04事件的相互独立性(教案)

“事件的相互独立性(第一课时)”教学设计与反思广东省佛山市第一中学（528000）冯智颖佛山科学技术学院数学与大数据学院（528000）刘煜铭摘要以事件的独立性的概念建构为核心,根据学生的认知发展规律深挖概念教学的自然生成过程.笔者着力于探究如何进行概念课教学设计并有效开展概念课教学,如何在概念课教学中培养学生提出问题、解决问题和创新问题的能力,提升和发展学生的数学核心素养.关键词概念课;教学设计;事件独立性概念教学是中学数学教学至关重要的一项内容,是基础知识和基本技能教学的核心,正确理解概念是学好数学的基础,学好数学概念也是学好数学最重要一环.下面以“事件的独立性(第一课时)”为例阐述与说明如何进行概念教学设计并有效开展概念教学.案例“事件的相互独立性”(第一课时)教学设计【教材】人教A版数学选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性第一课时【教学对象】佛山一中高二学生1内容和内容分析概率论是研究随机性或不确定性等现象的学科,而独立性的研究是其中重要内容之一,由于实际需要,对概率论中独立性的研究也较为重要,并且独立性对解决一些实际问题具有理论意义.对于独立性的理解和判定正确与否直接关系到建模解题全过程.同时,事件的独立性和随机变量的独立性在概率计算的简化和证明中有广泛的应用.在教材中的地位分析,它是条件概率的延伸,同时为独立重复试验和二项分布的学习作铺垫.2目标和目标解析2.1知识与技能结合上述内容,认为“2.2.2事件的相互独立性第一课时”的主要教学目标是：(1)了解独立性的概念,从对独立性的感性认识(直观判断)过渡到独立性的定义以及严谨的判定定理.(2)能够借助条件概率,对独立性的判定P(AB)=P(A)P(B)进行推导,生成和理解.(3)独立性性质对概率问题的解决和应用.2.2过程与方法通过对相互独立事件的概念形成,培养学生观察,类比,归纳的能力.2.3情感态度与价值观通过类比猜想,让学生体会自我探究的乐趣和成就感.3教学问题的诊断分析(1)在学习了古典概型以后,许多学生虽然还没有真正学习互相独立事件的积的概率,却往往会从生活经验出发,利用事件概率的积来计算一些“看上去没有关系”的事件的积的概率,例如投两颗骰子,两次都投到“6”的概率是16×16,所以对于本次课学生已有足够的感性认识,至于如何升华为严谨的理论定理将是本节课的关键.人教A版教材在“事件的独立性”这个课时前面安排了“条件概率”的学习,笔者认为这具有很强的承上启下的作用,利用条件概率过渡到新知识,学生较易接受.(2)在判断事件独立的问题上,学生容易出现以下想法：“可以利用感性认识直接判断事件的独立性,何必如此麻烦先通过计算,然后使用独立性公式判断呢?显得多此一举.”应该承认这种判断颇有道理,但并非所有的问题都那么容易判断的,教师需要在此构建例子,设置认知跳跃点.(3)在独立性的定义的理解上,可以通俗理解为,“A发生与否不影响B发生的概率,B发生与否不影响A发生的概率”,这是正确而且严谨的.但部分同学会将其定义为“事件A,B没有关系,则事件A,B相互独立.”而如何才能认为事件A,B没有关系呢,同学们容易理解为：“事件A,B互斥,不可能同时发生,则事件A,B没有关系.”但事实上,事件互斥和独立性之间并没有必然关系.4教学设计4.1教学流程设计图1教学流程设计4.2教学设计过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图环节一、巧妙引入,回顾旧知(预计5分钟)问题一类比集合的运算,我们先回顾一下事件的运算有哪些?什么叫事件A、B的和事件?和事件的概率如何计算?预设回答【事件A或事件B发生叫事件A、B的和事件,和事件的概率计算公式为P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)】问题二当出现什么情况时,这个式子可以最简化?并说明原因.预设回答【当事件A和事件B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B).因为事件A和事件B互斥,那么事件A和事件B不可能同时发生,即P(AB)=0】.问题三和事件的概率公式我们已经非常熟悉,那么积事件的概率公式又是怎样的呢?(教师提示:可以借助条件概率)【P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A),事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘上事件A发生基础上事件B发生的概率或者等于事件B发生的概率乘上事件B发生的基础上事件A发生概率】PPT展示,引导学生思考问题情境并作出回答.引导学生对和事件和积事件的概率计算公式进行回顾.思考回顾.回顾旧知,联系新知.引起学生对旧知的主动复习,并将认知结构中与本节课相关知识点(和事件,和事件概率计算公式、互斥事件的定义,互斥条件下和事件概率计算公式的变形)充分调动起来,以及通过联想条件概率的定义,让学生说出积事件的概率计算公式.教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图环节二、独立性性质的识别(预计8钟)思考两张奖券有一张可以中奖,现由三名同学依次有放回地抽取,问:其中,设事件A为“第一位同学没有中奖”.设事件B为“最后一位同学没有中奖”.请求P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(B¯A)答:基本事件总数有8个,事件A包含的基本事件数有4个,事件B同理,P(B)=P(A)=12,P(AB)=28=14,P(BA)=24=12巡视,观察学生的求解,并展示学生的求解结果.通过“有放回”实验和“无放回”实验,分别计算出,P(B|A),P(A),P(B)的值,思考并计算.在条件概率的学习中,学生在无放回实例的计算中感受当事件A对事件B有影响时,是由于事件空间发生了改变.而在有放回实例中,因为第一位同学中奖不中奖对最后一位同学中奖不中奖都没有影响,所以第一位同学抽取的时候是三张奖券,最后一位同学抽取的时候依旧是三张奖券.环节三、类比生成概念思考为何在有放回实验中,P(B)=P(B|A)【因为在有放回实验中,最后一名去抽的同学的中奖概率不会受到第一位同学是否中奖的影响,事件B和事件(B|A)的样本空间相同.】[定义]当A发生与否不影响B发生的概率,B发生与否不影响A发生的概率,则称事件A与事件B相互独立.【学生活动】下面请大家观察后,进行类比猜想,填空.和事件的概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB).当事件A和事件B互斥时,积事件的概率公式为:P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)当事件A和事件B时,.【引导语】在一种特殊情况(互斥)下,和事件的概率公式可以得到简化,请类比猜想,在哪一种特殊情况下,积事件的概率公式可以得到简化.针对例题所得,追问学生,进一步探究事件A,B之间的关系.给一定时间思考后,让学生回答填空答案.思考为何P(B)=P(B|A),并且根据思考所得,观察和事件并对应填空.最后证明猜想,形成概念.在有放回实验中,可以发现P(B)的值等于P(B|A)的值,引导学生思考出现相等的原因是什么.活动目的:抓住和事件和积事件在某一种特殊情况能够得到简化的特点,将两者进行类比,并让学生猜想,在哪一种特殊情况下,积事件的概率公式可以得到简化.小结:如果我们需要判断两个事件是否独立,有什么方法?预设回答:相互独立,P(AB)=P(A)·P(B)【事件独立性判定】当事件A的发生不会影响事件发生的概率即P(AB)=P(A)·P(B)则事件A与B是相互独立事件.【事件独立性性质】当事件A和事件B相互独立时,有P(AB)=P(A)·P(B).由此可见,P(AB)=P(A)·P(B),是事件A和事件B相互独立的充要条件.问:事件A和事件B相互独立,那么B与¯A,B与¯B,¯A与¯B的关系如何?答:事件A事件B相互独立,事件A的发生不发生不会影响事件B发生不发生.【小试牛刀】分别投掷两枚质地均匀的硬币,设“第一枚为正面”为事件A,“第二枚为正面”为事件B,“两枚结果相同”为事件C,事件A,B,C哪两个相互独立?1、感性认识,例如抛一枚硬币两次,前后两次的结果肯定是互不影响的.2、若P(B)=P(B|A)则事件A,B相互独立.3、若P(AB)=P(A)·P(B)判定,则事件A和事件B相互独立.【预设】(让学生先从经验判断,2分钟完成,学生容易漏选,A,C和B,C直观上难以判断是否独立.)解:P(A)=12,P(B)=12,P(C)=12.P(AB)=14=P(A)P(B),P(AB)=14=P(A)P(B).P(AC)=14=P(A)P(C),P(BC)=14=P(A)P(C).所以事件A,B相互独立,事件A,C相互独立,事件B,C相互独立.问题四如果我们需要判断两个事件是否独立,有什么方法?1、感性认识,例如抛一枚硬币两次,前后两次的结果肯定是互不影响的.2、定义P(B)=P(B|A).3、用P(AB)=P(A)·P(B)判定,则事件A和事件B相互独立.练习:判断两个事件的独立性.