识的联系的角度来引入较为适宜。

函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标。

函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。

函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。

定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。

从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。

用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

二、目标及其解析（一）教学目标（1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

零点存在定理说课稿
零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它是关于连续函数与零点的存在性的一个结果。

在说课稿中，我们可以从以下几个方面来全面介绍这个定理。

首先，我们可以从定理的内容和表述入手。

零点存在定理是指如果一个实数域上的连续函数在一个闭区间上取到了不同符号的函数值，那么在这个区间内一定存在至少一个零点。

这个定理的内容直观地说明了连续函数的零点存在性，对于理解连续函数的性质具有重要意义。

其次，我们可以从定理的证明方法和思路进行阐述。

零点存在定理的证明通常采用了实分析中的基本原理，比如区间套定理、连续函数的性质等。

可以从这些数学原理出发，详细介绍定理的证明思路，以及其中的关键步骤和推理过程，让听众对定理的成立有更深入的理解。

接着，我们可以从定理的应用和意义进行阐述。

零点存在定理在实际问题中有着广泛的应用，比如在方程求根、优化问题、微分方程的存在性等方面都有着重要的作用。

可以举一些具体的例子，
说明定理在实际问题中的应用，以及它对于数学建模和实际问题求解的意义。

最后，我们可以从定理的历史渊源和相关拓展进行介绍。

零点存在定理是实分析中的经典定理，可以简要介绍一下定理的历史渊源和相关的数学发展背景，以及定理的一些拓展和推广，让听众对于定理的来龙去脉有一个更加完整的认识。

通过以上几个方面的介绍，可以使听众对于零点存在定理有一个全面而深入的理解，从而更好地掌握这一重要的数学定理。

案例零点定理的教学设计第一篇：案例零点定理的教学设计过程与方法是这样体现的！一、开放的情境更易于引导学生做数学根据高中学生的认知水平，开发利用教材的探索性内涵，创造性地使用教材，设计了能启发学生思维的“温度连续变化”情境，引导学生得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。

这一片段的课堂教学实录如下：问题1 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。

这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否一定相交。

师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表示不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？生丁：因为气温的变化连续不断，而且有两个已知的温度是一正一负。

师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴一定相交。

那么，交点可能会在哪儿？生众：0到12之间。

师：气温变化图其实也是一个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的一种判断方法。

师：函数存在零点的关键是什么？生众：函数图象是连续不断的；一个点在x轴下方，一个点在x轴上方。

从上述过程可见，通过“问答”式这种形式引导学生进行探究，实践证明效果较好。

但对高中学生来说，数学学习是一个充满价值判断的过程，最有效的是有引导又不受干扰的思考，属于学生自己的独立思考。

美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯一方法是做数学”，我们认为：让学生以研究者的身份通过动手做来解决这一问题，先做后说，也许效果会更好。

鉴于此，我们对这一教学片段重新进行了设计，把如下的修改问题作为学生深度思考的一个源题：问题2 图1是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。

这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？在课外活动中将印有这个题目的纸张发给学生，要求学生通过研究设计出二种不同的连结方法。

函数零点存在定理微课
教
学
设
计
田俊领
永年区第二中学
（课件展示函数图象）
（2）画出二次函数()32f x x =-+、23x y x =+与()()()()3224f x x x x x =+-++的图象,并观察函数零点附近函数值的变化规律。

说明： 体会如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数在区间内有零点。

（二）、合作探究
零点存在定理：
如果函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，且
，则函数在区间
内至少有一个零点。

例1．求函数()ln 2f x x x =+-零点所在的区间．
变式：判断函数()ln 2f x x x =+-零点的个数
引导学生思辨以上问题，通过讨论认识问题的本质，升华对零点存在性判定的理解。

（1）在什么条件下，函数y ＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？
（2）若f(a)·f(b)<0,函数y ＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？
（三）、归纳总结
说明:这个环节,总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础。

（四）、反馈练习
(1)函数f(x)＝2x 2
－5x ＋2的零点是 ；
(2)已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x,f(x)对应值表：
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 个；
()x f y =[]b a ,()()0<•b f a f ()x f y =()b a ,()x f y =[]b a ,()()0<•b f a f ()x f y =()b a ,。

零 点 存 在 定 理襄阳市致远中学 余艳霞教学目标：（1）让学生理解零点存在定理的推导，掌握零点存在定理（2）培养学生思考、分析等数学能力，数形结合、转化与化归、等数学思想；（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验．教学重点：零点存在定理教学难点：零点存在定理要注意的三个问题．教学方法：问题解决法． 教学工具：计算机多媒体．教学过程：探究一、（1）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． ③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？零点存在定理：如果函数)(x f y =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数)(x f y =在区间(,)a b 内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

探究二、如果函数)(x f y =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数)(x f y =在区间(,)a b 内只有一个零点吗？探究三、如果函数)(x f y =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅>，那么函数)(x f y =在区间(,)a b 内一定没有零点吗？探究四、在什么条件下，函数)(x f y =在区间(,)a b 上可存在唯一零点？探究五、当函数)(x f y =在区间(,)a b 上存在零点时，是否在区间(,)a b 上一定有0)()(<⋅b f a f ？。

高中数学零点的存在性教案
教学目标：
1. 了解数轴上零点的概念；
2. 掌握证明零点存在性的方法；
3. 进一步理解零点的重要性和实际应用。

教学重点：
1. 零点的定义；
2. 零点存在性的证明方法。

教学难点：
1. 如何证明零点的存在性。

教学准备：
教师：数轴模型、幻灯片、板书；
学生：笔记本、铅笔、橡皮。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生讨论数轴上的零点是否存在，激发学生思考，并导入本课内容。

二、理论讲解（15分钟）
1. 零点的定义：在数轴上，零点是指数轴上一点，使得这个点与原点相对称。

2. 零点存在性的证明：通过实例和图示，教师说明零点存在的必要性和充分性。

三、实例演练（20分钟）
教师提供一些数轴上的具体问题，引导学生运用所学方法证明零点的存在性。

四、拓展应用（10分钟）
教师介绍零点的实际应用，例如在方程解法、函数图像中的应用，让学生更深入理解零点的重要性。

五、课堂检测（5分钟）
教师提出几道简单的题目，检测学生是否掌握了零点存在性的证明方法。

六、课堂总结（5分钟）
教师总结本节课的内容，强调重点和难点，鼓励学生多加练习，巩固所学知识。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够理解零点的定义、存在性的证明方法，并能够灵活运用
到实际问题中。

同时，教师在教学过程中应引导学生主动思考，培养他们的逻辑推理能力，提高数学素养。

教学设计题如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.（1）请简要写出函数零点定理的探究和发现过程的教学设计（只写教学过程与相应的设计意图，不用写教学目标、重点、难点及练习等的设计）；（2）在你的教学设计中，体现了怎样的教育教学理念？答: 1、教学设计要点与参考范例要点：体现课程的三维目标，尤其是彰显过程与方法的基本理念；通过探究定理的条件与结论的各种可能关系，培养学生的数学探究能力。

范例：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图像与x 轴的交点情况。

问题1 如图1，这是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图像。

这段时间内，是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？图1设计意图：该问题起点低，直观性强，简单而内涵丰富，更重要的是结论开放，适合不同层次学生进行探究，是对前面问题的进一步深化。

这时学生可能的连接情况有：(1)用线段连接（如图）。

图2 图3 图4(2)用曲线段连接，学生可能给出很多连接方法，如图11-9、11-10、11-11、11-12等。

图5 图6 图7学生画出的图形为教学提供了丰富的资源，其中包括在区间(,)a b 内有单一零点的函数（单调或不单调）和有多个零点的函数等。

也有因为没有注意到条件要求而画错的图形（如图11-10），这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差。

问题2 仔细观察零点附近图像的代数特征，你能发现什么规律吗？设计意图：通过对函数值异号(;)+--+、函数值同号(;)++--的观察与分析，可把学生引向本节课的重要结论的研究。

问题 3 满足条件的函数图像与x 轴的交点一定在(,)a b 内吗？即函数的零点一定在(,)a b 内吗？一定在区间(,)a b 上。

“零点存在性定理”教学设计“零点存在性定理”教学设计沈洁问题情境:请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不断的函数图像)，由于图像中有一段被墨水污染了，现在有人想了解当天7时到11时之间是否出现0?，你能帮助他吗,问题一:在7时到11时之间有没有温度是零度的,7,11【设计意图】让学生探究函数图象在区间是否有零点。

,,【学生可能回答及教师的应对】生1:有。

师:你是根据什么判断它有的呢,生1:凭感觉。

(或“不知道。

”)师:在数学中直觉也是非常重要的。

我再请个同学讲讲看看。

生2:有。

因为7时的时候是-4?，11时的时候是一个正数，从一个负数慢慢过渡到一个正数，中间必定会经过零点。

师:我估计大部分同学在心里都默默回答“有”，但是都不会怎么表达，是吧,感谢这位同学说出了这部分同学的心声，也说出了我的心声～因为这个函数图象是连续不间断的，那么既然有7时的温度是负的，11时温度是正的，那么函数图象必然要穿过零点，穿过x轴，那么它应该有0?的时候。

