2019-2020学年高三数学 数列中的等式恒成立问题公开课复习学案.doc

不等式的恒成立一.什么叫不等式的恒成立？这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。

关于X的不等式f(x) $0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。

常见的有:(1)x2 > 0,XG 7?;(2)tz x > 0,XG R;(3)A/X>0,X>0等等。

其形式与函数的最值关系如下：1. /(X)> m对V X e D 恒成立u> f (x)min > m -2. / ( A-) < m 对V x e D恒成立o /(.r)mas < m变形方法：分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。

其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方练习：1.下列哪些关系是恒成立的？(1)xe R时x2— 6x +10 > 0 ,(2)3x<0 时,2' < 1(3)当x > 1 吋log“ x > 0 (a > 0,a 工1)(4)若f(x) = x + log2 % 对任意的 %, > %2 > 0,都有/(xj > f(x2) o例题一：1.已知函数f(x) = x2 + 2x-3 ,求证当xw (-oo5-2］吋，f(x)的最小值为f(-2)；说明 /(%) > /(—2)是否恒成立？2.对XG ［-1,3］,不等式X2+2X+1 > P恒成立.求P的取值范变式：对xw 不等式x2+px+l > 0恒成立.求p的取值范例题二：1.当xe ［1,2］吋，不等式ax-2 > 0恒成立.求a的取值范围。

变式：若函数/(x) = y/2x-m在区间［l,+oo)上有意义，求常数m的取值范围。

思考：变式与“ f(x) = yjlx-m的定义域为［1,+8),求常数m的取值”有什么不同？2..己知函数y = x ——x(1)判断函数在xw (0 + 8)上的单调性。

数列中的恒成立问题【常用方法和策略】：数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n 的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．【课前预习】：1. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，11a =，公差0d ≠，若对任意正整数n ，前n 项的和与前3n 项的和之比为同一个常数，则数列{}n a 的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，(1)2n n n d S n -=+，33(31)32n n n dS n -=+，设3n n S t S =为常数，则2963dn d tdn t td +-=+-对*n N ∀∈恒成立，所以9263td d d t td =⎧⎨-=-⎩，由于0d ≠，解得219d t =⎧⎪⎨=⎪⎩故21n a n =-2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ．【解析】根据2n n a S An Bn C +=++及等差数列的性质，可设S n =An 2+Dn ，则a n =（B －D ）n+C ，则有a 1=B －D+C ，由等差数列的求和公式可得S n =2)(1n a a n +=2D B -n 2+22CD B +-n=An 2+Dn ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-DCD B A DB 222，消去参数D 并整理可得B －C=3A ，故A 1+B －C=A 1+3A ≥2A A 31⋅=23，当且仅当A1=3A ，即A=33时等号成立．3. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22212n n S a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为________．【解析】设数列{a n }的公差是d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋n （n －1）2d.由题意[a 1＋(n －1)d]2＋⎝⎛⎭⎫a 1＋n －12d 2≥m a 21对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N *恒成立． ① 若a 1＝0，上式显然恒成立；② 若a 1≠0，则⎣⎡⎦⎤1＋（n －1）d a 12＋⎣⎡⎦⎤1＋（n －1）d 2a 12≥m 对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N *恒成立．令（n －1）d 2a 1＝t ，则(1＋2t)2＋(1＋t)2≥m 对任意的实数t 恒成立．而(1＋2t)2＋(1＋t)2＝5t 2＋6t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋15，所以t ＝－35时(1＋2t)2＋(1＋t)2取最小值，所以m ≤15.综上所述，m 的最大值为15.【典型例题】：例题1 设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在f (n )=a n 2+b n+c （a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式． 【解析】(1)证明：设数列{ a n + f (n ) }的公比为q ，则：a n+1+f (n+1)=q(a n +f (n )), 而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221 c b bn a na an n n a n +++++++-+=214222()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==c b a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0212c b a q ．∴存在f (n )=n 2-2n ，数列{ a n + f (n ) }成公比为2的等比数列．又a 1+f (1)=3+1-2=2，所以a n +f (n)=2⋅2n -1=2n ．所以a n =2n - f (n)= 2n - n 2+2n ．.………………（8分） (2) ∵a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，可设Bn An a n +=2，则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221．又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1142222+-++=n n Bn An ()()142122+-++=n B n A ．由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=142212B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=，所以11=a ．所以当2≥n 时，()()[]1212221-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．.………………（16分）例题2已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是公差为d )0(>d 的等差数列，且也是公差为d 的等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 对任意m n ∈*N ，，且m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-，求证： 数列{}n a 是等差数列．【解析】（1）设n b =n S b n n +=2，当321，，=n 时，2111=1b S n a =++，① 2121()222b d S a d +=+=++，②2131(2)3333b d S a d +=+=++， ③ 联立①②③消去1a ，得2211()2b d b d +=+ ④ 2211(2)33b d b d +=+ ⑤ ④3⨯-⑤得：221120b b d d -+=，则1b d =，⑥ 将⑥代入⑤解出12d =（=0d 舍去），………………………………………………… 2分从而解得134a =-，所以1524n a n =-. ……………………………………………… 4分此时，12n b n =对于任意正整数n 满足题意. …………………………… 6分（2）因为对任意,m n ∈*N ，m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-， ① 在①中取1m n =+，2111122211n n n n n n S a aa a a n ++++-=++=+， ② ……………………… 8分 同理212121212422133n n n n n n n S a a a a a a n ++-+-+--+=++=+，③…………………………………10分 由②③知，2114223n n n a a a +-++=,即211230n n n a a a ++--+=， 即211112(2)2n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-，…………………………………………… 12分②中令1n =，31220a a a +-=，从而2120n n n a a a +++-=，即211n n n n a a a a +++-=-，………………………………… 14分 所以，数列{}n a 成等差数列. ………………………………………………………… 16分例题3已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap， 从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p n －2 (n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解； 若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23， 此时a k ＋1＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k ＋1， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1， 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1.②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎡1－⎝⎛⎭⎫12k ]，因为403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.例题4 已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．法2：因为 ①对任意的恒成立则（） ②①②得，又，也符合上式，所以2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+n *∈N 1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+2n ≥-12(2)n n n a b n n +=⋅≥114a b =12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+，因为{}n b 为等比数列，则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数）， 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==． 又12a =，所以2k =，故2,2nn n a n b ==．（Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设nb =1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且1211n n n b b ++=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增． 假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n*∈N 都成立，则 ①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()nb b λ-<==λ>．综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件．（Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)05300c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，05353d ∴<-<， 531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【评注】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，先研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．【课后巩固】：1. 设数列{}的前n 项和为Sn ，且，若对任意，都有，则实数p 的取值范围是 【答案】，因此，因为n a 114()2n n a -=+-*n N ∈1(4)3n p S n ≤-≤______.[2,3]131(4)32121(1)(1)3232n n n p S n p ≤-≤⇒≤≤++max min13[][]2121(1)(1)3232n n p ≤≤++，所以，综上实数p 的取值范围是2. 设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________.【答案】364【解析】设,n m a a (m n)≠设等差数列{}n a 中的任意两项，由已知得，53(n 1)n a d =+-，53(1)m a m d =+-，则523(2)m n a a m n d +=⨯++-，设m n a a +是数列{}n a 中的第k 项，则有53(1)m n a a k d +=+-，即5523(2)3(1)m n d k d ⨯++-=+-，531d m n k =-+--，故d 的所有可能取值为23451,3,3,3,3,3，其和为61336413-=-．3. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足2+1=4+43n n a S n -，且恰好是等比数列的前三项．⑴ 求数列、的通项公式；⑵ 记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）2+1=4+43n n a S n -，∴当时，()21=4+413n n a S n ---，()22+11=44=44n n n n n a a S S a -∴--++，()222+1442n n n n a a a a ∴=++=+， 0n a >恒成立，+12,2n n a a n ∴=+≥，∴ 当时，是公差的等差数列. ………………3分构成等比数列，，，解得，…………5分∴当时，()32221n a n n =+-=-，由条件可知，221=4+43a a -，12a ∴=………………6分min max 133113[]3,[]21212122(1)(1)(1)3232323n n ==>=+++332p ≤≤[2,3]{}n a n n S 2514,,a a a {}n b {}n a {}n b {}n b n n T *n N ∈3()362n T k n +≥-k 2n ≥2n ≥{}n a 2d =2514,,a a a 25214a a a ∴=⋅()()2222824a a a +=⋅+23a =2n ≥数列的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.………………8分，123,9b b ∴==，∴数列的通项公式为………………9分(2) ， 对恒成立， 即对恒成立，……………… 11分 令，， 当时，，当时，………………13分，．…………16分4. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ． （1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4． 所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4． 两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2． 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)， 从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*． 显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，∴{}n a {}n b 3nn b =11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--1333()3622n k n +-∴+≥-*n N ∈243nn k -∴≥*n N ∈243n n n c -=1124262(27)333n n n n nn n n c c -------=-=3n ≤1n n c c ->4n ≥1n n c c -<max 32()27n c c ∴==227k ≥因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*． 显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ． 若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0． R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0． 这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ． 从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1． 即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分5. 已知数列{}n a 满足1a m =，*12,21(,),2n n n a n k a k N r R a r n k+=-⎧=∈∈⎨+=⎩，其前n 项和为n S .（1）当m 与r 满足什么关系时，对任意的*n N ∈，数列{}n a 都满足2n n a a +=？（2）对任意实数,m r ，是否存在实数p 与q ，使得{}2+1n a p +与{}2n a q +是同一个等比数列？若存在，请求出,p q 满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）当1m r ==时，若对任意的*n N ∈，都有n n S a λ≥，求实数λ的最大值.解：（1）由题意，得1a m =，2122a a m ==，322a a r m r =+=+，首先由31a a =，得0m r +=. ……………2分当0m r +=时，因为*12,21(),2n n n a n k a k N a m n k+=-⎧=∈⎨-=⎩， 所以13a a m ==⋅⋅⋅=，242a a m ==⋅⋅⋅=，故对任意的*n N ∈，数列{}n a 都满足2n n a a +=.即当实数,m r 满足0m r +=时，题意成立. ……………4分（2）依题意，21221=2n n n a a r a r +-=++，则2121=2()n n a r a r +-++，因为1=a r m r ++，所以当0m r +≠时，{}21n a r ++是等比数列，且211=()2()2n n n a r a r m r +++=+.为使{}21n a p ++是等比数列，则p r =.同理，当0m r +≠时，22=()2n n a r m r ++，则欲{}22n a r +是等比数列，则2q r =. …………8分综上所述：①若0m r +=，则不存在实数,p q ，使得{}21n a p ++与{}2n a q +是等比数列；②若0m r +≠，则当,p q 满足22q p r ==时，{}21n a p ++与{}2n a q +是同一个等比数列. …10分（3）当1m r ==时，由（2）可得2121n n a -=-，12=22n n a +-，当2n k =时，12=22k n k a a +=-，1223112(22+2)(22+2)3=322)k k k n k S S k k ++==+++++---……（， 所以n n S a =31(1)22k k +--， 令122k k kc +=-，则1121211(1)2202222(22)(22)k k k k k k k k k k c c +++++++---=-=<----， 所以32n n S a ≥，32λ≤， ……………13分 当21n k =-时，21=21k n k a a -=-，11222322)(22)234k k k n k k S S a k k +++=-=----=--（， 所以3421n k n S k a =--，同理可得1n n S a ≥，1λ≤， 综上所述，实数λ的最大值为1. ……………16分。

2019-2020学年高考数学一轮复习 等差及等比数列的基本问题导学案一、知识梳理教学重、难点三、作业完成情典题探究例1．在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+,设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列．例2． 已知等差数列}{n a 中，1042=+a a ，95=a ，数列}{n b 中，11a b =，n n n a b b +=+1． （I ）求数列}{n a 的通项公式，写出它的前n 项和n S ； （II ）求数列}{n b 的通项公式； （III ）若12+⋅=n n n a a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．例3．在等差数列115,3,2,,22----的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．例4.等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1, a n +1=n +2n×S n (n ÎN *)．证明：(1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 ．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．52 ．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（ ） A ．130B ．120C ．55D ．504 ．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ，则10S （ ）A ．55B ．81C ．90D ．1005 ．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n an ，若{}n a 是递减数列，则实数a的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 6 ．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．37 ．已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A ．16B ．8C ．22D ．48 ．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______． 10．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．B 档（提升精练）1．已知等差数列b a ,,1,等比数列5,2,3++b a ,则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-2．对于函数)(x f y =,部分x 与y 的对应关系如下表:x12 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ,且对任意*n ∈N ,点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上,则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（ ）A ．9394B ．9380C ．9396D ．94003．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,3420a a +=,则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．等差数列{}n a 中,2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ．21D ．275．在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．646．设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且10a >.若232S a >,则q 的取值范围是（ ）A ．1(1,0)(0,)2- B.1(,0)(0,1)2- C ．1(,1)(,)2-∞-+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞7．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ,则10S （ ）A ．55B ．81C ．90D ．1008．设集合M 是R 的子集,如果点0x ∈R 满足:00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<,称0x 为集合M的聚点.则下列集合中以0为聚点的有:①{|}1nn n ∈+N ; ②{|,0}x x x ∈≠R ; ③*2{|}n n ∈N ; ④Z （ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①③④9．在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1610．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．3C 档（跨越导练）1．在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++等于 ．2.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .4．数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 （ ）A. 152B.516C.516-D.52-6．已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．7.在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．8.设数列}{n a 的首项211-=a ，前n 项和为n S ，且对任意*,N m n ∈都有)53()53(--=m m n n S S mn ，数列}{n a 中的部分项∈k a k b }({N *）成等比数列，且.4,221==b b (Ⅰ) 求数列｝与｛n n b a }{与的通项公式;（Ⅱ）令11)(+=n b n f ，并用x 代替n 得函数)(x f ，设)(x f 的定义域为R ,记))((...)2()1()0(*N n n n f n f n f f c n ∈++++=,求∑=+ni i i c c 111.9. 数列{n a }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=(1)求数列的通项公式； (2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．10．已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：等差及等比数列的综合问题答案典题探究例1解析： 1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+，∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．例2解析：（I ）设d n a a n )1(1-+=，由题意得11=a ，2=d ，所以12-=n a n ，212)1(n d n n na S n =-+=；（II ）111==a b ，121-+=+=+n b a b b n n n n ，所以112+=b b ，313123++=+=b b b ，22)1(1)32(21221+-=-+=-++++=n n n n b b n (2≥n )又1=n 时12122a n n ==+-， 所以数列}{n b 的通项222+-=n n b n ；（III ）121121)12)(12(221+--=+-=⋅=+n n n n a a c n n n)121121()5131()3111(21+--++-+-=+++=n n c c c T n n1221211+=+-=n nn例3解析：原数列的公差133(5)22d =---=，所以新数列的公差13'24d d ==，其通项为：a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n例4解(1)S n +1n +1S n n=nS n +1(n +1)S n =n (S n +a n +1)(n +1)S n =n (S n +n +2n S n )(n +1)S n =n (1+n +2n )n +1=2n +2n +1=2 所以数列{S nn}是等比数列．(2)由(1)得S nn=S 1×2n -1=2n -1， 所以S n =n ×2n -1,所以S n +1=(n +1)×2n 又a n =n +1n -1S n -1=n +1n -1×(n -1)×2n -2=(n +1)×2n -2=14(n +1)×2n =14S n +1， 所以S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 答案 B 2.答案 B 3. 答案C 4. 答案 D 5. 答案D6. 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C. 7. 【答案】D【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。

授课内容 函数恒成立问题知识梳理【知识点梳理】在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 一、函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

因此也成为历年高考的一个热点。

二、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切专题精讲【知识点梳理】一、恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

2021年高考数学专题恒成立问题复习教学案（无答案）一、教材分析：本节课主要内容是继一元二次不等式及其解法之后的一个拓展和补充，同时也是对研究函数和不等式的一个渗透。

通过引入中求两个不等式的解集问题，引出我们这节课的主题一：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理。

通过例1让学生直观了解一元二次不等式恒成立所需的条件；再通过例2让学生理解不等式恒成立所需条件；最后通过例3让学生深入理解一元二次不等式恒成立所需条件，以及通过此道题的解法的繁琐性让学生探索是否还有其它方法，从而引出本节课主题二：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理。

三个例题，由浅入深，层层递进，即学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想。

二、学情分析：本节课的教学对象是高一学生，学生的基本情况是：已经熟练掌握一元二次不等式的解法，能利用图象解决较简单的方程和不等式问题，但对含参的一元二次不等式、恒成立问题缺少办法，主要表现在题意的理解以及合理的等价转化，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式。

三、教学分析：教学目标：1.理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；2.掌握一元二次不等式的恒成立问题的等价转化；3.通过用不等式、函数、方程表述数量关系的过程，体会模型思想、建立分类讨论意识以及数形结合观点和普遍联系的辨证观；4. 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

教学重难点：重点：一元二次不等式中的恒成立问题的等价转化。

难点：含参不等式的讨论和恒成立问题的正确有效等价转化。

教学策略：在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采取探究式教学方法，即“问题驱动——小组讨论——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合。

《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。

（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。

（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。

二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。

三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。

四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。

五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。

如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。

12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。

212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。

25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。

恒成立问题的解题策略恒成立问题是高考的一种重要题型，涉及到函数、不等式、数列、解析几何等知识。

函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中都隐含着恒成立的要求，恒成立问题渗透着特殊与一般、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法。

这类题型的考查，有利于考查学生的灵活性、创造性和综合解题能力。

一、 构造一次函数例1 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2+ px > 4x + p - 3恒成立，求x 取值范围。