【小试牛刀】在判断事假独立性的问题上,学生容易出现以下想法:“可以利用感性认识直接判断事件的独立性,何必如此麻烦先通过计算,然后使用独立性公式判断呢?显得多此一举.”但在本题中事件A、B相互独立是显然的,但对于事件A、C,事件B、C的独立性判断并没有那么直观,需要用P(AB)=P(A)·P(B)进行判定.环节四、概念深化【概念推广】1、如果事件A,B,C相互独立,那么这三个事件同时发生的概率如何计算?答:3个独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,P(ABC)=P(A)P(B)P(C).2、如果事件A1,A2,A3,A4,···,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率如何计算?答:n个相互独立事件同时发生的概率公式:P(A1A2A3···A n)=P(A1)P(A2)P(A3)···P(A n).PPT展示案例2,引导学生思考并做出回答.借助实际案例让学生了解当事件A和事件B相互独立时,那么B与¯A,¯B与A,¯A与¯B也都相互独立.这是事件相互独立性的一个性质.环节五、概念应用案例1俗话说:“三个臭皮匠抵个诸葛亮”.我们是如何来理解这句话的?下面,我们来细化问题情境:已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且臭皮匠团队成员必须独立解决.首先,要解决这个实际问题,我们不妨先将其用数学语言表达出来.设事件A:老大解出问题;事件B:老二解出问题;事件C:老三解出问题;事件D:诸葛亮解出问题.请完成以下问题:1、求臭皮匠团队老大,老二,老三同时解出问题的概率因为每个人必须独立解题,所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.5×0.45×0.4=0.09.2、求臭皮匠团队三人恰有两人解出问题的概率设事件D:臭皮匠团队三人恰有两人解出问题P(D)=P(¯ABC)+P(A¯BC)+P(AB¯C)=0.5×0.45×0.6+0.5×0.45×0.4+0.5×0.55×0.4=0.135+0.09+0.11=0.3353、三人中至少有一人解决问题就算团队胜出,问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大?例题讲解,先让学生思考,然后问题导向讲解题目.一环一环将题目进行剖析,理清楚每一步的理论依据又是什么.学生再次思考引入的案例题,将本节课所学习的新知识融会贯通,解决新的学习问题.思考解答.应用独立性这个性质解决概率问题,1、先用数学建模的思想将实际问题数学化.2、分析事件的样本空间,并理清样本空间中的基本事件组成.3、分析样本空间中基本事件的相互关系.(在本例事件E中,各个基本事件之间是互斥的关系.)4、计算事件E的概率,因为互斥,所以可以将子事件的概率进行累加.解:设事件E :臭皮匠三人中至少有一人解决问题.问1:事件E 中包含的基本事件有哪些,用事件字母表示.答:ABC,¯ABC,A ¯BC,AB ¯C,¯A ¯BC,A ¯B ¯C,¯AB ¯C .问2:这些事件之间是什么关系?事件E 的概率如何计算?答:互斥.事件E 的概率:P (E )=P (ABC )+P (¯ABC )+P (A ¯BC)+P (AB ¯C)+P (¯A ¯BC )+P (A ¯B ¯C )+P (¯AB ¯C )问3:事件E 的对立事件¯E 是什么,包含的基本事件有哪些,用事件字母表示.答:臭皮匠三人中没有一人解决问题:¯A ¯B ¯C .[引导:显然,从反面切入这个问题会更简单.]P (E )=1−P (¯E)=1−P (¯A ¯B ¯C )又事件A,B,C 是相互独立的,¯A,¯B,¯C 也是相互独立的,所以P (¯A¯B ¯C )=P (¯A )P (¯B )P (¯C )=0.5×0.55×0.6=0.165P (E )=1−P (¯E)=1−P (¯A ¯B ¯C )=0.835>0.8所以,臭皮匠团队的胜算比较大.4、已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,如果臭皮匠的水平不高,每个臭皮匠能够解决问题的概率仅仅为0.3,至少一人解决问题就算解决,请问至少几个臭皮匠才能抵过一个诸葛亮?参考数据:(0.7)3=0.343,(0.7)4≈0.24,(0.7)5≈0.168【提升练习】如图,用A,B,C 三类不同的元件连接成三个系统N 1,N 2,N 3已知元件A,B,C 正常工作的概率依次为0.8,0.9,0.9,分别求系统N 1,N 2,N 3正常工作的概率.［小结］1、思想方法:从特殊到一般,类比思想.2、判定事件的相互关系:若P (AB )=P (A )·P (B )，则两个事件相互独立.3、解决事件概率问题,要从判断事件的相互关系为依据,再进行概率计算.教师巡堂.观察学生对知识的消化程度5、又对于每个子事件而言,例如事件ABC ,事件A ,事件B 和事件C 之间是相互独立的,因此利用其独立性的性质,P (ABC )=P (A )P (B )P (C )6、解题思路上,若正面切入情况过多,可考虑逆向思维,从反面切入.解题归纳:在求事件的概率时,有时会遇到求“至多”或“至少”等事件的概率问题,他们是很多子事件的和或积,如果从正面考虑这些问题时,求解过于繁琐,但同时这些事件的对立事件概率容易求出,此时“正难则反”的思想.【课后作业】甲、乙两人参加一次英语口试,已知在被选的10道题中,甲能答对其中的6道,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率.(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.4.3板书设计事件的独立性【复习回顾】和事件的概率计算公式积事件的概率公式思考题【类比】和事件的概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB),当事件A和事件B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B).积事件的概率公式为：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A),当事件A和事件B相互独立时,P(AB)=P(A)·P(B).【定义】独立性判定：P(AB)=P(A)·P(B)判断两个事件是否独立,有以下方法：【练习】臭皮匠诸葛亮题解：例题提升题解:5教学反思本节是笔者参加我校2019年度“青年教师基本功大赛”的比武课,有幸荣获“特等奖”.本节课是一节概念课,而概念课的重点之一在于概念的生成,这也恰好是笔者备课过程中感觉到相对比较棘手的地方.细读教材,本节课中课本对概念的生成较为简单直接,是从“三张奖券的有放回抽取”的感性认识中导出,然后直接给出事件独立性的判定：若P(AB)=P(A)P(B),则事件A和事件B相互独立.考虑到新旧知识的衔接和学生的认知规律,在教学设计中笔者在此处做了一个创新,即通过对人教A版《必修3》中概率的性质进行复习,若事件A和事件B互斥,事件A和事件B和事件的概率可以直接相加,类比到本课中事件的独立性定义的导出：若事件A和事件B相互独立,事件A和事件B积事件的概率可以直接相乘.如此设计既加强了学生知识网络的建构,又能避免生硬的灌输式概念教学.在定义的生成这一部分,本质上应为事件A的发生与不发生对事件B的发生与不发生没有影响,因此笔者在教学设计中对于课本的“三张奖券有放回抽取”思考题增加了求解P(BA),这样设计更有利于定义的生成与理解.第二部分是学情了解,本节课在课本中是人教A版《选修2-3》的内容,但学生需要的基础知识除了本节课前一小节条件概率以外,更多的是高一已经学习的概率论内容,而由于已经过去大半年时间,学生对概率论基础知识点不太熟悉了,因为在这节课的呈现上,复习也是一个重要的环节,有了旧知的铺垫,才有利于新知的生成.第三部分是对于本节课重点的把握,本节课主要从独立性概念的引出与生成、独立性的识别、独立性的应用三个方面展开教学,而重中之重是独立性的应用.在这个环节,为了激发学生的学习兴趣,笔者用了一个趣味性较强的例子——“三个臭皮匠是否抵一个诸葛亮?”为问题背景去设计应用,且笔者按照教学目标层层递进,又将问题细分成4个小问题,通过这样的细节设计,教学效果也得到了比较好的呈现.通过本节课的教学设计与实施,笔者意识到：当某个知识点呈现给学生,而学生不能一下子消化理解时,我们可以考虑以下的几个因素：(1)旧知识遗忘,导致过渡困难;(2)知识点较抽象或者较复杂,不够简单直接.针对以上情况,我们可以按以下方法处理：(1)课前回顾旧知识,铺垫后再慢慢渗透;(2)把知识点进行适当的拆解和细化,让学生容易理解.第四部分是板书设计,有人说板书设计是数学课的灵魂,这话一点不假.一堂课下来,清晰的教学脉络完完全全地呈现在黑板上,对于教师和学生而言又何尝不是一种享受.而在这次教学比赛中,笔者也同时了解到板书艺术其实更是一种“留白的艺术”,在书写板书时能给学生以恰到好处的时间理解消化,而不是急急忙忙地“过堂灌”.对于这种“留白的艺术”,更能体现以学生为主体的教育理念,“教”只是一种引导,而“学”才是其中的主导,希望在以后的课堂教学中能够铭记这一点,多给学生思考的时间和空间,达到师生教学相长的目的.。

