ch1-5 事件的独立性

2、在有些试验中，试验结果看来与数值无 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样， 二者建立了一种对 应关系.
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.
e.
ξ(e) R

这种实值函数与在微积分中大家接触到的函数一 样吗？
随机变量概念的产生 引入随机变量的意义 随机变量的分类
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来 表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数). 例如，掷一颗骰子 面上出现的点数； 每天从常州下火车的人数； 昆虫的产卵数；
七月份常州的最高温度；
不受第一次抽取的影响。
若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立。 因为第二次抽取的结果受到第一 次抽取的影响。
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算：
A B
P(AB)=0,
而P(A) ≠0, P(B) ≠0。
即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立。

例5 若干人独立地向一游动目标射击,每人击中目标的 概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的 概率击中目标? 解: 设至少需n个人,才能以0.99以上的概率击中目标。 令A={目标被击中}, Ai={第i人击中目标}, i=1,2,…,n. 则A1,A2,…,An 相互独立。于是，事件 A1 , A2 , , An 也相互独立。 因 A=A1∪A2∪…∪An , 得 P(A)=P(A1∪A2∪…∪An )
P(AB)= P(A)P(B)， P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。
四个等式同时 成立, 则称事件 A、B、C相互 独立。
推广到n个事件的独立性定义, 可类似地推出: 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k ( 1kn ), 任意
1 i1 i2 ik n ，等式
Aik ) P( Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aik )
P( Ai1 Ai2
成立，则称n个事件A1,A2, …,An相互独立。 注意： 对n(n>2)个事件 两两独立
相互独立
?
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中 目标的概率都是0.6，计算： 至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是 P P ( AB ) [ P ( AB) P ( AB)] 0.36 0.48 0.84 解法2：两人都未击中的概率是 P ( AB ) P ( A) P ( B ) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
P(AB)=P(A) P(B)。
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好，它不受P(B)>0或P(A)>0的制约。 两事件独立的定义:
若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立。
0.70
C
A
0.95
0.95
B
0.70
D
0.75
F
0.70
E
0.75
G
0.95
H
解：将电路正常工作记成W。由于各元件独立工作， 所以有 P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。 其中 P(C+D+E)=1- P(C ) P( D) P( E ) 0.973,
P(F+G)=1- P( F ) P(G) 0.9375。 代入得 P(W) 0.782。
A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
2 2 2 4
A1 A2 A3 A4
3 2 P( B) C 0.3456. 5 5
例7 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮 弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击 毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被 击毁的概率.
简记为 r.v.(random variable)
表示随机现象的各种结果或描述随机事件的变量， 其实质为满足： （1）在试验之前，不能预先肯定它将取哪个值，但 所有可能的取值是事先知道的. （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这 种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定 的概率. 随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ξ,ζ,η等表 而表示随机变量所取的值时,一般采用小写 示， 字母x,y,z等.
因此，至少有一人击中 目标的概率 P 1 P ( AB ) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
独立性概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例3: 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出 的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能 将密码译出的概率是多少？
例如，从某一学校随机选一 学生，测量他的身高.
我们可以把可能的 身高看作随机变量X, 然后我们可以提出关于ξ的各种问题. 如 P(X>1.7)=？ P(X≤1.5)=?
1 P( A1 ) P( A2 )…P( An )
P( A1 A2 … An ) 1 P( A1 ) P( A2 )…P( An )
也就是说, n个独立事件至少有一个(不)发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
例4：下面是一个电路示意图。A－H都是电路中的 元件，各自下方的数字表示其正常工作之概率。 求 电路正常工作的概率。
例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
问事件A、B是否独立？
解：由于 P(A)=4/52=1/13,
P(B)=26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26。 可见, P(AB)=P(A)P(B)。 说明事件A、B独立。
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的， 也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立。
CH1 随机事件及其概率
第五节 独立试验概型
两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 显然 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， P(A|B)=P(A)。
这就是说：已知事件B发生，并不影响事件A发 生的概率，这时称事件A、B独立。
由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(B)P(A|B)
ln0.01 n 5.026, 故n 6。 ln0.4
贝努里概型 定义 : 在完全相同的条件下重复进行 n 次试验，如 果每次试验的结果互不影响，即每次试验的结果与其 n次重复试验为 它各次试验的结果无关，则称这 n 重独立试验。 特别地，如果每次试验只有两个对立的结果，即事 P ( A) 1 p q ，则称这 n 件 A 和 A ，且 P ( A) p ， 重独立试验为 n 重贝努里试验，或贝努里概型。
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立。
例如： 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 。
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)。
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品}， i=1,2。 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 因为第二次抽取的结果
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} ， i=1,2,3。
所求为 P(A1+A2+A3)。
已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。 则 P(A1+A2+A3)
1 P( A1 A2 An )
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
2 4
2
解二 每取一个球看作是做了一次试验
记取得白球为事件 A ，
P( A) 3/ 5.
有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli试验, 记 第 i 次取得白球为事件 Ai
感兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
例如，在产品抽 样检查时(抽n次)
不是n 重 独立试验 (不放回 )
是n 重独 (放回) 立试验
贝努里 试验?
伯努利试验概型 n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型： 试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果： A, A 且 P( A) p, 0 p 1 每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的 n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为 Pn (k ) 一般地，若 P( A) p, 0 p 1 则 Pn (k ) Cnk p k (1 p)nk , k 0,1, 2,
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
4 2 3 3 1 0.6。 5 3 4 5
n个独立事件和的概率公式: 设事件 A 1 , A2 , …, An 相互独立,则 P(A1+…+An)
1 P P( A1 A2…An )
反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥。