2012考研数学一数学二数三真题及答案)word版

一、选择题 (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( C )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( C ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()f t 连续，则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( B )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)222d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)2221d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11 (1)n nα∞=-∑绝对收敛，级数21(1)nan n∞-=-∑条件收敛，则( D )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤(D)3 22a <<（5）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (B) (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.（6）设2sin k xk I exdx π=⎰(k=1,2,3),则有 (D)（A ）123I I I <<(B)321I I I << (C)231I I I <<(D)213I I I <<（7）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y∂<∂，则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是(D)(A) 1212,x x y y ><(B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y <<(D) 1212,x x y y <>（8）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y x (D)ππ--)(2)(2)()(D C B A3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ B ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。

二、填空题：(9)()1cos sin 4lim tan x x x x π-→=e(10)设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y ff x =，则x edydx== 4(11)设连续函数(,)z f x y =满足lim0x y →→=则()0,1d |z = 2dx dy -(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 4ln 2（9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则220x d ydx==__。

（10）计算22222111lim 12x n nn n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭…____4π____。

（11）设1ln z f x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂___0_____。

（12）微分方程2(3)0ydx x y dy +-=满足初始条件|1x y =1=的解为__X=Y 2______。

（13）曲线2(0)y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是__(-1,0)______。

9、若函数()f x 满足方程"()'()2()0f x f x f x +-=及'()()2x f x f x e +=，则()f x = e x 。

10、20=⎰ 2π 。

11、(2,1,1)()|zgrad xy y+= (1,1,1) 。

12、已知曲面{(,,)|1,0,x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y d S ∑=⎰⎰。

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (1)求极限222cos 4lim xx x ee x-→-解：(2)计算二重积分d d x e xy x y ⎰⎰，其中D 是以曲线y y==及y 轴为边界的无界区域.解：(3)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和y （件），且定两种产品的边际成本分别为202x+（万元/件）与6y +（万元/件）.(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）；(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； (3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.解：（I ）(,)=20+2xx C x y '，对x 积分得：()2(,)204xC x y xD y =++再对y 求导有，()(,)6yC x yD y y ''==+ 再对y 积分有，()262yD y y c =++所以22(,)20642x y C x y x y c =++++，又(0,0)10000C =，所以10000c = 所以22(,)2061000042xyC x y x y =++++（II ）x+y=50，把y=50-x 代入22(,)2061000042xyC x y x y =++++23()36115504x C x x =-+令23()361155004x C x x '⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，得x=24，y=50-24=26， 这时总成本最小C （24,26）=11118万元（III ）()24,26(,)32x C x y '=（万元/件） 经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。

(4)证明21lncos 1,(11)12x xx x x x++≥+-<<-证明：令()21lncos 112x xf x x x x+=+---，()212lnsin 11x x f x x xxx+'=+----()00f '=()()()222221411cos 1111xxf x x xxx -+''=++--+--()()222244cos 12011x x x =--≥->--所以()()00f x f ≥= 即证得：()21lncos 11112x xx x x x++≥+-<<-（5）已知函数11()sin ,x f x xx +=-，记0lim ()x a f x →=（1）求a 的值（2）若当0x →时，()f x a -是k x 的同阶无穷小，求k【解析】：（1）2000011sin lim ()lim lim lim 1sin sin sin x x x x xx x x f x xxx x x→→→→-⎛⎫=-+=+=⎪⎝⎭，即1a = （2）,当0x →时，由11sin ()()1sin sin x x f x a f x xx x x--=-=-=又因为，当0x →时，sin x x -与316x 等价，故1()~6f x a x -，即1k =（6）求()222,x y f x y xe+-=的极值。

【解析】：()222,x y f x y xe +-=，先求函数的驻点：令()()()2222222,10,0x yx x y yf x y x ef x y xye +-+-⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩， 解得驻点为()()1,0,1,0-.又()()()222222222222311x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x ye+-+-+-''=-''=--''=--对点()1,0，有()()()11221111,02,1,00,1,0xx xy yy A f eB fC f e--''''''==-====-所以，211110,0A C B A -><，故(),f x y 在点()1,0处取得极大值()121,0f e =. 对点()1,0-，有()()()11222221,02,1,00,1,0xx xy yy A f eB fC f e--''''''=-==-==-=所以，222220,0A C B A ->>，故(),f x y 在点()1,0处取得极小值()121,0f e -=-.（7）过点（0，1）点作曲线:ln L y x =的切线，切点为A ，又L 与x 轴交于B 点，区域D 由L 与直线A B 及x 轴围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解析】： 如图设切点坐标为()00,ln A x x ，斜率为1x ，所以设切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为该切线过(0,1)B ，所以2x e =，故切线方程为：211y x e=+切线与x 轴交点为()2,0B e - （1）22222201(1)()12y y A e e y dy e e y y e ⎡⎤⎡⎤=--=--=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰（2）()()()()22222222212211221122212ln 38ln 2ln 3842ln 238221233eee eeV e exdxe x x xdxe e x x dxe e e ππππππππππ⎡⎤=⋅⋅---⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=--=+⎰⎰⎰（8）计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 为曲线()πθθ≤≤+=0cos 1r 与极轴围成。