一元二次方程的解法例析

一元二次方程的解法总结一元二次方程是代数学中最基本的方程形式之一，求解一元二次方程有多种方法，本文将对几种常见的解法进行总结。

方法一：因式分解法对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，首先需要将其因式分解为两个一次方程的乘积形式。

例如：x^2+5x+6=0可以分解为(x+2)(x+3)=0，然后令每个因式等于零，解得x=-2和x=-3，即为方程的解。

方法二：配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，可以尝试使用配方法。

配方法的基本思路是将方程中的二次项与一次项配对，并进行变量代换。

具体步骤如下：1. 将方程形式为ax^2+bx+c=0，其中a≠0。

2. 将方程两边同时除以a，得到x^2+(b/a)x+(c/a)=0。

3. 将方程右侧的常数项c/a拆分为两个数的乘积，使得这两个数之和等于b/a，即将其配对。

4. 在方程左侧增加与拆分后的两个数相等的数，构成一个完全平方项的形式。

即在x^2+(b/a)x上加上一个常数d/d，使得(x+d)^2=x^2+(b/a)x+d^2。

5. 将方程重新写为扩展后的形式(x+d)^2+d^2=c/a，这就是已经变量代换后的方程。

6. 将方程左侧完全平方项展开，并与方程右侧常数项进行化简，得到新方程x^2+2dx+d^2-d^2=c/a，即x^2+2dx=(c/a-d^2)。

7. 整理方程，得到(x+d)^2-d^2=(c/a-d^2)。

8. 使用平方差公式，将等式左侧进行运算，得到(x+d-d)(x+d+d)=(c/a-d^2)。

9. 化简等式左侧，得到(x+2d)(x)=(c/a-d^2)。

10. 若c/a-d^2≥0，即存在实数解，解方程(x+2d)(x)=(c/a-d^2)，得到x+2d=0或x=c/a-d^2。

11. 解方程x+2d=0，得到x=-2d，然后将其代入方程(x+2d)(x)=c/a-d^2中，求解得到剩下的解。

方法三：求根公式法求根公式是一元二次方程的一种解法，通过使用求根公式，可以直接求得方程的解。

一元二次方程解法例子一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c分别为常数，且a≠0。

解一元二次方程的一般方法是使用求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

下面将列举10个关于一元二次方程解法的例子。

例子1：已知一元二次方程2x^2+3x-4=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=2，b=3，c=-4，可以得到x=(-3±√(3^2-4×2×(-4)))/(2×2)。

进一步计算可得x=(-3±√(9+32))/4，即x=(-3±√41)/4。

因此，该方程的解为x=(-3+√41)/4和x=(-3-√41)/4。

例子2：已知一元二次方程x^2-5x+6=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=1，b=-5，c=6，可以得到x=(-(-5)±√((-5)^2-4×1×6))/(2×1)。

进一步计算可得x=(5±√(25-24))/2，即x=(5±√1)/2。

因此，该方程的解为x=(5+√1)/2和x=(5-√1)/2。

例子3：已知一元二次方程3x^2+5x+2=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=3，b=5，c=2，可以得到x=(-5±√(5^2-4×3×2))/(2×3)。

进一步计算可得x=(-5±√(25-24))/6，即x=(-5±√1)/6。

因此，该方程的解为x=(-5+√1)/6和x=(-5-√1)/6。

例子4：已知一元二次方程2x^2-7x+3=0，求解该方程。

解法：根据一元二次方程的求根公式，代入a=2，b=-7，c=3，可以得到x=(-(-7)±√((-7)^2-4×2×3))/(2×2)。

一元二次解方程方法详解一元二次方程是指只含有一个未知数x，并且x的最高次数为2的方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，且a 不等于0。

解一元二次方程的方法如下：因式分解法如果方程的左边可以因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)的形式，其中a1、a2、b1、b2都是已知数，那么方程的解为x=-b1/a1或x=-b2/a2。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以将其因式分解为(x-1)(x-3)=0，因此方程的解为x=1或x=3。

公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解，其中√表示开方符号。

如果方程的判别式b^2-4ac为正数，则方程有两个实数根；如果判别式为零，则方程有一个重根；如果判别式为负数，则方程无实数根，但可以写成复数的形式。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以使用求根公式来求解，得到x=(4±√16-12)/2=2±1，因此方程的解为x=1或x=3。

完全平方法如果方程的左边可以写成一个完全平方的形式，那么方程的解可以直接得到。

例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以将其写成(x+3)^2=0的形式，因此方程的解为x=-3。

图形法将方程转化为一条抛物线的方程，然后通过图形的交点来求解。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以将其变形为y=x^2-4x+3的形式，这是一条开口朝上的抛物线。

然后在坐标系中画出该抛物线，再找到它与x轴的交点，即y=0时的x坐标，这就是方程的解。

以上是解一元二次方程的常用方法，需要根据具体的题目选择合适的方法进行求解。

数学中解一元二次方程方法
配方法
1.把原方程化为一般形式。

2.方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边。

3.方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

4.把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。

5.进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

因式分解法
因式分解法原理是利用平方和公式（a±b）2=a2±2ab+b2或平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，把公式倒过来用就是了。

例如x2+4=0这个可以利用平方差公式，把4看成22，就是x2+22=> （x-2）（x+2）再分别解出就可以了。

0乘以任何数都得0，（x-2）要是0那么x=2，（x+2）等于0那么x=-2，这样就可以了。

公式法
1.把一元二次方程化为一般式，即ax2+bx+c=0（a不等于0）的形式；
2.确定a、b、c的值，注意连同系数的符号；
3.并计算根的判别式：∆=b2-4ac的值；
4.求方程的解：∆=b2-4ac>0时，将a、b、c及b2-4ac的值代入求根公式，得出方程的根；当∆=b2-4ac＜0时，方程无实数根．。

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

解一元二次方程的方法一元二次方程在初中数学中是一个重要的概念，也是数学学习中的一个难点。

掌握解一元二次方程的方法对学生来说至关重要。

本文将介绍几种解一元二次方程的方法，并通过具体的例子来说明。

一、因式分解法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，我们可以尝试使用因式分解法来解方程。

首先，我们将方程进行因式分解，得到(ax+m)(x+n)=0，其中m和n是待定系数。

然后，根据零乘法，我们得到两个方程ax+m=0和x+n=0。

解这两个方程，即可得到方程的解。

例如，解方程x^2-5x+6=0。

我们可以将方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0。

根据零乘法，我们得到两个方程x-2=0和x-3=0。

解这两个方程，可得到方程的解x=2和x=3。

二、配方法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，我们可以使用配方法来解方程。

首先，我们将方程两边同时乘以一个适当的常数，使得方程的左边可以表示为一个完全平方。

然后，我们将方程进行变形，得到一个平方差的形式。

最后，我们可以通过开平方的方法求解方程。

例如，解方程x^2-6x+8=0。

我们可以通过配方法来解方程。

首先，我们将方程两边同时乘以4，得到4x^2-24x+32=0。

然后，我们将方程进行变形，得到(2x-4)^2-16=0。

最后，我们通过开平方的方法求解方程，得到2x-4=±4。

解这个方程，可得到方程的解x=2和x=6。

三、求根公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a≠0，我们可以使用求根公式法来解方程。

一元二次方程的解可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。

例如，解方程2x^2-5x+2=0。

我们可以使用求根公式法来解方程。

根据求根公式，我们可以得到方程的解x=(5±√(5^2-4*2*2))/(2*2)。

计算得到，方程的解x=1/2和x=2。

综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法、配方法和求根公式法。

一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。

一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。

根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

下面再讲一元二次方程的解法。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。

配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。

公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。

先化为一般形式再用公式。

因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。

方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。

【举例解析】例1：已知，解关于的方程。

分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。

解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。

一元二次方程解法例子一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式以及图像法等。

下面将分别以这些方法为例，详细介绍解一元二次方程的步骤和原理。

一、因式分解法：因式分解法是一种常用的解一元二次方程的方法，适用于方程可以通过因式分解得到的情况。

具体步骤如下：1. 将方程移到一边，使方程等于0。

2. 尝试将方程进行因式分解，将其拆分为两个一次因式的乘积。

3. 令每个一次因式等于0，解出对应的一次方程。

4. 得到方程的解。

例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0：1. 将方程移到一边，得到x^2 - 5x + 6 = 0。

