2015年长沙市学用杯初中数学九年级初赛试题答案

九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 一个等差数列的首项为2，公差为3，则第10项为（）。

A. 29B. 30C. 31D. 324. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(3)的值为（）。

A. 6B. 9C. 12D. 155. 在直角坐标系中，点(3, 4)关于y轴的对称点为（）。

A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (-3, -4)D. (4, 3)二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个等腰三角形一定是相似的。

（）2. 任何数乘以0都等于0。

（）3. 二次函数的图像一定是一个抛物线。

（）4. 平行四边形的对角线互相平分。

（）5. 一元一次方程的解一定是整数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个圆的半径为r，则它的周长为______。

2. 若等差数列的首项为a，公差为d，则第n项为______。

3. 若函数f(x) = ax² + bx + c，则它的顶点坐标为______。

4. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于原点的对称点为______。

5. 若一个平行四边形的面积为S，底为b，高为h，则S =______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义。

2. 简述二次函数的图像特点。

3. 简述勾股定理。

4. 简述平行线的性质。

5. 简述一元二次方程的解法。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为10cm，求它的对角线长。

2. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项。

3. 已知函数f(x) = 3x² 12x + 9，求它的顶点坐标。

4. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(4, 7)，求线段AB的长度。

第3题图AB东第2题图1-2 -1M2015年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月13日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、(21211-+--的值为（ ）A 、2-B 、2C 、22-D 、222、如图，观察图中的数轴，用字母a ，b ，c 依次表示点A 、B 、C 对应的数，则ab 1，a b -1，c1这三个数的大小关系为（ ）A 、ab c a b 111- B 、ab a b c 111- C 、cab a b 111 -D 、c a b ab 111 - 3、如图，一艘船以h km /32速度向正东方向航行。

在A 处时看见灯塔M 在北偏东︒60方向，半小时后到达B 处，看见灯塔M 在北偏东︒15方向，此时，灯塔M 与船的距离是（ ）ECM D第4题图AB 第5题图 GECFD第8题图 ABA 、km 28B 、km 216C 、km 8D 、km 164、如图，平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB DE ⊥，M 是BC 的中点，︒=∠35DEM ，则B ∠的大小是（ ）A 、︒100B 、︒110C 、︒120D 、︒1255、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数434+-=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转︒90，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则BC A '∆的面积为（ ）A 、2524B 、2512C 、256D 、253 6、满足2=++b a ab 的有序正整数对（a ，b ）共有（ ）A 、17对B 、18对C 、34对D 、36对 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、已知2241622=---x x ，则_________41622=-+-x x ．8、如图所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连接AF 、CE ，设AF 、CE 的交于点G ，若矩形ABCD 的面积是1，则四边形AGCD 的面积是 ．9、已知0≠y ，且089222=+-y xy x ，则22223484y xy x y xy x ++--的值为 ．10、若关于x 的不等式()()n m x n m 352-- 的解集为1 x ，则关于x 的不等式()m x n m 25 -n 3-的解集是 ．三、（本大题满分20分）11、已知正数a ，b 满足b a b a +=-211，求3333b a a b +的值。

九年级数学复赛试题·第1版（共6 版）九年级数学复赛试题·第2版（共6 版）2016年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题 答 案一、选择题（每小题7分）1.选D ，理由：由2()()()y x a x b x a b x ab =−−=−++，知二次函数的自变量x 的二次项系系数为1，所以函数能取得最小值，当2ba x +=时， min y =222(4)(4b a b a ab −−=+−2.选B ，理由：由MA =MB =MC ，知∠ABC =90°，已知其周长为30，则AC +BC =17，且AC 2+BC 2=132，从而2222()()AC BC AC BC AC BC ⋅=+−+ =172-132=120，故S △ABC =3021=⋅BC AC 。

3.选C 理由：由)()())(13()(2c b b a c a c b b a −+−=−=−++−知,)(3)(2b a c b b a −=−+−即),(3))(12(c b b a −−=−−故123−−=−−c b b a ＜0 4. 选A ，理由：法一:可以证明BEC AEH Δ≅Δ法二: 如图，作出△ABC 的外接圆，延长CH 交AB 于点D ，交外接圆于点H ′，则由∠=BA H '∠'H CA =∠HBA 知'H D =DH ，亦知△A 'H B 与△AHB 关于AB 对称，从而这两个三角形的外接圆关于AB 对称，即这两个圆为等圆， 而∠ABH = 45°=∠BAC ，故AH =BC 。

5.选B ，理由：因为9n 能被9整除，所以它的数码和a 被9整除，则n 能被9整除，所以两位数n 只可能是18、27、36、45、54、63、72、81、90、99，用3去乘，把数字之和发生改变的63排除掉；同样，用7去乘可排除27、54，用9去乘可排除72、81，所以满足条件的两位数是18、36、45、90、99共5个。

2015年长沙市初中毕业生学业考试数学训练试卷(12)一．选择题（每题3分，共36分）1.下列运算准确是（ ）. A ．632aa = B.()22323-=-⨯ C.21a a a= D.1882-= 2.如图，数轴上A B 、两点对应的实数分别是1和3，若点A 关于点B 的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为（ ）.A.231-B.13+C.23+D.231+3.关于x 的一元二次方程2620x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）.A.92k ≤B.92k <C. 92k ≥D. 92k > 4.如图，雷达探测器测得六个目标A B C D E F 、、、、、出现.按照规定 的目标表示方法，目标C F 、的位置表示为()()61205210.C F ，°、，°按照此方法在表示目标A B D E 、、、的位置时，其中表示不准确的是（ ）.A ．()530A ，° B. ()290B ，° C. ()4240D ，° D. ()360E ，°第7题图5.阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可 获得20%，则这种电子产品的标价为( )A. 26元B. 27元C. 28元D. 29元6、若一元二次方程0632=++-m x x 的一个根为31=x ，则该方程的另一个根是( ) A 、12-=x B 、32-=x C 、52-=x D 、52=x7、随机抽取九年级某班10位同学的年龄情况为：17岁1人，16岁5人，15岁2人，14岁2人。

则这10位同学的年龄的中位数和平均数分别是（单位：岁）( ) A 、16和15 B 、16和15.5 C 、16和16 D 、15.5和15.5 8.下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ）A. B. C. D.9.已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图.若12y y <，则自变量x的取值范围是（ ）.A ．322x -<< B. 322x x ><-或 C. 322x -<< D. 322x x <->或 10.如图3，四边形OABC 为菱形，点A B 、在以点O 为圆心的DE 上，若312OA =∠=∠，，则扇形ODE 的面积为( ) A.3π2 B. 2π C.5π2D. 3π 11.将边长为3cm 的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成 一个正六边形，则这个正六边形的面积为( ) A.332cm 2 B.334cm 2 C.338cm 2 D.33cm 212.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于（ ）. A ．0.618 B. 2C. 2D. 2二、填空题：(每题3分共24分)13.不等式642-<x x 的解集为 ．14.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅=________。

CABD M 第15题2０14年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题(时量：９0分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,共40分）题号 12345６789１０答案１.设Ｐ=121220132012++,Ｑ＝121220142013++，则P 与Ｑ的大小关系是Ａ.P ＞Ｑ B ．P=Q C ．P<Q D ．不能确定２.边长为整数,周长等于2１的等腰三角形共有A.４个 B ．5个 C ．６个 D.7个3．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k 为整数,当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时,k 的值可以取Ａ.8个 ﻩﻩB ．7个 ﻩﻩC.６个 Ｄ.5个 4.若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(b a +,ac ）在A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 Ｄ.第四象限5.如图，矩形ＡBCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于A.1５2B.143C.132 D ．1086.如图,⊙O 中，弦A Ｄ∥BC ,DA =DC ，∠AOC =16０°，则∠ＢCO 等于ﻫA. 20° B. ３0° C. 40° D ． 50°7.已知锐角△A ＢC 中，∠A ＝6０°，BD 和CE 都是△A ＢC 的高。

如果△A ＢC 的面积为12,那么四边形ＢCDE 的面积为 A.6 ﻩＢ．８ C.9 ﻩD ．108．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台(n 为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是A.１１ B ．13 ﻩ C.１7 ﻩ Ｄ.19 9．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、Ｂ，如果S △AOB ≤1，那么,k 的取值范围是 A.k ≤1 B. 0＜k ≤1 C ．－1≤k ≤1 D. k ≤-1或k ≥1１0.如图,在梯形ＡBCD 中,A Ｂ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点,6AB BC CD ++=,5BE =,则梯形ＡBC Ｄ的面积等于A ． 13B ． 8C ． 132Ｄ． 4二、填空题(本大题共８小题，每小题4分,共３２分）１1．实数a ，b 满足a b a b a =++-+-+-31)5(2)3(222,则=-b a ． １2.若532=-+c b a , 8765=+-c b a ,则=-+c b a 529 .１3.若m ,n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根,则=-+n m m 22．１4.已知3=xy ,那么yxyx y x +的值是 ． 15.如图，在△ABC 中，中线CM 与高线ＣD 三等分ACB ∠，则B ∠等于 度. １6．已知t bac a c b c b a =+=+=+,那么直线t tx y +=一定通过第 象限． １７．不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数)的根总是x ＝1，那么=+b a .18.如图, AB 是半径为R 的圆O 的直径， 四边形CDMN和DEFG 都是正方形． 其中,,C D E 在AB 上， ,F N学校： 姓名： 考场： 考号：☼……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼……密……☼……封……☼……线……☼ABCD E 第10题Oxy第4题 A B C D 第6题O C B A D 第5题 第18题在半圆上，则两个正方形的面积之和为 ．. ﻬ三、解答题(本大题共2小题,每小题14分,共28分） 19．（本题满分14分)如图，已知一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,与正比例函数x y 3=的图象交于点C ,点D 是线段OB 上的一个动点(不包含O 、B 两点），以ＡD 为边在其一侧作等边三角形AD Ｅ，ＤE 交ＡB 于Ｆ,A Ｄ交ＯC 于G ．(1)分别求出A 、B 、C 三点的坐标； (2)△ADF 和△ACG 是否相似,为什么? (3)证明ＣＥ总与AB 垂直.ﻮ2０．(本题满分14分)如图１,在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD 的直角顶点D 与原点重合,另一直角顶点Ａ在y 轴的正半轴上，点Ｂ、C 的坐标分别为B （1２，8）、C （14，0），AD 为⊙E 的直径.,点M 、Ｎ分别从A 、Ｃ两点同时出发做匀速运动，其中点Ｍ沿AB 向终点Ｂ运动,速度为每秒1个单位;点N 沿ＣD 向终点D 运动,速度为每秒3个单位.当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1)如图2,设点M 、N 的运动时间为t 秒,当t 为何值时,四边形MB ＣN 为平行四边形?（2)在(1)的条件下，连结ＤM 与⊙E 相交于点P ，求弦DP 的长；(3)已知二次函数的图象经过D 及(1)中的点M 、N ,求该二次函数的解析式;（4）在运动过程中,是否存在使直线MN 与⊙E 相切的情形?如果存在,请求出直线ＭN 的解析式;如果不存在,请说明理由.（图3供解答本小题用）2014年长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 初 赛 试 题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共4０分）题号123456７89１0x O B Ay C DGF E。

