高考数学一轮复习第3讲 二项式定理

第3讲 二项式定理

1．二项式定理的内容

(1)(a＋b)n＝01C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnbn(n∈N*).

(2)第r＋1项，Tr＋1＝02Crnan－rbr.

(3)第r＋1项的二项式系数为03Crn(r＝0,1，…，n).

2．二项式系数的性质

(1)0≤r≤n时，Crn与Cn－r的关系是04相等.

(2)二项式系数先增后减，中间项最大，且n为偶数时，第05n2＋1项的二项式系数最大，最大为 06Cn2n，当n为奇数时，第07n－12＋1或n＋12＋1项的二项式系数最大，最大为08Cn－12n或Cn＋12n.

(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cn＝092n，C0n＋C2n＋C4n＋…＝102n－1，C1n＋C3n＋C5n＋…＝112n－1.

1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．

2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．

1．(2020·东莞调研测试)二项式x－1x26的展开式的常数项为( )

A．±15 B．15

C．±20 D．－20

答案 B

解析 二项式x－1x26的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6x6－r·－1x2r＝Cr6·(－1)r·x6－3r.令6－3r＝0，求得r＝2，∴展开式的常数项是C26＝15，故选B.

2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )

A．12 B．16

C．20 D．24

答案 A

解析 解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C34＋2C14＝12.故选A.

解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.

3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )

A．9 B．8

C．7 D．6

答案 B

解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝8.

4．(2020·海南模拟)2x－134x6的展开式的中间项为( )

A．－40 B．－40x2 C．40 D．40x2

答案 B

解析

2x－134x6的展开式的中间项为C36(2x)3·－134x3＝－40x2.

5．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为( )

A．500 B．－500

C．150 D．－150

答案 C

解析 由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝Cr4·(5x)4－r·(－x)r＝(－1)r·Cr4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，得r＝2，∴展开式中x3的系数为C24·52·(－1)2＝150.

6．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .

答案 162 5

解析 由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Cr9·(2)9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C09·(2)9·x0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.

考向一 求展开式中的特定项或特定项系数

例1 (1)x－13x18的展开式中含x15的项的系数为( )

A．153 B．－153

C．17 D．－17

答案 C

解析 Tr＋1＝Cr18x18－r－13xr＝－13rCr18·x18－32r，令18－32r＝15，解得r＝2，所以含x15的项的系数为－132C218＝17.

(2)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于(

)

A.13 B．12

C．1 D．2

答案 D

解析 x＋1x10的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C310；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为C210，所以(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为C310－aC210＝30，解得a＝2.故选D.

(3)(2020·全国卷Ⅱ)x2＋2x6的展开式中常数项是 (用数字作答)．

答案 240

解析 x2＋2x6展开式的通项为Tr＋1＝Cr6·(x2)6－r·2xr＝Cr62r·x12－3r.令12－3r＝0，解得r＝4，所以x2＋2x6的展开式中常数项是C46·24＝15×16＝240.

求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路

(1)利用通项公式将Tr＋1项写出并化简．

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.

(3)代回通项公式得所求．

1.(2021·新高考八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )

A．60 B．80

C．84 D．120

答案 D

解析 (1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C2＋C23＋C24＋…＋C29，因为Cm－1n＋Cmn＝Cmn＋1且C2＝C3，所以C2＋C23＝C3＋C23＝C34，所以C2＋C23＋C24＝C34＋C24＝C35，以此类推，C2＋C23＋C24＋…＋C29＝C39＋C29＝C310＝10×9×83×2×1＝120.故选D.

2．(2020·全国卷Ⅰ)x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )

A．5 B．10

C．15 D．20

答案 C

解析 (x＋y)5展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－ryr(r∈N且r≤5)，所以x＋y2x(x＋y)5展开式的项可表示为xTr＋1＝xCr5x5－ryr＝Cr5x6－ryr或y2xTr＋1＝y2xCr5x5－ryr＝Cr5x4－ryr＋2.在xTr＋1＝Cr5x6－ryr中，令r＝3，可得xT4＝C35x3y3＝10x3y3，该项中x3y3的系数为10，在y2xTr＋1＝Cr5x4－ryr＋2中，令r＝1，可得y2xT2＝C15x3y3＝5x3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.

3．已知ax－x29的展开式中x3的系数为94，则a＝ .

答案 4

解析

ax－x29的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr9·ax9－r－x2r＝(－1)r·a9－r·2－r2·Cr9·x32r－9.令32r－9＝3，得r＝8，则(－1)8·a·2－4·C89＝94，解得a＝4.

多角度探究突破

考向二 二项式系数与各项的系数问题

角度1 二项展开式中系数的和

例2 (1)若二项式x2－2xn的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )

A．－1 B．1

C．27 D．－27

答案 A

解析 由题意，得C0n＋C1n＋…＋Cn＝2n＝8，即n＝3，

所以x2－2x3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.

(2)(多选)(2020·泰安三模)若(1－2x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2020x2020(x∈R)，则( )

A．a0＝1 B．a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝32019＋12

C．a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝32020＋12

D.a12＋a222＋a323＋…＋a202022020＝－1

答案 ACD

解析 由题意，当x＝0时，a0＝12020＝1，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2020＝(－1)2020＝1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2019＋a2020＝32020，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝－32020－12，a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝32020＋12，a12＋a222＋…＋a202022020＝a1×12＋a2×122＋…＋a2020×122020，当x＝12时，0＝a0＋a1×12＋a2×122＋…＋a2020×122020，所以a1×12＋a2×122＋…＋a2020×122020＝－a0＝－1.

赋值法的应用

(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.

(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．

4.若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( ) A．0 B．1

C．32 D．－1

答案 A

解析 由(1－x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)rCr5xr，可得a1，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.

5．在x＋3xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为 .

答案 90

解析 令x＝1，则x＋3xn＝4n，所以x＋3xn的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－r3xr＝Cr53rx5－32r，令5－32r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C2532＝90.

角度2 二项式系数的最值问题

例3 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )