2018年理数真题分类训练专题09 数列中不等式恒成立问题【原卷版】

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (2)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (3)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (4)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (4)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (5)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (5)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为{a<0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】（2023·福建厦门·二模）“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（）A．(―∞,―2)B．(―∞,―4)C．(―4,4)D．(―2,2)【变式1-2】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（）A．a>2B．a≥1C．a>1D．0<a<12【变式1-3】（2023·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2―ax+1≥0，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2―mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(―8,8)B．(―∞,8]C．(―∞,8)D．(8,+∞)【变式2-1】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x∈(―1,1)时，不等式2kx2―kx―38<0恒成立，则k的取值范围是（）A．(―3,0)B．[―3,0)C．―D．―【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意x∈[m,m+1]，都有x2+mx―1<0成立，则实数m的取值范围是（）A．―23,0B．―,0C．―23,0D．,0【变式2-3】（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2―xy+y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤6B．―6≤m≤0C．m≥0D．0≤m≤6【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃―1≤a≤3，ax2―(2a―1)x+3―a<0”为假命题，则实数x的取值范围为（）A．{x|―1≤x≤4 }B．x|0≤xC．x|―1≤x≤0或53≤x≤4D．x|―1≤x<0或53<x≤4【变式3-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m≤2时，mx2―mx―1<0恒成立，则实数x的取值范围是（）A<x<B<x<C<x<D<x<【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·期中）已知当―1≤a≤1时，x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立，则实数x的取值范围是（）A．(―∞,3)B．(―∞,1]∪[3,+∞)C．(―∞,1)D．(―∞,1)∪(3,+∞)【变式3-3】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>a3>0，则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）A．B．0,C．D．【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的x∈(0,+∞)，x2―2mx+1>0恒成立，则m的取值范围为（）A．[1,+∞)B．(―1,1)C．(―∞,1]D．(―∞,1)【变式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式(ax―2)(x2+bx―5)≥0恒成立，则b+4a的最小值为（）A．2B．C．D．【变式4-2】（23-24高三上·山东威海·期中）关于x的不等式ax2―|x|+2a≥0的解集是(―∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A+∞B．―∞C．―D．―∞,∪+∞【变式4-3】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知x>0,y>0，且1x+2+1y=27，若x+2+y>m2+5m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(―4,7)B．(―2,7)C．(―4,2)D．(―7,2)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为（）A．(―∞,2)B．(―∞,0]∪C．―∞D．(―∞,1)【变式5-1】（22-23高一上·内蒙古兴安盟·阶段练习）若关于x 的不等式x 2―4x ―2―a ≤0有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |a ≥―2 }B ．{a |a ≤―2 }C ．{a |a ≥―6 }D ．{a |a ≤―6 }【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式―x 2+ax ―1>0有解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a <―2或a >2B ．―2<a <2C ．a ≠±2D ．1<a <3【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x 的不等式―x 2+4x ≥a 2―3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |―1≤a ≤4 }B ．{a |―1<a <4 }C ．{a |a ≥4 或a ≤―1}D ．{a |―4≤a ≤1 }【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ≥1B ．a ≥4C ．a ≥―2D ．a ≤4【变式6-1】（22-23高二上·河南·开学考试）设a 为实数，若关于x 的不等式x 2―ax +7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,8)B ．(―∞,8]C ．(―∞D ．―∞【变式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．―374,3B ．―C ．―374D ．(―3,3)【变式6-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2),(6,+∞)B ．(―∞,―2)C ．[―2,6]D ．[2+【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若不等式对x∈[2,+∞)有解，求m的取值范围.【变式7-1】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R．(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：(2)当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，求实数m的取值范围．，【变式7-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4，g(x)=x2―x+a2―314(a∈R)(1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x)；(2)若任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)若∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.【变式7-3】（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数f(x)=x2―(a+3)x+6(a∈R)(1)解关于x的不等式f(x)≤6―3a；(2)若对任意的x∈[1,4]，f(x)+a+5≥0恒成立，求实数a的取值范围(3)已知g(x)=mx+7―3m，当a=1时，若对任意的x1∈[1,4]，总存在x2∈[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围．一、单选题1．（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈[―1,1]，―x20+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．(―∞,―2)B．(―∞,4)C．(―2,+∞)D．(4,+∞)2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+(k―6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）A．2≤k≤18B．―18<k<―2C．2<k<18D．0<k<23．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x∈(0,+∞),x2―mx+1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．(―2,2)B．(2,+∞)C．(―∞,2)D．(―∞,2]4．（2023·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线xa +yb=1(a>0,b>0)上，若关于t的不等式a+b≥t2+5t+3恒成立，则实数t的取值范围为（）A．[―6,1]B．[―1,6]C．(―∞,―1]∪[6,+∞)D．(―∞,―6]∪[1,+∞)5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4<m2―m有解，则实数m的取值范围是（ ）A．(―1,2)B．(―∞,―2)∪(1,+∞)C．(―2,1)D．(―∞,―1)∪(2,+∞)6．（23-24高一上·全国·单元测试）不等式2x2―axy+y2≥0，对于任意1≤x≤2及1≤y≤3恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a|a≤B．a|a≥C．a|a≤D．a|a7．（2023·江西九江·二模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2―a<0，若p为假命题，则实数a的取值范围为（）A．(1,+∞)B．[1,+∞)C．(―∞,1)D．(―∞,1]8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax2+bx+c<0(a≠0)有实数解．结论（1）：设x1，x2是ρ的两个解，则对于任意的x1，x2，不等式x1+x2<―ba 和x1⋅x2<ca恒成立；结论（2）：设x0是ρ的一个解，若总存在x0，使得ax02―bx0+c<，则c<0，下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立D．结论①不成立，结论②成立二、多选题9．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立，则实数a可能是（）A．―2B．0C．―4D．110．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A．不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B．不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅D．若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为―1211．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若(ax-4)(x2+b)≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，其中a，b是整数，则a+b的可能取值为（）A．-7B．-5C．-6D．-17三、填空题12．（2024·陕西渭南·模拟预测）若∀x∈R,a<x2+1，则实数a的取值范围是.（用区间表示）13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为. 14．（2023·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a―3<0，则a的一个可取的正整数值为.四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=|2x―a|，且f(x)≤b的解集为[―1,3]．(1)求a和b的值；(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．16．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，求实数a的取值范围.17．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数f(x)=ax2+(1―a)x+a―2.（1）若关于x的不等式f(x)≥―2有实数解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f(x)≥―2对于实数a∈[―1,1]时恒成立，求实数x的取值范围；（3）解关于x的不等式：f(x)<a―1,(a∈R).18．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数f(x)=a2x2+2ax―a2+1.(1)当a=2时，求f(x)≤0的解集；(2)是否存在实数x，使得不等式a2x2+2ax―a2+1≥0对满足a∈[―2,2]的所有a恒成立？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.19．（2024·全国·一模）已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数．（1）求证：1a+b +1b+c+1c+a≥32（2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c 恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．。

规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题典例2 (12分)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e－1――――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e－1，f (－1)－f (0)≤e－1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )的单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0，g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝ln x ＋1x.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意的x >1，恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立，求k 的取值范围； (3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，极大值为f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，所以k ≥1.(3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x，当且仅当x ＝1时取等号． 令x ＝n 2(n ∈N *，n ≥2)． 则ln n2n2<1－1n 2⇒ln n n 2<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1(n ≥2)，所以ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋1－12＝2n 2－n －14(n ＋1).。