长沙市2015年初中毕业学业水平考试数学（本试卷满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，为无理数的是（）A．0.2 B．C．D．－5答案：C 【解析】本题考查无理数的概念，难度较小．根据无限不循环小数是无理数，得是无理数，故选C．2．下列运算中，正确的是（）A．x3÷x＝x4B．(x2)3＝x6C．3x－2x＝1 D．(a－b)2＝a2－b2答案：B 【解析】本题考查整式的运算，难度较小．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，x3÷x＝x3－1＝x2，A错；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，(x2)3＝x2³3＝x6，B正确；3x－2x＝(3－2)x＝x，C错；根据完全平方公式知(a－b)2＝a2－2ab＋b2，D错，故选B．3．2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑．据统计，长沙地铁2号线每天承运力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）A．1.85³105B．1.85³104C．1.8³105D．18.5³104答案：A 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a³10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．185000＝1.85³105，故选A．4．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，难度较小．轴对称图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形绕对称中心旋转180度后与原图重合．选项A，C，D 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选B．5．下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边答案：D 【解析】本题考查几何图形的基本性质，难度较小．六边形的内角和是(6－2)³180°＝720°，A错；任意多边形的外角和都等于360°，与边数无关，B错；矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，C错；三角形任意两边的和大于第三边，D对，故选D．6．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查解不等式组，难度较小．先分别解出不等式组里的每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即解不等式①得x＞－2，解不等式②得x≤3，故不等式组的解集是－2＜x≤3，其在数轴上的表示应为A，故选A．【易错分析】看数轴时要特别注意实心点和空心圈．7．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差答案：C 【解析】本题考查数据的分析应用，难度较小．根据众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，对商家而言，理所当然关注鞋子尺码的众数，故选C．8．下列说法中正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查答案：D 【解析】本题考查统计和概率的知识，难度较小．“打开电视机，正在播∠动物世界∴”这个事件可能发生，也可能不发生，它是随机事件，故A错误；“某种彩票的中奖”虽然概率很小，但它也是随机事件，买1000张，不一定中奖，故B错误；抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为二分之一，故C错误；“想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平”，调查数据大、范围广，宜采用抽样调查，故D正确．综上，故选D．9．一次函数y＝－2x＋1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C 【解析】本题考查一次函数图象的性质，难度较小．一次函数y＝－2x＋1，因为k＝－2＜0，b＝1＞0，所以直线呈下降趋势，且经过y轴正半轴上一点，即图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选C．10．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D答案：A 【解析】本题考查钝角三角形高线的作图，难度较小．根据高线作法知BC边上的高应是过点A作BC的垂线，此时垂线与BC的延长线相交，交点是垂足，故选A．11．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）A．米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米答案：C 【解析】本题考查解直角三角形的应用，难度较小．在Rt△ABO中，∵，∴OA＝OB²tanα＝30tanα（米），故选C．12．长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）A．562.5元B．875元C．550元D．750元答案：B 【解析】本题考查一元一次方程的应用，难度中等．设该电器的标价是x元，则实际销售价是0.8x元，成本是(0.8x－500)元，因为利润率为20%，所以(0.8x－500)²20%＝500，解得x＝3750（元），所以标价是3750元，成本是0.8x－500＝2500（元），如果按同一标价打九折销售那么获得的纯利润为0.9³3750－2500＝875（元），故选B．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）13．一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是_________．答案：【解析】本题考查概率公式，难度较小．摸出白球的概率．14．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为_________（结果保留π）．答案：【解析】本题考查扇形的面积计算，难度较小．因为（其中n是圆心角，r是半径），所以．15．把进行化简，得到的最简结果是_________（结果保留根号）．答案：【解析】本题考查二次根式的化简，难度较小．．16．分式方程的解为_________．答案：x＝－5 【解析】本题考查解分式方程，难度较小．将方程的两边同时乘以最简公分母x(x－2)，化为整式方程得5(x－2)＝7x，解得x＝－5，经检验x＝－5是原分式方程的解，故原分式方程的解为x＝－5．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是_________．答案：18 【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，难度较小．∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴，即，解得BC＝18．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为_________．答案：4 【解析】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的应用，难度中等．∵AB 是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．在Rt△ABC中，由勾股定理得，又∵OD⊥BC，∴DO∥AC，∴△OBD∽△ABC，．∵AC＝8，∴OD＝4．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分6分）计算：．答案：本题考查实数的计算，难度较小．涉及的知识点有负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式．解：原式．（6分）20．（本小题满分6分）先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2．答案：本题考查整式的化简求值，难度较小．解：原式＝(x2－y2)－(x2＋xy)＋2xy＝x2－y2－x2－xy＋2xy＝xy－y2．