2012考研数学二真题及参考答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）曲线221
x x y x +=-渐近线的条数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C
【解析】：22
1lim 1
x x x
x →+=∞-，所以1x =为垂直的 22
lim 11
x x x
x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x
x
nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f =
（A ）1
(1)
(1)!n n ---
（B ）(1)(1)!n
n -- （C ）1
(1)
!n n --
（D ）(1)!n
n - 【答案】：C 【解析】：
'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()
x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L
所以'
(0)f =1
(1)
!n n --
（3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.
（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)
【解析】：由于0n
a >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n
=a 1
+a 2
+…a n
为正项级数1
n n a ∞
=∑的前n 项
和。正项级数前n 项和有界与正向级数1
n
n a
∞
=∑收敛是充要条件。故选A
（4）设2
k
x k
e
I e
=?
sin x d x (k=1,2,3),则有D
（A ）I 1< I 2
(C) I 1< I 3
(D) I 1< I 2< I 3. 【答案】：(D) 【解析】：：
2
sin k
x k e
I e xdx
=?看为以
k
为自变量的函数，则可知
()2
'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2
sin k x k e
I e xdx =?关于k 在()0,π上为
单调增函数，又由于()1,2,30,π∈
，则123I I I <<，故选D
（5）设函数f (x,y ) 可微，且对任意x ,y 都 有(,)
f x y x
?? >0,(,)f x y y ??<0,f (x 1
,y 1
) (x 2,y 2)成立的一个充分条件是 (A) x 1> x 2, y 1< y 2. (B) x 1> x 2, y 1>y 1. (C) x 1< x 2, y 1< y 2. (D) x 1< x 2, y 1> y 2. 【答案】：(D) 【解析】： (,) 0f x y x ?>?， (,)0f x y y ?必有1122(,)(,)f x y f x y <，故选D （6）设区域D 由曲线,1,2 ,sin =± ==y x x y π 围成，则() )(15??=-dxdy y x ππ--)(2)(2)()(D C B A 【答案】：（D ） 【解析】： 由二重积分的区域对称性， () )(π π π-=-=-? ???-dy y x dx dxdy y x x 1 sin 5 22 5 11 （7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? 其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向 量组线性相关的是（ ） （A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα 【答案】：（C ） 【解析】：由于()13411 3 4 1111,,0 1101 1 c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。故 选（C ） （8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1 112P AP -?? ?= ? ??? ，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121?? ? ? ??? （B ）112?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ??? （D ）221?? ? ? ??? 【答案】：（B ） 【解析】：100110001Q P ?? ?= ? ???，则1 1100110001Q P --?? ?=- ? ??? ， 故 11100100100110011101101101110100100100120012Q AQ P AP --???????????? ? ? ????? ? =-=-= ? ? ????? ? ? ? ????? ????????????? 故选（B ）。 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程2 1y x y e -+=所确定的隐函数，则dy dx = ________。 【答案】： 21 y x e + 【解析】：方程 2 1y x y e -+=两端对x 求导，有2y dy dy x e dx dx -=，所以 21 y dy x dx e =+ （10）计算2 2222111lim 12x n n n n n →∞ ?? +++= ?+++?? …________。 【答案】： 4 π 【解析】：原式1 1 2201 11 lim arctan .141n n i dx x n x i n π0→∞=====+?? + ??? ∑? （11）设1ln z f x y ??=+ ?? ?,其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ??+=??________。 【答案】：0. 【解析】：因为211,z z f f x x y y ????''=?=?- ????? ，所以20.z z x y x y ??+=?? （12）微分方程2 (3)0ydx x y dy +-=满足初始条件|x y =1=1的解为________。 【答案】：2x y = 【解析】：2 1 (3)03dx ydx x y dy y x dy y +-=? =-13dx x y dy y ?+=为一阶线性微分方程，所以 1 12133dy dy y y x e y e dy C y dy C y - ??? ???=?+=+????????31()y C y =+ 又因为1y =时1x =，解得0C =，故2x y =. （13）曲线2 (0)y x x x =+ < 上曲率为 2 的点的坐标是________。 【答案】：()1,0- 【解析】：将21,2y x y =+=’ ”代入曲率计算公式，有 3 23/2 2 2 || 2(1)2 1(21)y K y x ''= = = '+??++?? 整理有2 (21)1x +=，解得01x =-或，又0x <，所以1x =-，这时0y =， 故该点坐标为()1,0- （14）设A 为3阶矩阵，3A =,*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ,则*BA =________。 【答案】：-27 【解析】：由于12B E A =，故**121212||3BA E A A A E E =?==， 所以，*3 1212|||3|3||27*(1)27BA E E ===-=-. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 已知函数11 ()sin , x f x x x +=-，记0lim ()x a f x →= （1）求a 的值 （2）若当0x →时，()f x a -是k x 的同阶无穷小，求k 【解析】：（1）200011sin lim ()lim( 1)lim 11sin x x x x x f x x x x →→→-=-+=+=，即1a = （2）,当0x →时，由11sin ()()1sin sin x x f x a f x x x x x --=-=-= 又因为,当0x →时，sin x x -与3 16 x 等价，故 1 ()~6 f x a x -，即1k = （16）（本题满分10分） 求()22,2x y f x y xe +=-的极值。 