函数零点存在性定理

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•函数零点存在性定理:

一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,也可以说不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)上没有零点,

例如,函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点.

(3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.

•函数零点个数的判断方法:

(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.

例题1:

若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,下列结论:

(1)函数f(x)在区间(0,1)内有零点;

(2)函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点;

(3)函数f(x)在区间[2,16)内无零点;

(4)函数f(x)在区间(0,16)上单调递增或递减.

其中正确的有______(写出所有正确结论的序号).

答案

由题意可确定f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无零点.(3)正确,

(1)不能确定,

(2)中零点可能为1,

(4)中单调性也不能确定.

故答案为:(3)

例题2:

已知函数有零点,则实数的取值范围是()

答案:

例题3:

例题4:

函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则实数a的取值范围是()

A. a≥ 1/5;

B. a ≤ -1 ;

C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ;

D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1 答案:由题意可得f(-1)×f(1)≤0,解得

∴(5a-1)(a+1)≥0

∴a≥1/5 或a≤-1

故选D

精品文档例题5:

若函数f(x)=x2+log2|x|-4的零点m∈(a,a+1),a∈Z,则所有满足条件的a的和为()。

答案:-1

例题6:

已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线,有如下的x与f(x)的对应值表:

那么,函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有

[] A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

答案:C