解: x 2+ px > 4x + p - 3恒成立⇒ p(x -1)+ x 2- 4x +3 >0恒成立令2() p(x-1)+ x - 4x +3f p =, ()f p 是关于p 的一次函数.当0≤p ≤4时2() p(x-1)+ x - 4x +3>0f p =恒成立 只须221>3(0) x - 4x +3>01>1(4) x - 1>0x x f x x f <⎧=⎧⇒⇒⎨⎨<-=⎩⎩或或x <-1或x >3 练习1-1 对任意的[1,1],a ∈-函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总大于0，则x 的取值范围是x <1或x >3二、 构造二次函数例2 已知函数y=)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

提示：实际上是21016ax x a -+>对一切x R ∈恒成立， 0a =时，21016ax x a x -+=->不恒成立, ∴0a =不合题意,舍去. 0a ≠时，抛物线的开口向上，恒在x 轴上方。

2021104a a a >⎧⎪∴⇒>⎨∆=-<⎪⎩ ∴实数a 的取值范围为(2,+∞)练习2-1 已知函数f(x)=222x kx -+,当x 1≥-时，恒有f(x)k ≥，求实数k 的取值范围。

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． （0，1）四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高中数学恒成立新学历案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容《专题：不等式恒成立》学历案【课标要求】（设计意图：了解课标要求，把握探究深度，教师课堂点到即可.）能够用求最值的方法解决恒成立问题，体会转化和化归及数形结合思想的应用.【学习目标】（设计意图：让学生学有目标，听有方向，真正发挥学生在学习中的主体作用,时间设定：2分钟.）1.通过探究一，会解决二次函数型的恒成立问题(熟练二次函数求最值).2.通过探究二，能够用求导的方法解决恒成立问题.3.通过探究三，能够利用图形计算器帮助解决恒成立问题，体会数形结合的思想.【评价任务】（设计意图：学以致用，检测学习成果，力争目标当堂完成，体现教学评一致性.）1.通过探究一总结的规律方法完成变式1.2.通过探究二及变式2能规范做题步骤.3.通过探究三能利用数形结合的方法完成变式3.【学习过程】(设计意图：按照学习的渐进难易程度设计各个环节，包括导入、探究、检测、小结、作业、反馈.时间设定：38分钟)一、资源与建议：本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-选修（4-5）》人教A版）不等式的专题内容。

主要内容是二次函数的恒成立问题以及利用求导的方法解决恒成立问题。

解决不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用。

同时，对于高三的学生，已经有转化化归与数形结合的初步能力，也以函数、数形结合、转化回归等知识思想和综合运用有一定的基础，但对知识的综合整合有一定的畏难心理，教师在教学中切记盲目拔高，重点关注学生的学习过程。

二、课前预习(设计方案：1.学生课前自学预习2.老师提问检测.时间设定：2分钟)（一）最值定义：1.最大值：一般地，设函数的定义域为,如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有（2）存在,使得，则称为的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为,如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有（2）存在,使得，则称为的最小值.（二）常用的求函数最值的一般方法：（三）恒成立问题：1. 恒成立恒成立2. 数形结合方法：恒成立恒成立三、课中合作探究（设计意图：分类探究，归纳总结.教师主导，学生主体，互动探究.时间设定：36分钟）探究1：（设计方案：1.小组合作探究 2.各小组讨论、总结 3.小组展示成果 4.竞争小组点评 5.老师总结点评时间设定：12分钟）例1 已知函数（1）对于恒成立，求的取值范围.（2）对于恒成立，求的取值范围.（3）对任意恒成立，求的取值范围.（设计方案：1.小组合作探究 2.各小组讨论、总结 3.小组展示成果 4.竞争小组点评 5.老师总结点评时间设定：6分钟）变式1：(1)若函数的定义域是，则实数的取值范围是(2)对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是(3)对任意，不等式恒成立，求的取值范围.（设计意图：本变式与例题中的类型一一对应，要求学生独立完成，巩固新知）（设计方案：学生独立完成，老师点评时间设定：4分钟）规律总结：（设计方案：学生总结，竞争小组补充，老师点评并且过渡时间设定：2分钟）解决二次函数型恒成立问题的方法：探究2：（设计方案：1.小组合作探究 2.各小组讨论 3.积极小组代表上台板书展示例2和变式24.竞争小组点评5.老师总结点评时间设定：9分钟）例2 已知函数，若，求的取值范围.设计方案：（8分钟）学生讨论（1分钟）学生上台板书展示（变式2同时进行 4分钟）同组学生点评补充，竞争小组评价（1分钟）老师修改板书，规范做题步骤（2分钟）变式2：（小组代表展示与例2同时进行）讨论函数的单调区间若函数在处取得极值，对任意，都有恒成立，求的取值范围.（设计意图：本变式与例题中的类型一一对应，要求学生独立完成，巩固新知）设计方案：（8分钟）学生讨论（1分钟）学生上台板书展示（变式2同时进行 4分钟）同组学生点评补充，竞争小组评价（1分钟）老师修改板书，规范做题步骤（2分钟）规律总结：（设计方案：学生总结，竞争小组补充，老师点评.时间设定：1分钟）探究3 （设计方案：1.小组合作探究 2.各小组利用图形计算器实验操作、讨论、总结 3.小组展示成果 4.竞争小组展示不同方法 5.老师总结点评时间设定：13分钟）例3 设，，若恒有成立，求实数的取值范围.设计方案：（8分钟）1.讨论：2分钟2.展示：2分钟（图形计算器）竞争小组不同方法展示：2分钟（数形结合手工画图）3.竞争小组点评：2分钟4.老师点评总结：1分钟变式3：若不等式对于任意都成立，求的取值范围.设计方案：（3分钟）1.学生独立思考做题（2分钟）2.老师提问检测并总结（1分钟）规律总结：（设计方案：老师引导，学生总结，竞争小组补充，老师点评.时间设定：1分钟）四、反思与收获（设计方案：1.学生总结 2.小组合作评价3.教师完善.时间设定：2分钟）通过本节课的学习，你有哪些收获：2.我还存在的疑惑：3.错题整改区：（错因分析）五、课后作业（设计意图：课后复习巩固）1. 的不等式在上恒成立，则的取值范围是（容易）2. 函数的定义域是一切实数，则的取值范围是（中等）3.对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是（拓展下节课）4.设且不等式恒成立，则实数的最小值等于（选作）。

