一元二次方程的概念及其解法正误例析

一元二次方程解法知识点总结一元二次方程是高中数学中重要的概念之一，解一元二次方程是解决实际问题中的关键步骤。

在本文中，我将总结一元二次方程解法的主要知识点。

以下是详细介绍：一、一元二次方程的定义和一般形式一元二次方程指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。

二、求一元二次方程的解的三种方法1. 因式分解法因式分解法是解一元二次方程的一种简单方法，适用于方程可以因式分解的情况。

2. 完全平方式当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用完全平方式解方程。

公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

3. 直接法（配方法）当一元二次方程无法因式分解且也不适用完全平方式时，我们可以使用配方法解方程。

通过变形将一元二次方程转化为一个平方的求解问题。

三、一元二次方程解的判别式判别式用于判断一元二次方程的解的性质。

判别式的公式为：Δ = b² - 4ac，其中Δ≥0且Δ<0代表不同的解的情况。

四、一元二次方程解的特殊情况1. 重根情况：当判别式Δ = 0时，方程仅有一个解，此时方程的两个解重合。

2. 无解情况：当判别式Δ < 0时，方程无实数解。

五、一元二次方程解法的应用一元二次方程解法的应用非常广泛，例如可以用来解决关于运动、生活中的数学题目，比如求解物体下落时间、销售利润最大化等。

六、例题与解析为了更好地理解一元二次方程解法，以下是两个例题的详细解析：例题1: 解方程x² - 5x + 6 = 0。

解析：首先计算判别式Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4*1*6 = 25 - 24 = 1。

由于判别式Δ > 0，方程有两个不相等的实数解。

接下来使用公式 x = (-b ± √Δ) / 2a 计算解，得到：x₁ = (5 + √1) / 2 = 3x₂ = (5 - √1) / 2 = 2所以，方程的解为x₁ = 3和x₂ = 2。

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

一元二次解方程方法详解一元二次方程是指只含有一个未知数x，并且x的最高次数为2的方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a 不等于0。

解一元二次方程的方法如下：因式分解法如果方程的左边可以因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)的形式，其中a1、a2、b1、b2都是已知数，那么方程的解为x=-b1/a1或x=-b2/a2。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以将其因式分解为(x-1)(x-3)=0，因此方程的解为x=1或x=3。

公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解，其中√表示开方符号。

如果方程的判别式b^2-4ac为正数，则方程有两个实数根；如果判别式为零，则方程有一个重根；如果判别式为负数，则方程无实数根，但可以写成复数的形式。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以使用求根公式来求解，得到x=(4±√16-12)/2=2±1，因此方程的解为x=1或x=3。

完全平方法如果方程的左边可以写成一个完全平方的形式，那么方程的解可以直接得到。

例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以将其写成(x+3)^2=0的形式，因此方程的解为x=-3。

图形法将方程转化为一条抛物线的方程，然后通过图形的交点来求解。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以将其变形为y=x^2-4x+3的形式，这是一条开口朝上的抛物线。