2. 尝试将方程因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

3. 令每个一次因式等于0，解出x - 2 = 0和x - 3 = 0，得到x = 2和x = 3。

4. 方程的解为x = 2和x = 3。

二、配方法：配方法是解一元二次方程的另一种常用方法，适用于方程无法通过因式分解得到的情况。

具体步骤如下：1. 将方程移到一边，使方程等于0。

2. 通过添加或减去一个适当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。

3. 对得到的完全平方进行求根运算，得到方程的解。

例如，解方程2x^2 + 7x - 3 = 0：1. 将方程移到一边，得到2x^2 + 7x - 3 = 0。

2. 通过添加或减去一个适当的常数，将方程转化为一个完全平方的形式。

这里可以通过添加3/2来转化方程，得到2x^2 + 7x + 3/2 - 3 - 3/2 = 0，化简得到2x^2 + 7x - 3/2 = (x + 3/2)^2 - 25/4 = 0。

3. 对得到的完全平方进行求根运算，得到x + 3/2 = ±√(25/4)，即x + 3/2 = ±5/2，解得x = -3/2 ± 5/2，即x = -4或x = 1/2。

解一元二次方程的四种不同方式
一元二次方程是一个常见的数学问题，可以通过四种不同的方式来解决。

下面将详细介绍这四种方法。

1. 因式分解法
对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程，如果能够将其因式分解为 $(px + q)(rx + s) = 0$ 的形式，那么方程的解即为 $x = -\frac{q}{p}$ 或 $x = -\frac{s}{r}$。

这种方法适用于方程能够进行因式分解的情况。

2. 公式法
一元二次方程有一个通用的求解公式：$x = \frac{-b \pm
\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

其中，$\pm$ 表示两个不同的解。

通过将方程中的系数代入公式，可以分别得到方程的两个解。

3. 完全平方数法
对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程，如果能够将其
表示为完全平方的形式，即 $(mx + n)^2 = 0$，那么方程的解即为
$x = -\frac{n}{m}$。

通过将方程进行完全平方等式的转化，可以简
化求解过程。

4. 图像法
一元二次方程对应于图像上的一个抛物线。

通过观察方程在坐
标系上的图像特征，可以大致估计方程的根的范围，然后使用迭代
等方法逐步逼近根的具体值。

这种方法需要对图像特征有一定的了解，适用于无法直接求解的情况。

以上是解一元二次方程的四种不同方式。

根据具体的问题情况，选择合适的方法可以更高效地解决方程。

一元二次方程四种解法例题一元二次方程是我们学习高中数学课程中的重要内容，解一元二次方程是解决实际问题和数学推理的基础。

本文将介绍一元二次方程的四种解法，通过例题来演示每种解法的具体步骤和思路。

一、配方法解一元二次方程配方法是一种常见且基础的解一元二次方程的方法。

这种方法的核心思想是将方程化简为一个完全平方的差或和的形式。

下面通过一个例题来说明配方法的具体过程。

例题：解方程x^2+6x+8=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=6，c=8。

Step 2: 将方程化简为完全平方的差在这个例题中，我们需要找到两个数m和n，使得x^2+6x+8能够表示为(x+m)^2+n的形式。

通过观察和试验，我们可以得到(x+2)^2-4的形式。

Step 3: 利用完全平方的差公式进行化简将方程x^2+6x+8=x^2+4x+4-4化简为(x+2)^2-4=0。

Step 4: 得到方程的解因此，方程的解为(x+2)^2=4，解得x+2=±2，即x=-4和x=0。

通过配方法解决问题，我们得到了方程x^2+6x+8=0的解为x=-4和x=0。

二、因式分解解一元二次方程因式分解是一种常用的解一元二次方程的方法，通过分解方程的左边和右边为两个因式相乘的形式，进而解得方程。

下面通过一个例题来说明因式分解的具体过程。

例题：解方程x^2-5x=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=1，b=-5。

Step 2: 因式分解方程将方程x^2-5x=0因式分解为x(x-5)=0。

Step 3: 得到方程的解因此，方程的解为x=0和x=5。

通过因式分解解决问题，我们得到了方程x^2-5x=0的解为x=0和x=5。

三、完成平方解一元二次方程完成平方是一种常用的解一元二次方程的方法，通过将方程两边进行平方，消去符号，进而解得方程。

下面通过一个例题来说明完成平方的具体过程。

例题：解方程3x^2-4x+1=0解法：Step 1: 观察方程，确定a、b、c的值方程中a=3，b=-4，c=1。

一元二次方程的解法及韦达定理编号： 撰写人： 审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程： x 2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x 2=a 的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。

