数一参考答案
9、x e ； 10、2π； 11、{}1,1,1； 12、12； 13、2； 14、3
4
三、解答题 (15)
证明：令()2
1ln cos 112x x f x x x x +=+---，()f x 是偶函数
()2
12ln
sin 11x x f x x x x x +'=+----
()00
f '=
()()()
222221411
cos 1
111x x f x x x x x -+''=++--+--()
()
2
2
224
4
cos 120
11x x x =
--≥
->--
所以
()()00f x f ≥=
即证得：()2
1ln cos 11112
x x x x x x ++≥+-<<- (16)
解：()()()()()
2
2
2222222
2
2
2
2,10
,0
x y
x y x y x y f
x y e xe
x e
x x
f x y xe y y
+
++--
-
+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨
∂⎪=-=⎪∂⎩
得驻点
()()121
,0,1,0P P -
()()()()()()()()2
2
2
2
2222222
22
2222222
,21,1,1x y x y x y x y f x y xe e x x x f x y e x y x y
f x y xe y y ++--+-+-
⎧∂=-+--⎪∂⎪⎪∂⎪=--⎨
∂∂⎪⎪∂⎪=-∂⎪⎩
根据判断极值的第二充分条件， 把()11,0,P -代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以
()11
,0,P -为极小值点，极小值为
()1
2
1,0f e --=-
把()
21,0P 代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以
()
21,0P 为极大值点，极大值为
()12
1,0f e
-=
(17) 解：（Ⅰ）收敛域
22(1)1
222
22211443()4432(1)121lim lim lim 4(1)4(1)3()214(1)4(1)32(1)1
n n n n n n n n n x
a x n n n n R x x n n a x n n n x n ++→∞→∞→∞+-++⋅+++++===⋅⋅=+++++++++⋅++令21x <，得11x -<<，当1x =±时，技术发散。所以，收敛域为(1,1)- （Ⅱ）设
222222000
443(21)22()[(21)](1)212121n n n n
n n n n n n S x x x n x x x n n n ∞
∞∞===++++===++<+++∑∑∑
令210
()(21)n
n S x n x ∞
-=
+∑，2202
()21
n n S x x n ∞
-=+∑
因为
22112
()(21)(1)1x
x
n
n n n x
S t dt n t dt x x x ∞
∞
+===+==
<-∑∑⎰
⎰ 所以2
1222
1()()(1)1(1)
x x S x x x x +'==<-- 因为21202
()21
n n xS x x n ∞
+-=
+∑ 所以2222
1
[()]222(1)1n
n n n xS x x
x x x
∞
∞
--'=
==⋅
<-∑∑
所以
220
01111[()]2()ln (1)1111x
x
x x tS t dt dt dt x t t t x
+'=⋅
=+=<-+--⎰
⎰⎰ 即201()ln
1x
x xS x x
+=-，故21()ln 1x
xS x x +=-
当0x ≠时，211()ln 1x
S x x x
+=
- 当0x =时，12(0)1,(0)2S S ==
所以，222
12111ln (1,0)(0,1)
()()()(1)130
x x
x S x S x S x x x x
x ⎧+++∈-⋃⎪=+=--⎨⎪=⎩
(18)解：
曲线L 在任一处(,)x y 的切线斜率为
sin ()
dy t
dx f t -='，过该点(,)x y 处的切线为sin cos (())()
t
Y t X f t f t --=
-'。令0Y =得()cot ()X f t t f t '=+。由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1.
故有2
2
[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t '+-+=，又因为'()0(0)2
f t t π
><<
所以sin ()cot t
f t t
'=
，两边同时取不定积分可得()ln sec tan sin f t t t t C =+-+，又由于(0)0f =，所以C=0 故函数()ln sec tan sin f t t t t =+-
此曲线L 与x 轴和y 轴所围成的无边界的区域的面积为：
20
cos ()4
S tf t dt π
π
'==
⎰
(19)解：
补充曲线1L 沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),D 为曲线L 和1L 围城的区域。由格林公式可得 原式=1
1
23233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y +++--++-⎰⎰
=
1
1
22(313)(2)12D
L D
L x x d y dy d ydy σσ+---=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22
222001121244222
ydy y ππππ=⋅⋅-⋅⋅-=-=-⎰
(20)解：