事件的相互独立性的教案第一篇：事件的相互独立性的教案2.2.2事件的相互独立性一、教学目标：1、知识与技能：①理解事件独立性的概念②相互独立事件同时发生的概率公式2、过程与方法：通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相互独立性的方法。

3、情感态度价值观：通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于实践，发现数学的应用意识。

二、教学重点：件事相互独立性的概念三、教学难点：相互独立事件同时发生的概率公式四，教学过程：1、复习回顾：（1）条件概率（2）条件概率计算公式（3）互斥事件及和事件的概率计算公式2、思考探究：三张奖券只有一张可以中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。

事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？分析：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。

于是：P(B|A)=P(B)ΘP(AB)=P(A)P(B|A)∴P(AB)=P(A)P(B)3、事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B 相互独立。

即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。

注：①如果A与B相互独立，那么A与B,B与A，A与B都是相互独立的。

（举例说明）②推广：如果事件A1,A2,...An相互独立，那么P(A1A2...An) P(A1)P(A2)...P(An)4、例题：例1、判断下列事件是否为相互独立事件1、分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚为正面”为事件A，“第二枚为正面”为事件B。

2、袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球：事件A：从中任取一个球是白球事件B：第二次从中任取一个球是白球3、袋中有3个红球，2个白球，采取无放回的取球：事件A：从中任取一个球是白球事件B：第二次从中任取一个球是白4、篮球比赛的“罚球两次”中：事件A：第一次罚球，球进了件事B：第二次罚球，球没进例2、在乒乓球团体比赛项目中，我们的中国女队夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那么男女两队双双夺冠的概率是多少? 例3、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。

关于两个事件相互独立性的教学设计教学设计：探讨事件的相互独立性一、教学目标1.了解事件相互独立的定义和特点；2.掌握计算事件相互独立的方法；3.能够应用事件相互独立的知识解决实际问题。