（3分）∵x＝(3－π)0＝1，（4分）∴当x＝1，y＝2时，原式＝1³2－22＝2－4＝－2．（6分）21．（本小题满分8分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝_________，b＝_________；（2）请补全频数分布直方图；（3）这次比赛成绩的中位数会落在_________分数段；（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？答案：本题考查频数分布表与频数分布直方图的理解与应用、中位数、样本估计总体，难度较小．读出图中的隐含信息是解题的关键．解：（1）a＝60，b＝0.15．（2分）（2）如图．（4分）（3）中位数会落在80≤x＜90分数段．（6分）（4）（人），所以全校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优等”的大约有1200人．（8分）22．（本小题满分8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜90°)后得直线l，直线l与AD，BC两边分别相交于点E和点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．答案：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、三角函数，难度较小．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOF≌△COF(AAS)．（4分）（2）如图．∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，∴AD＝AB，AC⊥BD于点O，，∴，∠CAD＝60°．又∵α＝30°，∴∠AEO＝90°，∴．又∵△AOE≌△COF，∴，∴．（8分）23．（本小题满分9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？答案：本题考查一元二次方程的应用（增长率问题），难度较小．解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，则由题意可得10(1＋x)2＝12.1，（3分）解此方程得x1＝0.1，x2＝－2.1（不合题意，舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（5分）（2）12.1³(1＋0.1)＝13.31（万件），．因为，所以该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，23－21＝2（人）．答：该公司6月份至少需要增加投递业务员2人．（9分）24．（本小题满分9分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，)，点D 在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．答案：本题考查与圆有关的计算与证明，难度中等．涉及的知识点有勾股定理、垂径定理、三角函数、切线的判定与性质、求点的坐标．解：（1）解法一：因为∠AOB为直角，所以AB是⊙M的直径．因为，所以⊙M的半径为．（2分）解法二：过点M分别作OB，OA的垂线，垂足分别为点E，F，连接OM，利用勾股定理与垂径定理可得⊙M的半径为．（2分）（2）证法一：因为在Rt△AOB中，，所以∠OAB＝30°，∠ABO＝60°．又因为∠COD＝∠CBO，而∠COD＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBO＝30°，故BD平分∠ABO．证法二：因为在Rt△AOB中，，所以∠OAB＝30°，∠ABO＝60°．又因为∠COD＝∠CBO，而∠COD＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBO＝30°，故BD平分∠ABO．（5分）（3）因为AB为⊙M的直径，所以过点A作直线l⊥AB，直线l与BD的延长线的交点即是所求的点E，此时直线AE必为⊙M的切线．易求得，∠ECA＝∠EAC＝60°，所以△ECA为边长等于的正三角形．设点E坐标为(x，y)，，，所以点E坐标为．（9分）25．（本小题满分10分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数的图象上所有“中国结”的坐标；（2）若函数（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？答案：本题考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质、求点的坐标、方程与函数的关系等，考查考生的阅读理解能力、分类讨论能力、逻辑推理能力，难度较大．解：（1）由题意可知“中国结”的横坐标x，纵坐标y均为整数，由于，显然x＝0时，y＝2．只要x取除零以外的整数时，y就不是有理数，此时y更不可能是整数，故一次函数的图象上只有一个“中国结”，其坐标为(0，2)．（3分）（2）由于的图象是关于原点对称的双曲线，由题意可知，该双曲线的每一支上各只有一个“中国结”．由于k＝xy，且k，x，y均是整数，结合整数的性质有①当k＞0时，k＝1＝1³1＝(－1)³(－1)，相应“中国结”的坐标为(1，1)，(－1，－1)；②当k＜0时，k＝－1＝1³(－1)，相应“中国结”的坐标为(1，－1)，(－1，1)．（6分）（3）解法一：由题意可知，当k≠1且k≠2时，关于x的二次方程(k－1)(k－2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0有两个不等的整数根x1，x2，分解因式可以得到[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，从而所以消去k得到x2(x1＋2)＝－1．由于x1，x2是整数，所以必有或者所以或者（舍去），所以，此时．由其图象可以得到其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”．（10分）解法二：由题意可知关于x的二次方程(k－1)(k－2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0有两个不等的整数根x1，x2，判别式Δ＝(2k2－4k＋1)2－4(k－1)(k－2)(k2－k)＝1，所以由求根公式可得或，余下同解法一．解法三：由上述方法得方程的两个根为由于x1，x2为整数，所以必有与均为非零整数，所以令（m，n均为非零整数），消去k得到，．由于m，n均为非零整数，所以必有1－m＝±1，从而m＝2，n＝－2，，余下同以上解法．解法四：由一元二次方程的根与系数关系可得余下同以上解法．26．（本小题满分10分）若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．（1）当x1＝c＝2，时，求x2与b的值；（2）当x1＝2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．答案：本题考查二次函数的图象与性质、等边三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质、不等式组的解法，难度较大．解：（1）由题意可得c，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以，所以．又因为ac2＋bc＋c＝0(a＞0，c＞0)，所以．（3分）（2）△ABM不可能为等边三角形．由一元二次方程的根与系数关系可得，∵x1＝2c，∴．又∵点A(2c，0)在对应的二次函数图象上，∴a(2c)2＋2bc＋c＝0．∵c＞0，∴．根据题中条件可得∴若△ABM为等边三角形，则必有，将代入此式并化简可得，，∴或．显然与矛盾，从而△ABM不可能为等边三角形．（6分）（3）∵△BPO∽△PAO，∴，即，∴ac＝1．由一元二次方程的根与系数关系可得，∵x1＝mc，∴．又∵点A(mc，0)在对应的二次函数图象上，∴a(mc)2＋bmc＋c＝0．∵c＞0，∴．根据题中条件可得∴0＜m＜1．∵S1＝S2，∴，∴b2＝8，∴．∵m＞0，∴，∴，解得．∵0＜m＜1．∴．（10分）综评：本套试卷难度中等，命题指导思想明确，侧重双基，注重生活实际应用，试题基本覆盖了初中数学教学重点．一百分的基础分比较易得，压轴题第25，26题传承了2014年的命题趋势，最后一问都有一定的难度，集中展示数学丰富多彩的内涵和变化之美感，全面考查考生阅读理解，处理综合信息的能力，充分体现了中考的选拔功能．。