【解析】：()22 ,2 x y f x y xe +=-， 先求函数的驻点. ()(),0,,0x y f x y e x f x y y ''=-==-=，解得函数为驻点为(),0e . 又()()(),01,,00,,01xx xy yy A f e B f e C f e '''==-====-， 所以2 0,0B AC A -<<，故(),f x y 在点(),0e 处取得极大值()21,02 f e e = . （17）（本题满分10分） 过点（0，1）点作曲线L ：x y ln =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线AB 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。 【解析】： 设切点坐标为()00,ln A x x ，斜率为 01x ，所以设切线方程为()000 1 ln y x x x x -=-，又因为该切线过(0,1)B ，所以2 0x e =，故切线方程为：21 1y x e = + 切线与x 轴交点为() 2,0B e - (2??????（2） ()()()()()22222222 2122 1122 1122212ln 3 8ln 2ln 3842ln 2382 21333 e e e e e V e e xdx e x x xdx e e x x dx e e e πππππππππ??=??---????=--???? ??=--+????=--=+??? （18）（本题满分10分） 计算二重积分 ??D xyd σ，其中区域D 为曲线()πθθ≤≤+=0cos 1r 与极轴围成。 【解析】： ??? ? +??=D rdr r r d xyd π θ θθθσ0 cos 10 sin cos ?+??=πθθθθ0 4 )cos 1(cos sin 41d 2 2cos )12cos 2(2cos 2sin 16 820 θ θθθθ π d -=? ? ?-=2 20 911 cos sin 16cos sin 32π π tdt t tdt t 5838-= 15 16= （19）（本题满分11分）已知函数)(x f 满足方程0)(2)()(' ' '=-+x f x f x f 及 x e x f x f 2)()('=+ 1）求表达式)(x f 2）求曲线的拐点dt t f x f y x ? -=0 22 )()( 【解析】： 1）特征方程为022 =-+r r ，特征根为2,121-==r r ，齐次微分方程 ()()2()0f x f x f x '''+-=的通解为x x e C e C x f 221)(-+=.再由'()()2x f x f x e +=得21222x x x C e C e e --=，可知121,0C C ==。 故()x f x e = 2 ） 曲 线 方 程 为 2 2 x x t y e e dt -=? ，则 2 2 '12x x t y xe e dt -=+? ， ()2 2 20 ''2212x x t y x x e e dt -=++? 令''0y =得0x =。为了说明0x =是''0y =唯一的解，我们来讨论''y 在0x >和0x <时的符号。 当0x >时，( )2 2 2 20,2120x x t x x e e dt ->+>? ，可知''0y >；当0x <时， ()2 2 20 20,2120x x t x x e e dt -<+ ，可知''0y <。可知0x =是''0y =唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线dt t f x f y x ? -=0 22 )() (在0x =左右两边的凹凸性相反，可知 ()0,0点是曲线dt t f x f y x ?-= 22 )()(唯一的拐点。 （20）（本题满分10分） 证明：2 1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<- 【解析】：令()2 1ln cos 112 x x f x x x x +=+---，可得 ()()'2 2 22 112 ln sin 11112ln sin 1111ln sin 11x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=+-----+=+----++=+---g g 当01x <<时，有1ln 01x x +≥-，22111x x +>-，所以22 1sin 01x x x x +-≥-g ， 故()' 0f x ≥，而()00f =，即得2 1ln cos 1012 x x x x x ++--≥- 所以2 1ln cos 112 x x x x x ++≥+-。 当10x -<<，有1ln 01x x +≤-， 22111x x +>-，所以221sin 01x x x x +-≤-g ， 故()' 0f x ≥，即得2 1ln cos 1012 x x x x x ++--≥- 可知，2 1ln cos 1,1112 x x x x x x ++≥+-<<- （21）（本题满分11分） （1）证明方程)1(1 (1) 的整数>=+++-n x x x n n ，在区间?? ? ??1,21内有且仅有一个实根； （2）记（1）中的实根为n x ，证明n n x ∞ →lim 存在，并求此极限。 【解析】： (1)由题意得：令1 ()1n n f x x x x -=+++-L ，则(1)0f >，再由 11 (1())1122()1()012212 n n f -=-=-<-，由零点定理得在1(,1)2肯定有解0 x ，假设在此区间还有另外一根1x ，所以11 00011n n n n n n n x x x x x x --+++-=+++-L L ，由归纳法得到 10x x =，即唯一性得证 （2）假设根为 n x ，即 1()10n n n n n n f x x x x -=+++-=L ，所以 (1)1 ()10,(1)12 n n n n n n x x f x x x -=-=<<-， 由于111110n n n n n x x x +++++++-=L ，可知1 11110n n n n n x x x -++++++- 110n n n n n x x x -+++-=L ，可知1n n x x +<。又由于 1 12 n x <<，也即{}n x 是单调的。则由单调有界收敛定理可知{}n x 收敛，假设lim n n x a →∞ =，可知211a x x <<=。 当n →∞时，(1)1 lim ()lim 110,lim 112 n n n n n n n n n n x x a f x x x a →∞→∞→∞-=-=-==--得 （22）（本题满分11分） 设1 00010001001a a A a a ?? ? ?= ? ???，1100b ?? ? - ?= ? ? ?? （Ⅰ）求A （Ⅱ）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解。 【解析】：（Ⅰ） 414100 1000010101(1)101001001 01001 a a a a a a a a a a a +=?+?-=- （Ⅱ） 2 3 242100110011001010101 010 101001000 10001 00100010 0110 01010100100001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ?????? ? ? ?--- ? ? ?→ → ? ? ? ? ? ? ----?????? ?? ?- ?→ ? ?---?? 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410a -=及2 0a a --=，可知1a =-。 此时，原线性方程组增广矩阵为11001011010011000000-?? ?-- ? ?- ???，进一步化为行最简形得1001 001011001100 0000-?? ? -- ? ? - ? ?? 可知导出组的基础解系为1111?? ? ? ? ???，非齐次方程的特解为0100?? ?- ? ? ???，故其通解为10111010k ???? ? ?