实际上这个题目也就7,11是要我们求函数图象在这个区间内与x轴有没有交点，实际上也就是求这个函数在之,,间有没有零点。

7,11问题二:那大家再来考虑一下，我们已经确定在之间有零点了，那零点的个数,,是多少呢,也就是它可能出现几次温度是零度的,大家可以画图看看。

【设计意图】让学生知道连续函数在某个区间内零点存在的判定方法。

函数在某个区间单调性不明的情况下，该区间内的零点个数也是不确定的。

【学生可能回答及教师的应对】生3:不能确定个数。

师:不能确定,那一个有可能吗,生3:可能。

师:那两个呢,生3:两个也有可能。

师:你说两个有可能，这个图形怎么补,生3:上升再下降。

(教师让该生在黑板上作图，可作出两个零点。

)师:他画出了两个零点。

那我们可以肯定至少有一个了，那么大家看在什么条件下它会在这个区间内只有一个零点呢,你给它添个什么条件就可以只有唯一的一个呢,生(齐):温度一直上升的情况。

《方程的根与函数的零点》 导学案 ---------函数的零点存在性定理班级 姓名 【学习目标】1 .知识和技能目标：掌握函数零点的存在性定理；正确判断出零点所在的区间.2 .过程与方法：有些函数通过求方程的根求零点,有些函数不易通过求方程的根求出零点.以这个问题为突破口,引出零点的存在性.在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.3 .情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思 维能力，以及分析问题解决问题的能力． 【教学重难点】教学重点：掌握函数零点的存在性定理,并会应用.教学难点：函数零点的存在性定理的理解.一、 教学过程（一）回顾旧知，发现问题问题1 函数的零点：__________________________________________________________ 问题2 求出函数的零点: ()43f x x =- 2()23f x x x =--问题3 用上述方法能否求出下列函数的零点3()35f x x x =--+ ()ln 26f x x x =+-问题4 当方程根不易求时,能否判断函数零点存在,以及找到零点所在的区间?(二)分组探究:分析函数(画图) ()43f x x =- 2()23f x x x =--问题1 分别找出上述函数零点所在的大致区间.问题2 观察区间端点的函数值的符号变化问题.(三) 总结归纳，形成概念:零点存在定理：__________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试举例并结合图形来分析.例1: 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)= -x 3-3x+5；(四) 课堂练习:1. 函数f (x )=lnx +2x -6的零点所在的一个区间是A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)2.若0x 是方程1312x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解,则0x 属于区间 A.(23 ,1 ) B.( 12 , 23 ) C.(13 , 12 ) D.(0, 13)【课后作业】1.函数()2xf x e x =+- 的零点所在的一个区间是A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.方程lg 0x x +=的根所在的区间可能是A.( -∞,0)B.(0.1,1)C.(1,2)D.(2,4)【课后反思】。

【课堂聚焦·教学设计】《方程的根与函数的零点》（第二课时）——零点存在性定理教学设计广西南宁市第四中学　敬　燕一、教材分析本节课内容是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学1必修A版》第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第一小节的第二课时。

函数是中学数学的核心概念，函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个联结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生系统地掌握了函数的概念及性质，掌握基本初等函数、方程的根与函数零点之间的关系后，学习函数在某个区间上存在零点的判定方法并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性，为后续学习“用二分法求方程的近似解”打基础。

因此，本节课内容具有承前启后的作用，地位重要。

二、学情分析这个阶段的普通高中学生，思维仍属于经验性的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

通过初中数学的学习，学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻了解，在第二章《基本初等函数（Ⅰ）》中又学习了指数函数、对数函数及幂函数的基本性质，掌握了函数图像的一般画法，具备了一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图像判断函数在某个区间上存在零点提供了一定的知识基础。

对于函数零点的判断，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。

三、设计理念本节课采用探究式教学，按照“问题驱动—激发兴趣—创设情境—探索新知—实践应用—总结反思”的基本模式展开教学，其中渗透数形结合、由特殊到一般等数学思想方法。

探究式教学倡导学生的主动参与，亲身经历知识的产生、发展、理解与应用的过程。

本节课的设计笔者以学生为主，从学生熟悉的天气变化入手，让学生轻松掌握用图像法求零点存在的条件。

其次，教学过程中，教师鼓励学生多动手画图。

通过画图，不仅锻炼了学生动手、动脑的能力，教师还可以了解学生对知识掌握的情况。

四、教学目标1.知识与技能（1）体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理。

零点存在性定理的探究课设计一、问题及教材分析教材原问题：3.1.1 方程的根与函数的零点观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象（如图1），我们发现函数32)(2--=x x x f 在区间[-2，1]上有零点。