不等式恒成立的问题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3 小题）1．（2018 秋•西城区校级期中）下列不等式：① 2 3 3 ；②；③…，其中恒成立的个数x x a2 b2… 2(a b 1) b a 2a b是 ( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2．（2018•北京模拟）在ABC 中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，D AB F CD AF xAB yAC1 2若不等式对，恒成立，则的最小值为…a at t [ 2 2] a ( )2x yA． 4 B． 2 C．2 D．43．（2006•北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意， 2 ( 1 2 )，| f (x ) f (x ) || x x |(1, 2) x x x x1 12 2 1恒成立”的只有 ( )1A．f (x) B．C．D．f (x) | x | f (x) 2x f (x) x2x二．填空题（共3 小题）4．（2018 秋•海淀区校级月考）若存在，使得不等式…a 成立，则实数a 的取值范围是．x R 12x 115．（2018 春•西城区校级期中）若对任意x( ,) ，不等式ln(2x 1)…x2 a 恒成立，则a 的取值范围是．26．（2018•海淀区校级三模）已知实数a ，b 满足：关于x 的不等式，| x2 ax b |…| 2x2 4x 16 | ，对一切x R 均成立，则，．a b三．解答题（共2 小题）7．（2019•海淀区校级模拟）已知函数，其中．f (x) alnx e x 1 1 a R（1）若x 1是函数f (x) 的导函数的零点，求f (x) 的单调区间；（2）若不等式f (x)… 0 对x[1，) 恒成立，求实数a 的取值范围．8．（2018 秋•西城区校级期中）已知：函数( ) ( 8) ，当时，，当，f x ax2 b x a ab x(3, 2) f (x) 0x() f (x) 03) (2 ，时，．(I) 求a ，b 的值；(II) 若不等式ax2 bx c… 0 的解集为R ，求实数c 的取值范围．第1页（共7页）不等式恒成立的问题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3 小题）1．（2018 秋•西城区校级期中）下列不等式：① 2 3 3 ；②；③…，其中恒成立的个数x x a2 b2… 2(a b 1) b a 2a b是 ( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【分析】利用二次函数的性质判断①是正误；移项利用完全平方式判断②的正误；利用基本不等式的条件判断③的正误，即可得到选项．x x ( 3)2 3 02 3 3 x x2 3 3x【解答】解：①，；恒成立，所以①，正确；2 4②，所以②，正确；a2 b2 2a 2b 2 (a 1)2 (b 1)2… 0 a2 b2… 2(a b 1)b a③… 2 ．成立的条件是a ，b 为正数；③不正确；a b故选：C ．【点评】本题是基础题，考查实数的大小比较，作差法的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．2．（2018•北京模拟）在ABC 中，D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF xAB yAC ，1 2若不等式对，恒成立，则的最小值为…a at t [ 2 2] a ( )2x yA． 4 B． 2 C．2 D．41 2【分析】根据C ，F ，D 三点共线可得x ，y 的关系，再利用基本不等式解出的最小值．然后求解a 的范围，x y得到a 的最小值．【解答】解：，AF xAB y AC 2xAD yAC因为点在线段（不含端点）上，所以，，三点共线，F CD C F D所以且，，2x y 1 x 0 y 01 2 1 2 y 4x y 4x则 ( )(2x y) 4 … 4 2 g 8 ，x y x y x y x yy4x x 1x y 4 21当且仅当，即，y 时，上式取等号，1 2故有最小值 8，x y1 2不等式 a at 对，恒成立，… 2 t [ 2 2]x y第2页（共7页）就是对，恒成立，即对，恒成立，8…a at t [ 2 2] a2 at 8… 0 t [ 2 2]2a 2a 8 02可得：，解得，．a[ 2 2]a 2a 8 02则的最小值为．a 2故选：B ．【点评】本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．3．（2006•北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 (1, 2) 上的任意x ， 2 ( 1 2 )，| f (x ) f (x ) || x x |x x x1 12 2 1恒成立”的只有 ( )1A．B．f (x) | x | C．f (x) 2x D．f (x) x2f (x)x【分析】首先分析题目要求选择满足：“对于区间上的任意实数， 2 ( 1 2 )，| f (x ) f (x ) || x x | 恒成(1, 2) x x x x1 2 1 2 1立”的函数．故可以把 4 个选项中的函数分别代入不等式| f (x ) f (x ) || x x | 分别验证是否成立即可得到答案．2 1 2 1【解答】解：在区间上的任意实数，x2 (x1 x2 ) ，分别验证下列 4 个函数．(1, 2) x11 1 1x x对于，| ( ) ( ) || || 2 1 || |（因为x ，x 在区间 (1, 2) 上，故x x 大于1)故成立．A: f (x) f x f x x x2 1 2 1 1 2 1 2x x x x x1 2 1 2对于B : f (x) | x | ，| f (x ) f (x ) ||| x | | x ||| x x | （因为故x 和x 大于 0)故对于等于号不满足题意，故不成立．2 1 2 1 2 1 1 2对于，．不成立．C : f (x) 2x | f (x ) f (x ) | 2 | x x || x x |2 1 2 1 2 1对于: ( ) ，| f (x ) f (x ) || x x | (x x ) | x x || x x | 不成立．D f x x2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1故选：A ．【点评】此题主要考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题目．二．填空题（共3 小题）4．（2018 秋•海淀区校级月考）若存在，使得不等式…a 成立，则实数a 的取值范围是 a 1．x R 12x 11【分析】由题意问题转化为a ( ) ，构造函数求出最值即可得出结论．xmax2 1【解答】解：存在，使得不等式…a 成立，2x 1x R 11即a ( ) ，2 1xmaxf (x)12x 1，x R ，1f (x) 1，0 1第3页（共7页）a a 1 实数 的取值范围是．故答案为： a 1．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了转化思想，是基础题． 1 5．（2018 春•西城区校级期中）若对任意 x( ,) ，不等式 ln (2x 1)… x 2 a 恒成立，则 a的取值范围是 [1，2)．【分析】由题意可得的最大值，设 ，求得导数和单调性，可得极大值，且为最 a … ln (2x1) xf (x ) ln (2x1) x 22大值，即可得到 a 的范围． 1【解答】解：对任意 x ( ,) ，不等式ln (2x 1)… x 2 a 恒成立，2可得 (2 1)的最大值， a … ln x x 2设，导数为 f x x f x ln x x( ) 2 2 ( ) (2 1)22x12(x 1)(2x 1)2x 1， 可得 x1时， f (x ) 0 ， f (x ) 递减；1 21时， f (x ) 0 ， f (x ) 递增．x 即有 ( ) 在处取得极大值，且为最大值 ， f x x 11则 a …1，故答案为：，． [1)【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和导数，考查运算能力，属于中档题． 6．（2018•海淀区校级三模）已知实数 a ， b 满足：关于 x 的不等式，| x 2ax b |… | 2x 24x16 | ，对一切 xR 均成立，则， ． a 2 b【分析】由对恒成立，知当 ， 时成立，由此能求出 ， ． | x 2ax b |… | 2x24x 16 |x R x 4x 2 a b【解答】解：Q | xax b |… | 2x4x16 |对 xR 恒成立，22当x 4 ，x 2 时成立，|16 4a b | 0，| 4 2a b | 016 4a b，4 2a b 0第4页（共7页）a 2，b 8故答案为：，．2 8【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查满足条件的实数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．三．解答题（共2 小题）7．（2019•海淀区校级模拟）已知函数，其中．f x alnx e a R( ) x 1 1（1）若x 1是函数f (x) 的导函数的零点，求f (x) 的单调区间；（2）若不等式f (x)… 0 对x[1，) 恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）对函数f (x) 求导数，利用x 1是函数f (x) 导函数的零点求出a 的值，再判断f (x) 的单调性与单调区间；（2）求函数f (x) 的导数，讨论①a… 0 时f (x) 0 在x[1 ，) 上恒成立，得出f (x)…f （1） 0 ，符合题意；②a 0 时，f (x) 是x[1 ，) 上的单调减函数，利用f （1） a 1，讨论a… 1时，f (x)…f （1）0 ，满足题意；a 0 [1 f x f x f 0 a1时，易知存在，，使得，且（1），不符合题意；由此求出的取值范围．x ) ( ) 0 ( )0 0【解答】解：（1）函数，其中；f (x) alnx e x 1 1 x 0af (x) e x1，x又x 1是函数f (x) 的导函数的零点，（1） a e0 0 ，解得a 1，f( ) x 1f x lnx e 1，1(0,) f 0f x e ，且在上是单调减函数，（1），( ) x 1xx f (x) 0 f (x)(0,1) 时，，单调递增；x f (x) 0 f (x)(1, ) 时，，单调递减；所以f (x) 的单调递增区间为 (0,1) ，单调递减区间为 (1,) ；a（2）f (x) e x ，x[1 ，) ；1x①a… 0 时，f (x) 0 在x[1 ，) 上恒成立，第5页（共7页）则f (x) 是单调递减函数，且f (x)…f （1） 0 11 0 ，f (x) 0恒成立，符合题意；②当0 时，是，上的单调减函数，且（1）；a f (x) x[1 ) f a 1若 1 0 ，即，则在，上单调递减，且（1），满足题意；a …a… 1 f (x) x[1 ) f (x)…f 0若，即，则易知存在x ，) ，使得f (x ) 0 ，a a 1 0 [11 0f (x) 在单调递增，在，单调递减，(1, x ) (x )0 0x时，存在f x f （1） 0 ，则f (x)… 0 不恒成立，不符合题意；(1, ) ( )综上可知，实数的取值范围是，．a (1]【点评】本题考查了函数的单调性与导数的综合应用问题，也考查了分类讨论思想与不等式恒成立问题，是综合题．8．（2018 秋•西城区校级期中）已知：函数( ) ( 8) ，当时，，当，f x ax2 b x a ab x(3, 2) f (x) 0x() f (x) 03) (2 ，时，．(I) 求a ，b 的值；(II) 若不等式ax2 bx c… 0 的解集为R ，求实数c 的取值范围．【分析】(I) 利用二次函数的开口方向，结合不等式的解集，列出方程即可求a ，b 的值；(II) 构造函数，通过不等式ax2 bx c… 0 的解集为R ，结合二次函数的性质，列出不等式求实数c 的取值范围．【解答】解：由题目知的图象是开口向下，交轴于两点和的抛物线，(I) f (x) x A(3, 0) B(2,0)20 a( 3) (b 8) ( 3) a abx x 2 y 0即当3和时，有，代入原式得：，0 a 2 (b 8) 2 a ab2a0 a 3解得：或（4 分）b 8 b 5a 0经检验知：不符合题意，舍去， f (x) 3x 3x 18 ，（6 分）2b 8(II) g(x) 3x2 5x c令，要使g(x)… 0 的解集为R ，则需要方程3x2 5x c 0 的根的判别式△… 0 ，第6页（共7页）即△25 12c 0 ，解得当c…时，ax2 bx c… 0 的解集为R ．（10 分）…c… 25 2512 12【点评】本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．第7页（共7页）。

