2012年考研数学一真题及答案详解

2012年全国硕士研究生考试数学（一）试题及答案一、选择题（1）曲线渐近线的条数为( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选(C)．解：，，而，所以有两条渐近线和，故选（C）．【点评】本题属于基本题，其难度低于超越数学一模拟三第（1）题．（2）设函数，其中为正整数，则( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（A）．解法一：，故选（A）．解法二：，故选（A）．（3）如果函数在处连续，那么下列命题正确的是( ) ．（A）若极限存在，则在处可微（B）若极限存在，则在处可微（C）若在处可微，则极限存在（D）若在处可微，则极限存在答案：选（B）．解：已知在处连续，设，因为，所以，故．由极限的性质有，其中是当，时的无穷小量，记，则．由全微分的定义知在点处可微分．【点评】本题考察的知识点是极限的基本性质及全微分的定义，所用知识点与2007年数学二的选择题类似．（4）设则有( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（D）．解：，所以．，所以，故选（D）．【点评】常规题型，但判定时有一定的技巧．（5）设，，，，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（C）．【点评】考点（1）列向量组进行行变换后，有相同的相关性；（2）三个三维的向量线性相关的充要条件为所构成的行列式为零．解法一：，显然有，故线性相关．解法二：因为，故线性相关．附：数二模二（7）已知向量组作为列向量组成矩阵，则（A）不能由其余向量线性表示．（B）不能由其余向量线性表示．（C）不能由其余向量线性表示．（D）不能由其余向量线性表示．（6）设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且，若，，则( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（B）．【点评】考点（1）等价于．（2）也为的三个线性无关的特征向量．故．此题与超越五套模拟中的数一、三模五21题完全相同．每个数字都是一样的，真是惊人的巧合，这大概只有在超越才能把数学模拟到如此完美的地步．附：数一、三模五（21）（本题满分11分）为三阶实对称阵，为三阶正交阵，且．（Ⅰ）证明，；（Ⅱ）若，计算，，并证明与合同但不相似．（7）设随机变量与相互独立，且分别服从参数为和参数为的指数分布，则( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（A）．解：的联合密度函数为．故选（A）．（8）将长度为m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) ．（A）（B）（C）（D）答案：选（D）．解：设分别为两段长度，则，，因此．故选（D）．二、填空题（9）若函数满足方程及，则．答案：“”．解：解此二阶常系数齐次线性方程得通解．又因满足可得，故．（10）．答案：“”．解：．（11）．答案：“”．解：记，则．【点评】本题考察的知识点是梯度的定义，在强化班中讲过梯度的定义以后，我们曾说过：“这个问题不需要举例题，人人都会做．”（12）设，则．答案：“”．解：，在面上的投影区域如图所示．．【点评】本题考察的知识点是第一类曲面积分的基本计算方法，这也是历年考研试题中第一类曲面积分最简单的一个计算题．（13）设为三维单位向量，为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为．【点评】考点（1）实对称矩阵的秩为其非零特征值的个数；（2）时，的特征值为，此题仅数一考，是代数三个小题中最难的一个．答案：“”．解法一：的特征值为，的特征值为，故秩为．解法二：令，则，从而秩为．（5），为维非零列向量则有①；②；的特征值只能取；③时，必可相似对角化，此时的特征值为一个，个零；特征值对应的特征向量为，特征值对应的特征向量为．（14）设是随机事件，与互不相容，，，．答案：“”．解：．【点评】会做超越冲刺班概率统计讲义例1．设随机事件两两独立，且，，，，已知至少发生一个，则仅有不发生的概率为．三、解答题（15）证明，．证法一：令，，，所以，当时，，；当时，，．故当时，．即证．证法二：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可．．当时，，，所以，，得证．证法三：．即证．证法四：由于为偶函数，故只需证明时不等式成立即可．．所以得证．（15）（本题满分10分）设，证明：．中的不等式两边的函数，有多项式函数，三角函数和指数（对数）函数，惊人地相似．（15）【证法一】令，则，，，，，．因为，所以，单调递增，由知．从而单调递增，再由知，从而单调递增，最后由知，故要证的不等式成立．【证法二】，，，故当时，．【证法三】由于当时，，在依次作积分得：，，即，，即．（16）求函数的极值．解：令得驻点，．，，．在点处，，，．因为，且，所以是的极小值点，极小值．在处，，．因为，且，所以是的极大值点，极大值．（17）求幂级数的收敛域及和函数．解：记，由，可得．故收敛区间为．当时级数均发散，故收敛域为．设其中，，而，可得．，可得．所以（18）已知曲线，其中函数具有连续导数，且，，．若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为，求函数的表达式，并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积．解：因为，故曲线上任一点，即点处的切线方程为．由此可得切线与轴的交点为，根据题意有．即，可得．由，可得，故．面积．（19）已知是第一象限中从点沿圆周到点，再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分．解法一：补充曲线为轴上从点到点的直线段，设与围成区域，由Green公式，．解法二：．在中，，．因为，所以积分与路径无关，取从点到点的直线段为，则．把分成两部分如图所示．．，，．（20）设，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知线性方程组有无穷多解，求并求的通解．解：（Ⅰ）．（Ⅱ）得，当时，，，方程组无解舍去．当时，，，方程组有无穷多解，符合题意，通解为．（21）已知，二次型的秩为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求正交变换将化为标准形．解法一：由得，从而，，，有三个特征值．分别解三个线性齐次方程组，，．求得特征向量后，再单位化得正交阵，对角阵，正交变换，的标准型为．解法二：若不知也可做但很繁．，．此行列式难算，算出后还要因式分解，不容易！据我了解选择此方法的都没算出，得分也不会超过4分．（22（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）．（Ⅱ），，，，，，，．（23）设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且．设．（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计；（Ⅲ）证明为的无偏估计量．解：（Ⅰ）由于，所以的密度函数为，．（Ⅱ），，，令，解得．（Ⅲ），所以为的无偏估计量．。

2012考研数学一真题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 【答案】：C【解析】：221lim1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2） 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n -- （3） 【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y →→+存在，则必有0(0,0)lim (,)0x y f f x y →→== 这样，220(,)limx y f x y x y →→+就可以写成2200(,)(0,0)lim x y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限220(,)(0,0)limx y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知lim 0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。

由可微的定义可知(,)f x y 在(0,0)处可微。

（4） 【答案】：(D) 【解析】：2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。

2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。

1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。

2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。

解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。

故答案为（A ）。

3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。

2012考研数学一真题及答案2012年的考研数学一真题是许多考生备战考研的重要参考资料。

本文将为大家介绍2012年考研数学一真题的内容，并提供详细的答案解析。

一、选择题部分1. 题目：设A为非空集合，a, b为A中的元素，则下列哪个式子一定成立？A) a∈A B) {a} ⊆ A C) (∅, a) ∈ A D) a ⊂ A答案解析：选项A中的a∈A是集合A定义的基本要素，因此一定成立。

2. 题目：设A = {a, b, c}，B = {1, 2, 3}，则A × B的元素个数为：A) 6 B) 5 C) 4 D) 9答案解析：集合A的元素个数为3，集合B的元素个数为3，所以A × B的元素个数为3 × 3 = 9。

二、填空题部分1. 题目：已知f(x) = e^x + x^2，则f'(0) = _______。

答案：1答案解析：对函数f(x)求导得到f'(x) = e^x + 2x，代入x = 0得到f'(0) = 1。

2. 题目：若A = [1, 2, 3]，B = [2, 3, 4]，则A ∩ B = _______。

答案：[2, 3]答案解析：A ∩ B表示集合A和集合B的交集，即共有的元素。

显然，A和B的交集为[2, 3]。

三、计算题部分1. 题目：已知平面直角坐标系xOy，点A的坐标是(2, 3)，点B的坐标是(5, 7)，则直线AB的斜率为_______。

答案：2答案解析：直线AB的斜率可以通过斜率公式求得，即斜率k =(y2 - y1) / (x2 - x1)。

代入点的坐标后可得斜率为2。

2. 题目：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中f(1) = 4，f(2) = 9，f(3) = 16，则a + b + c = _______。

答案：10答案解析：代入已知条件f(1) = 4、f(2) = 9、f(3) = 16，可以得到三个等式，联立解方程可得到a + b + c = 10。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。

【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。

由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。

由于图像平移并不改变其渐进线的条数。

1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。

所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。

【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。

例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。

则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。

⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。

因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。

又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。

又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。

综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。

【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1- 给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。

2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。

1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。

3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)lim x y f x y →存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微； （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在； （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)lim x y f x y x y →+存在。

4、设2sin (1,2,3)kx k e I e xdx k ==⎰，则有（ ）（A ）123I I I <<；（B ）321I I I <<；（C ）231I I I <<；（D ）213I I I <<5、设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα； （B ）124,,ααα； （C ）134,,ααα； （D ）234,,ααα。

2012年全国硕士研究生考试数学一试题答案解析一、 选择题1. 解析：C由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线12.)3.4. 解析： D22222111sin |sin |.xxI I e xdx I ex dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .xxI I ex dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin xt e xdx x t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x xex dx ex dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>5. 解析：C343400c c αα⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.6.110111010012012 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7. 解析：A~(1)X E ，,0~(4)()0,x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩.4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他8.cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EXEX DX =-+=-1ρ∴=，选项D二、 填空题1. 解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),xxf x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.xf x f x e C C '+===得2.3.4.121,:1(0,0)z x y D x y x y =--+≤≥≥112222x Dy ds y dx y dy δ-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰1134(1)(1)31212x dx x =-=--=⎰5. 解析：2.设2,TA E XX A A =-=()() 3.r A r E A ⇒+-=()()()1Tr E A r XX r X -=== () 2.r A ∴=6.11xx --2211lnsin 11x x x x xx++=+--- 01x <<时. 1ln01x x+>-,2211x x x x+≥-，又sin x x ≤.()0x ϕ∴>’；10x -<<时，1ln01x x+<-，2211x x x x+≤-,又sin x x ≥.()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ（0）=0 ∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即21x x+20A C B -> 且0A >，0y ∴⎨=⎩为极小点.极小值为12(1,0).f e--=-当1x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==-2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩ 且为极大点 极大值为12(1,0)f e -=3. 解： 由1lim1n x na a +→∞=得R =1.当∴令n ==n ∞=⎛= ⎝⎛= ⎝当当x ≠0时，xS 1(x )=021n n =+∑[]2121()1nn xS x xx∞===-∑’111111()ln,()ln.2121x x xS x S x xxx++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x =⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且4. 解析： ①/sin ./()dy dy dt t k dxdx dtf t -==='x ⇒ (f ②=⎰5. 解析：012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)x x d =+-σ=⎰2d dx σ=-而20⎰∴∴∴（（当1a =时，A =11 0 0 1⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭→100120101100110000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当1a =-时.A 11001100100110101011001100011011000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7. 解析：A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1010111001a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭22201011113a aa a aa -⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭TT(A A )x x 秩为2. ∴TT(A A )2((A A )(A )2)r r r ===也可以利用 ⇒TA A 01a =⇒=- ( T22A A (3)(1)a a =++)(II)令T202A A =B =022224⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0解λ当λ当λ当λ取r 令2223111.12026Q f x x x Q y y y T=-⎝=B = +8. 解析：(1)(2)=X ∴D 2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.9. 解析：22~(,),~(,2)X N Y N μσμσ，,X Y 独立，0σ>，未知Z X Y =-. 解：（1）Z 的密度2(,)f z σ22~(,),~(,2),,X N Y N X Yμσμσ独立.2~(0,3)Z X Y Nσ=-22222236(,)z zf zσσσ--⋅∴==（2）设1nZ Z…样本.2n2~(0,3)iZ Nσ，~(0,1)ZN-∴，iZ是简单随机样本.221~(),niZnχ=⎛⎫⎝∑223iZE nσ∑∴=，223iE Z nσ∑=.。

2012年（数一）真题答案解析一、选择题Cl) C解函数y=X +x x z —l 的间断点为x =土l 由lim y =lim x 2 +x 工]X 丑Cx +l)(x�, ==, 故X =l 是垂直渐近线．又lim y =lim X (x+ l ) 1 ＝—,故X =-l 不是渐近线．工-I 工-1(x + 1) (x -1) 2 考察x -=时函数的极限1 —+1X 由lim y = lim = 1 , 故y =l 是水平渐近线．x-=工-= 1 1-—X 2 y 2因为lim —=limx +x =O, 故无斜渐近线．工-00X x -00 X (x 2 -1) 故应选C,有2条渐近线．(2)A解J '(x)=矿(e 红-2)(e 3x —3)…(e"x -n ) + (e x -1) (2 e 2x ) (e 3x -3)…(e 杠-n )+……+ce—l)(e 2x -2)(e 3x -3)···(ne 杠）当X =O 时e 工—1=0故J '(0) = 1• (1—2) (1 -3)…0-n )=(—l)n -1 (n —1) ! 故应选A .(3)Bf (x,y) 解A项用枚举法：设f (x,y )=l x l +I Y I 则lim x -。

l x l +I Y I 存在，y 一o 但儿(0,0),儿(0,0)都不存在即f (x,y )在(0,0)处不可微.A错误B项．由lim f (x,y) 工-o x z + y z =AC存在），则lim f (x,y ) =0, x 一o y-0 y 一0又f (x ,y )在点(0,0)处连续，故f (O,O )=0; X -0 且时f(x,y )是x 2+ y z 的高阶无穷小y-o:. lim f (x,y )—f (O,O ) f (x ,y) =lim =O.B 正确芦心2+ y 2�=g 心：2 + y 2 C、D项用枚举法.f (x,y )=x 满足条件，但lim f (x ,y) f (x ,y) 与lim 2 芦gl x l +I Y I�二g X + y 2 错误．故应选B.(4)D均不存在故C、D 解I 2 =『：六矿sin x d x =『矿sin x d x +厂矿sinxdx=!1 +厂矿sinxd x O 兀又兀<x<加时e x 2sin x < 0故厂心血d x < o 故l2< l1Ia =厂矿sinx dx =厂矿sinxdx +厂矿sinx dx = 12 +厂产sinx dx 0 02又纭<x<玩时e "'2sinx > 0 故厂矿si nx dx > 0 故12< Ia, Ia =厂尸sinx dx = I: 矿sinx dx +厂矿sinx dx = 11 +厂产sinx dx 厂e x 2si n x d x =『六e 工2sinx d x + f "矿sinx dx =『lt穴矿sin .x d x +『穴"e"五）'sin (t +:)d(t +亢）＝厂矿sinx dx --J : e <工妇）2 si n xdx = J: [e 工2_ e (x 五）2 ]sin x d x > 0:. 13 > I 1 综上I a>I 1 > 12. 故应选D .(5)C解0 1 -1 l a 1,a3,a4I = O -1 1 =C11 C1 c3 c4 1 -1 =O-1 1 故U1,U3,U4线性相关．故应选C.(6)B 1 O O 1 O 0 解Q =(a,+a,,a,心）=(a,,a,,a,+ I o ]=+ I o ] 0 0 1 0 0 1 Q 一'A Q = [i � �r P -'A P[三三子］＝［—又��][1 I J [上三�]=[I I J 故应选B.(7)A e -x,X>0,解八(x)= { o,X¾O , 由X,Y相互独立，故fy (y )=t e 五，y>O ,o , y�o. f (x ,y ) =八(x )•八(y )= {4e 玉如，x>O ,y>O , 0 ' 其他P{X<Y}= JI f (x ,y )d xd y= II 4e 玉+4y )dx d y (8)D <y 1 5．故应选A.解设两段木棒的长度为x,y 则X +y =1⇒ y =-x + 1由定理：若y =a x +b 则I P x Y I = 1,若心a <O则p xy = -1,®a >O 则p xy = 1.故px y =—1. 故应选D.1 2 ．． l +x(l —X)2 s m x -x l —xl+x ＋ 2x =l n-s m x -x l —X Cl+工:)(1—x) l+x =l n +x 1—x 1 +x 1 1 =l n1 十—sm x —x -x l —x I+x XE (O,l) /} 1 } } f (x) = + + + -cosx —1l+x 1—.r (1—x)2 O +x )2 x E (0,1)1 广(x)=—+ 12 2 —+O+x)2 Cl-x)2 (1—x)3 Cl+x)3 + s inx x E (0 , 1)因为O< 1 1 1 X <}时，>o, 1 (l-x)2-(l+x )2 (1-x)3-(l+x )3 > O,sinx > 0,故J"(x)> 0.又因为J'(x)在[O'1)是连续的，故J'(x)在[0,1)上是单调增加的，f I (X ) > f I (0) = 2 > 0 同理，f(x )在[O,1)上也是单调增加的，f(x )>f(O)=O,故F(x)在[O,1)上是单调增加的，F(x)> F (O) =O; 又因为F(x )是偶函数，则F(x)> O ,x E (—1,1) ,x #-0. 又因为F(O)=O, 故F(x )�o,即原不等式成立，证毕．(16)解先求出驻点叮＾迁王丑+Y 2,-2+_v 2 —=e 一一+x e ——亡• (—x)=Cl -x 2)e-—广0.2 、丿。

2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3解析：C 由lim 1,1x yy →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x yx →=∞=得为垂直渐近线由11lim,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!nn --（C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn -解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ）（3）如果函数(,)f x y 在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（）（A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微（B ）若极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微 （C ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限00(,)limx y f x y x y→→+存在（D ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限2200(,)lim x x f x y x y →→+存在解析：(B)2200(,)lim x y f x y k x y →→=+ (0,0)0(,)(0,0)00()f z f x y f x y ορ=⎧⇒⎨∆=-=⋅+⋅+⎩(,)f x y ⇒在(0,0)处可微.（4）设2k x k I eπ=⎰sin (1,2,3)xdx k =则有（）（A ）123I I I << (B)321I I I << (C)231I I I << (D)213I I I <<解析： D22222111sin |sin |.x x I I e xdx I e x dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .x x I I e x dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin x t e xdxx t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x x e x dx e x dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>(5)设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）（A ）α1, α2, α3 （B ）α1, α2, α 4（C ）α1, α3, α4 （D ）α2, α3, α4解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C 或13413411,,0110c c c ααα-=-= 134,,ααα∴线性相关，选C（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(α1, α2, α3)，1223(,,).Q αααα=+则Q -1AQ =( ) (A)100020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（B ）1223100()110001Q P αααα⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭+，，111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P {x <y }=( )(A)15(B)13(C)25(D)45解析：(A)~(1)X E ，,0~(4)()0,0x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩. 4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩. ,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他()(,)x yP X Y f x y d δ<<=⎰⎰404x y x dx e e dy +∞+∞--=⎰⎰ 40(4)xy xe dx e d y +∞+∞--=⎰⎰ 40x x e e dx +∞--=⋅⎰ 50x e dx +∞-=⎰15=.（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） (A) 1(B)12(C)12(D)1-解析：设一段长X ,另一段1YX =-，由ρ=(1)DX D X DY =-=cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EX EX DX=-+=-1ρ∴=，选项D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）若函数f (x )满足方程()()2()0f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=，则f (x )=_________.解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),x x f x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.x f x f x e C C '+===得()x f x e ∴=（10）2________=⎰解析：2π[220(1)1(1)x x =-+-⎰⎰111(22x π--=+===⎰⎰⎰.（11）(2,1,1)_______z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：{1，1，1}21,,z z grad xy y x y y y ⎛⎫⎧⎫+=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (2,1,1){1,1,1}z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（12）设{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2y d s ∑=⎰⎰_____ .解析:12.1,:1(0,0)z x y D x y x y =--+≤≥≥1122202xDy ds y dx y dy δ-==⎰⎰⎰⎰⎰113400(1)(1)31212x dx x =-=--=⎰（13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵E T -XX 的秩为_________.解析：2. 设2,T A E XX A A =-=()() 3.r A r E A ⇒+-=()()()1T r E A r XX r X -===() 2.r A ∴=（14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC =∅，ABC ∴=∅.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上.（15）（本题满分 分）证明x ln 11x x+-+cos x ≥1+22x (-1<x <1)证明：令21()ln cos 1.(0)0.12x x x x x x ϕϕ+=+--=-ϕ’212()ln sin 11x xx x x x x +=+---- 2211ln sin 11x x x x x x++=+--- 01x <<时. 1ln 01xx +>-,2211x x x x +≥-，又sin x x ≤. ()0x ϕ∴>’；10x -<<时，1ln 01xx +<-，2211x x x x +≤-,又sin x x ≥. ()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ（0）=0∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即 21ln cos 112x x x x x ++≥+-(16)（本题满分 分）求函数222(,)x y f x y xe+-=的极值解析：由22'2222'2(1)00x y x x y y f x e f xye +-+-=-==-=⎧⎪⎨⎪⎩得10x y =-⎧⎨=⎩及10x y =⎧⎨=⎩ 222222''32''22''22(3)(1)(1)x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x y e+-+-+-=-=--=-当1x y =-⎧⎨=⎩时，11222,0,.A e B C e --=== 20AC B ->且0A >，10x y =-⎧∴⎨=⎩为极小点. 极小值为12(1,0).f e --=-当1x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==-2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩且为极大点极大值为12(1,0)f e-=（17）（本题满分 分）求幂级数0n ∞=∑244321n n n +++x 2n的收敛域及和函数解：由1lim 1n x na a +→∞=得R =1.当1x=±时.2443()21n n n n ++→∞→∞+1x ∴=±时级数发散.收敛域为（-1,1） 令220443()21nn n n S x x n ∞=++=+∑202(21)21n n n x n ∞=⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦∑=2200(21)221nnn n x n x n ∞∞==+++∑∑ 22100221n n n n x x n ∞∞+==⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑∑’21122212()2()1(1)x x S x S x x x +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭’当x =0时，S (0)=3.当x ≠0时，xS 1(x )=21021n n x n +∞=+∑[]2121()1n n xS x x x ∞===-∑’111111()ln ,()ln .2121x xxS x S x x x x ++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x=⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且（18）(本题满分分)已知曲线L ：()cos x f t y t=⎧⎨=⎩（0≤t <2π），其中函数 f (t )具有连续导数，且 f (0)=0，()f t '>0(0<t <2π)，若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点距离值恒为1，求函数f (t )的表达式，并求此曲线L 与x 轴无边界的区域的面积.解析：①/sin ./()dy dy dt t kdx dx dt f t -===' 切线为sin cos ()0ty t x f t y f t ==--=⇒'()（），令 ())cot x f t f t t =+'(⋅,切线与x 轴交点为(()()cos ,0)f t f t t +'.由题意222()cot cos 1f t t t '+=⇒242sin ().cos tf t t'= 2sin ()0.()sec cos .cos tf t f t t t t'>∴'==-()ln |sec tan |sin f t t t t C =+-+(0)0,()ln |sec tan |sin f f t t t t =∴=+-②220cos ()A ydx t f t dt ππ==⋅'⎰⎰22201sin .224t I πππ===⋅=⎰（19）（本题满分分）已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分233(2)LIx ydx x x y dy =++-⎰解析：补充012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)L L Dx x d +=+-σ=⎰⎰⎰2Dd dx σ=-⎰⎰⎰而144ππ=⋅=⎰122ππ=⋅=⎰（依据定积分几何意义）.22L L πππ+∴=-=⎰2(2) 4.L y dy ∴=-=⎰⎰4.2I π∴=-（20）（本题满分分）已知A =10010101,00100010a a a a β⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）计算行列式|A|；（2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.解析：（I ）534A 1(1)1a a a =+-⋅=-（II ）当1a =及1a =-时，A x=β有无穷多个解. 当1a =时，A =11 0 0 1⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭ →10012010110011000000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1a =-时.A 110011001001101010110011000110100100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（21）（本题满分11分）已知110111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2， （1） 求实数a 的值；（2） 求正交变换x=Qy 将f 化为标准型.解析：A TA=1010010111a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭110111001a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭22201011113a a a a a a -⎛⎫ ⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭T T (A A)x x 秩为2. ∴T T (A A)2((A A)(A)2)r r r ===也可以利用 ⇒T A A 01a =⇒=- (T 22A A (3)(1)a a =++)(II)令T202A A =B =022224⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0解0,2,6123λ=λ=λ=当λ=0时,由(0)0E A x -=即0Ax =得1111-⎛⎫ ⎪ξ=- ⎪ ⎪⎝⎭. 当2λ=时,由(2)0E A x -=⇒1102-⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 当6λ=时,由(6)0E A x -=⇒1123⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 取1r231111,1,1.102r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭令2223.026Q f x x x Qy y y T⎛ = ⎝=B = +（22）（本题满分11分）设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为（Ⅰ）求{2}P XY =； （Ⅱ）求cov(,).X Y Y -解析：(1)11(2)(0,0)(1,2)044P XY P X Y P X Y ====+===+= (2)cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-EXY EXEY DY =--12012~,~.1111112312333X X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的边缘分布 12212,136333EX EY ∴=+==+=2221152()12113333DY EY EY =-=⨯+⨯-=-=1114211223123123EXY =⨯⨯+⨯⨯=+=2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.（23）（本题满分 分）设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且σ>0。