二项式定理及其应用
一、高考要求
（1）掌握二项式定理及二项式系数的性质；会求展开式中的特定项。
（2）掌握二项式定理的简单应用，包括：近似计算；求系数；证明整除性问题；证明等式、不等式等。
二、考向指南
常见考题：
（1）求展开式的某一项或适合某种条件的特殊项；
（2）求展开式各项系数的和；
（3）取二项展开式的前几项进行近似计算。
应对策略：
牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征和二项式系数的特征。
三、典型例题
（一）二项式定理及其通项公式
例1：已知41()2nxx的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列。
（1）求n;
(2) 求展开式中T3的系数与二项式系数；
（3）证明展开式中没有常数项；
（4）求展开式中所有有理项；
（5）求二项式系数最大的项；
（6）求系数最大的项；
（7）求展开式中的系数和及二项式系数和；
（8）求系数绝对值最大的项。
例2：（求某一项的系数问题）
（1）（1+x）(2+x) (3+x)…(10+x) 展开式中x9的系数；
（2）45(1)(1)xx展开式中x4的系数；
（3）26(123)xx展开式中x5的系数；
(4) 求3415(1)(1)(1)xxx的展开式中x3的系数；
（5）（x+2y+3z）7的展开式中x4y2z的系数。
例3（求系数和问题）
1.已知：（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7
求：(1)a1+a2+…+a7=
;
(2) a1+a3+…+a7=
;
(3)| a1|+|a2|+…+|a7|=
;
2.已知：x9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a9(x+2)9.
求：(1)a0+ a1+a2+…+a9=
;
(2)a2.
(二)二项式定理的应用
1．求近似值
例5．求1.9975的近似值（精确到0.0001）。
课时提升作业 六十六
二项式定理
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2019·济宁模拟)二项式展开式中的常数项是 ( )
A.180 B.90 C.45 D.360
【解析】选A.展开式的通项为Tk+1
=()10-k=2k,
令5-k=0,得k=2,
故常数项为22=180.
2.(2019·枣庄模拟)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是 ( )
A.30 B.20 C.15 D.10
【解题提示】先用通项公式求(1+x)6展开式中x2项的系数,再求x(1+x)6展开式中x3项的系数.
【解析】选C.(1+x)6展开式中通项Tr+1=xr,
令r=2可得T3=x2=15x2,
所以(1+x)6展开式中x2项的系数为15,
在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为15.
3.(2019·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数
a= ( )
A.2 B. C.1 D.
【解题提示】考查二项式定理的通项公式.
【解析】选C.因为Tr+1=·(2x)7-r·
=·27-r·ar·x7-2r, 令7-2r=-3,得r=5,
所以·22·a5=84,解得a=1.
4.若(x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ( )
A.-16 B.16 C.-1 D.+1
【解析】选B.令x=1得：a0+a1+a2+a3+a4=(1+)4,
令x=-1得：a0-a1+a2-a3+a4=(-1+)4,
则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)
=(1+)4(-1+)4
=24
=16.
5.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 ( )
A.-7 B.7 C.-28 D.28
第 1 页 共 1 页 第十次作业 二项式定理
姓名： 2014年2月8日
知识的复习
1．二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋„＋Crnan－rbr＋„＋Cnnbn(n∈N*)．
这个公式所表示的定理叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Crn(k＝0,1,2，„，n)叫作二项式系数．式中的Crnan－rbr叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项：
Tr＋1＝Crnan－rbr.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.
(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当rn＋12时，
二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项Cn2n取得最大值．
当n是奇数时，中间两项Cn－12n 和Cn＋12n 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋„＋Crn＋„＋Cnn＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
即C1n＋C3n＋C5n＋„＝C0n＋C2n＋C4n＋„＝2n－1.
习题
1．在103x的展开式中，6x的系数为 （ ）
第 2 页 共 2 页 A．610C27 B．410C27 C．610C9 D．410C9
§10.3 二项式定理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数 二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn
2.二项式系数的性质
(1)C0n＝1，Cnn＝1，Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.
Cmn＝Cn－mn(0≤m≤n)． (2)二项式系数先增后减中间项最大．
当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为2Cnn，当n为奇数时，第n＋12项和第n＋32项的二项式系数最大，最大值为12Cnn或12Cnn.
(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
概念方法微思考
1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．
2．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式的第r项．( × )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( √ )
题组二 教材改编
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
答案 B
解析 Tr＋1＝Cr5(2x)r＝Cr52rxr，当r＝2时，x2的系数为C25·22＝40.