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

(浙江版)2018年高考数学一轮复习数列中不等式证明特色
训练（附答案）
5
七、数列中不等式证明
一、解答题
1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，
(1)求数列的通项式；
(2)证明
【答案】（1）；(2)证明过程见解析
（2）本问主要通过不等式的放缩对数列求和，根据得，所以试题解析（1）∵
∴ ，∴ 是以为首项，2为比的等比数列
∴ ，即
(2)证明∵ ，，
∴
2．【2018届北京西城35中高三上期中】等差数列满足，．（）求的通项式．
（）设等比数列满足，，问与数列的第几项相等？
（）试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（）（）（）
试题解析
（）∵ 是等差数列，
，
∴解出，，
∴
，
．。

2018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1.1+2i1−2i=( )A. −45−35i B. −45+35i C. −35−45i D. −35+45i2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}.则A中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 43.函数f(x)=e x−e−xx2的图像大致为( )A. B.C. D.4.已知向量a→，b→满足|a→|=1, a→⋅b→=−1 ，则a→·(2a→-b→)=（）A. 4B. 3C. 2D. 05.双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x6.在ΔABC中，cos C2=√55,BC=1,AC=5则AB=（）A. 4√2B. √30C. √29D. 2√57.为计算S=1−12+13−14+⋅⋅⋅+199−1100,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C. 115 D. 1189.在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1= √3 ,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A. 15 B. √56C. √55D. √2210.若 f(x)=cosx −sinx 在 [−a,a] 是减函数，则a 的最大值是( ) A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π11.已知 f(x) 是定义为 (−∞,+∞) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x) 。

专题4数列与不等式（2018全国1卷）4. 设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.（2018北京卷）4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.（2018全国1卷）13. 若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.（2018全国2卷）14. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法.详解：作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.（2018天津卷）2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.（2018天津卷）4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2018北京卷）12. 若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．【答案】3【解析】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.详解：作可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.（2018天津卷）13. 已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． （2018江苏卷）13. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.（2018浙江卷）12.若x ，y 满足约束条件，则z =x +3y 的最小值是________________________，最大值是_____________________ 12.答案：2- 8解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当42x y ì=ïïíï=-ïî时，3z x y =+取最小值，最小值为2-；当22x y ì=ïïíï=ïî时，3z x y =+取最大值，最大值为8.（2018全国1卷）14. 记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 详解：根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果. （2018北京卷）9. 设是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 详解：点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. （2018浙江卷）10已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 410.答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<. ∴13a a >，24a a <.（2018江苏卷）14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.（2018全国2卷）17. 记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）a n=2n–9，（2）S n=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（2018全国3卷）17. 等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或（2）【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。

第二章 数列与不等式专题09 数列中不等式恒成立问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．【压轴典例】例1.（2019·浙江高考真题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=例2. （2018·浙江高考模拟）数列满足，，……，（1）求，，，的值； （2）求与之间的关系式；（3）求证： 【答案】（1），，，；（2）；（3）详见解析.【解析】 （1），，， ；（2）！；（3）证明：由（2）可知，所以. 所以时不等式成立，而时不等式显然成立，所以原命题成立.例3.（2019·河南高考模拟（理））已知数列}{nb 的前n 项和为nS，2n n S b +=，等差数列}{na 满足123b a =，157b a +=（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.【答案】（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】 （Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：112n n b b -=∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 112n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=- 332n n n T +=-即12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-302nn +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 例4.（2016高考浙江理）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】 （I ）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故 111222n n n n n a a ++-≤，n *∈N ， 所以11223111223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111222n -≤++⋅⋅⋅+ 1<，因此()1122n n a a -≥-．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmnn n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得2n a ≤． ①否则，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整数000342log 2n n a m ->且00m n >，则00340002log 23322244n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤．例5.（2019·河北石家庄二中高考模拟（理））已知等比数列{}n a 满足1,23428n n a a a a a +<++=，且32a +是24,a a 的等差中项.()1求数列{}n a 的通项公式；()2若1,2log n n n b a a = 12···+b n n S b b =++，对任意正整数n ，()10n n S n m a +++<恒成立，试求m 的取值范围.【答案】（1）2nn a =；（2）(],1-∞-.【解析】()1设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .依题意，有()32422a a a +=+，代入23428a a a ++=，得38a =.因此2420a a +=即有311220,8,q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得122q a =⎧⎨=⎩或11,232,q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 又{}n a 数列单调递增，则122q a =⎧⎨=⎩故2nn a =.()2122log 2?2n n nn b n ==-， 232122232++2,n S n ∴-=⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯ ① ()23412122232122n n n S n n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②-①②，得()23112122222?2?212n n n n n S n n ++-=+++⋅⋅⋅+-=-- 112?22n n n ++=--.()10n n S n m a +++<，11112?22?2?20n n n n n n m ++++∴--++<对任意正整数n 恒成立，11•222n n m ++∴<-对任意正整数n 恒成立，即112n m <-恒成立. 1112n ->-，1m ∴≤-，即m 的取值范围是(],1-∞-. 例6.（2019·江苏高考模拟）已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3． （1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求1a d的取值范围； （2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1⋅q 的取值范围． 【答案】(1)1a d＜﹣3；（2）a 1⋅q ＞0 【解析】在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立， （1）设{a n }为等差数列，且公差为d ， 则：2ma 1+2(21)2m m -d+2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m+n ）a 1+()(1)2m n m n ++-d]，整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0，由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0， 则a 1＞﹣3d ，所以d ＜0，1a d＜﹣3； （2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1）， 则()()()2m 2n m+n 111a 1q a 1q 2a 1q 1q1q1q---+<---，整理得1a 1q-（2q m+n ﹣q 2m ﹣q 2n）＜0， 则：﹣1a 1q -（q m ﹣q n ）2＜0，所以1a 1q -＞0，由2S 6＞S 3，则：2q 6﹣q 3﹣1＜0 解得：﹣12＜q 3＜1，由于q ＞0，所以：0＜q ＜1，则：a 1＞0．即有a 1⋅q ＞0． 例7. （2017·高考模拟（理））已知数列{}n a 前n 项和n S ，点()()*,n n S n N ∈在函数21122y x x =+的图象上．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）n a n =；（2）1(0,)2. 【解析】 （1）点(),n n S 在函数()21122f x x x =+的图象上，21122n S n n ∴=+.① 当2n ≥时，()()21111122n S n n -=-+-，② ①-②得n a n =.当1n =时，111a S ==，符合上式.()*n a n n N ∴=∈．（2）由（1）得()2112n n a a n n +=+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 13242111n n n T a a a a a a +∴=+++111111123242n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ()()11013n n T T n n +-=>++，∴数列{}n T 单调递增，{}n T ∴中的最小项为113T =.要使不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立，只要()11log 133a a >-，即()log 1log a a a a -<. 解得102a <<， 即实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.例8.（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a 中，首项为12，其前n 项和是n S ，且335441,,2a S S a S ++成等差数列,数列{}nb 满足条件(nb 123n12.a a a a =(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设 1n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和 n T .①求 n T ;②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有 k n T T ≥. 【答案】(Ⅰ) 1()2nn a =；(1)n b n n =+；(Ⅱ)①见解析；②见解析. 【解析】(Ⅰ)设11n n a a q -=. 由已知得 53344122S a S a S =+++ 即 5341222S a S =+ 进而有()543122S S a -=. 所以53122a a =，即214q = ，则12q =±，由已知数列{}n a 是单调等比数列，且11.2a = 所以取12q =，数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵(12312nb na a a a =， ∴232222n ⨯⨯⨯⨯=()12222n n nb += 则()1n b n n =+.数列{}n b 的通项公式为()1n b n n =+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得()11121n n n n c a b n n =-=-+ ①设n n p a =，{}n p 的前n 项和为n P .则2111112222n n nP =+++=-. 又设1111n n q b n n ==-+，{}n q 的前n 项和为n Q . 则1111111122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以n n n T P Q =-= 112n-1111112n n n ⎛⎫--=- ⎪++⎝⎭②令1111112212n n n nT T n n ++-=--+=++ ()()()()11122212n n n n n n ++++-++.由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥.【压轴训练】1．(2018·郑州模拟)已知数列{}n a 满足123n a a a a ⋯=2n 2(n ∈N *),且对任意n ∈N *都有12111......nt a a a ++<,则实数t 的取值范围为 ( ) 1.(.)3A +∞ 1.[.)3B +∞ 2.(.)3C +∞ 2.[.)3D +∞ 【答案】D 【解析】因为数列{}n a 满足123n a a a a ⋯=2n 2,所以n=1时, 12a =,当n ≥2时, 2123121n a a a a n -⋯=-（）,可得: 212n n a -= ,所以2n 1n 11,a 2－＝当n=1时,也适合212n n a -=, 数列n 1{}a 为等比数列,首项为12,公比为14,所以 n n12n 11(1)11121224(1)1a a a 33414-⋯＋＋＋＝＝－＜，－因为对任意n ∈N *都有 12111......n t a a a ++<,则t 的取值范围为2[.).3+∞ 2.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得， 由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故. 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)a n ＝3n －4. (2)⎝⎛⎭⎪⎫－7，294. 【解析】(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4. (2)由题意知S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)nk ＜n＋1＋9n对所有的正整数n 都成立．∴当n 为奇数时，k ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立．又∵n ＋1＋9n≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294，∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，294.4.(2019·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.【答案】(1) 2·2n n a n －＝. (2)证明：见解析. 【解析】(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a nn， 又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *，2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2. 5.(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值． 【答案】(1)31()2n n a -=.(2)8.【解析】(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2(舍去)．所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＜8.因为a n ＞0，所以S n 单调递增．又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)．又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.6. （2019·临川一中实验学校高考模拟（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； 【答案】（1）12n n a +=；（2）229. 【解析】（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =，当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++ 411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭． 所以229M ≥，故M 的最小值为229．7. 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)a n ＝3n . (2) 32∞[,+).【解析】(1)设公差为d ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1， ∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是32∞[,+).8. 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．【答案】(1)当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)(－3，＋∞)．【解析】 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2，3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为22595424n a n n n ＝－＋＝(-)－， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以322k <，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．9.（2013·江西卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n n a b ++＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有564nT <. 【答案】（1）2n a n =.（2）见解析.10.（2016年高考四川理）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线2221n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=， 由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由53q =解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-， 故1231433n n n e e e --++鬃?>. 11. 设函数()ln 1f x x px =-+ （1）求函数()f x 的极值点；（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；（3）证明：222222222ln 2ln 3ln 4ln 21(,2)2342(1)n n n n N n n n --+++⋅⋅⋅+<∈≥+ 【答案】（1）1x p=； （2）[1,)+∞； （3）见解析. 【解析】（1）∵ ()ln 1f x x px =-+，∴()f x 的定义域为(0,)+∞，11'()pxf x p x x-=-=，当0p ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上无极值点，当0p >时，()f x 有唯一极大值点1x p=； （2）由（1）可知，当0p >时，()f x 在1x p =处却极大值11()ln f p p=，此极大值也是最大值，要使()0f x ≤恒成立，只需11()ln0f p p=≤，解得1p ≥，故p 的取值范围为[1,)+∞；（3）令1p =，由（2）可知，ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-，222222222222222ln 1ln 2ln 3ln 111ln 11112323n n n n n n n n n -≤-⇒≤⇒+++≤-+-++-=222111111(1)()(1)()232334(1)n n n n n --++⋅⋅⋅+<--++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ =11111111(1)()(1)()2334121n n n n n ---+-+⋅⋅⋅+-=---++2212(1)n n n --=+. 12.(2019·大庆模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线y ＝12x 2＋52x 上，数列{b n }满足b n ＋b n＋2＝2b n ＋1，b 4＝11，{b n }的前5项和为45.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1a n －b n －，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k54恒成立的最大正整数k 的值． 【答案】(1)a n ＝n ＋2.b n ＝2n ＋3. (2)8.【解析】(1)由已知得S n ＝12n 2＋52n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋52＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋52n －12(n －1)2－52(n －1)＝n ＋2， 当n ＝1时，符合上式． 所以a n ＝n ＋2.因为数列{b n }满足b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1， 所以数列{b n }为等差数列．设其公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋3d ＝11，5b 1＋10d ＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝5，d ＝2，所以b n ＝2n ＋3. (2)由(1)得，c n ＝1a n －3b n －＝1n ＋n －＝1n ＋n －＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝1n ＋n ＋＞0，所以{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16，故要使T n ＞k 54恒成立，只要T 1＝16＞k54恒成立，解得k ＜9，所以使不等式成立的最大正整数k 的值为8.13．（2019·重庆一中高三月考（文））设函数()223(0)xf x e ax a a =-+>，对于x R ∀∈，都有()5f x a≥成立.（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：*1232ln(),23n n n en e n N n n n n+++++++>+∈L （其中e 是自然对数的底数）. 【答案】（Ⅰ）(]0,1（Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）()22()xf x e a x R '=-∈Q ，∴当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，)(x f ∴在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减.x R ∀∈，()5f x a ≥都成立，min ()5f x a ∴≥.又min ()(ln )2ln 5f x f a a a a ==-+，所以由2ln 55a a a a -+≥，得ln 0a a -≥.01a ∴<≤；a ∴的取值范围是(]0,1.（Ⅱ）当1a =时，()5f x a ≥，即2235x e x -+≥.1x e x ∴≥+.∴当1x >-时，ln(1)x x ≥+.令()*1x n N n =∈，则11ln n n n +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.且1n =时，1ln 2>. 11123411ln ln ln ln 23123n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++>++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L2341ln ln(1)123n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭L ，1111ln(1)23n n ∴++++>+L .123223n n n n n n n +++++++L 1111112n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11111ln(1)1ln (1)23n e n n ⎛⎫=+++++>++=+ ⎪⎝⎭L ；即()*1232ln (1)23n n n e n n N n n n n+++++++>+∈L 恒成立. 14. 已知函数f(x)＝log k x(k 为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n ·f(a n )，当k时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)若c n ＝a n lga n ，问是否存在实数k ，使得{c n }中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】 (1)略 (2)S n ＝n·2n ＋3(3)(0，3)∪(1，＋∞) 【解析】 (1)由题意知f(a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log k a n ＝2n ＋2， ∴a n ＝k2n ＋2，∴2(1)2212(1)n n n n a k k a k++++＝＝.∵常数k>0且k≠1，∴k 2为非零常数．∴数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列． (2)由(1)知，b n ＝a n f(a n )＝k2n ＋2·(2n ＋2)， 当k时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1＝(n ＋1)·2n ＋2.∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，① 2S n ＝2·24＋3·25＋…＋n·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3.②②－①，得S n ＝－2·23－24－25－…－2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3＝－23－(23＋24＋25＋…＋2n ＋2)＋(n ＋1)·2n ＋3，∴33332(12)21?2?2.12()n n n n S n n --＋＋＝－－＋＋＝ (3)存在．由(1)知，c n ＝a n lga n ＝(2n ＋2)·k2n ＋2lgk ，要使c n <c n ＋1对一切n∈N *成立，即(n ＋1)lgk<(n ＋2)k 2lgk对一切n∈N *成立．①当k>1时，lgk>0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n∈N *恒成立；②当0<k<1时，lgk<0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n∈N *恒成立，只需21()2min n n k ++<， ∵11122n n n +=-++单调递增，∴当n ＝1时，1()2min n n ++＝23. ∴k 2<23，且0<k<1，因此0<k<3.综上所述，存在实数k∈(0，315.（2019·江苏高三月考（理））已知正项数列中，用数学归纳法证明：.【答案】见解析. 【解析】当时，，，所以，时，不等式成立；假设（）时，成立，则当时，，所以，时，不等式成立．综上所述，不等式成立．16.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项112a =，*1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<；（Ⅱ） 记()211n n n n n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时， 11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列， 所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列，所以当2n ≥时，111n n a a +- 22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭ 154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940= 所以当2n ≥时， ()211n n n n n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭ 当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 310n T <。