第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．一、选择题（每小题6分，共30分）1．校园内一个半径为10米的圆形草坪，如图1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设2步为1米，结果保留整数）（）A．4步B．5步C．6步D．7步2．小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图2所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（）A．两个矩形相似B．两个矩形不一定相似C．两个矩形一定不相似D．无法判断两个矩形是否相似3．如图3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树，准备在山坡上建一个抽水泵站．已知山坡上有A、P、Q三处可供选择，且测得A到水库C的距离为50m，P到C的距离为40m，Q到C的距离为35m，山坡的坡角∠ACB=15°．由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程AB不能超过10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建在（sin15°=0.258 8，cos15°=0.965 9，tan15°=0.267 9）（）A．A处B．P处C．Q处D．A、P、Q均可4．宏光学校有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1 000块以上者给予7折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（）A．到甲公司购买大块地板砖B．到乙公司购买大块地板砖C．到甲公司购买小块地板砖D．到乙公司购买小块地板砖5．如图4，在某条公路上，从里程数8m开始到4 000m止，每隔8m将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m处种一棵树，在16m处立一盏灯，在24m处种一棵树（相邻的树与树、树与灯之间的距离都是8米）……，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程数800m~824m之间树与灯的排列顺序中正确的是（）二、填空题（每小题6分，共30分）6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克）西瓜个数（单位：个） 1 2 3 2 1 1根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克．7．你是否用电脑进行过图案设计？图5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行变化，得到图5（2）；小亮也在电脑上设计了一个图案，如图5（3），如果小亮也按小明变化图形时的规律对图5（3）进行变化，得到的图案是（画出简图）．8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）．为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动．9．自行车轮胎安装在前轮上行驶6 000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4 000千米．为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法，那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶千米．10．已知，如图7，斜坡PQ坡度为41:3i ，坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN．近中午的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PQ垂直，光线将树顶M的影子照射在斜坡PQ上的点A处．如果AQ=4米，NQ=1米，则大树MN的高度为．三、解答题（本大题共60分）11．（本题10分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)：甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13；请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？12．（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆．现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值X围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26 800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．13．（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈．图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为．（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯(P点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度．（结果精确到0.1m）14．（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图11）？请说明理由．（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）．通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．四、开放题（本题30分）15．杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天8∶00到22∶00用电每千瓦时是0.56元（峰电）；22∶00至次日8∶00每千瓦时是0.28元（谷电）．注：平时居民用电每千瓦时是0.52元．（1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？（2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的什么数学知识．第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1．B 2．C 3．C 4．C 5．D二、填空题（每小题5分，共30分）6．3 1257．8．2π米9．4 80010．8米三、解答题（每小题15分，共60分）11．解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是8年，众数是5年，中位数是7年；乙厂的收音机寿命的平均数约是6.45年，众数是8年，中位数是6年；丙厂的收音机寿命的平均数约是7.36年，众数是4年，中位数是8年． ················ 6分 所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数； ··········· 8分（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品．··········· 10分12．解：（1） 1 000(20)900800600(10)26 000100(010)y x x x x x x =-+++-=+≤≤；·········· 6分（2）依题意，得26 00010026 800x +≥，又因为010x ≤≤，∴810x ≤≤．因为x 是整数，∴x =8，9，10，方案有3种． ················ 9分 方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ········ 12分（3）∵26 000100y x =+是一次函数，且1000k =>，∴y 随x 的增大而增大． ∴当10x =时，这30辆车每天获得的租金最多．∴合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆． ··· 15分13．（1）如右图，以A 为坐标原点，BA 所在直线为y 轴建立直角坐标系xAy ，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：2y ax =， ··············· 4分由题意抛物线过点(2010)D -，，代入得140a =-，故拱圈外沿抛物线的解析式为： 2140y x =-． ······························· 8分 （2）设(10)N k -，，则：21(10) 2.5(m)40k =-⨯-=-，∴107.5(m)MN k =+=， ························· 12分 ∴7.5 1.18.6PM MN PN =++=≥（m ），即路灯支柱PM 的最低高度为．（其余解法可类似给分）． ············ 15分14．解：（1）当正三角形ABC 向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是三条等弧，所以其中心O 经过的路程为：120π32π180R R ⨯=． ·················· 3分 （2）中心O 经过的路程为90π42π180R R ⨯=． ················· 6分 （3）当n 边形向右翻滚一周时，其中心O 经过的路线是n 条等弧，这些弧的半径为R ，所对的圆心角为360n ，所以中心O 经过的路程为360π2π180R n n R ⨯=． ······· 10分 （4）是定值2πR ，理由如下：在△ABC 中，设A B C αβγ∠=∠=∠=，，，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为R ，把△ABC 沿直线l 向右翻滚一周时，其外心O 经过的路线是三条弧，当AC 边与直线l 重合时，C 与C '重合，A 与A '重合，B 与B '重合，连接CO 、C O ''，则ACO A C O '''∠=∠，所以180OCO ACA γ''∠=∠=-，所以(180)π180R l γ-=，同理，另两条弧长分别为：(180)π180R α-，(180)π180R β-，所以外心O 所经过的路程为2πR ． ········ 16分 通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值． ······························· 20分四、开放题（本题30分）15．（1）答案不惟一，可选择自己家每月（或平均每天）的用电情况，计算说明．只要合理即可得分．（本小问10分）；（2）答案不惟一，本小问共20分，编写题目合理可得10分，再写出解题过程，并说明所用数学知识可得20分，以下题目可参考．题1：（用一元一次方程知识编拟）某户居民今年二月份起使用“峰谷电”，三月份经记录这两个月使用“谷电”150千瓦时，已知两月共付电费112元．问该居民使用“峰谷电”多少千瓦时？费用比原来节约了多少？（“峰谷电”中，“峰电”是8∶00到22∶00用电，“谷电”是22∶00到次日8∶00，下同）题2：（用二元一次方程知识编拟）某户居民今年三月份使用“峰谷电”，付电费112元，比原来节约了60.8元，问该户居民使用“峰电”，“谷电”各多少千瓦时？题3：（用不等式知识编拟）某户居民今年三月份使用电量300千瓦时，当“峰电”占总电量的多少时，使用“峰谷电”才合算？题4：（用函数知识编拟）某户居民今年三月份起使用“峰谷电”，平均每天使用“峰电”8千瓦时，写出三月份（31天）该户居民的电费（y元）与每天“谷电”的用电量x（千瓦时）之间的函数关系式．。