二、教学重点和难点三、教学内容四、教学过程1.导入（5分钟）教师引入事件相互独立的概念和重要性，让学生了解什么是事件相互独立以及为什么要研究事件相互独立性。

教师简要讲解事件相互独立的定义和特点，让学生通过故事、实例等方式理解事件相互独立的概念。

3.案例分析（30分钟）教师通过具体的案例分析，让学生掌握事件相互独立的计算方法，引导学生逐步理解事件相互独立的计算过程。

4.综合应用（20分钟）教师设计一些实际问题，让学生应用所学的事件相互独立的知识，解决实际问题，提高学生的实际运用能力。

5.课堂讨论（20分钟）教师组织学生进行课堂讨论，让学生针对事件相互独立的实际问题展开讨论，激发学生的思维，加深对事件相互独立性的理解。

6.概念回顾和小结（10分钟）教师对本节课的内容进行回顾和小结，强调事件相互独立的重要性和应用，确保学生对事件相互独立的知识有深刻的理解。

五、教学手段1.多媒体课件、教材；2.案例分析；3.小组讨论；4.课堂互动。

六、教学效果评估1.课后作业：布置相关的事件相互独立的习题，检验学生的掌握程度；2.课堂讨论：评价学生在课堂讨论中的表现；3.考试测验：通过考试测验评价学生对事件相互独立知识的掌握情况。

七、教学反思与改进1.针对学生的学习情况和反馈意见，及时调整教学方法，提高教学效果；2.不断丰富案例，增强学生对事件相互独立性的理解和应用能力；3.关注学生的学习兴趣，激发学生的学习动力，增强他们对学习的积极性。

关于两个事件相互独立性的教学设计一、教学目标1. 知识目标：通过本节课的学习，学生能够掌握两个事件相互独立的定义、判断和应用。

2. 能力目标：培养学生逻辑思维能力和数学推理能力，能够进行事件的概率计算和分析。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作精神和团队意识。

二、教学重点和难点1. 重点：学生能够理解两个事件相互独立概念，掌握判断两个事件相互独立的方法，能够运用相互独立的事件进行概率计算。

2. 难点：学生能够将相互独立的概念运用到实际问题中解答。

三、教学内容和过程1. 教学内容本节课主要讲解两个事件相互独立的概念，包括相互独立事件的定义、判断方法和应用。

通过案例分析和练习，让学生掌握两个事件相互独立的概率计算方法。

2. 教学过程（1）导入引入老师可以通过一个小故事或者问题引入，如“小明生日时父母给他买了两个不同的礼物，问他收到的第二个礼物与第一个礼物是相互独立的事件吗？”引导学生思考。

（2）概念讲解（3）案例分析设计一些生活中的实际案例，让学生通过分析问题判断事件是否相互独立，并进行解答。

（4）练习训练提供一些相关的练习题，让学生通过自主练习巩固概念和方法，同时培养他们的逻辑思维和数学推理能力。

（5）讨论交流教师可以给学生提供一些思考题，组织学生进行小组讨论，分享他们的思考和解答。

通过交流讨论，激发学生的学习兴趣，加深他们对概念的理解。

四、教学手段1. 多媒体教学：利用PPT或者课件进行概念讲解和案例分析，使学生更直观地理解概念和方法。

2. 案例分析：设计生活中的实际案例，引导学生运用相互独立的概念进行思考和解答。

3. 合作学习：组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高学生的学习兴趣。

五、教学资源1. PPT或者课件：用于概念讲解和案例分析。

2. 教材和练习题：用于学生自主练习和巩固。

3. 小组讨论题目：用于引导学生进行交流讨论。

六、教学评价1. 课堂讨论：通过学生的讨论表现和回答问题的情况，评价学生是否掌握了概念和方法。

相互独立事件教案教案标题：相互独立事件教案教案目标：1. 学生能够理解相互独立事件的概念和特征。

2. 学生能够运用相互独立事件的概念解决实际问题。

3. 学生能够运用概率的知识计算相互独立事件的概率。

教学内容：1. 相互独立事件的定义和特征。

2. 相互独立事件的计算方法。

3. 相互独立事件的实际应用。

教学步骤：引入活动：1. 引入概率的概念，让学生回顾已学的概率知识。

2. 提出一个问题，例如：“如果一个骰子掷出了一个6，那么下一次掷出6的概率是多少？”引导学生思考相互独立事件的概念。

教学主体：1. 解释相互独立事件的定义和特征，例如：“当一个事件的发生与另一个事件的发生无关时，这两个事件就是相互独立的。

”2. 通过示例解释相互独立事件的计算方法，例如：“如果掷一枚硬币两次，每次都是正面向上的概率是多少？”3. 引导学生进行练习，计算一些相互独立事件的概率。

拓展活动：1. 提供一些实际问题，让学生应用相互独立事件的概念解决问题，例如：“在一副扑克牌中，从中抽出一张牌，放回后再抽出一张牌，两次都是红心的概率是多少？”2. 引导学生思考相互独立事件在生活中的应用场景，例如：“购买彩票中奖的概率是否是相互独立事件？”3. 鼓励学生提出自己的问题，并尝试用相互独立事件的概念解决。

总结：1. 回顾相互独立事件的定义和特征。

2. 强调相互独立事件的计算方法和实际应用。

3. 鼓励学生在日常生活中运用相互独立事件的概念解决问题。

评估：1. 设计一些练习题，考察学生对相互独立事件的理解和应用能力。

2. 观察学生在拓展活动中的表现，评估他们的思维能力和创造力。

教学资源：1. 骰子、硬币等概率实验工具。

2. 扑克牌、彩票等实际问题的材料。

3. 相关练习题和解答。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究条件概率和独立性的关系。

2. 扩展学生对概率的理解，引入更复杂的概率问题，例如互斥事件和非互斥事件。

这个教案旨在帮助学生理解相互独立事件的概念和特征，并能够应用概率的知识解决实际问题。

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

事件的相互独立各位评委、各位老师，大家好。

我是张彬今天，我说课的内容是《事件的相互独立》。

下面我将从教材分析、核心素养及教学目标、教学的重难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学反思七个方面来说解。

一、教材分析本节选自人教版A版必修二的第十章第二节。

在已学古典概型，互斥事件和对立事件的基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，它的主要作用是简化概率计算、相互独立事件同时发生的概率是典型的概率模型。

将复杂问题分解为这种基本形式，是处理概率问题的基本方法。

同时为伯努利试验和二项分布的学习作铺垫.因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。

高考方向⼆、核心素养及教学目标根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下核心素养角度：1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念确定本节课的教学目标1.了解独立性的概念, 从对独立性的感性认识 (直观判断) 过渡到独立性的定义2. 了解并会应用独立性的判定 P (AB) =P (A)P (B)3. 会对实例进行分析，应用独立性性质对概率问题的解决和应用.三、教学的重难点1、教学重点：独立事件同时发生的概率2、教学难点：独立事件的判定及概率计算我通过“三个臭皮匠顶一个诸葛亮”的概率故事，引起学生兴趣，并利用独立性概念的判定 P (AB) =P (A)P (B) ，用小组讨论发现其中存在的问题，求出独立事件发生的概率。

再通过课堂练习和课后练习，加深对独立事件公式的理解和应用四、学情分析1学习状况：学生已经学习和了解了古典概型，互斥事件，对立事件2学生情况：学生对独立性有了感性认识学习，对独立性的定义这样抽象的理论难免会存在无法完全接受的现象，但是总体还是乐观学习3解决对策：通过实际例子直观理解、激发兴趣、分层兼顾五、教法与学法1、教法：在教学过程中，不仅仅要使学⽣“知其然”，还要使学⽣“知其所以然”。