恒成立与存在性问题【基础知识整合】1、恒成立问题①．x D ∀∈，()a f x >恒成立，则max ()a f x >②．x D ∀∈，()a f x <恒成立，则min()a f x <③．x D ∀∈，()()f x g x >恒成立，记()() (0)F x f x g x =->，则min 0() F x >④．x D ∀∈，()()f x g x <恒成立，记()() (0)F x f x g x =-<，则max 0() F x <⑤．1122,x D x D ∀∈∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >⑥．1122,x D x D ∀∈∈，12()()f x g x <恒成立，则max min ()()f x g x <2、存在性问题①．x D ∃∈，()a f x >成立，则min ()a f x >②．x D ∃∈，()a f x <成立，则max()a f x <③．x D ∃∈，()()f x g x >成立，记()() (0)F x f x g x =->，则max 0() F x >④．x D ∃∈，()()f x g x <成立，记()() (0)F x f x g x =-<，则min 0() F x <⑤．1122,x D x D ∃∈∈，12()()f x g x >成立，则max min ()()f x g x >⑥．1122,x D x D ∃∈∈，12()()f x g x <成立，则min max ()()f x g x <3、恒成立与存在性混合不等问题①．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x >成立，则min min ()()f x g x >②．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x <成立，则max max ()()f x g x <4、恒成立与存在性混合相等问题若()f x ，()g x 的值域分别为,A B ，则①．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x =成立，则A B ⊆②．1122,x D x D ∃∈∃∈，12()()f x g x =成立，则A B ≠∅ 5、解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．6、一次函数)0()(≠+=k b kx x f 若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(>x f ,则根据函数的图像可得⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>0)(00)(0n f a m f a 或可合并成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ,同理若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(<x f 则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1：对于满足||2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.例2：若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________7、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（用函数图象解决，不太适用）（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.bb b a aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b b a a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或【基础典例分析】例1：已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（Ⅰ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2，求实数a 的值；（Ⅱ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．例2：已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，（Ⅰ）若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．例3：设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0．若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围．例4：已知函数()133x x af x b+-+=+（Ⅰ）当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值；（Ⅱ）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数；①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若()g x 满足()()()12333x x f x g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.例5：已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,⑴若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.【高考真题研究】（2017天津卷理8）已知函数()23,12,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a + 在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）(A)47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(B)4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)23,2⎡⎤-⎣⎦(D)3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2015全国卷Ⅰ理12）设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）(A)[32e-，1）(B)[32e -，34）(C)[32e ，34）(D)[32e，1）（2014全国卷Ⅰ理11）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（）(A)(2,)+∞(B)(,2)-∞-(C)(1,)+∞(D)(,1)-∞-（2015全国卷Ⅱ理21（2））设函数()2emxf x x mx =+-．若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()121e f x f x -- ，求m 的取值范围．(2015山东卷理21（2）)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈，若0x ∀>，()0f x 成立，求a 的取值范围.【名题精选，提升能力】1、函数2()3f x x ax =++，当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是2、已知函数()f x =(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是3、若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立，则x 的取值范围是4、若=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，对∀123,,[0,2]x x x ∈，恒有()()()123f x f x g x +>，则实数a 的取值范围是5、已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =（n *∈Ν）．若不等式8nn a n λ+≤对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最大值为5、设函数x x e x f 1)(22+=，x ex e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为7、已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,x x R ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为8、当210≤<x 时，x a x log 4<，则a 的取值范围是（）(A)(0，22)(B)(22，1)(C)(1，2)(D)(2，2)9、已知函数()931x x f x m m =-⋅++对()0 x ∈+∞，的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（）(A)22m -<<+(B)2m<(C)2m<+(D)2m ≥+10、设函数3()f x x x =+，x R ∈．若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）(A)1(,1]2(B)1(,1)2(C)[1,)+∞(D)(,1]-∞11、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）(A)()2,e (B)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(C)1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)12ln3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（）(A)a ≤22(B)a ≥22(C)a ≤311(D)a ≤2913、已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，若对(),0,1p q ∀∈，且p q ≠，有()()112f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（）(A)(),18-∞(B)(],18-∞(C)[)18,+∞(D)()18,+∞14、若对[),0,x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---≤++，恒成立，则实数a 的最大值是（）(A)14(B)1(C)2(D)1215、已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b的取值范围是（）(A)(-∞(B)3(,2-∞(C)9(,)4-∞(D)(,3)-∞16、设曲线()e x f x x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）(A)[]1,2-(B)()3,+∞(C)21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D)12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17、若曲线21:C y x =与曲线2:x C y ae =(0)a >存在公共切线，则a 的取值范围为（）(A)28[,)e+∞(B)28(0,e(C)24[,)e+∞(D)24(0,]e18、若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）(A)(),0-∞(B)30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦(C)3,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(D)()3,0,2e⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 19、已知函数321()3f x x x ax =++．若1()x g x e =，对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12'()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）(A)(,8]e-∞-(B)[8,)e-+∞(C))e (D)3(,]32e -20、设函数()3269f x x x x =-+，()32111(1)323a g x x x ax a +=-+->，若对任意的[]20,4x ∈，总存在[]10,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（）(A)91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(B)[)9,+∞(C)][91,9,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭(D)][39,9,24⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭21、设函数()()()21ln 31f x g x ax x =-=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（）(A)94(B)2(C)92(D)422、已知()()2cos ,43f x x x g x x x =+=-+-，对于[],1a m m ∀∈+，若,03b π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，满足()()g a f b =，则m 的取值范围是（）(A)22⎡-+⎣(B)1⎡+⎣(C)2⎡+⎣(D)12⎡+⎣23、已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）(A)[)1,0-(B)[]1,0-(C)3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(D)3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

函数、不等式恒成立问题1. 已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是__________．2.已知 且， )， ，若对任意实数均有，则的最小值为________．3.当实数x ，y 满足时，ax ＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．4.已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.5. 已知，若恒成立，则实数t 的取值范围（ ） A.B. C. D. 6.若不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A. (－3,0)B. [－3,0)C. [－3,0]D. (－3,0]7. 若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) (A)(B) (C) （D ） 8.当时，不等式恒成立，则的取值范围是( ) A.B. C.D. 9.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A. B., C., D.10.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.11.已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（ ）A ．4(1)(2)f f <B ． 4(1)(2)f f >C ． (1)4(2)f f <D ． (1)4(2)f f '<12.设函数.w.对于任意实数，恒成立，求的最大值()A B C D13. 已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 814. 若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 15.设函数，. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.16.已知函数满足，且分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．17.设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．18.设函数．（1）当时，记函数在[0，4]上的最大值为，求的最小值；（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．20.已知，数列的各项均为正数，前项和为，且，设．1（1）若数列是公比为的等比数列，求；（2）若对任意，恒成立，求数列的通项公式；（3）若，数列也为等比数列，求数列的通项公式．21. 已知函数f(x)=(1)若对，f(x) 恒成立，求的取值范围；(2)已知常数a R，解关于x的不等式f(x) .22.已知函数，，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性.（Ⅱ）是否存在实数，使对任意恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.。

【最新整理，下载后即可编辑】解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为，则C=（ ） A ． B ． C ． D ．2．在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=（ ）A ．4B ．C ．D ．2 3．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），若a 1＞1，则（ ）A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为 ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=，b=2，A=60°，则sinB= ，c= ．7．设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为 ．8．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ． 三．解答题（共9小题）9．在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．10．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知bsinA=acos （B ﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．12．在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos ∠ADB ；（2）若DC=2，求BC ．13．设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．（1）设a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1对n=1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈（1，]，证明：存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d 的取值范围（用b 1，m ，q 表示）．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n+1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．15．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N*），{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N*），（i ）求T n ；（ii ）证明=﹣2（n ∈N*）．16．等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=﹣7，S 3=﹣15．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B． C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A ．3．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），若a 1＞1，则（ ）A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 4【解答】解：a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a 1＞1，设公比为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），不成立，即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成立，排除A 、D ． 当q=﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，等式不成立，所以q ≠﹣1；当q ＜﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3）不成立，当q ∈（﹣1，0）时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），能够成立，故选：B ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12【解答】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2， ∴=a 1+a 1+d+4a 1+d ，把a 1=2，代入得d=﹣3∴a 5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B ．二．填空题（共4小题）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为 9 ．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°， 即ac=a+c ，得+=1， 得4a+c=（4a+c ）（+）=++5≥2+5=4+5=9， 当且仅当=，即c=2a 时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a=，b=2，A=60°，则sinB= ，c= 3 ．【解答】解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==． 由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为 a n =6n ﹣3 ．【解答】解：∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，∴，解得a 1=3，d=6，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3+（n ﹣1）×6=6n ﹣3．∴{a n }的通项公式为a n =6n ﹣3．故答案为：a n =6n ﹣3．8．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ﹣63 ．【解答】解：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1，①当n=1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=﹣1，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1+1，②， 由①﹣②可得a n =2a n ﹣2a n ﹣1，∴a n =2a n ﹣1，∴{a n }是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S 6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===， 由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．（1）设a 1=0，b 1=1，q=2，若|a n ﹣b n |≤b 1对n=1，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若a 1=b 1＞0，m ∈N*，q ∈（1，]，证明：存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d 的取值范围（用b 1，m ，q 表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n ﹣b n |≤1对任意n=1，2，3，4均成立， ∵a 1=0，q=2，∴，解得．即≤d ≤．证明：（2）∵a n =a 1+（n ﹣1）d ，b n =b 1•q n ﹣1，若存在d ∈R ，使得|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b 1+（n ﹣1）d ﹣b 1•q n ﹣1|≤b 1，（n=2，3，…，m+1）， 即b 1≤d ≤，（n=2，3，…，m+1），∵q ∈（1，]，∴则1＜q n ﹣1≤q m ≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b 1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n ﹣b n |≤b 1对n=2，3，…，m+1均成立， 下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值， ①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q ≤时，有q n ≤q m ≤2，从而n （q n ﹣q n ﹣1）﹣q n +2＞0， 因此当2≤n ≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f （x ）=2x （1﹣x ），当x ＞0时，f′（x ）=（ln2﹣1﹣xln2）2x ＜0，∴f （x ）单调递减，从而f （x ）＜f （0）=1， 当2≤n ≤m 时，=≤（1﹣）=f （）＜1，因此当2≤n ≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d 的取值范围是d ∈[，]．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n+1﹣b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项， 可得2a 4+4=a 3+a 5=28﹣a 4， 解得a 4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去）， 则q 的值为2；（Ⅱ）设c n =（b n+1﹣b n ）a n =（b n+1﹣b n ）2n ﹣1， 可得n=1时，c 1=2+1=3，n ≥2时，可得c n =2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=4n ﹣1， 上式对n=1也成立， 则（b n+1﹣b n ）a n =4n ﹣1，即有b n+1﹣b n =（4n ﹣1）•（）n ﹣1，可得b n =b 1+（b 2﹣b 1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1） =1+3•（）0+7•（）1+…+（4n ﹣5）•（）n ﹣2， b n =+3•（）+7•（）2+…+（4n ﹣5）•（）n ﹣1，相减可得b n =+4[（）+（）2+…+（）n ﹣2]﹣（4n ﹣5）•（）n ﹣1=+4•﹣（4n ﹣5）•（）n ﹣1，化简可得b n =15﹣（4n+3）•（）n ﹣2．15．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N*），{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N*）， （i ）求T n ； （ii ）证明=﹣2（n ∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2﹣q ﹣2=0． ∵q ＞0，可得q=2． 故．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d=4，由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d=16， ∴b 1=d=1． 故b n =n ；（Ⅱ）（i ）解：由（Ⅰ），可得， 故=；（ii ）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3． （1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ． 【解答】解：（1）∵等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3． ∴1×q 4=4×（1×q 2）， 解得q=±2， 当q=2时，a n =2n ﹣1， 当q=﹣2时，a n =（﹣2）n ﹣1，∴{a n }的通项公式为，a n =2n ﹣1，或a n =（﹣2）n ﹣1． （2）记S n 为{a n }的前n 项和． 当a 1=1，q=﹣2时，S n ===，由S m =63，得S m ==63，m ∈N ，无解；当a 1=1，q=2时，S n ===2n ﹣1，由S m =63，得S m =2m ﹣1=63，m ∈N ， 解得m=6．17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=﹣7，S 3=﹣15． （1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n }中，a 1=﹣7，S 3=﹣15， ∴a 1=﹣7，3a 1+3d=﹣15，解得a 1=﹣7，d=2， ∴a n =﹣7+2（n ﹣1）=2n ﹣9； （2）∵a 1=﹣7，d=2，a n =2n ﹣9， ∴S n ===n 2﹣8n=（n ﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n 项的和S n 取得最小值为﹣16．。

不等式恒成立问题专题训练 6.15方法提炼：(1) f (x) = ax b(a =0)f (x)》0在xw h n】上恒成立 u f(x) <0在x^m,n】上恒成立 u(2) 设f (x) =ax2 bx c(a =0)f (x) >0在x亡R上恒成立仁f (x) < 0在x^ R上恒成立u(3) a»f(x)恒成立 u a<f(x)恒成立 u例题讲解：例1.(1)对任意x在［0,1］，不等式x2 - (2a十3)x十a2十3a < 0恒成立，求a的取值范围。