- ? ?+ ? ? ? ????? 线性方程组Ax b =存在2个不同的解，有||0A =. 即： 211 010(1)(1)01 1 A λ λλλλ =-=-+=，得1λ=或-1. 当1λ=时, 12311100001111x x x x ?????? ??? ? = ??? ? ??? ??????? ，显然不符，故1λ=-. （23）（本题满分11分）三阶矩阵10101110A a ?? ?= ? ?-?? ，T A 为矩阵A 的转置， 已知()2T r A A =，且二次型T T f x A Ax =。 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 【解析】：1）由()()2T r A A r A ==可得， 101 1110110a a a =+=?=-- 2）()1123232221231223 202,,022********T T x f x A Ax x x x x x x x x x x x x ???? ??? == ??? ??????? =++++ 则矩阵202022224B ?? ? = ? ??? ()()2 02 02 22602 2 4 E B λλλλλλλ---= --=--=--- 解得B 矩阵的特征值为：1230;2;6λλλ=== 对于()110,0E B X λλ=-=解得对应的特征向量为：1111η?? ? = ? ?-?? 对于()222,0E B X λλ=-=解得对应的特征向量为：2110η?? ? =- ? ??? 对于()336,0E B X λλ=-=解得对应的特征向量为：3112η?? ? = ? ??? 将123,,ηηη单位化可得： 1111α???=??-? ，2110α???=-??? ，3112α???=?? ? ()123,,Q ααα= 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22 00 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00 (,) lim x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22 00 (,) lim x y f x y x y →→+存在 （4）设2k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请 将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( ) (A) 若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2200(,)lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200 (,)lim x y f x y x y →→+存在 (4)设2 0sin (1,2,3)k x K e xdx k π==?I 则有 ( ) (A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << (5)设1100C α?? ?= ? ???,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的 为( ) (A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ??? .若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则 1Q AQ -= ( ) 2007 年考研数学二真题 一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】 B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2) 函数在上的第一类间断点是 (A)0(B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】 A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是 , (A) (B) (C) (D) -3-2-10123 【答案】 C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义 确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除 (B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4) 设函数在处连续，下列命题错误的是 ．． (A) 若存在，则 (B) 若存在，则 (C)若存在，则存在 (D) 若存在，则存在 【答案】 D。 【解析】 (A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确； (B) ：若 (C),则 存在，则， 故 (B) 正确。存 在，知，则 则存在，故 (C) 正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5) 曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3 2012考研数学一大纲 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 高等教学 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 单选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题(包括证明题) 9小题，共94分 高 等 数 学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 6.掌握极限的性质及四则运算法则. 7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L’Hospi tal)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 0sin 1lim 1lim 1x x x x e x x →→∞??=+= ??? 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目 要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞ =，b 为常数）、垂直渐近线（0 lim ()x x f x →=∞）和斜渐 近线（lim[()()]0x f x ax b →∞ -+=，,a b 为常数）。 （iii ）注意：如果 （1）() lim x f x x →∞不存在； （2）() lim x f x a x →∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。 在本题中，函数221 x x y x +=-的间断点只有1x =±. 由于1 lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线. （而1 1(1)1 lim lim (1)(1)2 x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）. 又2 1 1lim lim 11 1x x x y x →∞→∞+ ==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0) f '= ( ) (A) 1 (1) (1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - 数一参考答案 9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12、12； 13、2； 14、3 4 三、解答题 (15) 证明：令()2 1ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数 ()2 12ln sin 11x x f x x x x x +'=+---- ()00 f '= ()()() 222221411 cos 1 111x x f x x x x x -+''=++--+--() () 2 2 224 4 cos 120 11x x x = --≥ ->-- 所以 ()()00f x f ≥= 即证得：()2 1ln cos 11112 x x x x x x ++≥+-<<- (16) 解：()()()()() 2 2 2222222 2 2 2 2,10 ,0 x y x y x y x y f x y e xe x e x x f x y xe y y + ++-- - +-??