②如果例1例2例32 例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x 1=2b a -+，x 2=2b a-- 注意点：① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

② 解题步骤要规范。

例:解方程：x 2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例例5那就可以6x 1(1) 当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。

(2) 当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。

(3) 当∆<0的时候，方程没有实数根。

没有实数根与没有根是两个不同的概念。

判别式的运用：（1）求方程系数的取值范围。

例：已知方程ax 2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a 的取值范围。

（2）求最大值最小值的问题。

例1：求2236x y x x +=++的最大值和最小值。

例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a 、b 为何值时，ab 取得最大值。

三、韦达定理对于方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：x1x2那么就有：x1+x2=ba-,x1x2=ca.除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：（1）|x1-x2|=a （2）11x+21x=ab-(3)11x21x=ac注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。

一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

掌握一元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。

一、解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解决。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。

因此，方程的解为x = -2或者x = -3。

二、解法二：配方法如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。

然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。

三、解法三：求根公式如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求根公式。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

其中，a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。

进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。

因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。

四、解法四：图像法除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。

通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。

一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一)一元二次方程的一般形式：()002≠=++a c bx ax 其中c b a ,,为常数，x 为未知数。

根的判别式：ac b 42-=∆ 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 0<∆时，方程①无实根；0=∆时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；ab x 2-= 0>∆时，方程①有两个不相等的实根。

aacb b x 2422,1-±-=（二）二次函数的一般形式：形如()a b ac a b a y a c bx ax y 442x 0222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==≠++= 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。

顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b P 44,22，其中直线a bx 2-=为对称轴，1、（1）0<a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2在abx 2-=取到最大值，即ab ac y 442max-=，对任意a b ac y R x 44,2-≤∈.（2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2在abx 2-=取到最小值，即ab ac y 442min-=，对任意a b ac y R x 44,2-≥∈.2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断：0<∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；0=∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。

3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、∆.（三）一元二次不等式的概念：形如()002≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2与0的不等号可以是><≥≤,，，或≠.（四）三个两次之间的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的解法【方法一】求根公式法步骤：①计算∆；②若0<∆，则方程无实根；若0≥∆，利用求根公式aacb b x 2422,1-±-=. 【例1】求解下列方程.（1）0442=-+x x （2）0122=-+x x【练习】解下列方程.（1）03522=-+x x （2）862=-x x【方法二】十字相乘法利用十字相乘法求解方程()002≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥∆，也就是保证方程()002≠=++a c bx ax 必须有实根.十字分解依据：对于方程()002≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。

一元二次方程的4种解法一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。

其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法。

1. 直接开平方法解决此类问题的关键在于观察一元二次方程等号是否可以直接开平方，若可以先移项，再两边开平方即可例：一元二次方程 x²-36=0解法：x²-36=0x²=36x=±42. 因式分解法把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

提公因式法几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数。

字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式例：用因式分解法解方程y2＋7y＋6＝0；方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0；y＋1＝0或y＋6＝0；∴y1＝-1，y2＝-6。

3. 配方法在基本代数中，配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。

一元二次方程的解法一元二次方程是代数学中非常重要的一种方程形式，它的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

解一元二次方程主要有四种方法：因式分解法、配方法、求根公式法和完成平方法。

本文将详细介绍这四种解法，并给出解题示例。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法求解。

即将方程两边进行因式分解，使得等式左右两边之积等于零，从而得到方程的解。

例如，我们有一个一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0。

通过因式分解，我们可以将该方程转化为(x + 2)(x + 3) = 0。

由于两个因式的乘积等于零，所以可以得到x + 2 = 0或x + 3 = 0。

进一步求解可得x = -2或x = -3，这就是方程的解。

二、配方法有些一元二次方程无法直接进行因式分解，此时可以利用配方法将方程转化为可进行因式分解的形式。

配方法的具体步骤如下：1. 将方程的常数项c进行负号提取：ax^2 + bx - c = 0；2. 将方程中的b项进行二次项的一半的平方操作，得到(b/2)^2，然后加减到方程的两边；3. 将方程进行因式分解。

例如，我们有一个一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

按照配方法进行求解：1. 提取常数项的负号，得到2x^2 + 5x + 3 = 0；2. 二次项的一半是5/2，其平方是(5/2)^2 = 6.25。

加减到方程两边得到2x^2 + 5x + 6.25 - 6.25 + 3 = 0；3. 将方程进行因式分解，得到(2x + 3.5)^2 - 2.25 = 0。

再进行开方，得到2x + 3.5 = ±√2.25。

最后解得x = -3.5 ± √2.25的解。

三、求根公式法求根公式法也是一元二次方程解法的一种常用方法，它是利用一元二次方程的根与方程系数之间的关系来求解方程。

根据求根公式，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)例如，我们有一个一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。

解一元二次方程公式法例题讲解及练习解一元二次方程公式法习题讲解及练习判别一元二次方程根的情况教学内容用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．教学目标掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，?分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点：b2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0?一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac 的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．（1）2x2-3x=0 （2）3x2x+1=0 （3）4x2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b 2-4ac=9>0，?有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=│-4×4×1│=<0，?方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题，我们已经知道b 2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=2b a-±，当b 2-4ac>0于一个具体数，所以一元一次方程的x 1x 1，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，?，所以x 1=x 2=2b a -，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）?有两个不相等实数根即x 1x 2 （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-．（3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0（3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac 的值大于0、小于0、等于0?的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以，方程没有实数根．（2）a=9，b=6，c=1，b2-4ac=36-36=0，∴方程有两个相等的实数根．（3）a=2，b=-9，c=8b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:=0（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-34=0（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+116=0 （6）4x2-6x=0（5）x2x-14（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3a∴所求不等式的解集为x<-3a五、归纳小结本节课应掌握：b2-4ac>0?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解C．∵b2-4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）?=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-（2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根3．有两个不等实根三、1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．（2）b2，没有实根．2．∵c<0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，?∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．（1+x）2=720000000，4．设平均增长率为x，400000008%即50（1+x）2=72 解得x=20%，∴年销售总额的平均增长率是20%．。

一元二次方程解法归纳总结一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程基于求根公式，通过代入已知数值并进行计算，可以得到方程的解。

本文将对一元二次方程的解法进行归纳总结，并以示例来说明每种解法的具体步骤。

一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解时，可以利用因式分解的性质来解方程。

具体步骤如下：1. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式；2. 设方程两边分别等于0，并利用因式分解的性质，将方程的左侧分解为两个因子的乘积；3. 令每个因子分别等于0，解得每个因子的解，即得到方程的解。

例如，考虑方程：x^2 - 5x + 6 = 01. 将方程的左侧化简为一个完全平方的形式：(x - 2)(x - 3) = 02. 令每个因子分别等于0：x - 2 = 0 或者 x - 3 = 03. 解得x的值：x = 2 或者 x = 3所以，方程的解为x = 2或者x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法通过因式分解来解时，可以使用配方法（也称为“加法配平法”）来解方程。

具体步骤如下：1. 将方程化为一个可完全平方的形式，即将方程的左侧表示为完全平方的平方差形式；2. 根据配方法的原则，将方程的右侧与左侧进行配平，使得方程两侧相等；3. 对方程两侧进行化简，得到一个可求解的简化方程；4. 解简化方程，即可得到原方程的解。

例如，考虑方程：x^2 - 6x + 9 = 41. 将方程化为一个完全平方的形式：(x - 3)^2 = 42. 配方法的原则是：对方程的右侧加上一个适当的数，使得方程两侧相等。

在本例中，我们需要加上5。

所以，将方程两侧加上5：(x - 3)^2 + 5 = 4 + 53. 化简得到简化方程：(x - 3)^2 + 5 = 94. 解简化方程：(x - 3)^2 = 4由于平方的结果是4，所以x - 3 = ±2解得x的值：x = 3 ± 2所以，方程的解为x = 1或者x = 5。