(2)对任意a^［0,1］，不等式x2 - (2a+3)x-6a <0恒成立，求x的取值范围。

例 2.已知f(x)=x2+ (3-a) x+3.(1) x^R, f(x)芝a恒成立，求a的取值范围，(2) 当x w 0,4】时，f(x)芝a恒成立，求a的取值范围例3.已知a >1,b >1, a+b十3 =ab，不等式a十bZm对于a,b恒成立，则m的取值范围是例4.对任意实数x,不等式x+1芝kx恒成立，贝U k的取值范围为课堂练习：1. 若f (x) =mx +2m -1 ,当xw [—1,1 M f (x) <0恒成立，贝U m的取值范围是 .2. 若f (x) =(m+1)x2—mx + m-1 a0的解集为R,则m的取值范围是.3. 已知关于x的不等式x+^^芝5，在xw(a +X上恒成立，贝U实数a的最小值是.x —a4. 关于x的不等式2x2-9x+m<0在区间2,3】上恒成立，贝U m的取值范围是 .5. 函数y =ax+2a+1 (-1壬x苴1 )的值有正有负，贝U a的取值范围是 .26. 若命题R, 2x —3ax+9 <0”为假命题，贝u实数a的取值范围为 .x7. -------------------------------------------- 若对任意x>0 , 「<afe成立，贝U a的取值氾围是 .x 3x 18. 函数y =1+2x+a4x,x在(-°°,1 ],若y》0恒成立，贝U a的取值范围是 .x22x a9. 已知函数f (x) = , x€ [ 1, +8 ) .右对任意x€ [ 1, +8 ) , f (x) >0fe成x立，实数a的取值范围是.10. 对于任意x在R,不等式x2 -aJx2+1 +5>0恒成立，求实数a的取值范围.11."对火击0,2】，不等式0壬x2—mx十4《6恒成立”是真命题.求m的取值范围★让结局不留遗憾，让过程更加完美课后作业:2 2,1. 已知函数y = lg［x +(a—1)x+a ］的定义域为R,求实数a的取值范围 .一_ ，.一…(1 a\ — - ________2. 已知a,x,y》0，右不等式(x+y)\—+—>9fe成立，贝U a的最小值是 .3. _________________________________________________________________________________ 已知x >0, y》0，且2+ 1=1，若x+2y >m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为____________________x y4. 已知a》0,b》0,a +b +2 =ab ,不等式a +b Z m对于a,b恒成立，则m的范围是.5. 已知函数f (x) = ax—/4x —x2,x w (0,4］时f(x)< 0恒成立，贝U a的范围是.Y 1一， (2)6. 已知a》0且a#1, f(x)=x -a，当x在(一11 )时恒有f (x^-，则a的范围是.. 一(1\7. 右不等式3x —log a x<0在x w 0,［内恒成立，求实数a的取值范围.I 3J….一….2 . . ■- —. ,一8. 若对一切p壬2，不等式(log2x) + plog2x + 1》2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围2x 4, 一，，2 〜21 ,,9. 设f(x)= x ，求证：对任意的实数a,b不等式f(a)<b -3b+ 一恒成立.4x8 ' 410.对任意a,bw R, a2+舄b2芝b(a+b)恒成立，求实数人的取值范围.11.若不等式3x2- log a x < 0在x ,0,1]< 3J［内恒成立，求实数a的取值范围.12.设f (x) = v'-x2 _4x , g (x)4 」=一x 1 —a ,3若恒有f (x) < g(x)成立，求实数a的取值范围.在[-1,1]13. 已知f(x) 是定义yd。

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点四 函数、不等式中恒成立问题总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1.【2018届河北省邯郸市高三1月】已知关于x 的不等式2cos 2m x x ≥-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. [)3,+∞B. ()3,+∞C. [)2,+∞ D. ()2,+∞ 【答案】C2.已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（ ） A ．4(1)(2)f f < B ． 4(1)(2)f f > C ． (1)4(2)f f <D ． (1)4(2)f f '<【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >，则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==<，所以函数()g x 在(0,)+∞为减函数，所以(1)(2)g g <，即22(1)(2)12f f >，所以4(1)(2)f f >，故选B ． 3.已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-⎧==⎨--<-⎩若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[)4,.-+∞ B.()+∞-,4, C.()+∞,4, D. [)+∞,4【答案】A【解析】在同一个平面直角坐标系中分别作出函数2y x m =-及()y f x =的图象，由于不等式()2f x x m ≥-恒成立，所以函数2y x m =-的图象应总在函数()y f x =的图象下方，因此，当2x =-时，40,y m =--≤所以4,m ≥-故m 的取值范围是[)4,.-+∞4.设函数329()62f x x x x a =-+-对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值( ) A 34- B 43 C 41 D 41-【答案】A【解析】'2()396f x x x =-+,对∀x R ∈,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥在x R ∈上恒成立,∴8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34-.5.当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是( )A. 5m ≤-B.5-<mC. 5<mD. 5≥m【答案】A6. 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B【解析】已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，只要求()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值9≥， 121y axa a a x y+++≥++， 219a a ∴++≥， 2a ∴≥或4a ≤-，（舍去），2a ∴≥，即正实数a 最小值为4，故选B.7. 若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是( ) (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥ 【答案】B 【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||1a ≤. 8. 若不等式2162a bx x b a+<+对任意a ， ()0b ∈+∞，恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A. ()20-，B. ()42-，C. ()()20-∞-⋃+∞，，D. ()()42-∞-⋃+∞，， 【答案】B9.【2018届高考数学训练】若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A. (－3,0) B. [－3,0) C. [－3,0] D. (－3,0] 【答案】D【解析】当k ＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则20{34208k k k <⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎝⎭解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]，故选D.10.设函数3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1(,1]2B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞【答案】D 【解析】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--，故选D.11. 已知,0,32x y x y xy >+=，若22351x y t t +>++恒成立，则实数t 的取值范围（ ） A. ()(),83,-∞-⋃+∞ B. ()8,3- C. (),8-∞- D. ()3,+∞ 【答案】B【解析】∵x＞0，y ＞0，且3x+2y=xy ， 可得321y x+=， ∴2x+3y=(2x+3y)32y x +（）=13+66x y y x +（）≥13+266x yy x⋅=25，当且仅当x=y=5时取等号. ∵2x+3y＞t 2+5t+1恒成立， ∴t 2+5t+1＜25， 解得-8＜t ＜3. 故选B.12.已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),22-∞ B ．(,22⎤-∞⎦C ．(0,22⎤⎦ D ．()22,+∞【答案】B 【解析】由题意可得()2x x e e g x -+=，()2x x e e h x --=，不等式(2)()0g x ah x -≥为22022x x x xe e e e a --+--⨯≥，设x x t e e -=-，则不等式化为220t at +-≥，又x x t e e -=-是增函数，则当(0,2]x ∈时，221(0,]t e e ∈-，此时不等式220t at +-≥可化为222t a t t t +≤=+，易知222t t+≥（当且仅当2t =时取等号），因此2t t +的最小值是22，所以22a ≤．故选B ．（二）填空题（4*5=20分） 13. 已知函数()()22log 1,0{2,0x x f x x x x +>=--≤，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】01m <<【解析】试题分析：令()()0g x f x m =-=，得()m f x =，作出()y f x =与y m =的图象，要使函数()()g x f x m =-有3个零点，则()y f x =与y m =的图象有3个交点，所以01m <<.14.【2018届上海市静安区高三上学期检测】已知()xf x a b =- (0a >（且1a ≠， R b ∈)， ()1g x x =+，若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为________． 【答案】4【解析】∵()xf x a b =- (0a >且1a ≠， R b ∈)， ()1g x x =+，且对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤∴()()10x a bx -+≤对任意的实数x 均成立∴0{ 10x a b x -=+=，即1ab =∵0a > ∴0b >，则141442444ab b a b a ab a b a b ⎛⎫+=+⋅=+≥⋅== ⎪⎝⎭，即min144a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a =， 2b =取等号. 故答案为415.【2018届高考数学训练】 当实数x ，y 满足240{10 1x y x y y +-≤--≤≥时，ax ＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由约束条件作可行域如图，联立1{240x x y =+-=，解得31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，联立10{240x y x y --=+-=，解得()2,1B ，在10x y --=中取0y =得()1,0A ．由4ax y +≤得4y ax ≤-+，要使4ax y +≤恒成立，则平面区域在直线4y ax =-+的下方，若0a =，则不等式等价于4y ≤，此时满足条件，若0a ->，即0a <，平面区域满足条件，若0a -<，即0a >时，要使平面区域在直线4y ax =-+的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即214a +≤，得302a <≤，综上32a ≤，所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.【2018届高考数学训练】已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(－∞，658] 【解析】正实数x y ，满足8x y xy ++=()284x y x y +∴++≤()()840x y x y ∴+-++≥40x y ++≥ 80x y ∴+-≥8x y ∴+≥（当且仅当4x y ==时，取等号）对任意满足条件的正实数x y ，都有不等式()()210x y a x y +-++≥()1a x y x y∴≤+++对任意满足条件的正实数x y ，恒成立， 令()8t x y t =+≥，则()1f t t t=+在()8+∞，上为单调增函数，()1165888f t t t ∴=+≥+=（当且仅当84t x y ===即时，取等号） 658a ∴≤ ∴实数a 的取值范围是65( 8⎤-∞⎥⎦，故答案为65( 8⎤-∞⎥⎦，(三）解答题（6*12=72分）17. 设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． 【答案】(]4--∞，.【解析】322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当max ()1f x ≤， 即(1)1(1)1f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b ab a ≤--≤-+⎧⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即min min(2)(2)b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，[]22a ∈-，所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，． 18.设函数2(),,f x x ax b a b R =-+∈．（1）当2a =时，记函数|()|f x 在[0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值；（2）存在实数a ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，求b 的最大值及此时a 的值． 【答案】（1）92；（2）2a ＝（2）显然0b >．22()24a a f x x b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．①当<02a 时，只需满足()()220 6.f b f b b ab b ⎧=⎪⎨=-+≤⎪⎩由0a <及2b ≥，得()26f b b b >≥＋，与()6f b ≤矛盾．②当2a b >时，只需满足()()2062.f b f b b ab b =≤⎧⎪⎨=-+≥⎪⎩由20a b >>，得22ab b <－－，∴222111()2244f b b b b b ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭，与()2f b ≥矛盾．③当02a b ≤≤时，只需满足()()22206,224624f b a a f b a a f b b b ⎧⎪=≤⎪⎪⎪⎛⎫=-≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①，②，③由①，②得26b ≤≤．由②，③得2-+262a b ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又02a b ≤≤，∴022a b ≤-≤，即022ab ≤-≤，再结合②得222()24a b b ≤≤-，④∴23b ≤≤．当3b ＝时，由④得2a ＝，此时满足①，②，③及02ab ≤≤． 综上所述，b 的最大值为3，此时2a ＝ 19. 已知函数()f x =2log (01x aa x +>-)为奇函数． (1)求实数a 的值;(2)若(]()21,4,log 1mx f x x ∈>-恒成立,求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 1a =;(2) (]0,2.【解析】试题分析：(1)利用函数的奇偶性的定义进行求解;(2)利用对数函数的单调性将对数不等式转化为一次不等式恒成立问题进行求解．20.【江苏省镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设 n n n a a b 212+=-．（1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2；（2）若对任意*∈N n ，22na S n n +=恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）若)(1232-=nn S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式．【答案】（1）23(31)2nn S -=；（2）n a n =；（3）1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数.【解析】（1）112123b a a =+=+=， ……1分21234212123(13)3(31)()()()132n n n n n n S a a a a a a b b b ---=++++++=+++==-.……3分 （2）当2n ≥时，由22n n S a n =+，21121n n S a n --=+-，则2222111222(1)1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+， 221(1)0n n a a ---=，11(1)(1)0n n n n a a a a ----+-=，故11n n a a --=，或11n n a a -+=.（*） ……6分 下面证明11n n a a -+=对任意的n ∈N*恒不成立. 事实上，因123a a +=，则11n n a a -+=不恒成立；若存在n ∈N*，使11n n a a -+=，设0n 是满足上式最小的正整数，即0011n n a a -+=，显然02n >，且01(0,1)n a -∈，则00121n n a a --+≠，则由（*）式知，00121n n a a ---=，则020n a -<，矛盾. 故11n n a a -+=对任意的n ∈N*恒不成立，所以11n n a a --=对任意的n ∈N*恒成立. ……8分 因此}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)n a n n =+-=. ……10分 （3）因数列}{1+n n a a 为等比数列，设公比为q ，则当2n ≥ 时，1111n n n n n n a a a q a a a ++--==. 即21{}n a -，2{}n a 是分别是以1，2为首项，公比为q 的等比数列； ……12分 故3a q =，42a q =.令2n =，有412341229S a a a a q q =+++=+++=，则2q =. ……14分 当2q =时，1212n n a --=，12222n n n a -=⨯=，121232n n n n b a a --=+=⨯，此时21234212123(12)()()()3(21)12n n n n n n S a a a a a a b b b --=++++++=+++==--.综上所述，1222,2,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数. ……16分21. 已知函数f(x)= 2ax x a -+(1)若对x 0∀>，f(x) 0≥恒成立，求的取值范围；(2)已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式f(x) 0≥.【答案】(1) a≥12 (2) 当1a 2≥时，原不等式的解集为R ；当10a 2<<时，原不等式的解集为{x|x 2114a 2a --≤ ,或x 2114a 2a +-≥ }；当a=0，原不等式为{x|x ≤0}当1a 02-<<时，原不等式的解集为{x|2114a 2a +- ≤x 2114a 2a --≤ }；当a=12-时，原不等式的解集为{x|x=1}；当a 12<-时，原不等式的解集为∅. 【解析】试题分析：(1)利用变量分离的方法把问题转化为均值问题即可；（2）对字母a 合理分类讨论即可得到不等式的解集.试题解析：(1)由题意可知x ∀>O ，a≥2x x 1+恒成立，即a≥（2x x 1+）max ； 2x 111x 12x x=≤++ , ∴a≥12 (2)①若a=O ，则原不等式为-x≥0，故不等式的解集为{x|x≤0}． ②若a>0，△=1- 4a 2当0≤时，即1a 2≥时，原不等式的解集为R. 当0>，即10a 2<<时，方程2ax x a 0-+≥的两根为2114a x12a --=， 2114a x22a +-=， ∴原不等式的解集为{x|x 2114a 2a --≤ ,或x 2114a 2a+-≥ }. ③若a<0，△=1-42a .当0>，即1a 02-<<，原不等式的解集为{x|2114a 2a +- ≤x 2114a 2a --≤ }. 当0=时， 1a 2=-时，原不等式化为()21x 102--≥， ∴原不等式的解集为{x|x=1}.当0<，即1a 2<-时，原不等式的解集为∅ 综上所述，当1a 2≥时，原不等式的解集为R ；当10a 2<<时，原不等式的解集为{x|x 2114a 2a --≤ ,或x 2114a 2a +-≥ }； 当a=0，原不等式为{x|x≤0} 当1a 02-<<时，原不等式的解集为{x|2114a 2a +- ≤x 2114a 2a --≤ }； 当a=12-时，原不等式的解集为{x|x=1}； 当a 12<-时，原不等式的解集为∅. 22.【2018届河南省安阳市高三第一次模拟】已知函数()222x e f x e x=+， ()3ln g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性.（Ⅱ）是否存在实数,a b ，使()()f x ax b g x ≥+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立？若存在，试求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3,0a b ==【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数()'f x ，求出()'0f x =的解，在定义域内的各区间可得()'f x 的正负，即得()f x 的单调区间；试题解析：（Ⅰ）()2332244'x e x e f x e x ex -=-=，令()'0f x =得34e x =.当34e x <且0x ≠时， ()'0f x <；当34e x >时， ()'0f x >. 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在30,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）注意到()()3f e g e e ==，则3ae b e +=， 3b e ae =-①.于是， ()ax b g x +≥即()()31ln 0a x e e x ---≥，记()()()31ln h x a x e e x =-+-， ()3'(0)e h x a x x=->， 若0a ≤，则()'0h x <，得()h x 在()0,+∞上单调递减，则当x e >时，有()()0h x h e <=，不合题意； 若0a >，易知()h x 在30,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 得()h x 在()0,+∞上的最小值3332ln 0e e h e ae a a ⎛⎫⎛⎫=--≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记()332e m a e ln ae a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()3'e m a e a=-，得()m a 有最大值()30m =，即()()30m a m ≤=， 又()0m a ≥，故3a =，代入①得0b =.当3,0a b ==时， ()f x ax b ≥+即22233x e x x +≥⇔ 323230(0)x ex e x ex-+≥> 323230x ex e ⇔-+≥. 记()32323x x ex e ϕ=-+，则()()'6x x x e ϕ=-，得()x ϕ在()0,+∞上有最小值()0e ϕ=，即()0x ϕ≥，符合题意.综上，存在3,0a b ==，使()()f x ax b g x ≥+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立.。