=+-=-=???? ??=-=??? 得驻点 ()()121 ,0,1,0P P - ()()()()()()()()2 2 2 2 2222222 22 2222222 ,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y f x y xe y y ++--+-+- ??=-+--??????=--? ??????=-??? 根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以 ()11 ,0,P -为极小值点，极小值为 ()1 2 1,0f e --=- 把() 21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以 () 21,0P 为极大值点，极大值为 ()12 1,0f e -= (17) 解：（Ⅰ）收敛域 22(1)1 222 22211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1 n n n n n n n n n x a x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++?+++++===??=+++++++++?++令21x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。所以，收敛域为(1,1)- （Ⅱ）设 222222000 443(21)22()[(21)](1)212121n n n n n n n n n n S x x x n x x x n n n ∞ ∞∞===++++===++<+++∑∑∑ 令210 ()(21)n n S x n x ∞ -= +∑，2202 ()21 n n S x x n ∞ -=+∑ 因为 22112 ()(21)(1)1x x n n n n x S t dt n t dt x x x ∞ ∞ +===+== <-∑∑? ? 所以2 1222 1()()(1)1(1) x x S x x x x +'==<-- 因为21202 ()21 n n xS x x n ∞ +-= +∑ 所以2222 1 [()]222(1)1n n n n xS x x x x x ∞ ∞ --'= ==? <-∑∑ 一、选择题 (1)曲线2 21 x x y x += -渐近线的条数为( C ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( C ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n - (3)设函数()f t 连续，则二次积分22 20 2cos d ()d f r r r π θ θ=?? ( B ) (A)222 d ()d x x y y +? (B)2 22 d ()d x f x y y +? (C)2 22 d ()d y x y x +? (D)2 2 2 1d ()d y f x y x +? (4) 已知级数1 1 (1) n n α ∞ =-∑绝对收敛，级数21 (1)n a n n ∞ -=-∑ 条件收敛，则( D ) (A)102 a <≤ (B) 112 a <≤ (C)312 a <≤ (D)3 22 a << （5）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (B) (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. （6）设2 sin k x k I e xdx π=? (k=1,2,3),则有 (D) （A ）123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << （7）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> （8）设区域D 由曲线,1,2 ,sin =± ==y x x y π 围成，则() )( 15??=-dxdy y x (D) ππ --)(2 )(2 )()(D C B A 3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ B ） 2012考研数学二真题及参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：22 1lim 1 x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的 22 lim 11 x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1 (1) (1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1 (1) !n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：C 【解析】： '222()(2)()(1)(22)()(1)(2)() x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L 所以' (0)f =1 (1) !n n -- （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A) 【解析】：由于0n a >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n =a 1 +a 2 +…a n 为正项级数1 n n a ∞ =∑的前n 项 和。正项级数前n 项和有界与正向级数1 n n a ∞ =∑收敛是充要条件。故选A （4）设2 k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 0,(,)f x y y ??<0,f (x 1 ,y 1 ) 1 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22 00 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00 (,) lim x y f x y x y →→+存在 2 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22 00 (,) lim x y f x y x y →→+存在 （4）设2k x k e I e = ? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 22 1 x x y x +=-渐进线的条数________ （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)() x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数， 则(0)________f '= （A ）1 (1) (1)! n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1 (1) ! n n -- （D ）(1)!n n - （3）设0(1,2,3) n a n >=L ，123n n S a a a a =++++L ，则数列{}n S 有 界是数列{}n a 收敛的_______. （A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2 sin (1,2,3)k x k I e xdx k π ==?，则有______ （A ）1 2 3 I I I << （B ） 3 2 1 I I I << （C ）2 31 I I I << （D ）2 1 3 I I I << （5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?成立 的一个充分条件是 （A ）1 2x x >，1 2 y y < （B ）1 2 x x >，1 2 y y > （C ）1 2 x x <，1 2 y y < （D ）1 2 x x <，1 2 y y > （6）设区域D 由曲线sin y x =，2 x π=±，1y =围成，则5 (1)D x y dxdy -=?? （A ） π （B ）2 （C ）2- （D ）π- （7）设 1100c α?? ? = ? ??? ，2201c α?? ? = ? ??? ，3311c α?? ? =- ? ??? ，4411c α-?? ? = ? ??? ，其中1 2 3 4 ,,,c c c c 为任意常数，则线性相关的向量组为 （A ）1 2 3 ,,ααα （B ）1 2 4 ,,ααα （C ）1 3 4 ,,ααα （D ）2 3 4 ,,ααα （8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且 1112P AP -?? ? = ? ??? ， 1 2 3 (,,)P ααα=，1 223(,,) Q αααα=+则1 Q AQ -= （ ） （A ） 100020001?? ? ? ??? （B ） 100010002?? ? ? ??? （C ） 200010002?? ? ? ??? （D ） 200020001?? ? ? ??? 2007年考研数学二真题 一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2)函数在上的第一类间断点是 (A)0 (B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】 A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除(B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除(A)和(D),故选(C)。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4)设函数在处连续，下列命题错误 ．．的是 (A)若存在，则 (B)若存在，则 (C)若存在，则存在 (D)若存在，则存在 【答案】D。 【解析】 (A)：若存在，因为,则,又 已知函数在处连续，所以,故,(A)正确； (B)：若存在，则 ,则，故(B)正确。 (C)存在，知，则 则存在，故(C)正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题(D)不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5)曲线渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 https://www.doczj.com/doc/492688448.html,/ 考研英语大纲对新题型的要求 众所周知，考研数学分数一数二数三，选择不同的专业所考的也不一样，考研数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，重点考察的内容是曲率、弧长以及质心问题，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的， 2019考研数学二考试科目与范围 考试科目：线性代数，高等数学。适用的学科为： 考试题型： 1.试卷题型结构为： 单项选择题 8小题，每题4分，共32分 2.填空题 6小题，每题4分，共24分 3.解答题(包括证明题) 9小题，共94分 考试范围： 函数、极限、连续 考试内容 https://www.doczj.com/doc/492688448.html,/ 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的 比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连 续函数的性质 考试要求 1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3. 理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 6. 掌握极限的性质及四则运算法则 2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22 00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200 (,)lim x y f x y x y →→+存在 （4）设2k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 2012年考研数学真题(完整版) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给 出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线 22 1 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)() x x nx y x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( ) (A) 1 (1) (1)! n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1 (1) ! n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( ) (A) 若极限0 (,) lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2 2 (,) lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限0 (,) lim x y f x y x y →→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2 2 (,) lim x y f x y x y →→+存在 (4)设2 sin (1,2,3) k x K e xdx k π ==? I 则有 ( ) (A)1 2 3 I I I << (B) 3 21 I I I << (C) 2 31 I I I << (D)2 13 I I I << (5)设 1100C α?? ? = ? ??? , 2201C α?? ? = ? ??? , 3311C α?? ? =- ? ??? , 4411C α-?? ? = ? ??? ,其中1 2 3 4 ,,,C C C C 为任意常 数，则下列向量组线性相关的为( ) (A)1 2 3 ,,ααα (B) 1 2 4 ,,ααα (C)1 3 4 ,,ααα (D)2 3 4 ,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ? = ? ??? . 若P=（1 2 3 ,,ααα），1 2 2 3 (,,)ααααα=+，则1 Q AQ -= ( ) (A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D) 200020001?? ? ? ??? (7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数 为4的指数分布，则{}p X Y <=( ) (A) 15 (B) 1 3 (C) 25 (D) 4 5 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关 系数为 ( ) (A) 1 (B) 12 (C) 1 2- (D)1- 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'' ' ()()2()0f x f x f x +-=及'' ()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2 x =?2012考研数学一真题及答案解析
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