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高中数学数列中的恒成立
恒成立问题，我们经常看到的是出现在函数中，导数中，一类重点题型，我们通常使用的方法是“参变分离”，“分类讨论”，其实恒成立在数列中同样存在恒成立，使用的方法大同小异，今天我们一起走进数列中的恒成立。
1
利用数列的单调性求解恒成立
2
参变分离法
3
函数与数列的结合（难点题型）
此类问题一般是先利用导数证明一个不等式，再通过赋值与叠加证明数列不等式。
同学们，数列中的恒成立问题同样殊途同归，方法同函数中的问题一致，所以学会类比推论！
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恒成立问题基本题型及解题方法恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。
如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规解题方法。
一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时min )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， min )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m i n )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题 例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。
微专题8 数列中的恒成立问题
问题背景
恒成立问题是高考中的热点问题，在函数中出现得较多，而数列是一种特殊的函数，解决问题的很多方法与函数相似，在近几年的各地高考试题中，以数列为载体的恒成立问题，立意更高，综合性更强，值得我们去研究和关注.
高考命题方向：
1.利用函数及不等式研究最值；
2.利用单调性（作差、作商）研究最值.
思维模型
说明：
1.解决方案及流程
①求数列的通项公式，可用公式法转化成等差或等比数列求通项，有时可用方程组方法转化成研究递推关系，直接求不出通项公式时，可以退一步先研究n S 再求n a ；
②分离变量，将问题转化成()a f n ≥恒成立()max a f n ⇒≥或()a f n ≤恒成立
()min a f n ⇒≤；
③利用单调性（导数、性质、作差、作商、夹逼法）或不等式等方法求数列的最值；所谓导数法即转化成研究对应的函数，或根据数列单调性的定义利用作差、作商法转换成与0和1的比较，或用夹逼法11,,k k k k a a a a +-≥⎧⎨≥⎩或11,,
k k k k a a a a +-≤⎧⎨≤⎩求出最值；
④转化成解不等式问题或方程问题（等式恒成立问题要注意等式两边的和谐统一）.
2.失误与防范
①注意定义域；数列是一种特殊的函数 ，定义域是自然数集或它的子集；
②利用单调性作差时注意项数的变化，从n 变化至1n +注意增加和减少的项数； ③注意求最值时等号能否取得（比如n 若是偶数，从2n =开始等，做完后对端点进行检验）；
④解不等式时遗漏讨论，（比如公比为1的讨论()1n
-的n 的奇偶性的讨论）.
问题解决
一、典型例题 在正数数列{}()*
n a n N ∈中，n S 为{}n a 的前n 项和，若点(),n n a S 在函数21c x y c -=-的图象上，其中c 为正常数，且1c ≠
.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，
13521101n a a a a a -⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；
（3）若存在一个等差数列{}n b ，对任意*n N ∈都有12132n n n b a b a b a --+++⋅⋅⋅+
1215313
n n n b a b a n -+=--成立，求{}n b 的通项公式及c 的值. 二、自主探究
1.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：11a =，()()*11131n n n n n n
a S S a n N a λ+++=++∈. （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若112
n n a a +<，对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围. 2.已知数列{}n a 满足()2*1211,3,322,n n n a x a x S S S n n n N +-==++=+≥∈，且{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若数列{}n a 为等差数列，求数列的通项n a ；
（2）若对任意*1,n n n N a a +∈<恒成立，求实数x 的取值范围.。