第 1 页 导数的综合应用——不等式恒成立问题教学目标：1.通过实例，探讨如何利用导数解决不等式恒成立问题的两种常见类型；2.通过实例，体会“转化与化归”的数学思想方法.重点难点：重点：不等式恒成立问题的两种常见类型的解决方法；难点：把“转化与化归”的数学思想方法渗透到数学内容和解题过程中.学习过程：一、类型1[引例]（1）若0≥+a x 在]2,1[∈x 恒成立，求a 的范围.（2）若022≥+-ax x 在]2,1[∈x 恒成立，求a 的范围.（3）若存在]2,1[∈x ，使得012≥--a e x x 成立，求a 的范围. 例1：已知函数)0(ln )(2>+-=a a x a x x f 在区间),0(+∞内满足0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.变式训练1：已知函数),0(ln )(,)(2>=+=a x a x g a x x f 在区间),0(+∞内满足)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.变式训练2：已知函数x x a x x f ln )(+=（其中a 为常数），若对任意)(],,0(x f m a ∈在定义域单调递增，求m 的最大值.[巩固练习]例2：已知函数)0(ln 1)(>+=a x a x f .若在区间),1(e 内，x x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围.二、类型2例3：已知x x x g x a x x f ln 2)(,)(22+-=+=，其中0>a ，若对任意),0(,21+∞∈x x ，都有)()(21x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 变式训练：已知函数22)(),0(ln )(2+-=<+=x x x g a x ax x f ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <成立，求a 的取值范围. [巩固练习]例4：已知函数1ln )(),0(ln )(+=>+=x x x g a x x a x f .若对任意),0(,21+∞∈x x 有)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.。

