高考数学一轮复习(十三)二项式定理

高中数学一轮复习（十三）

二项式定理

1．二项式定理：

011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rnC(0,1,2,,)rn.

③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r项rnrrnCab叫做二项式展开式的通项。用1rnrrrnTCab表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,abx 0122(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnN

令1,,abx 0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnN

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0nnnCC，···1kknnCC

②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，

变形式1221rnnnnnnCCCC。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1ab，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，

从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC

④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxCaxCaxCaxCaxaaxaxaxxaCaxCaxCaxCaxaxaxaxaxaaaaaaxaaaaaa令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分

别为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来。

题型一：求二项展开式

1．“nba)(”型的展开式

例1．求4)13(xx的展开式；

解：原式=4)13(xx=24)13(xx=])3()3()3()3([144342243144042CCCCCxxxxx

=)112548481(12342xxxxx=54112848122xxxx

2． “nba)(”型的展开式

例2．求4)13(xx的展开式；

分析：解决此题，只需要把4)13(xx改写成4)]1(3[xx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算cCCCnnnnnnn3)1(....27931321；

解：原式=nnnnnnnnCCCCC)2()31()3(....)3()3()3(33322110

题型二：求二项展开式的特定项

1.求指定幂的系数或二项式系数

（1）求单一二项式指定幂的系数

例4．92)21(xx展开式中9x的系数是

解：rrrrxxTC)21()(9291=rrrrxxC)1()21(2189=xrrxC3189)21(

令,9318x则3r，从而可以得到9x的系数为：221)21(339C

（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

例5．72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是

；

解：在展开式中，3x的来源有：

① 第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；

② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C

3x的系数应为：,1008)2()2(447667CC填1008。

（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数

例6．3)21(xx的展开式中，常数项是 ；

解：36323)1(])1([)21(xxxxxx，上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xxC，即20

2.求中间项

例7．求（103)1xx的展开式的中间项；

解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。

当n为奇数时，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；

当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。

3.求有理项

例8．求103)1(xx的展开式中有理项共有多少项？

解：341010310101)1()1()(rrrrrrrxxrTCC

当9,6,3,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。

① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

4.求系数最大或最小项

（1）特殊的系数最大或最小问题

例9．在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是

；

解：rrrrxTC)1(11111

要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小

项的系数为462)1(5511C

（2）一般的系数最大或最小问题

例10．求84)21(xx展开式中系数最大的项；

解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有

11kkkkTTTT 又1182.rrrCT，那么有 kkkkkkkkCCCC2.2.2.2.8118228118

即)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8KKKKKKKk

KKKK1922211

解得43k，系数最大的项为第3项2537xT和第4项2747xT。

（3）系数绝对值最大的项

例11．在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是

；

解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为")("nba型来处理，故此答案为第4

项4347yxC，和第5项5257yxC。

题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和

例12．若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为 ；

解： 443322104)32(xaxaxaxaax

令1x，有432104)32(aaaaa，

令1x，有)()()32(314204aaaaa

故原式=)]()).[((3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1)1(4

例13．若2004221020042004...)21(xxaxaax，

则)(...)()(200402010aaaaaa ；

解：2004221020042004...)21(xxaxaax，

令1x，有1...)21(20042102004aaaa

令0x，有1)01(02004a

故原式=020042102003)...(aaaaa=200420031

例14．设0155666...)12(axaxaxax，则6210...aaaa ；

分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。

解：rrrrxTC)1()2(661

65432106210...aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=0

题型四：利用二项式定理求近似值

例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；

分析：因为6998.0=6)002.01(，故可以用二项式定理展开计算。

解：6998.0=6)002.01(=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61

001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263CT，

且第3项以后的绝对值都小于001.0，

从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

6998.0=6)002.01()002.0(61=988.0012.01

题型五：利用二项式定理证明整除问题

例16．求证：15151能被7整除。

15151=1)249(51=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051CCCCC

=49P+1251（NP）

又1)2(1217351=（7+1）171=17.....7.7.7.17171617152171611717017CCCCC=7Q（QN）

)(77715151QPQP

15151能被7整除。