计算)2(-f 与)1(f 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？函数的零点是新课程新增的教学内容，引入了函数的零点，方程问题就转化为求函数零点的问题，于是方程就可化归到函数中来，从而让学生认识到知识的联系，构建以函数为核心的知识体系。

也就是说，函数的零点是方程与函数互相转化的桥梁。

对于复杂的方程，很难直接求出其根，我可以转化为对应函数的零点存在性问题，因此就有必要对函数的零点存在性进行讨论。

二、教学目标知识与能力目标：理解零点存在性定理的条件，会运用定理对函数零点的存在性进行判断。

过程与方法目标：通过零点存在的特征和定理条件的探究，培养学生的数学洞察能力、归纳 能力和自主探索思考的能力。

情感态度与价值观目标：通过本探究过程，培养学生自主思考、独立解决问题的习惯，同时 在解决问题的体验中增强学生的自信心。

三、重点难点教学重点：零点存在性定理的探究和理解。

教学难点：零点存在性定理的理解。

四、教学过程设计一）定理的探究问题1 如图2，区间[-5，-4]上有零点，计算(5)f -与(4)f -的乘积，有什么特点？对于区间[-2，-1],[1，2],[4，5]是否也有这样的特点？为什么？意图：引导学生探究，归纳出存在一个零点的区间的特征．图1 图2问题2 小组讨论：若有()()0f a f b <，函数()y f x =在区间[a ，b]上就一定有零点吗？ 意图：鼓励学生举出分段函数等反例，让学生深入探索零点存在的条件．问题3由以上可知，函数除了()()0f a f b <外，还需要什么条件才能保证区间上有零点？ 意图：引导学生总结归纳出零点存在性定理的“连续不断的曲线”这一条件．通过以上3个问题的探究，学生就很自然地得出零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线．并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈(a ，b),使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．﹒二）定理的理解剖析问题4 填空．1）[-5，-4]有＿个零点，(5)(4)f f --＿0．2）[-5,-1]有＿个零点，(5)(1)f f --＿0．3) [-5，2]有＿个零点，(5)(2)f f -＿0．4）[-5，5]有＿个零点，(5)(5)f f -＿0．5）若[a ，b]有2n 个零点，(a)()f f b ＿0．6）若[a ，b]有2n+1个零点，(a)()f f b ＿0．意图：引导学生发现[a ，b]中零点个数和(a)()f f b 符号的关系．问题5 若()y f x =在[a ，b]上的图像是连续不断的曲线，并且()()0f a f b >，()y f x =一定没有零点吗？意图：引导学生变换角度思考，深入理解定理．问题6若()y f x =在[a ，b]上有零点，在[a ，b]上的图像是连续不断的曲线，一定有()()0f a f b <吗？意图：定理的逆命题不成立．问题7 若()y f x =在[a ，b]上的图像是连续不断的曲线，并且()()0f a f b <，()y f x =就只有一个零点吗？此时零点个数有什么特点？小组举例说明．意图：让学生注意定理只能判断零点的存在性，而不能具体确定零点的个数，但可进一步确定是奇数个．五、设计反思1、学情分析。

高中数学零点定理分析教案目标：通过学习本课程，学生将能够理解和应用零点定理及相关概念解决实际问题。

教学目标：1. 了解零点定理的基本概念和公式。

2. 掌握利用零点定理求解多项式函数的零点。

3. 能够运用零点定理解决实际问题。

教学重点：1. 零点定理的理论理解和应用。

2. 多项式函数的零点求解。

教学难点：1. 实际问题的零点定理应用。

2. 多项式函数的复杂零点求解。

教学步骤及内容：第一步：引入1. 引入零点定理的概念和背景知识。

2. 讲解零点定理的定义和公式。

3. 举例说明零点定理在解决实际问题中的重要性。

第二步：基本概念讲解1. 讲解多项式函数的基本概念和性质。

2. 解释多项式函数的零点概念及其特点。

3. 教授零点定理的证明和推论。

第三步：例题讲解1. 通过例题演示如何利用零点定理求解多项式函数的零点。

2. 给出一些实际问题，引导学生运用零点定理解决问题。

第四步：练习和拓展1. 提供练习题让学生巩固零点定理的应用。

2. 添加一些拓展题目，让学生运用零点定理解决更加复杂的问题。

第五步：归纳总结1. 总结零点定理的应用和特点。

2. 引导学生思考如何将零点定理应用到实际生活中。

扩展延伸：1. 将零点定理与其它数学概念进行联系，拓展学生思维。

2. 给予学生更多实际问题的训练，培养学生解决问题的能力。

教学资源：1. 教科书相关章节。

2. 演示案例和习题。

3. 多媒体设备。

评估方式：1. 课堂讨论和问题解答。

2. 练习题的自主完成和讲解。

3. 实际问题的解决能力。

教学反思：1. 教学过程中是否引入了足够的实际问题和案例，能否更好地帮助学生理解和应用零点定理。

2. 学生在课后练习中是否能够独立解决问题，是否存在较大的困难和障碍。

附：教学材料1. 零点定理公式2. 多项式函数示例3. 练习题目以上仅为教学范本，具体内容和细节可根据实际教学需要进行调整和完善。

3.1.1 方程的根与函数的零点 导学案(2) 教学目标1. 掌握零点存在的判定定理;2.能用二分法求方程的近似解教学重点：零点存在性定理及其应用教学难点：零点存在性定理的理解教学过程：一．复习准备问题1：作出()342+-=x x x f 的图象.（1）求该函数的零点；（2）求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号.问题2：作出()x x f 2log =的图象.（1）求该函数的零点；（2）求()2,21f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛的值，观察⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 和(2)f 的符号. 二．新课导学（一）组织探究：零点存在性定理问题观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()b f a f ⋅ 0；在区间[,]b c 上 零点；()()c f b f ⋅ 0；在区间[,]c d 上 零点；_)()(d f c f ⋅ 0.（二）新知： 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()b f a f ⋅ 0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析. 试试：若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0>⋅b f a f ．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定三．例题讲解例1.求函数23x y =-的零点所在的大致区间.变式： 1.求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间；2．函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)例 2. 用二分法求函数()633-=x x f 的零点时，第一次计算()00<f ，()05.0>f ，可得其中一个零点∈0x 第二次应计算变式：用二分法求函数()633-=x x f 的零点时，初始区间可选为（ ）A (0,1)B (1,2)C (2,3)D (3,4)总结：（1）二分法：对于在区间[,]a b 上的图象是连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下：1.确定区间[]b a ,，验证()()0<⋅b f a f ，给定精确度ε；2.求区间[]b a ,的中点c ；3.计算)(c f ；(1)若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若()()0<⋅b f a f ，则令c b =（此时零点()c a x ,0∈）；(3) 若()()0<⋅b f c f ,则令c a =（此时零点()b c x ,0∈）；4.判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值a 或b ；重复42--.四．课后作业1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)67)(2++=x x x f ; (2)()()3log 12--=x x f ;(3)()321-=-x x f ; (4)()21242--+=x x x x f . 2函数()11ln --=x x x f 的零点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 33.用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2上的近似解，取区间中点5.20=x ，那么下一个有解区间为。

3．1．2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间．2．过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯．3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣．（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用．难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合．（四）教学过程备选例题例1 已知集合A = {x∈R|x2– 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围．【解析】设全集U = {a|△= (–4a)2– 4 (2a + 6)≥0}==若方程x2– 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}．例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2– 1 = 0，x∈R}，若A∪B = A，求实数a的值．【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，∴A = {–4，0}．∵A∪B=A，∴BA．1°当B = A，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得2°当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2–1 = 0无实解．∴△= 4 (a + 1)2– 4 (a2– 1) = 8a + 8＜0．解得，a＜–1．3°当B = {0}，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2– 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，4°当B = {–4}时，即需无解．综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a = 1．。

教案课题：零点存在定理 授课人：一、内容及内容解析：本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根.各个内容之间的联系：方程的根⇔零点⇐零点存在定理⇑二分法二、三维目标：知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()(<b f a f 的特点，并且通过辨析引出定理,得到定理后，还要针对定理中的每一项进行辨析，得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间，为了得到零点的值我们又引入了二分法，从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、教学难点与重点：[难点] 二分法的使用及对定理的理解.[重点] 定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学上节课我们学习了零点的定义，所以我们知道了如果画出了函数图像，我们就能知道函数是不是有零点，那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办？我们还能知道函数有没有零点吗？通过今天的学习，我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理通过之前的例题，我们知道函数的零点可能有若干个，为了使问题简化，我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考：若函数y=f(x)是连续不断的函数，且有一个零点，则函数零点两端的函数值有何特征？因为函数只有一个零点，所以函数图象与x 轴只有一个交点。

那函数图象与x 轴会有哪些位置关系呢？不难想到（无非是两种情况）：一种为函数图象不穿过x轴；另一种是函数图象穿过x轴。

（1）大家先看第一种情况，函数零点附近函数值有何特征呢？（同学回答）这种情况下，零点附近函数值同号。