第43讲 不等式恒成立问题考试要求 1.不等式包含两个元的情况(C 级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.诊 断 自 测1.设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时y 恒取正值，则实数x 的取值范围为________.解析 设f (t )＝y ＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， t ∈[－2，2]， 问题转化为：f (t )＞0对t ∈[－2，2]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0 ⇒0＜x ＜12或x ＞8.故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞). 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)2.不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为________.解析 由4x 2＋6x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，对一切实数x 恒成立，从而原不等式等价于 2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x ∈R )，即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立. 则Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＜0， 解得1＜m ＜3，故实数m 的取值范围是(1，3). 答案 (1，3)3.(一题多解)已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0在x ∈[)1，＋∞上恒成立，则实数a 的取值范围为________.解析 法一 ∵ f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0对 x ∈[)1，＋∞恒成立⇔ x 2＋2x ＋a ＞0对 x ∈[)1，＋∞恒成立.设g (x )＝ x 2＋2x ＋a ，x ∈[)1，＋∞，问题转化为：g (x )min ＞0g (x )＝ x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1, x ∈[)1，＋∞，∴g (x )在[)1，＋∞上是增函数. ∴g (x )min ＝g (1)＝3＋a ， ∴ 3＋a ＞0⇔ a ＞－3.即所求实数a 的取值范围为(－3，＋∞).法二 ∵ f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0对 x ∈[)1，＋∞恒成立⇔ x 2＋2x ＋a ＞0 对x ∈[)1，＋∞恒成立⇔ a ＞－(x 2＋2x )对x ∈[)1，＋∞恒成立设φ(x )＝ －(x 2＋2x )，x ∈[)1，＋∞.问题转化为：a ＞φ(x )max .φ(x )＝ －(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[)1，＋∞.∴φ(x )在[)1，＋∞上是减函数. ∴ φ(x )max ＝ φ(1)＝－3， ∴ a ＞－3，即所求实数a 的取值范围为(－3，＋∞). 答案 (－3，＋∞)4.若定义在(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且x >1时不等式f (x )<0成立，若不等式f (x 2＋y 2)≤f (xy )＋f (a )对于任意x ，y ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0.这样f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1·x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＋f (x 1)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，则f (x 2)<f (x 1)，函数f (x )在(0，＋∞)为减函数.因此f (x 2＋y 2)≤f (xy )＋f (a )⇔f (x 2＋y 2)≤f (a xy )⇔x 2＋y 2≥a xy ⇔a ≤x 2＋y 2xy；而x 2＋y 2xy ≥2xy xy＝2(当且仅当x ＝y 时取等号)，又a >0，所以a 的取值范围是(0，2].答案 (0，2]知 识 梳 理1.恒成立问题转化成最值处理a ＞f (x )对x ∈D 恒成立⇔a ＞f (x )max ， a ＜f (x )对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f (x )min .2.恒成立问题处理方法：图象法、最值法、参变分离法、变换主元法等. 3.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D ). (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D ).(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .考点一 一元一次不等式恒成立问题【例1】 对于 －1≤a ≤1，求使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ax<⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋a －1恒成立的x 的取值范围.解 原不等式等价于x 2＋ax >2x ＋a －1在a ∈[－1，1]上恒成立. 设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )是a 的一次函数或常数函数， 要使f (a )>0在a ∈[－1，1]上恒成立，则须满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <0， 故实数的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 规律方法 设f (x )＝ax ＋b ，f (x )＞0在x ∈[]m ，n 上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）>0，f （n ）>0.f (x ) ＜0在x ∈[]m ，n 上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （n ）<0.考点二 一元二次不等式恒成立问题【例2】 已知x ∈(]－∞，1时，不等式1＋2x＋(a －a 2)·4x＞0恒成立，求实数a 的取值范围.解 设2x＝t, ∵x ∈(]－∞，1，∴t ∈(]0，2，原不等式可化为：a －a 2＞－t －1t2. 要使上式对t ∈(]0，2恒成立，只需a －a 2＞⎝⎛⎭⎪⎫－t －1t 2max，t ∈(]0，2， －t －1t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14.由1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －1t 2max ＝－34， ∴a －a 2＞－34，即4a 2－4a －3＜0，从而 －12＜a ＜32.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 考点三 高次不等式恒成立问题【例3】 已知f (x )＝－x 3＋ax ，其中a ∈R ，g (x )＝－12x 32，且f (x )＜g (x )在x ∈(]0，1上恒成立，求实数a 的取值范围. 解 f (x )＜g (x )在x ∈(]0，1上恒成立 ⇔－x 3＋ax ＋12x 32＜0 对x ∈(]0，1恒成立⇔ a ＜x 2－12x 12对x ∈(]0，1恒成立设h (x )＝ x 2－12x 12，x ∈(]0，1，问题转化为：a ＜h (x ) minh ′(x )＝2x －14x＝()2x －1·()4x ＋2x ＋14x由h ′(x )＝0，得x ＝14，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，h ′(x ) ＜0，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14递减. 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1时，h ′(x ) ＞0，h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤14，1递增. ∴ h (x )在x ＝14时取最小值，h (x ) min ＝－316，∴a ＜－316.即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－316. 考点四 绝对值不等式恒成立问题【例4】 已知f (x )＝x ||x －a －2，若当x ∈[]0，1时，恒有f (x )＜0，求实数a 的取值范围.解 (ⅰ)当x ＝0时，显然f (x )＜0成立，此时a ∈R . (ⅱ)当x ∈(]0，1时，由f (x )＜0， 可得x －2x ＜a ＜x ＋2x，令 g (x )＝x －2x ，(x ∈(]0，1)；h (x )＝x ＋2x(x ∈(]0，1)，则g ′(x )＝1＋2x2＞0，∴g (x )是单调递增，可知[]g （x ）max ＝g (1)＝－1，h ′(x )＝1－2x2＜0，∴h (x )是单调递减，可知[]h （x ）min ＝h (1)＝3，此时a 的范围是(－1，3).综合(ⅰ)(ⅱ)得a 的范围是(－1，3).规律方法 (1)当f (x )含有绝对值时，先去掉绝对值号，(2)这种思路是：首先是——分离变量，其次用——极端值原理.把问题转化为求函数的最值，若f (x )不存在最值，可求出f (x )的范围，问题同样可以解出. 考点五 线性规划恒成立问题【例5】 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －5≥0，y －3≤0.若不等式m (x 2＋y 2)≤(x ＋y )2恒成立，则实数m 的最大值是________.解析 ∵m (x 2＋y 2)≤(x ＋y )2恒成立，则m ≤x 2＋2xy ＋y2x 2＋y 2＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝1＋2k ＋1k，其中k ＝yx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，当k ＝32时，1＋2k ＋1k取最小值为2513，则实数m 的最大值是2513. 答案2513考点六 基本不等式恒成立问题【例6】 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________.解析 x ＋y ＋4＝2xy ≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，解得x ＋y ≥4，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”.∵(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0， ∴(x ＋y )＋1x ＋y≥a . ∵(x ＋y )＋1x ＋y ≥174，则a ≤174. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174一、必做题1.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于________.解析 原不等式恒成立等价于m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )的最小值，而⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当a ＝b 时取等号，所以m ≤9，即m 的最大值为9.答案 92.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义.由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得a ≤10.故a 的取值范围是[8，10].答案 [8，10]3.已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 由x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，得x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy＝8.当且仅当4y x ＝x y 时，即x ＝2y 时取等号.又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，所以(x ＋2y )min ＝8.要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 (－4，2)4.已知x >0，y >0，若不等式x 3＋y 3≥kxy (x ＋y )恒成立，则实数k 的最大值为________. 解析 由题设知k ≤（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）（x ＋y ）xy，∴k ≤x 2－xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x－1恒成立.∵x y ＋yx－1≥2－1＝1，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，从而k ≤1，即k 的最大值为1. 答案 15.设k >0，若关于x 的不等式kx ＋4x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则k 的最小值为________. 解析 原不等式变为k (x －1)＋4x －1≥5－k . ∵k (x －1)＋4x －1≥4k ，∴4k ≥5－k ， ∴(k )2＋4k －5≥0，∴(k ＋5)(k －1)≥0， ∴k ≥1，∴k min ＝1. 答案 16.已知x ln x －(a ＋1)x ＋1≥0对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则实数a 的取值范围为________. 解析 ∵x ln x －(a ＋1)x ＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立， 即a ≤ln x －1＋1x 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2上恒成立， 令F (x )＝ln x －1＋1x ，F ′(x )＝x －1x2，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上F ′(x )<0，在x ∈[1，2]上F ′(x )>0， ∴F (x )在x ＝1处取极小值，也是最小值， 即F min (x )＝F (1)＝0，∴a ≤0. 答案 (－∞，0]7.设存在实数x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，使不等式t ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x >e |ln x |成立，则实数t 的取值范围是________. 解析 由t ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x >e |ln x |，得t >e |ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，设h (x )＝e|ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x <1，1x（1≤x <3），则h (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1.∴当t >13时，存在实数x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3使原不等式成立. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 8.若不等式x 2－2y 2≤cx (y －x )对任意满足x ＞y ＞0的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________.解析 由题意可得c ≤x 2－2y 2xy －x 2＝x 2－2y 2x xy －x 2x 2＝1－2y 2x y x－1，令y x ＝t ，则0<t <1，故c ≤1－2t 2t －1＝2t 2－11－t；令u ＝1－t ，则0<u <1，故c ≤2t 2－11－t ＝2（1－u ）2－1u ＝－4＋2u ＋1u ，得－4＋2u ＋1u 的最小值为22－4，故实数c 的最大值为22－4. 答案 22－49.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1，3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立.(1)求证：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式.(1)证明 由条件知f (2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立，又取x ＝2时，f (2)＝4a ＋2b ＋c ≤ 18(2＋2)2＝2恒成立， ∴f (2)＝2.(2)解 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴4a ＋c ＝2b ＝1，∴b ＝12，c ＝1－4a .又f (x )≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立.∴ a >0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12－4a (1－4a )≤0，解得a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴f (x )＝18x 2＋12x ＋12.10.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4.若对任意的x 1∈(0，2)，x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围.解 问题等价于f (x )在(0，2)上的最小值恒大于或等于g (x )在[1，2]上的最大值. 因为f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2. 若f ′(x )>0，则x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3， 故函数f (x )的单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)， 故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点， 这个极小值点是唯一的，故也是最小值点， 所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1，2]. 当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4； 当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4，或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 二、选做题11.已知不等式(ax ＋3)(x 2－b )≤0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，其中a ，b 是整数，则a ＋b 的取值的集合为________.解析 当b ≤0时，由(ax ＋3)(x 2－b )≤0得到ax ＋3≤0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a <0，且a ·0＋3≤0，该式显然不成立，故b >0. 当b >0时，由(ax ＋3)(x 2－b )≤0可设f (x )＝ax ＋3，g (x )＝x 2－b ，又g (x )的大致图象如下.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－3a＝b ，再由a ，b 是整数得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，因此a ＋b ＝8或－2，即取值集合为{8，－2}. 答案 {8，－2}12.已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋x ，y ＝f ′(x )为f (x )的导函数，设h (x )＝ln f ′(x )，若对于任意的x ∈[0，1]，不等式h (x ＋1－t )<h (2x ＋2)恒成立，求实数t 的取值范围. 解 由已知有f ′(x )＝(x －1)2，则h (x )＝2ln|x －1|，所以h (x ＋1－t )＝2ln|x －t |，h (2x ＋2)＝2ln|2x ＋1|.当x ∈[0，1]时，|2x ＋1|＝2x ＋1，所以不等式等价于0<|x －t |<2x ＋1恒成立， 解得－x －1<t <3x ＋1，且x ≠t .当x ∈[0，1]，得－x －1∈[－2，－1]，3x ＋1∈[1，4]，所以－1<t <1. 又x ≠t ，所以t ∉[0，1]，所以t 的取值范围是(－1，0).。