2015年下期九年级上册数学基础知识竞赛试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1.用配方法解一元二次方程2430x x -+=时可配方得（ ）A.2(2)7x -=B.2(2)1x -=C.2(2)1x +=D.2(2)2x += 2.在△ABC 中，a=2 ，b=6 ，c=22 ，则最长边上的中线长为（ ） A.2 B.3 C.2 D.以上都不对3．若20 10a b b c ==，，则a bb c ++的值为（ ）．（A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）210114.如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边 的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A.三角形的三条中线的交点B.三角形三边的垂直平分线的交点C.三角形三条角平分线的交点D.三角形三条高所在直线的交点 3y x=5.如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会( )A.逐渐增大B. 逐渐减小C.不变D.先增大后减小6.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BC ，∠B=60°，BC=2cm ， 则梯形ABCD 的面积为（ ）A ．33cm 2 B. 6cm 2 C. 63cm 2 D.12cm 27.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-8．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4二、填空题（每小题3分，共21分）9.“等腰三角形两腰上的高相等”，这个命题的逆命题是 . 10.方程x(x-1)=2(x-1)的解为 ．11.如图，在△ABC 中，BC=8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点Ｄ，交边 AC 于点E ，△BCE 的周长等于18 cm ，则AC 的长等于 cm ．12.在正方形ABCD 中有一点E ，△EAB 是等边三角形，则∠CED 为 .13一个函数的图像关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数24y x bx =+-是“偶函数”，该函数的图像与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么△ABP 的面积是 14.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，点D 、E 在直线BC 上运 动，设BD ＝x ，CE ＝y.如果∠BAC ＝30°，∠DAE ＝105°， 则y 与x 之间的函数关系式为 .15．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．三、解答题（共55分） 16.计算:00203tan 60|3sin 30|cos 45+-- （6分）17.在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/平方米下降到5 月份的12600元/平方米.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）(2)如果房价继续回落，按照此前降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交价是 否会跌破10000元/平方米？请说明理由。

2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛九 年 级 复 赛 试 题（2015年3月28 日（星期六）上午 9:00—11:00 时量：120分钟 满分：150分）题号1 2 3 4 5 答案1．若二次函数y ax bx c =++（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1,0),(0,-1)，则s a b c =++的值的变化范围是A ．02s <<B ．01s <<C ．10s -<<D ．20s -<<2．如右图，边长分别为a ，b ，c 的三个正方形紧靠在一起，有两个顶点在三角形内，其余各顶点均在一个直角三角形的边上，则a ，b ，c 之间的关系为A ．2b c a = B ．b c a =+ C ．222b c a =+ D ．22ab c bc a +=+315b ，则4322012376b b b b -+++的值为A ．136B ．22C ．0D ．－8 4．若P 为质数，P 3+3仍为质数，则P 17+33的末位数字是A ．5B ．7C ．9D ．不能确定5．下述三个图，都是由两个全等的直角三角形摆放而成，由这样的图推证勾股定理，能够推证勾股定理的图形的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ，b ，c ，d 是四个不同的有理数，且满足()()20150a c a d +++=，()()20150b c b d +++=，则()()a c b c ++的值为 ．7．如右图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝60°，BC ＝1，CD 12 DA ＝3，则AB ＝ ．8．从分别写有数字1，2，3，4，5的五张卡片中任意取出2张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数 字，组成一个两位数，则所组成的数是6的倍数的概率为 ．9．已知有理数a ，b ，c 满足111151617ab ac bc a b a c b c ===+++，，，则3332223()()()a b c abca b b c c a ++--+-+- 的值为 ．10．如右图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与∠ABC 的平分线交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝ ．三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数222y x mx n =+-．（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m ，n +4两数中较大者为P ，试求P 的最小值；（2）若m ，n 变化时，这些函数的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆．证明：这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标．12．有一种室内游戏，魔术师要求参与者想好一个三位数abc ，然后魔术师要求他记下五个数：,,,,acb bac bca cab cba ，并把这五个数加起来求出和N ．只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc是多少．如果N ＝3194，请你确定这个三位数abc ．13．能否在凸六边形中作若干（不是所有的）条对角线，使得每条对角线都在凸六边形内恰好与别的3条（第10题图）对角线相交？14．如下图，△ABC 的内切圆⊙I 与边BC 、AC 分别切于点D 、E ，直线BI 与直线DE 交于点F ，过F 作BC 的平行线交AC 于点N ，（1）求证A 、I 、E 、F 四点共圆； （2）求:AN NC 的值．（第14题IFE BNAC2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛复 赛 试 题 参 考 解 答一、选择题（每题7分）1．选D ．理由：由于图象过点（－1，0）、（0，－1），则有10.c a b c =-⎧⎨-+=⎩，从而1a b c b =-=+，即知112s a b c b b b =++=++-=.又由题设条件知图象开口向上，有0a >且02ab->，即得20b <.由1b a =-及0a >推知1b >-.故22b >-.有20s -<<. 2．选B ．理由：由边长分别为a ，c 的正方形上方的两个小直角形相似有b a ac b c-=-，即()()b a b c ac --=，化简得b a c =+.3．选B ．理由：由题设知9<15<16，从而15153，于是153b =+，即15=9+6b +b 2，亦即b 2+6b=6.又432432222220()20))2022123762636)(6(6(6b b b b b b b b b b b b b -=-=-=++++++++++ .4．选A ．理由：由P 3+3为质数，可知P 为偶数，又P 为质数，则P =2. 从而P 17+33=217+33=（24）4×2+33.因（24）4的末位数为6，则217的末位数为2，因此P 17+33的末位数为5.5．选D ．理由：如右图，均联结两个直角三角形的锐角顶点. 均考虑四边形ADBC 的面积. 图（1）S 四边形ADBC 211=22ABC ABD S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ADBC ＝S 梯形BCED －S △AED 211()22a b ab =+- 由221111()2222ab c a b ab +=+-有222a b c += 图（2）S 四边形ADCB 211=22ADC ACB S S b ab ∆∆+=+ 又S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB 211()22c a b a =+- 由221111()2222b abc a b a +=+-有222a b c += 图（3）S 四边形ACBD 211=22ACB ABC S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ACBD ＝ACB S ∆+ABE S ∆+AED S ∆－BDE S ∆21111()2222ab b ab a b a =++-- 由上即有222a b c +=.此图（3）也可以考虑四边形ABED 的面积.二、填空题6．填2015．理由：由两个条件有2()20150a a c d cd ++++=，2()20150b b c d cd ++++=，知a ，b 是关于x 的方程2()20150x c d x cd ++++=的两个不同的根，由韦达定理，有()a b c d +=-+，2015ab cd =+.因此2()()()a c b c c c a b ab ++=+++[]2()20152015c c c d cd =+-+++=．7．填5．理由：如图，延长AD 、BC 交于点E ，则△ABE 为正三角形．设AB ＝x ，则DE =x －3，CE =x －1，∠DEF ＝60°．作DF ⊥CE 于点F ，则∠EDF ＝30°， 从而11(3)22EF DE x ==-111(3)(1)22CF CE EF x x x =-=---=+．由勾股定理，有2222DE EF DC CF -=-即22231(3)()12()22x x x -+-+=-，解得5x =．8．填15．理由：能解组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54共8个，又是偶数的则只有4个：12，24，42，54．故所求概率为41205=．9．填1911008．理由：由题设条件有1115ab+=，1116ac+=，1117bc+=，三式相加有11124abc++=，于是由此式分别减去前三式可得17a =，18b =，19c =．因33322213()()()()2a b c abc a b c a b b c c a ⎡⎤++-=++-+-+-⎣⎦，从而333222311111191()()()()()227891008a b c abc a b c a b b c c a ++-=++=++=-+-+-．10．填50︒．理由：如图，作PF BD ⊥于点F ，作PG AC ⊥于点G ，作PE AB ⊥于点E ， 则PE PF PG ==，从而P 也在∠EAG 的平分线上.由1211()4022BPC PCF PBC ACF ABC BAC ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒， 得∠BAC ＝80°．于是100EAC ∠=︒，故50CAP ∠=︒．三、解答题 11．（1）由二次函数过点（1，1）得 22n m =． ………2分注意到2211(4)(4)(28)(4)(2)222n m n n n n n n -+=-+=--=-+………4分所以 22242n n p n ⎧≤-≥⎪=⎨⎪+-<<⎩当或n 4当n 4 ………8分再利用图象知，当n =－2时，min 2p =． ………10分 （2）设图象与坐标轴的三个不同交点为212(0),(0),(0)A x B x C n -，，， ………12分 又212x x n =-，若0n =，则与三交点不符， 故2120x x n =-<，所以12,x x 分别在原点左右两侧. ………16分 又2121x x n = ，所以，存在点0(0,1)P 使得0OA OB OP OC = . ………18分 故A 、B 、C 、P 0四点共圆.即这些圆必过定点0(0,1)P ． ………20分12．由题设得，3194acb bac bca cab cba ++++=. ………2分 两边加上abc 得222()3194a b c abc ++=+ ………4分 则222()2221486a b c abc ++=⨯++ ………6分 即知86abc +是222的倍数，且14a b c ++> ………10分 设86222abc k +=，因abc 是三位数， 依次取k =1，2，3，4，分别得出abc 的可能值为136，358，580，802． ………18分 注意到14a b c ++>，知abc 为358． ………20分13．如右图所示，在凸六边形中有两类对角线： 一类是“长对角线”，它们连接两个相对顶点如A 2A 5； 另一类是“短对角线”，它们连接两个间隔一顶点的顶点 如A 1A 3、A 2A 6、A 2A 4等． ………5分 如果仅作长对角线，题中所要求的性质不能满足，因此，在所作的对角线中一定要有短对角线 ………10分 但是，一旦作了某条短对角线，如图A 1A 3，那么，它只能与由A 2所引出的三条对角线在形内相交．因此，此时就要作短对角线A 2A 4和长对角线A 2A 5；………15分 再对短对角线A 2A 4作类似的考虑，发现又要作短对角线A 3A 5和长对角线A 3A 6；继续这种下去，就会发现，所有的对角线都需要作出． 此时，显然不能满足题目要求．………20分14．如右图，（1）连接AI 、IE ，则IE AE ⊥. ………2分且1902AEF DEC C ∠=∠=︒-∠，以及11180180(90)9022AIF AIB C C ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠．………8分从而AEF AIF ∠=∠．故A 、I 、E 、F 四点共圆． ………10分（2）连接AF ，由A 、I 、E 、F 四点共圆，知90AFI AEI ∠=∠=︒．即知△ABF 为直角三角形．………12分 设直线FN 交AB 于点M ，由MF ∥BC ，知MFB FBC FBM ∠=∠=∠，从而△MBF 为等腰三角形，………14分 即MF =MB ．由ABF ∠与BAF ∠互余，MFB ∠与MFA ∠互余， ………16分 则MFA MAF ∠=∠，有MF =MA ．即知M 为AB 的中点，从而N 为AC 的中点． ………18分 故:1AN NC = ………20分IFE BNDAC更多长沙中考资讯、政策，尽请关注家长帮长沙站微信公众号（changshajzb）。