然后在坐标系中画出该抛物线，再找到它与x轴的交点，即y=0时的x坐标，这就是方程的解。

以上是解一元二次方程的常用方法，需要根据具体的题目选择合适的方法进行求解。

一元二次方程的解法错解示例一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a ≠0 例1 关于x 的方程0)1(1222＝＋＋－－－k x xk k k 是一元二次方程，求k 的值．错解：∵2122＝－－k k 即0322＝－－k k ∴1k ＝3，2k ＝－1.错解分析：方程02＝＋＋c bx ax （a ≠0）为一元二次方程，这里强调a ≠0.当2k ＝－1时，使2k －1＝0，原方程是一元一次方程.正确的解法是22k 2k 12,k 10,⎧⎪⎨≠⎪⎩－－＝－ ∴k ＝3. 二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a ≠0 例2 关于x 的一元二次方程02332)1(2＝－＋＋＋m mx x m 有实根，求m 的取值范围.错解：∵方程有实根，∴∆≥0， 即)23)(1(4)32(2－＋－m m m ≥0， ∴84＋－m ≥0，∴m ≤2.错解分析：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m ＋1≠0，即m ≠－1，所以正确解法是24(m 1)(3m 2)0,m 10,⎧≥⎪⎨≠⎪⎩－＋－＋ ∴m ≤2且m ≠－1.三、忽视根的判别式和二次项的系数a 应满足的条件例3 已知关于x 的方程02＝－－n mx x 的两根之积比两根之和的2倍小21，并且两根的平方和为22，求m ，n 的值.错解：设两根分别为1x ，2x ，则1x ＋2x ＝m ，21x x ＝－n .由题意，得1212221212(x x )x x ,2x x 22,⎧⎪⎨⎪⎩＋－＝＋＝即212m n ,2m 2n 22,⎧⎪⎨⎪⎩＋＝＋＝ 解得11m 7,27n ,2⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－ 或 22m 3,13n .2⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝ 错解分析：因为方程有两根，说明根的判别式∆≥0，即n m 42＋≥0，但m ＝7和n ＝－227不满足，应舍去.又这里二次项系数a ＝1是已知的，解题时可不考虑，所以正确解法是再增加：当m ＝7，n ＝－227时，227472⨯∆－＝＜0，不合题意，舍去； 当m ＝－3，n ＝213时，2134)3(2⨯∆＋－＝>0，∴m ＝－3，n ＝213.四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 例4 a 为何值时，方程)1(411＋＋＝＋＋＋x x a x x x x x 只有一个实数根. 错解：原方程化为0)1(222＝－＋－a x x .此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， ∴0)1(24)2(2＝－－－＝a ⨯∆， ∴21＝a .错解分析：当方程0)1(222＝－＋－a x x 的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立.所以正确解法是再增加： 把x ＝0代入0)1(222＝－＋－a x x ，得a ＝l ； 把x ＝－1代入0)1(222＝－＋－a x x ，得a ＝5.∴当1a ＝21，2a ＝1，3a ＝5时，原分式方程只有一个实数根.五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况例5 已知关于x 的方程02)1(2＝＋＋－k kx x k 有实根，求k 的取值范围.错解：当2k 10(2k)4k(k 1)0≠⎧⎨≥⎩－，－－，即22k 14k 4k 4k 0≠⎧⎨≥⎩，－＋时，方程有实根， ∴k ≥0且k ≠1时，方程有实根.错解分析：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正确解法应增加： 当k －1＝O ，即k ＝1时，方程化为012＝＋x ，∴1x 2＝-.∴当k ≥0时，方程有实根. 六、不理解一元二次方程的定义 例6 方程(m －1)x m 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，求m的值.错解：由题意可得m 2＋1＝2，∴m ＝±1．错解分析：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数为，③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件．正解： 由题意可得，m 2＋1＝2，且m －1≠0，∴m ＝±1且m ≠1，∴m的值是－1．七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆例7 用配方法求2x2－12x＋14的最小值．错解： 2x2－12x＋14＝x2－6x＋9－2＝(x－3)2－2．∴当x＝3时，原多项式的最小值是－2．错解分析：一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数．要注意等式与代数式变形的区别．正解： 2x2－12x＋14＝2(x2－6x＋7)＝2(x2－6x＋9－2)＝2(x－3)2－4．∴当x＝3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质例8解方程x2＝6x．错解：x2＝6x，解这个方程，得x＝6．错解分析：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式．正解：x2＝6x，x2－6x＝0，x(x－6)＝0，∴x1＝0，x2＝6．九、例9关于x的方程2x－4－x＋k＝1，有一个增根为4，求k 的值．1.对增根概念理解不准确错解1：把x＝4代入原方程，得2×4－4－4＋k＝1，解得k＝－3.错解1分析：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立．实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理．2.忽略题中的隐含条件错解2：将原方程化为整式方程，得 4(x＋k)＝(x－5－k)2． (*) 把x＝4代入整式方程(*)，得4(4＋k)＝(4－5－k)2．解之，得k1＝－3，k2＝5．答：k的值为－3或5．错解2分析：本解法已经考虑到增根的定义．增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x＝4肯定是在解整式方程(*)时产生的．将x＝4代入整式方程(*)，等式应该成立．求出k1＝－3，k2＝5，但本解法忽略了对k值的验证．将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x＝4代到原无理方程中去验证．正解：（1）将k1＝－3，x＝4代入原无理方程，左边＝2×4－4 －4－3＝1，右边＝1．左边＝右边．∴当k＝－3时，x＝4是适合原方程的根(不是增根)．（2）将k2＝5，x＝4代入原无理方程，左边＝－1，右边＝1，左边≠右边．∴当k＝5时，x＝4是原方程的增根．综上所述，原方程有一个增根为4时， k的值为5．十、忽略前提，乱套公式例10 解方程：2x+3x=4.错解：因为∆=23-4×1×4=-7＜0，所以方程无解.错解分析：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式a2x+b x+c=0(a≠0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.正解：方程可化为2x+3x-4=0.∆=23-4×1×（-4）=25＞0.x=253±-.即1x=1, 2x=-4.十一、误用性质，导致丢根例11方程（x-5）(x-6)= x-5的解是（）A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=7错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x=7.错解分析：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选D.移项得（x-5）(x-6)-( x-5)=0，因式分解得（x-5）(x-7)=0,解得1x=5，2x=7.十二、考虑不周，顾此失彼例12 若关于x的一元二次方程(m+1)2x- x+2m-m-2=0的常数项为0，则m的值为（）A.m=-1B.m=2C.m=-1或m=2D.m=1或m=-2 错解：据题意可得2m-m-2=0，解得m=-1,2m=2，所以选C.1错解分析：错解中根据题中条件构造关于m的方程2m-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式a2x+b x+c=0中必须有a≠0这一条件.正解：据题意可得2m-m-2=0，解得m=-1,2m=2.又因为m+1≠0,故m1≠-1，所以m=2，故选B.十三、一知半解，配方不当例13 解方程：2x-6x-6=0.错解：移项，得2x-6x=6，故（x-3）2=0解得x=2x=3.1错解分析：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.正解：移项，得2x-6x=6,所以2x-6x+9=6+9,即2)3x=15,(解得x=3+15,2x=3-15.1十四、概念不清，导致错误例14 下列方程中，一元二次方程为 .2(1)43=x x ； 22(2)(2)310-+-=x x ； 21(3)4033+-=x x ；2(4)0=x ； 2=； 2(6)6(5)6+=x x x .错解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4)错解分析：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单．判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大例15 如果关于x 的一元二次方程22(2)340--+-=m x x m 有一个解是0，求m 的值．错解：将x ＝0代入方程中，得22(2)03040m m -⋅-⨯+-=，24m =，2m =±.错解分析：由一元二次方程的定义知20m -≠，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为: 将0x =代入方程中，得22(2)03040,-⋅-⨯+-=m m 24,2m m ==±.又因为20m -≠，所以2m =-.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解例16 关于x 的方程2232mx x x mx -=-+是一元二次方程的条件是什么？错解：由一元二次方程的定义知0m ≠.错解分析：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得2(1)(3)20m x m x ----=，∴10,1m m -≠≠．所以关于x 的方程2232mx x x mx -=-+是一元二次方程的条件为1m ≠． 十七、忽略一元二次方程有实根条件Δ≥0导致错解例17 已知1x ,2x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的两实根，求2212x x +的最大值.错解：由根与系数的关系得122x x k +=-，21235x x k k =++，2221212122222()2(2)2(35)106(5)19,+=+-=--++=---=-++x x x x x x k k k k k k所以当5k =-时，2212x x +有最大值19.错解分析：当5k =-时，原方程变为27150x x ++=，此时Δ＜0，方程无实根.错因是忽略了Δ≥0这一重要前提. 正解：由于方程有两实根，故Δ≥0， 即[]22(2)4(35)0---++≥k k k ,解得－4≤k ≤－34.所以当4k =-时，2212x x +有最大值18. 十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解例18 若2222(1)(3)5x y x y +++-=,则22x y +=_________.错解：222222222()2()80(4)(2)0+-+-=+-++=x y x y x y x y解得22x y +=4或22x y +=-2错解分析：忽视了22x y +的非负性，所以应舍去22x y +=-2. 正解：4一元二次方程错解示例一、例1 已知方程2350ax x +-=有两个实数根，求ɑ 的取值范围． 错解：∵ 已知方程有两个实数根， ∴∆≥0， 即234(5)0,-⨯⨯-≥a ∴ a ≥－209. 所以ɑ的取值范围是大于或等于－209的实数． 错解分析：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数ɑ不为0 的条件，正确的结果是: ɑ≥－209且ɑ≠0．二、例2 当k 为何值时，方程2230kx x -+=有实根? 错解：∵ 已知方程有实根，∴∆ = (－2)²－4× 3 k≥0，解得k ≤31．又k≠0， ∴ 当k ≤31且k≠0 时，方程kx ²－2x + 3= 0 有实根． 错解分析： 题目未说明已知方程为一元二次方程，当k = 0 时，方程为一元一次方程，此时有实根x =23，也符合题意，正确的结果为:当k ≤31时，已知方程有实根． 三、例3 已知关于x 的方程( m² － 1) x² －( m + 1) x + 1 = 0 的两实数根互为倒数，求m 的值.错解：∵已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知2111m =-，解得m = 经检验，它们都是方程2111m =-的根，所以m．错解分析：求出的m 值需保证已知方程有两个实数根，因此m 的值除满足是解题过程中的分式方程的根外( m≠ ± 1) ，还需代入已知方程的根的判别式进行检验．实际上，当m =时，方程为2(110x x --+=，Δ=320-<，此时已知方程无实数根． 因此正确的结果为: m．四、例4 已知12x x ，是方程20x px q ++=的两个实数根，且22121231x x x x ++=，121211()()0x x x x +++=，求p ，q 的值． 错解：由根与系数的关系，有1212,.+=-=x x p x x q ·由22121231,x x x x ++=得21212()1x x x x ++=，∴ p² + q = 1． ① 由121211()()0x x x x +++=，得 12121()(1)0x x x x ++=， ∴1(1)0p q-+=． ② 由②得p=0 或q=－1．当p=0 时，代入①得q=1．当q =－1．所以p ，q 的值是0，1，－1，－1．错解分析：与例3 类似，当p=0，q=1 时，方程为x²+ 1 =0，此时没有实数根，正确的结果是: p ，q，－1，－1．。

一元二次方程易错剖析山东 王文涛在学习一元二次方程时，不少同学由于概念不清，理解不透等原因而陷入解题的误区.现将常见错误加以剖析，以帮助同学们走出解题的误区，提高解题能力.一、用公式法时，将方程中系数弄错例1 解方程：ｘ２－４ｘ＝８．错解：由ａ＝１，ｂ＝－４，ｃ＝８，得Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－４）２－４×８＝－１６＜０，所以原方程无解．剖析：错解错在没有将方程化为一般形式，而将常数项c 弄错，导致错误的结果（详细解答过程请同学们自己完成，你一定能行的！正解：ｘ１＝２＋２3，ｘ２＝２－２3）．点评：用公式法解一元二次方程时，要先将方程化为一般形式，再确定ａ，ｂ，ｃ的值（有负号的不要漏掉），最后代入公式求解．二、违背等式性质，导致漏根例2 一元二次方程ｘ（ｘ＋３）＝ｘ＋３的解是 ．错解：方程两边除以ｘ＋３，得ｘ＝１．剖析：错解错在将两边直接约去了ｘ＋３，忽视了ｘ＋３可能等于零的情况.本题应将ｘ＋３移项后，用因式分解法求解（详细解答过程请同学们自己完成，你一定可以的！正解：ｘ１＝１，ｘ２＝－３）．点评：若方程两边有公因式，只有当公因式不为零时，才能约去公因式，否则就违背等式的性质，会造成方程漏根．三、忽视二次项系数不为0的条件例3 关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋ｘ＋ａ２－１＝０的一个根为０，则ａ＝ ．错解：将ｘ＝０代入方程，得ａ２－１＝０，解得ａ＝±１．剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数ａ＋１≠０，即ａ≠－１．错解忽视了二次项系数不为零，故正确答案应为ａ＝１．点评：在解此类问题时，要注意一元二次方程的二次项系数不为零这一条件．例4 当k 取什么值时，关于x 的方程（k －1）x 2＋2kx ＋k ＋3=0有两个不相等的实数根？ 错解：因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝b 2－4ac=（2k ）2－4×（k －1）×（k ＋3）=－8k ＋12＞0，解得k<23. 剖析：错解在于没有注意二次项系数k-1≠0的隐含条件.因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝b 2－4ac=（2k ）2－4×（k －1）×（k ＋3）=－8k ＋12＞0，解得k ＜23.又k-1≠0，即k ≠1.所以k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根. 点评：根的判别式使用的前提条件是一元二次方程，在解题时，须牢记二次项系数不为零的条件．。

一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a,b,c 是常数。

一元二次方程有两个解，可以使用求根公式解决。

但是，在学习一元二次方程时，学生往往会有一些误解。

其中常见的误解如下：
1、一元二次方程只有两种解法。

实际上，一元二次方程有三种解法，包括求根公式、判别式法和平方和公式法。

学生需要掌握这三种解法，并能灵活运用。

2、一元二次方程只有实数解。

实际上，一元二次方程也可能有复数解。

如果判别式为负数，则一元二次方程就会有两个复数解。

3、一元二次方程的解一定是两个不同的数。

实际上，一元二次方程的解可能是两个相同的数，这种情况下称为重根。

4、一元二次方程的解一定是两个实数。

实际上，如果一元二次方程有复数解，那么它的解就是两个复数。

为了避免这些误解，学生在学习一元二次方程时需要注意以下几点：
1、要掌握一元二次方程的三种解法，并能灵活运用。

2、要明白一元二次方程可能有复数解，需要通过判别式来判断。

3、要注意一元二次方程可能存在重根的情况。

4、要认识到一元二次方程可能有复数解，需要熟练掌握复数的运算方法。

通过加强对一元二次方程的学习，学生可以避免这些误解，更好地理解和掌握一元二次方程的解法。

“一元二次方程”常见错解原因分析及教学建议作者：柴国栋来源：《广西教育·A版义务教育》 2015年第10期□甘肃省平凉市庄浪县水洛中学柴国栋【关键词】《一元二次方程》常见错解原因分析教学建议【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2015）10A-0084-02《一元二次方程》是初中数学教学中十分重要的内容，也是重要的考点。

但我们经常发现在学习相关知识时，有些学生由于对一元二次方程概念所隐含的条件和实质没有充分认识、理解和把握，导致思维出现偏差，理解错误，进而在运用它来解决实际问题时常会出现一些错误。

现从一元二次方程概念的理解掌握以及解一元二次方程出现的常见错误，并对导致错误的原因进行分析，以期帮助学生提高对相关知识的认识和理解，培养其思维的严谨性、逻辑性和敏捷性，提升其解决实际问题的能力。

从定义上看，一元二次方程必须满足三个基本要点，即“一元”“二次”“整式”，但是在这个定义中其实隐含了一个非常重要的前提——“经过去分母、去括号、合并同类项等一系列化简、整理后”，再充分体现出“一元”“二次”“整式”的三个基本要求，这是我们判断是否为一元二次方程的根本依据，必须予以足够重视。

一、一元二次方程及相关概念理解中常见的错误（一）不能准确认识和理解一元二次方程概念，导致错误出现例1.判断下列方程中，是一元二次方程的是____________.错解：答案中多了⑤⑦⑧，或少了②⑥．错因分析：显然⑦⑧都不符合题意，⑤似是而非，同样⑥似非而是，应注意“整理后”这一前提，再判断是否为一元二次方程，也有部分学生认为②无意义，不是一元二次方程，这又混淆了一元二次方程的概念和方程有无实根的概念。

导致出现错误的根本原因是概念理解不全面、不准确，尤其是忽略了“一个前提”重要限制。

正解：②③⑥。

（二）对含有字母系数的一元二次方程，切不可忽视二次项系数不能为零的限制例2.若（m-3）x｜m-1｜-2mx-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值错解：由题意可得｜m-1｜=2，∴m1=-1，m2=3即m的值为-1和3.错因分析：忽视了一元二次方程概念中，强调未知数的最高次数是2这一要求，事实上当m=3时，已知方程的最高次数是1，显然不是一元二次方程。

《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。

一元二次方程的概念与解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，它可以用于解决许多实际问题。

本文将介绍一元二次方程的概念和解法，并在实例中展示其实际应用。

一、概念一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知的实数常数且a ≠ 0，x是未知变量。

二、解法解一元二次方程的一种常见方法是利用求根公式，即它根据方程的系数a、b、c，可以计算出方程的解。

求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式中的±表示两个解，分别是两个子式的加减情况。

三、实例展示下面通过一个实际问题来说明一元二次方程的应用和解法。

假设有一个矩形的面积为36平方米，且矩形的长度比宽度多4米。

我们可以列出方程来表示这个问题。

设矩形的宽度为x米，则矩形的长度为(x+4)米，根据矩形的面积公式，我们可以得到方程如下：x(x+4) = 36接下来，将方程进行化简：x^2 + 4x - 36 = 0根据一元二次方程的解法，我们可以使用求根公式来计算方程的解。

根据公式，我们可以得到：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*(-36))) / (2*1)即：x = (-4 ± √(16 + 144)) / 2最终计算得到两个解，分别是：x = 4，x = -9由于宽度不能为负数，所以我们可以确定矩形的宽度为4米。

根据问题中给出的条件，矩形的长度比宽度多4米，因此矩形的长度为8米。

综上所述，通过解一元二次方程，我们得到了矩形的宽度为4米，长度为8米，解决了这个实际问题。

总结：本文介绍了一元二次方程的概念和解法。

一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，解法可以利用求根公式来计算方程的解。

通过一个矩形面积的实际问题，我们展示了一元二次方程的应用和解题思路。

只需根据方程的系数应用求根公式，即可得到方程的解，并根据实际问题中的条件进行判断和筛选。

一元二次方程的基本概念和解法一元二次方程是代数学中的重要概念，由一次项、二次项和常数项构成，其一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

本文将介绍一元二次方程的基本概念及其解法。

一、基本概念一元二次方程是一种含有未知数的方程，其最高次项为二次项。

方程中的未知数通常用x表示，而系数a、b、c则为已知的实数。

二、求解一元二次方程的步骤要求解一元二次方程，首先需要将方程化为标准形式，即将方程中的项按幂次降序排列，然后按照下列步骤进行求解：1. 将一元二次方程化为标准形式：ax² + bx + c = 0；2. 计算判别式Δ = b² - 4ac；3. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，可以通过求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)来求解；4. 若Δ = 0，方程有且仅有一个实数解，解为 x = -b / (2a)；5. 若Δ < 0，方程无实数解。

三、示例演示以一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 为例，演示求解过程：1. 将方程化为标准形式：x² - 5x + 6 = 0；2. 计算判别式Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1；3. 由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，应用求根公式计算：x₁ = (-(-5) + √1) / (2(1)) = (5 + 1) / 2 = 3；x₂ = (-(-5) - √1) / (2(1)) = (5 - 1) / 2 = 2；因此，方程的解为 x₁ = 3，x₂ = 2。

四、一元二次方程的图像一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。

1. 若a > 0，抛物线开口向上。

以方程 y = x² - 2x + 1 为例：判别式Δ = (-2)² - 4(1)(1) = 0，方程有且仅有一个实数解 x = 1；图像经过点(1, 0)，开口向上。

一元二次方程的常见错误解法教案。

一、错误解法一：因式分解错误1、常见错误：将x²+5x-14的分解式写成(x+7)(x-2)，而将x²+5x+6的分解式错误地写成了(x+2)(x+3)。

2、解决办法：学生首先要理解一元二次方程的根的概念，明确根与因式分解之间的联系。

要掌握因式分解的方法，熟记常见公式和技巧。

3、练习：将x²+6x+8和x²+6x+9分别因式分解为(x+m)(x+n)的形式，并求出m和n的值。

二、错误解法二：开平方错误1、常见错误：出现将负数开平方的情况，例如将√-2x-4写成了2√-x-2。

2、解决办法：学生首先要掌握平方根的基本定义和性质，明确在实数范围内平方根的取值。

同时，要学会化简复杂的平方根式，化缩根为整数或分数。

3、练习：化简下列各式，并指出其平方根的大致值：√12，√1800，√0.4。

三、错误解法三：反演问题1、常见错误：将一元二次方程的求根过程反过来，直接将已知的根带入一元二次方程的表达式，并得出错误的答案。

2、解决办法：学生必须深入理解一元二次方程的解题方法，而不仅仅是记住公式和技巧。

必要时，需要创新性地运用已有的知识和技能，将其应用到新问题的探索中。

3、练习：给定x²-6x+9=0和2x²-7x+3=0的两个根a和b，试求出下列各式的准确值：a+b，a²+b²，(a+b)²，a³+b³。

四、错误解法四：代入法误解题目1、常见错误：在代入法解题时，没有正确穷理题目的限制条件，从而得出与题目要求不符的结论。

2、解决办法：学生必须逐步提高对题目的敏感度和理解力，注意对题目中的各种约束条件进行分析，掌握判断代入答案是否合理的技巧。

3、练习：解方程：2(3x+2)+3(x-1)=x(x+1)，写出该方程的求解步骤，并检验在所求解中是否满足x≠-1？五、错误解法五：未保留精度1、常见错误：在计算过程中，未能保留足够的有效数字，导致最终答案出现较大的误差。

- 1 - 一元二次方程一）一元二次方程的定义)0a (0c bx ax 2¹=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

0ax 0c ax 0bx ax 222==+=+；；这三个方程都是一元二次方程。

求根公式为()0ac 4b a2ac 4b b x 22³--±-=二）)0a (0c bx ax 2¹=++。

a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。

这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、ac 4b 2-D ＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根；2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；3、当Δ< 0时方程无实数根时方程无实数根. .4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）时方程有两个实数根（方程有实数根）; ;5、ac<0时方程必有解时方程必有解,,且有两个不相等的实数根且有两个不相等的实数根; ;6、c=0c=0，即缺常数项时，方程有，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.0.另一个根为另一个根为ab-7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。

8、若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2¹=++的两个实数根，即①abx x 21-=+ac x x 21=·（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。

）例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 22=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于5656，若存在，求出，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

②一元二次方程)0a (0c bx ax 2¹=++可变形为()()0x x xx a 21=++的形式。

第01讲一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.例2.判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a 2+2)x 2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a 2≥0，于是都有a 2+2＞0，由此可知a 2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m 2-1)x 2+(2-2m)x+(m 3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m 2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x 2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x 2+(2a+1)x+a 2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x-+=不是整式方程；⑤2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0；(2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是：a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4.已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m 2-8)y 2-(3m-1)y+m 3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m 2-8≠0，即m≠±．可知它的各项系数分别是a=m 2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m 3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-；（2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m -+++-=的解，∴2280m m +-=∴24m m ==-或①当20m -≠∴4m =-∴原方程为：2630x x -+=2490b ac =-=> ∴此方程有两个不相等的根．2630x x -+=()3210x x --=解得：00.5x =或②当2m =∴30x =∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m 2﹣3m+2=0，解得：m 1=1，m 2=2，∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0得出：x 2+5x=0x（x+5）=0，解得：x 1=0，x 2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是的根，则a=.（2）已知关于x 的一元二次方程22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1-或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a -≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，∴10a -≠，210a -=，∴1a =-；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3、2、3-B ．3、2、3C ．3、2-、3D ．3、2-、3-【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x -=化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程2323x x -=化为一般形式，得23230x x --=，二次项系数为3，一次项系数为2-，常数项为3-．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m ＝（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）观察表格中数据，一元二次方程4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x -+--=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t -=，得到方程210at bt +-=，再根据210(0)ax bx a +-=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，设1x t-=∴210at bt +-=∵210(0)ax bx a +-=≠有一个根1x =∴在210at bt +-=中1t =∴即在2(1)(1)10-+--=a x b x 中，11x -=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +-=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +-=的一个根，∴2210m m +-=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1-【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题（2）解：∵（﹣3x 2+6x ﹣5）－（﹣x 2+2x +3）＝﹣2x 2+4x ﹣8＝﹣2（x ﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x 2+6x ﹣5＜﹣x 2+2x +3，（﹣3x 2+6x ﹣5）*（﹣x 2+2x +3）＝（﹣3x 2+6x ﹣5）﹣3（﹣x 2+2x +3）＝﹣3x 2+6x ﹣5+3x 2﹣6x ﹣9＝﹣14，∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x＝5．。

第01讲一元二次方程和直接开平方法解一元二次方程【人教版】·模块一一元二次方程·模块二直接开平方法解一元二次方程·模块三课后作业1.一元二次方程得定义等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）得方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项。

3.一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程得解，也叫做一元二次方程得根。

方程得解得定义就是解方程过程中验根得依据。

【考点1一元二次方程的定义】【例1.1】下列方程中是一元二次方程的是（）①B2=B；②−322−2=13；③(−2)(2−1)=0；④2−1−2=0；⑤2−1−=1；⑥(−3)(+1)=2−8．A．①②④⑥B．②C．①②③④⑤⑥D．②③【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：①当=0时，B2=B不是一元二次方程；②−322−2=13是一元二次方程；③−22−1=0是一元二次方程；④2−1−2=0是分式方程；⑤2−1−=1不是一元二次方程；⑥−3+1=2−8，化简得：2−5=0，不是一元二次方程．∴是一元二次方程的是②③．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是B2+B+=0（≠0）．【例1.2】当=______时，关于的方程(+2)r3+6−9=0是一元二次方程．【答案】−1【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【详解】解：∵方程(+2)(r3)+6−9=0是关于x的一元二次方程，∴+3=2，+2≠0，解得=−1，故答案为：−1．【点睛】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：B2+B+=0（，，是常数且≠0），特别要注意≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【例1.3】关于的一元二次方程(−1)2+2+|U−1=0，常数项为0，则的值等于（）A．1B．－1C．1或－1D．0【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义即可求得的值．【详解】解：∵关于的一元二次方程−12+2+−1=0，常数项为0，∴−1=0，∴=1或−1，∵关于的方程−12+2+−1=0是一元二次方程，∴−1≠0,∴≠1，∴=−1；故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．【变式1.1】下列方程是一元二次方程的是（）A．2=0B．2=+1C．2+1+1=0D．3+−1=0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，即可．【详解】一元二次方程的定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程A、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，∴A是一元二次方程，符合题意；B、整理得：=0，是一元一次方程，不符合题意；C、方程中含有分式1，不是整式方程，不符合题意；D、是一元三次方程，故本选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．【变式1.2】关于x的方程−122+B+1=0是一元二次方程，则的取值范围为________．【答案】≠1【分析】根据定义可得二次项系数为零，一次项系数不等于，解之即可．【详解】根据一元一次方程的定义可得：−12≠0，∴≠1，故答案为：≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0且a≠0．【变式1.3】若关于x的方程−4−2+3−2=0是一元二次方程，则a的值为______．【答案】−4【分析】根据一元二次方程的定义得出−4≠0且−2=2，再求出即可．【详解】解：∵关于的方程−4−2+3−2=0是一元二次方程，∴−4≠0且−2=2，解得：=−4．故答案为：−4．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出−4≠0且−2=2是解此题的关键．【考点2一元二次方程的一般形式】【例2.1】一元二次方程32−+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，−，5B．3，−1，−4C．3，−1，4D．32，−1，4【答案】C【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【详解】解：一元二次方程32−+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，−1，4．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．【例2.2】将方程o+1)=2(−1)化为一元二次方程的一般式，正确的是（）A．2−+1=0B．2−+2=0C．2−2−1=0D．2+2+1=0【答案】B【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可．【详解】解：o+1)=2(−1)，2+=2−2，2+−2+2=0，2−+2=0，故选：B．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：B2+B+ =0（s s是常数且≠0）特别要注意≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中B2叫二次项，B叫一次项，c是常数项．其中s s分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【变式2.1】已知一个一元二次方程的二次项系数是1，一次项系数是3，它的一个根是2，则这个方程为______．【答案】2+3−10=0【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可设：2+3+=0，将=2代入2+3+=0，得4+6+=0，∴=−10，故该方程为：2+3−10=0．故答案为：2+3−10=0．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．【变式2.2】若方程52−−3=2−3+的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【答案】−20【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．【详解】解：方程52−−3=2−3+化为一般形式为：42−2=0，∴方程52−−3=2−3+的二次项系数是4，方程的一次项系数是−2，常数项是0．故答案为：−2；0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解题意，将方程化为二次项系数是4的一般形式．【变式2.3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)32+2=5(2)42−5=10(3)8−21=2(4)+1−1=2(5)4−1=5+2(6)−22=62+4．【答案】(1)32−5+2=0，二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为2；(2)42−5−10=0，二次项系数为4，一次项系数为−5，常数项为−10；(3)2−8+21=0，二次项系数为1，一次项系数为−8，常数项为21；(4)2−2−1=0，二次项系数为1，一次项系数为−2，常数项为−1；(5)42−9−10=0，二次项系数为4，一次项系数为−9，常数项为−10；(6)52+4=0，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（2）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（3）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（4）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（5）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可；（6）先化成一元二次方程的一般形式，再找出各项系数和常数项即可．【详解】（1）解：将32+2=5化为一般形式为：32−5+2=0，则：二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为2；（2）将42−5=10化为一般形式为：42−5−10=0则：二次项系数为4，一次项系数为−5，常数项为−10；（3）将8−21=2化为一般形式为：2−8+21=0则：二次项系数为1，一次项系数为−8，常数项为21；（4）将+1−1=2化为一般形式为：2−2−1=0则：二次项系数为1，一次项系数为−2，常数项为−1；（5）将4−1=5+2化为一般形式为：42−9−10=0则：二次项系数为4，一次项系数为−9，常数项为−10；（6）将−22=62+4化为一般形式为：52+4=0则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键．【考点3一元二次方程的根（解）】【例3.1】已知方程2−7+15−=0的一个根是2，则的值是（）A．−11B．5C．−5D．−3【答案】B【分析】把=2代入原方程得出22−7×2+15−=0，求出k的值即可．【详解】解：∵方程2−7+15−=0的一个根是2，∴22−7×2+15−=0，解得：=5，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查方程的根的概念及有理数的混合运算，掌握概念正确代入计算是解题关键．【例3.2】若是关于x一元二次方程32−−2023=0的一个实数根，则2023+2−62的值是（）A．4046B．−4046C．−2023D．0【答案】C【分析】把a代入方程整理得32−=2023，把代数式适当变形，再整体代入求值即可．【详解】解：把a代入方程32−−2023=0中，得32−−2023=0，移项得得：32−=2023；则2023+2−62=2023−2(32−p=2023−2×2023=−2023；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，注意整体思想的运用．【例3.3】若关于x的一元二次方程B2+B−3=0≠0有一个根为=2023，则方程−12+B−3=必有一根为（）A．2021B．2022C．2023D．2024【答案】D【分析】把o−1)2+B−3=化为：−12+−1−3=0再结合题意可得−1=2023，从而可得方程的解.【详解】解：o−1)2+B−3=可化为：−12+−1−3=0关于的一元二次方程B2+B−3=0≠0有一个根为=2023，∴把−1看作是整体未知数，则−1=2023∴=2024即o−1)2+B−3=有一根为=2024.故选D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.【变式3.1】关于x的一元二次方程(−3)2+5+2−9=0有一个解是0，则m＝______．【答案】−3【分析】先把方程的解代入原方程可得=±3，再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可解答．【详解】解：∵关于的一元二次方程(−3)2+5+2−9=0有一个根为0，∴2−9=0，解得：=±3，又∵−3≠0，∴≠3∴=−3．故答案为：−3．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的含义、一元二次方程的定义等知识点，掌握“一元二次方程的解满足一元二次方程”是解本题的关键．【变式3.2】若m是一元二次方程2−−3=0的根，则3+2−5的值为_____【答案】6【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出2−−3=0，从而可求出2=+3，2−=3，再将3+2−5整理变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是一元二次方程2−−3=0的根，∴2−−3=0，∴2=+3，2−=3，∴3+2−5=2+−5=+3+−5=22−=2×3=6．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．【考点4建立一元二次方程模型】【例4.1】如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（）A．60−40−=1750B．60−240−=1750C．60−240−=2400D．60−40−2=1750【答案】B【分析】利用靠边平移思想，整体处理求解即可．【详解】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米，∴被分成六块的活动场所可合成长为60−2米，宽为40−米的长方形．根据题意得：60−240−=1750．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握靠边平移思想，整体处理是解题的关键．【例4.2】2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（）A．600(1+2p=2850B．600(1+p2=2850 C．600+600(1+p+600(1+p2=2850D．2850(1−p2=600【答案】C【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：600+600(1+p+600(1+p2=2850．故选：C．【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．【例4.3】我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．2+2+12=864B．−12=864C．++12=864D．+12=864【答案】D【分析】设阔为步，则长为+12步，根据长方形的面积公式即可列出方程．【详解】解：设阔为步，则长为+12步，可列方程为+12=864，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程．【变式4.1】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为（）A．−1=45B．12o−1)=45C．+1=45D．12+1=45【答案】B【分析】设有支球队参加比赛，每支球队都要和其他−1支球队比赛一场，并且两队之间的比赛只能算作一场，由此列出不等式即可．【详解】解：设有支球队参加比赛，由题意得，12−1=45，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．【变式4.2】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（）A．603−80+10=18000B．603+80−10=18000C ．603+110−10=18000D ．603−50+10=18000【答案】B【分析】设需要增加开放x 个放映厅，则每个放映厅的人数为80−10人，根据“电影院拟一日票房收入为18000元”列方程即可．【详解】解：设需要增加开放x 个放映厅，则每个放映厅的人数为80−10人，依题意得603+80−10=18000，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出每个放映厅的人数是解题关键．1.直接开平方法解一元二次方程一般地，对于形如x 2=a(a≥0)得方程，根据平方根得定义可解得x 1=,x 2=−.【考点1解形如x 2=p （p≥0）的方程】【例1.1】方程−22=0的根是（）A ．1=2=2B ．1=2，2=0C ．1=−2，2=0D ．1=2，2=−2【答案】A【分析】用直接开平方法进行计算即可．【详解】解：−22=0，−2=0，1=2=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方的法则．【例1.2】关于x 的一元二次方程2x a =的两个根分别是21m -与5m -，则m =________．【答案】2【分析】利用直接开平方法解方程2x a =得到方程的两根互为相反数，则2150m m -+-=，则可计算出3m =即可．【详解】解：根据题意得2150m m -+-=，解得2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【变式1.1】方程22=__________．【答案】1=2=−【分析】系数化为1后，利用直接开平方法求解即可．【详解】解：22=1，∴2=12，解得：1==−故答案为：1=2=−【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是本题的关键．【变式1.2】已知方程2x m =的解是有理数，那么对于下列实数m 不能取的数是（）A ．1B ．4C ．9D ．10【答案】D【分析】分别将各项的值代入，然后解出方程，即可求解．【详解】解：A 、当1m =时，21x =，解得1x =±，方程的解为有理数，故本选项不符合题意；B 、当4m =时，24x =，解得2x =±，方程的解为有理数，故本选项不符合题意；C 、当9m =时，29x =，解得3x =±，方程的解为有理数，故本选项不符合题意；D 、当10m =时，210x =，解得=x ，方程的解不是有理数，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开平方的有关知识是解题的关键．【变式1.3】方程20x c -=的一个根为2022x =，则另一个根为x =___________．【答案】2022-【分析】根据直接开平方法求解即可．【详解】解：∵20x c -=的一个根为2022x =，∴另一个根为2022x =-，故答案为：2022-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【考点2解形如（mx+n ）2=p （m≠0，p≥0）的方程】【例2.1】解一元二次方程2(1)4x -=，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（）A ．12x =，22x =-B ．11x =，23x =-C ．13x =，21x =-D ．13x =，23x =-【答案】C【分析】利用直接开平方法解方程即得答案.【详解】解：∵2(1)4x -=，∴12x -=±，解得：13x =，21x =-；故选：C.【点睛】本题考查了利用直接开平方法解方程，属于基础题，掌握求解的方法是关键.【例2.2】若方程()255x k -=-可以直接用开平方法解，则k 的取值范围是（）A ．>0kB ．0k ≥C ．5k ≥D ．>5k 【答案】C【分析】若方程()255x k -=-可以直接用开平方法解，则k-5≥0，从而可得答案．【详解】解：由题意知，k-5≥0．解得5k ≥．故选：C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握能够用直接开平方法解的一元二次方程的特点是解本题的关键．【例2.3】定义一种新运算，2a b a b =※，则方程0(12)x +=※的解是（）A ．121x x ==B ．11x =，21x =-C ．11x =-，21x =D ．121x x ==-【答案】D【分析】根据定义的新运算可知：22(1)0x +=，由此可求得121x x ==-．【详解】解：由题意可知22(1)0x +=，即：2(1)0x +=，∴121x x ==-，故选：D ．【点睛】本题主要考查的是定义新运算，以及直接开平方法解一元二次方程，此类题型重点是严格按照新运算进行列式运算．【变式2.1】方程()23=16x -的根为（）A ．12==7x xB ．12=7=1x x ，C ．12==1x x -D ．12=7=1x x -，【答案】D【分析】直接利用开平方法解一元一次方程，即可得出答案．【详解】解：()2316x -=，开方得：34x -=或34x -=-，解得：17x =，21x =-．故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．【变式2.2】一元二次方程（x ＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x ＋1）A ．x －1B ．x ＋1＝2C ．x ＋1D ．x ＋1＝－2【答案】C【分析】根据直接开方法解一元二次方程的方法选择即可．【详解】解：（x ＋1）2＝2，两边开方得，x ＋1＝，可转化为一元一次方程为x ＋1x ＋1＝故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握直接开方法解一元二次方程．【变式2.3】小明用直接降次法解方程()()22452x x -=-时，得出一元一次方程452x x -=-，则他漏掉的另一个方程为____．【答案】x -4=-（5-2x ）【分析】根据转化思想、直接开平方法解答．【详解】解：开平方，得x -4=±（5-2x ），∴x -4=5-2x 或x -4=-（5-2x ），∴他漏掉的另一个方程为x -4=-（5-2x ），故答案为：x -4=-（5-2x ）．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【变式2.4】若()22220a -=，则2a 的值为（）A ．2B ．2C ．2或2-D ．2-【答案】A【分析】用直接开平方法即可进行解答．【详解】解：()22220a +-=，22a =±22a =或22a =-+，∵20a ≥，20-+<，22a =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤．【变式2.5】已知一元二次方程2(2)3x -=的两根为a 、b ，且a b >，则2a b +的值为_________________．【答案】6【分析】先利用直接开平方法解方程得到2a =2b =2a b +中计算即可．【详解】解：2(2)3x -=，2x -=，解得12x =+22x = 方程2(2)3x -=的两根为a 、b ，且a b >，2a ∴=，2b =22(226a b ∴+=++=故答案为：6+【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A ．2=2+3B ．2(−1)+=2C ．2+3=2D ．2−B +4=0【答案】A【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．【详解】解：A 、2=2+3是一元二次方程，符合题意；B 、2(−1)+=2的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；C 、2+3=2是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；D 、2−B +4=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是B 2+B +=0（且≠0）．特别要注意≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．以−2为一根的一元二次方程可能是（）A．2−2=0B．2−=0C．2++2=0D．2+−2=0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的概念，将−2代入每个选项，判断即可．【详解】解：将将−2代入每个选项，可得：A、2−2=(−2)2−2×(−2)=8≠0，不符合题意；B、2−=(−2)2−(−2)=6≠0，不符合题意；C、2++2=(−2)2+(−2)+2=4≠0，不符合题意；D、2+−2=(−2)2+(−2)−2=0，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的概念，一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的解，掌握根的概念是解题的关键．3．关于的一元二次方程2K2+=4的解为=1，则+的值为（）A．9B．8C．6D．4【答案】C【分析】根据一元二次方程的概念可求出的值，根据解为=1可求出的值，由此即可求解．【详解】解：关于的一元二次方程2K2+=4，∴−2=2，解得，=4，∴一元二次方程22+=4，∵解为=1，∴2×12+=4，解得，=2，∴+=4+2=6，故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值的方法是解题的关键．4．关于x的一元二次方程−22++2−4=0的其中一个根是0，则=_____．【答案】−2【分析】把=0代入原方程得2−4=0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值．【详解】解：把=0代入方程−22++2−4=0得2−4=0，解得1=2，2=−2，因为−2≠0，所以a的值为−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．若关于x的一元二次方程B2+B−2022=0≠0的一个解是=1，则++1的值是________．【答案】2023【分析】把=1代入原方程，可得+=2022，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程B2+B−2022=0≠0的一个解是=1，∴+−2022=0，∴+=2022，∴++1=2023．故答案为：2023【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．6．已知m是方程2−−2=0的一个根，则2−+2023的值为_______．【答案】2025【分析】根据题意可得2−=2，再代入，即可求解．【详解】解：∵m是方程2−−2=0的一个根∴2−−2=0，∴2−=2，∴2−+2023=2+2023=2025．故答案为：2025【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握式方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．7．若关于的一元二次方程(2−4)2+(3+6)+−8=0没有一次项，则的值为___________．【答案】−2【分析】根据一元二次方程的一般形式可知一次项为(3+6)，由方程没有一次项可得3+ 6=0，即可得答案．【详解】∵关于的一元二次方程(2−4)2+(3+6)+−8=0没有一次项，∴3+6=0，解得：=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式B2+B+=0≠0．8．写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________【答案】22−=0【分析】根据一元二次方程的一般形式是：B2+B+=0（、、是常数且≠0）写方程即可，注意要符合题目条件.【详解】由题意得：22−=0故答案为22−=0（答案不唯一）【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式以及方程的解，难度较低，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．若（x2＋y2﹣1）2＝25，则x2＋y2＝________．【答案】6【分析】设=2+2，将方程变形，开方求出a的值，即可确定出所求．【详解】解：设=2+2，则≥0，方程变形得：−12=25，开方得：−1=5或−1=−5，解得：=6或=−4（舍去），∴2+2=6；故答案为：6．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程是解本题的关键．10．方程r12=K2有实数根，则k的取值范围是______．【答案】≥2/2≤【分析】利用直接开平方法求出+1=±−2，然后根据方程有实数根结合二次根式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：∵+12=−2，∴+1=±−2，∵方程+12=−2有实数根，∴−2≥0，∴≥2，故答案为：≥2．【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键．11．若一元二次方程(x-3)2＝1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是_____．【分析】一元二次方程开平方求出两根，再根据三角形面积公式即可解得．【详解】(﹣3)2＝1K3=±11＝4，2＝2△A=12×4×2=4【点睛】此题考查了一元二次方程的根和直角三角形面积，解题关键是熟悉一元二次方程的解法．12．已知=2是一元二次方程2=的一个根，则另一根是___________．【答案】=−2【分析】将=2代入方程即可求出的值，然后将代入方程后即可求出的值．【详解】解：将=2代入一元二次方程2=，得：22=，解得：=4，∴2=4，解得：=±2，∴另一根是−2，故答案为：=−2．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．13．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有★=2+，如：4★2=42+2=18．若−5★3=12，则实数x的值是________．【答案】8或2【分析】先根据题意得到关于x的一元二次方程−52+3=12，解方程即可．【详解】解：∵−5★3=12，∴−52+3=12，∴−52=9，∴−5=±3，解得=8或=2，故答案为；8或2．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意得到−52+ 3=12是解题的关键．14．若关于的一元二次方程B2=oB>0)的两个根分别是4−3与2−3，则的值是_________．【分析】根据题意，可得两根互为相反数，进而得到4−3+2−3=0，进行求解即可．【详解】解：∵B2=oB>0)，∴∴方程的两个根互为相反数，∴4−3+2−3=0，∴=1；故答案为：1．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．15．求下列各式中的x：(1)32=75；(2)2−12=98．【答案】(1)＝±5(2)1=74，2=14【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可．【详解】（1）∵32=75，∴二次项系数化1，可得：2=25，方程两边开平方，可得：=±5；（2）∵2−12=98，∴−12=916，∴−1=±34，解得：1=34+1=74，2=−34+1=14．【点睛】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键．。

一元二次方程常见错解剖析一元二次方程是初中数学的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区。

具体表现主要有以下几方面：一、忽视二次项系数a ≠0导致字母系数取值范围扩大例1. 已知关于x 的一元二次方程()()a x a x 2212210-+++=有实根，求a 的取值范围。

错解：因为方程有实根，所以△≥0即4241022()()a a +--≥解得a ≥-54剖析：由一元二次方程的定义知：a 210-≠。

而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正确解法应为： 依题意得：a a a 2221042410-≠=+--≥⎧⎨⎪⎩⎪∆()() 解得a ≥-54且a ≠±1 二、忽视△≥0导致错解例2. 已知：x x 12、是方程()x k x k k 222350--+++=的两实根，求x x 1222+的最大值。

错解：由根与系数的关系得：x x k x x k k 12122235+=-=++，所以()x x x x x x 1222122122+=+-()()()=--++=---=-++k k k k k k 22351065192222所以当k =-5时，x x 1222+有最大值19。

剖析：当k =-5时，原方程变为x x 27150++=，此时△＜0，方程无实根！错因是忽略了△≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故△≥0，即：[]()---++≥()k k k 2435022解得-≤≤443k所以当k =-4时，x x 1222+有最大值18。

三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例3. 已知关于x 的方程()kx k x k 22110-++-=，当k 为何值时，方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以△≥0即()[]()-+--≥214102k k k解得k ≥-13，又因为k ≠0所以k ≥-13且k ≠0 剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。

一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。

（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。

一元二次方程错解分析一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点.许多同学在解题时由于受思维定势的影响，往往会对题目中的隐含条件重视不够，因而出现错解.下面举例说明，希望引起同学们注意.一、忽视方程解的定义例1 若关于x 的方程240x x c -+=有一个根是2，则c 的值是 . 错解 有的同学一看到一元二次方程有一个根，就想到0∆=，于是， 224(4)411640b ac c c -=--⨯⨯=-=，解得4c =.剖析 这种错误是由于审题不仔细造成的.解此题的依据是方程解的定义，解题方法是将2x =直接代入，求得未知字母的值. 22420c -⨯+=，解得4c =-.二、忽视将一元二次方程化成一般形式例2 用公式法解方程: 226x x -+=.错解 ∵2,1,6a b c ==-=∴24b ac ∆=-2(1)426=--⨯⨯ 14847=-=- 0<.∴此方程没有实数根.剖析 错解中没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误.应该先移项得到 2260x x --=则2,1,6a b c ==-=-.∴24b ac ∆=-2(1)42(6)=--⨯⨯-14849=+=.根据公式法有，2b x a-=(1)917224--±==⨯ ∴1232,2x x ==-. 三、忽视一元二次方程的解的个数例3 一元二次方程(1)x x x -=的解是 .错解(1)方程两边同除以x ，得10x -=，即1x =.(2)方程两边同除以x ，得11x -=，即2x =.剖析错解(1)中，方程两边同除以因式x 时，误认为既然右边没有了未知数，即右边为0.而错解(2)中，方程两边同除以因式x ，忽视了因式0x =的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成漏解.因为方程(1)x x x -=是一元二次方程，因此若有解，则有两个解.正确解法应该先将方程变形为(1)0x x x --=，则(11)0x x --=，即120,2x x ==.四、忽视一元二次方程的二次项系数例4已知关于x 的方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) (A)34m >(B)34m ≥ (C)34m >且2m ≠ (D)34m ≥且2m ≠ 错解24b ac ∆=-22(21)4(2)m m =+--224414(44)m m m m =++--+0> 解得34m >∴当34m >时，方程有两个不相等的实数根. 剖析 注意已知条件中的关键词是，方程有两个不相等的实数根，显然此方程必为一元二次方程，所以二次项系数2(2)0m -≠即2m ≠.因此错解中漏掉了2m ≠.正确答案为34m >且2m ≠. 五、忽视对题中关键词的理解例5 已知关于x 的方程2(5)410a x x ---=有解，那么a 的取值范围是( )(A)1a ≥ (B)1a >且5a ≠(C)1a ≥且5a ≠ (D)5a ≠错解 由于方程为一元二次方程，故5a ≠，且24b ac ∆=-2(4)4(5)(1)a =--⨯-⨯-0≥.得1a ≥且5a ≠.剖析 错解中忽视了关键词“关于x 的方程”，这里并未指明方程的类型.事实上，此方程2(5)410a x x ---=有两种可能:若方程为一元二次方程，则“有解”与“有两个实数根”是等同的，则1a ≥且5a ≠; 若方程为一元一次方程，则5a =，解得14x =-，即5a =也符合题意. 所以本题的正确答案是1a ≥. 例6 已知关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .错解 ∵一元二次方程有两个负数根，∴24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，即15m ≥.剖析 错解中忽视了关键词“两个负数根”的条件.事实上，一元二次方程有两个负数根需要满足以下条件:(1)24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，(2)12108m x x ++=-<; (3 )12708m x x -=>g . ∴7m ≥. 六、忽略判别式24b ac ∆=-存在的条件例7 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m ++++=的两个实数根.当221215x x +=时，求m 的值. 错解 由根与系数的关系，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+.∵222121212()2x x x x x x +=+-22[(21)]2(1)m m =-+-+2241m m =+-又221215x x +=， ∴224115m m +-=∴14m =-，22m =.剖析 一元二次方程的根与系数的关系是以判别式240b ac -≥为前提，才能确保一元二次方程有两个实数根.错解中忽略了原方程有两根的条件0∆≥，未将求出的m 的值代入判别式中检验而造成错误.因为当4m =-时，方程为27170x x -+=，此时， 2(7)4171∆=--⨯⨯190=-<，方程无实数根，不符合题意.故只有一个解2m =.七、忽视题中隐含条件例8 已知22222()()60a b a b +-+-=，则22a b +的值为_.错解2222(3)(2)0a b a b +-++=，2230a b +-=，或2220a b ++=，即223a b +=，或2-.剖析 此题大部分学生都会用整体的思想进行因式分解来解一元二次方程，但忽略了220a b +≥是非负数，故而出错.正确答案是223a b +=.通过以上几例错解剖析，提醒同学们在运用一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路解题的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性.要学会反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用.。

一元二次方程解正解或负解的情况的判断例题摘要：一、一元二次方程的基本概念二、一元二次方程的解的判断方法三、正解和负解的情况分析四、例题解析正文：一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。

在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，通常称为根。

二、一元二次方程的解的判断方法要判断一元二次方程的解的情况，需要使用判别式，判别式是Δ=b-4ac。

根据Δ的大小与零的关系，一元二次方程的解的情况可以分为以下三种：1.Δ>0，方程有两个不相等的实数根；2.Δ=0，方程有两个相等的实数根；3.Δ<0，方程没有实数根。

三、正解和负解的情况分析正解是指使方程左右两边相等的未知数的正值，负解则指使方程左右两边相等的未知数的负值。

在一元二次方程中，正解和负解的情况有以下四种：1.两个正解：Δ>0 且a>0；2.两个负解：Δ>0 且a<0；3.一个正解和一个负解：Δ>0 且a>0；4.没有正解和负解：Δ<0。

四、例题解析例：求方程x-3x+2=0 的解的情况。

首先，计算判别式Δ=(-3)-4×1×2=9-8=1。

由于Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。

其次，计算根的值。

根据求根公式，方程的两个根为：x = (3 + √1) / 2 = 2x = (3 - √1) / 2 = 1由于a=1>0，所以方程的两个解都是正数。