专题六不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教来看,这部分知识能力要求高、难度大,是生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． (一)函数性质法1.一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a ==+≠,若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >,则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩同理,若在[],m n 内恒有()0f x <,则有()()0,0.f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩【例1】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果． 2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 主要有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 【例2】【甘肃省天水市第一中2018届高三上期第二段期中】对于任意实数x ，不等式()()222240a x a ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. (]2,2-D. ()2,2- 【答案】C【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x 轴的下方，故抛物线开口向下且和x 轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围.【小试牛刀】已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间⎣⎡⎦⎤12，32内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题,求实数a 的取值范围． 【解析】p 真时,Δ＝4a 2－4≥0⇒a ≥1或a ≤－1.则p 假时,－1＜a ＜1.q 真时,令g (x )＝x 2＋3(a ＋1)x ＋2,则⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12≤0，g ⎝⎛⎭⎫32≤0， 得a ≤－52.则q 假时,a ＞－52.而p 且q 为假,即p 与q 一真一假或同假．当p 真q 假时,－52＜a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时,无解；当p 假q 假时,－1＜a ＜1.综上得a ＞－52.3.其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）． 【例3】已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a ,b 为常数．（1）试确定a ,b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围．【分析】22)(c x f -≥恒成立,即 2min ()2f x c ≥-,要解决此题关键是求min ()f x ,0>x ．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】（1）由已知得()()01,ln ln 1ln1xx G x x x x'<<=--=-．令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭． （2）由（1）中ln 2c =-得()()121x a f x a e a x+=+-+． 所以()()221x ax e a f x x-+'=． 令()()21xg x ax e a =-+,则()()20xg x ax x e '=+>．所以()g x 在()0,+∞上单调递增,因为()()01g a =-+,且当x →+∞时,()0g x >,所以存在()00,x ∈+∞,使()00g x =,且()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增．因为()()020010xg x ax e a =-+=,所以0201x ax e a =+,即0201x a a e x +=,因为对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥． 所以()20011210a a a x x +++-+≥,即2001120x x +-≥,亦即200210x x --≤,所以0112x -≤≤． 因为0201x ax e a =+,所以02011x a x e a+=>, 又00x >,所以001x <≤,从而020x x ee ≤,所以11a e a +<≤,故11a e ≥-． (二)分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4.】【广东郴州市2017届高三第二次教质量监测】已知函数()ln f x x x =,2()3g x x ax =-+-. （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；！（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围； （3）探讨函数12()ln xF x x e ex=-+是否存在零点？若存在,求出函数()F x 的零点；若不存在,请说明理由. 【分析】(1)求函数()f x 的层数可得()ln 1f x x '=+,并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间(0,)+∞上的最小值为()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,分别讨论当1[,2]t t e ∈+与1[,2]t t e ∉+时函数在区间[,2]t t +上的单调性与最小值即可；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立32ln a x x x⇔≤++,构造函数()()32ln 0h x x x x x =++>,求函数()h x 的最小值即可；(3) ()0F x =12ln 0x x e ex⇔-+= ()2ln 0x x x x x e e ⇔=->,由（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-,构造函数()()20x x x x e e ϕ=->,求其导数,研究函数()()20x x x x e eϕ=->的单调性与最值可知()()min max 11()x f x eϕϕ==-≤,且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等,所以有()()f x x ϕ>,即两个函数无公共点,即函数()F x 无零点. 【解析】（Ⅰ）()ln 1f x x '=+,由()'0f x <得,10x e <<,由()'0f x >得1x e>,∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时,()min 1112,t f x f e e e ⎛⎫+>∴==- ⎪⎝⎭；当1t e>时,()f x 在[],2t t +上单调递增,()()min ln f x f t t t ==,()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩（Ⅲ）令()0F x =,得12ln 0x x e ex -+=,即()2ln 0x x x x x e e=->,当（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-, 设()()20x x x x e e ϕ=->,则()'1xx x e ϕ-=,易知()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, ∴当且仅当1x =时,()x ϕ取最大值,且()11e ϕ=-,∴对()0,x ∈+∞都有12ln x x e ex >-,即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立, 故函数()F x 无零点.【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知函数()1x xf x e-=． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程和函数()f x 的极值：（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞,都有()()1221f x f x e -≥-成立,求实数a 的最小值． 【答案】（1）切线方程为210x y +-=,函数()f x 在2x =时,取得极小值21e-（2）1【解析】（1）因为()2x x f x e-'=,所以()02f '=-,因为()01f =,所以曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y +-=． 由()2x x f x e-'=解得2x =,则()f x '及()f x 的变化情况如下： x(),2-∞2()2,+∞()f x ' -0 +()f x 递减极小值21e-递增 所以函数()f x 在2x =时,取得极小值21e -． （2）由题设知：当1x >时,()10x x f x e -=<,当1x <时,()10x xf x e-=>,若1a <,令[)122,,1x x a =∈,则[)12,,x x a ∈+∞,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e>⇔-<⇔-<==-,显然不符合题设要求．．．9分 若1a ≥,对[)()()1212,,,0,0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e ≤⇔-≥⇔-≥≥=-, 显然,当1a ≥,对[)12,,x x a ∀∈+∞,不等式()()1221f x f x e-≥-恒成立, 综上可知,a 的最小值为1． (三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当11a -≤≤时,2(4)420x a x a +-+-> 恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设2()(2)(44)f a x a x x =-+-+,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞. 【小试牛刀】已知函数322()9cos 48cos 18sinf x x x x αβα=-++,()()g x f x '=,且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有2()11f x x mx ≥--,求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ) 2()()318cos 48cos g x f x x x αβ'==-+,,01cos 2,t R t ∀∈≤+≤23sin 4t ≤+≤,而(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤恒成立．则由二次函数性质得(2)0(4)0g g =⎧⎨≤⎩ ,解得cos 1α=,1cos 2β=,sin 0α= ∴ 32()924f x x x x =-+．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围．【解析】由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,在同一坐标系内,分别作出函数23y x =和log a y x =的图像,观察两函数图像,当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若1a >函数log a y x =的图像显然在函数23y x =图像的下方,∴不成立；当01a <<时,由图可知,log a y x =的图像必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或在这个点的上方,则11log 33a≥, 127a ∴≥,1127a ∴>≥． 综上得：1127a >≥．(五)消元转化法【例7】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t 的取值范围．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数中的“统一美”． 二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立,则等价于在区间D 上()maxf x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看,含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()maxD x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>,而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()min D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()max D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔>． 【例8】已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存在 x 0∈[12,1],使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立,则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[22,522] 【解析】由1()()()2x f x g x +=得1()()()2x f x g x --+-=,即1()()()2x f x g x --+=,所以1()(22)2x x f x -=-,1()(22)2x x g x -=+．存在x 0∈[12,1],使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立,即01[,1]2x ∈,00(2)()g x a f x =-,设(2)()()g x h x f x =-（1[,1]2x ∈）,则()h x 221(22)21(22)2x x x x --+=--222222x x x x --+=- 2(22)22x x x x --=-+-,1[,1]2x ∈时,2322[,]22x x --∈,设22x x t -=-,则23[,]22t ∈,而2()h x t t =+,易知2y t t =+在2[,2]2是递减,在3[2,]2上递增,因此22222y =+=最小,22522222y =+=最大,所以52()[22,]2h x ∈,即52[22,]2a ∈． 【点评】解题时需由奇偶性定义求出函数(),()f x g x 的解析式,存在x 0∈[12,1],使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立,其中等式可转化为00(2)()g x a f x =-,这样求a 的取值范围就转化为求函数(2)1(),[,1]()2g x h x x f x =-∈的值域．当然在求函数()h x 值域时还用到换元法和的单调性,问题进一步进行了转化．【小试牛刀】已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围 【解析】∵函数()f x 存在单调递减区间,∴()2'12120ax x f x ax x x+-=--=-<在()0,+∞有解．即()()2120,a x x x >-∈+∞能成立, 设()212u x x x =-．由()2212111u x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭得, ()min 1u x =-．于是,1a >-,由题设0a ≠,∴a 的取值范围是()()1,00,-+∞．3 不等式恰好成立问题的处理方法【例9】已知()22x x a f x x++=当[)()1,,x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值．【例10】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, ⑴若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.⑴解析：由)()(x g x f =可得x x +221a x =+-)1ln(,存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,即方程x x +221a x =+-)1ln(在]2,0[上有解.设=)(x h x x +221)1ln(+-x ,则方程x x +221a x =+-)1ln(在]2,0[上有解的条件是a 为)(x h 值域中的元素,所以a 的取值范围就是)(x h 的值域.因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x x x >0,所以)(x h 在]2,0[上是增函数,由此可求得)(x h 的值域是[0,3ln 4-],所以实数a 的取值范围是[0,3ln 4-].⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,即)(x h a >有解,故h max (x)>a ,由⑴知h max （x ）=3ln 4-,于是得a <3ln 4-.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析：对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立,即min )(x h a >,由⑵可知a <0. 点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤；②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤.⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=,若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,即max min )()(x g x f >,即a ->3ln 0,所以3ln >a .点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,21,x x 的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,即max max )()(x g x f >,由⑷可知即a ->3ln 4,所以3ln 4+->a . 点评：设)(x g 的最大值为M ,对任意]2,0[2∈x ,)()(21x g x f >的条件M x f >)(1,于是问题转化为存在]2,0[1∈x ,使得M x f >)(1,因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >.⑹解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,则A B ⊆,所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内,因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集.⑺解析：若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4>a -, 所以4->a .点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.⑻解析：若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则A B ≠∅,∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞。