2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——线面垂直教案

§1.2.3直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

二、教学重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

三、教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

课题：直线与平面垂直的判定（一）授课教师：江苏省宿迁中学张明星教材：苏教版·必修二教学目标1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，能正确理解直线与平面垂直的定义，并能简单的运用定义。

2.通过类比联想，直观感知，操作确认，归纳出直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些的简单命题。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养主动探究的习惯，并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重点、难点教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

教学方法与教学手段教学方法：启发式与实验探究式相结合教学手段：计算机、多媒体课件、三角形卡纸教学过程一、直线与平面垂直定义的构建1、创设情境——感知概念复习直线与平面的三种位置关系，指出已经系统学习过直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理后，进一步提出问题：你认为直线与平面相交中哪种情况最特殊？最值得研究？展示几幅生活中常见的图片，让学生指出其中给人以“直线与平面垂直”形象的部分，从中抽取出直线与平面垂直的几何图形，进而引出课题：直线与平面垂直.设计意图：从数学知识内部发展和生活应用两个角度让学生认识到研究“直线与平面垂直”的必要性.并通过抽象的三部曲：实物模型空间直观图，抽象出直线与平面垂直的几何图形，让学生直观感知直线与平面垂直的位置关系，使学生头脑中产生直线与平面垂直的初步印象．2、观察归纳——形成概念从陀螺中抽象出圆锥模型，学生通过旋转纸片，感受圆锥的形成过程，并思考：问题1：旋转轴与底面内哪些直线垂直？（教师播放动画）并追问为什么？进而归纳出直线与平面垂直的定义.设计意图：在具体的情境中，让学生感知直线与平面垂直的本质属性，体会到定义的合理性．3、讨论辨析——深化概念引导学生用数学符号将定义表示出来，接着提出问题：（1）如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？（2）若l⊥α,m α，则l⊥m成立吗？设计意图：通过对两个问题的讨论辨析，让学生加深对概念的理解,并让学生体会到通过定义可以实现“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化.二、直线与平面垂直判定定理的构建1、类比联想——提出问题根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？设计意图：从学生的已有知识出发，类比联想，符合学生的认知规律，使学生的思维顺畅，并激发学生进一步探究的欲望．2、动手实验——提出猜想演示实验过程：先将三角形纸片折叠一次，再将纸片略打开放置于桌面上，A使折痕与桌面相交．思考：（1）折痕与桌面一定垂直吗？（2）如何折叠才能使折痕与桌面所在的平面垂直？学生解释，并给出不同的折法.问题2：这两种不同的折法有何共同特点？你有何猜想？设计意图：一方面让学生从另一个角度来理解定义——只要直线l 与平面α内有一条直线不垂直，那么直线l 就与平面α不垂直；另一方面让学生通过讨论不同折法的共同特点，直观感知并归纳猜想出直线与平面垂直的判定定理.3、合作探究——形成定理问题3：为什么折痕能与桌面所在的平面垂直？学生讨论探究，以折痕AD 为轴转动纸片，来说明AD 与平面α内过D 点的所有直线都垂直，平面α内不过D 点的直线，可以通过平移经过D 点，说明它们与AD 都垂直，符合直线与平面垂直的定义，验证了猜想的正确性（辅以动画演示），得出直线与平面垂直的判定定理.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．让学生用图形语言表示判定定理并辨析：直线l 是否必须经过经过直线m 与直线n 的交点O ？符号语言： m l ⊥，n l ⊥，α⊂m ，α⊂n ，m n O = ⇒l α⊥． 设计意图：让学生通过动手操作，经历观察、归纳、猜想及验证的探究过程，增强学生的学习兴趣，提高学生的抽象概括能力，培养学生严谨细致的作风在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可.指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线与已知直线垂直.三、初步应用——深化认识1. 图形感知——提出命题从图中可以看出边AB 与折痕平行，边AB 是否也与平面α垂直？本题可以使用直线与平面垂直的定义来证明，也可以使用直线与平面垂直的判定定理来证明，让学生展现其解决问题的思路，并通过学生的交流，完善并规范解题过程的书写.设计意图：一方面让学生学会使用定义和判定定理，让他们掌握分析此类问题的方法和步骤，另一方面让学生学会思考，增强其逻辑推理能力，并给学生更多的发展机会.问题4：判定直线与平面垂直有哪些方法？学生总结出利用定义和定理两种方法.设计意图：让学生在头脑中初步形成将线面垂直转化为线线垂直的意识，为下面的应用打下铺垫.请学生用文字语言将例题表述出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．2. 命题变式——探究证明将命题的题设和结论交换，得出变式例题.例2.已知：AB α⊥，DE α⊥．求证：AB //DE ．本题证明有一定困难，需要适当的引导，师生共同探究，完成证明，进而总结出直线与平面的性质定理．性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行符号语言：a ⊥α,b ⊥αa//b 图形语言：ba α设计意图：“授人以鱼，不如授人以渔”，在共同探究的过程中，不仅体现了知识的运用，更重要的是展示了思维的过程，增强学生分析问题、解决问题的能力.四、回顾总结，反思升华问题5：这节课，我们有哪些收获？知识方面：线面垂直的定义、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理． 方法方面：掌握了立体几何中研究线面位置关系思路与方法．数学思想：转化思想（空间平面、无限 有限、线面垂直 线线垂直、平行 垂直）五、布置作业，巩固理解（1）阅读课本相关内容进行复习；（2）课本第41-42页习题1.2（2）的“感受·理解”部分的第7题和第9题；（3）课本第42页习题1.2（2）的“思考·运用”部分的第12题. 线线平行性质定理 a//b,a ⊥b b ⊥α a//b a ⊥α,b ⊥α 判定定理（两相交直线） 定义法（任一直线） 线线垂直 线线平行线 面 垂 直。

高中数学线面垂直变化教案
教学目标：
1. 理解线面垂直的概念，能正确判断线面是否垂直。

2. 掌握线面垂直关系的性质和判定方法。

3. 能够解决相关的问题，提高数学推理和解决问题的能力。

教学重点：
1. 理解线面垂直的定义及性质。

2. 掌握线面垂直的判定方法和求解技巧。

教学难点：
1. 理解线面垂直的判定方法并灵活运用。

2. 解决实际问题中线面垂直关系的应用。

教学过程：
一、导入：通过提问引入线面垂直的概念，引导学生思考线面垂直的意义和特点。

二、讲解：介绍线面垂直的定义和性质，以及线面垂直的判定方法，通过案例分析详细说明线面垂直关系。

三、练习：让学生进行练习，巩固理论知识，提高解题能力。

四、拓展：引导学生思考线面垂直在日常生活中的应用，如建筑设计、机械加工等领域。

五、总结：对本节课的内容进行总结，强调线面垂直的重要性及应用。

教学反思：通过引导学生思考线面垂直的概念和性质，以案例分析为例详细讲解线面垂直的判定方法，能够帮助学生更好地理解和掌握线面垂直的知识，在解题过程中培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

高中数学优秀教案线面垂直
课型：新授课
教学目标：
1. 理解线面垂直的概念；
2. 能够判断线段和平面是否垂直；
3. 能够应用线面垂直的性质解决实际问题。

教学重难点：
1. 线面垂直的性质；
2. 如何判断线段和平面是否垂直。

教学准备：
1. 教材《高中数学》相关教学内容；
2. 板书、彩色粉笔、投影仪；
3. 实物模型：线段、平面。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师向学生展示实物模型，让学生观察线段和平面的相互关系，引出线面垂直的概念。

二、讲解（15分钟）
1. 带领学生理解线面垂直的性质，并讲解判断线段和平面是否垂直的方法；
2. 通过例题分析，帮助学生掌握线面垂直的应用技巧。

三、练习（20分钟）
1. 分发练习题，让学生独立完成；
2. 随堂检测，及时纠正学生的错误。

四、拓展（10分钟）
教师展示一些拓展性的问题，激发学生兴趣，引导学生深入思考线面垂直的相关问题。

五、总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，并对学生提出的问题进行解答。

六、课后作业
布置相关的课后作业，巩固所学知识。

教学反思：
1. 本节课注重引导学生理解线面垂直的性质，并通过实际问题让学生应用所学知识；
2. 在练习环节要及时纠正学生的错误，以确保他们正确掌握线面垂直的判断方法；
3. 在拓展环节要精心设计问题，引导学生拓展思维，培养他们的解决问题能力。

1.2.3 直线与平面垂直（苏教版高中数学·必修2）南京外国语学校郭佩华课题：1.2.3 直线与平面垂直授课教师：南京外国语学校郭佩华教材：苏教版高中数学·必修2【教学目标】知识与技能：①让学生经历数学概念的过程，理解直线与平面垂直的定义。

②通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理。

③通过创设情境，归纳并证明出线面垂直的性质定理。

④熟悉自然语言，图形语言和符号语言之间的转化，能够初步运用线面垂直的定义和判定、性质定理证明简单命题。

过程与方法：在学生现有的空间观念的基础上，引导学生观察和联想实际生活情境，通过直观感知，操作确认的方法去探究空间中线面垂直的位置关系，概括出线面垂直的定义、判定定理，并探索证明性质定理。

在学习过程中把握“从特殊到一般，从抽象到具体”的方法和步骤，体会转化、正难则反等思想方法。

情感态度价值观：通过创设问题情境，鼓励学生自己动手操作，让学生亲身经历探索的过程，提高数学学习的兴趣；鼓励学生尝试探索，在实践中提高自己的思辨能力并形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理。

【教学难点】归纳直线与平面垂直的定义，探究线面垂直性质定理的证明。

【教学方法与教学手段】问题探究法，启发式教学，探究式学习，结合多媒体课件。

【教学过程】一、创设情境，启发定义1.回顾直线与平面的三种位置关系，引出直线与平面相交时的特殊情况——直线与平面垂直。

2.学生通过生活中，几何体中线面垂直的实例，体会线面垂直的特征是“不歪不斜”。

3.借助“比萨斜塔”的“斜”启发定义，引导学生把“线面”的关系转化为“线线”的关系去研究，再让学生亲自经历验证圆锥的轴与底面所有直线垂直的过程，从而形成定义。

让学生通过操作，联想，感知“线面垂直”是“线面相交”的一种特殊情况，并且生活中存在着大量的“线面垂直”的位置关系。

在定义生成的过程中，采用了比萨斜塔这个“不垂直”的例子为“线面垂直”定义的产生搭建平台，体会到“斜”是因为“斜塔”与平面内的一条直线不垂直，要“不斜”就是平面内找不到直线与它不垂直，即必须与平面内任意一条直线都垂直。

《直线与平面垂直的判定》公开课教案授课教师学校学科班级班上课课题直线与平面垂直的判定授课时间四教学三维目标知识目标：理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用.能力目标：通过对定义和判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯.教学重点操作确认并概括出直线与平面的定义和判定定理的过程及初步应用. 教学难点操作确认并概括出直线与平面的定义和判定定理的过程.教学过程一、联系生活，引入慨念引入生活实际中的例子，从直观感受生活中的线面垂直（世界第一高楼，广州塔）观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直二、揭示定义直线与平面垂直的定义：定义:如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫平面α的垂线，平面α叫直线l的垂面。

直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫垂足。

三、提出问题思考：得到线面垂直,直线最少垂直于平面内的几条直线？（1）如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？（2）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？（3）如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，此直线是否和平面垂直？四、实验探究请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在的直线在平面α垂直。

五、引出结论线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线．．．．．．都垂直，则该直线与此平面垂直。

高中数学《线面垂直》教学设计《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版垂直关系直线与平面垂直的判定一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、笔（表直线）、纸（表平面）等.n P⇒⎬=⎭,,b aα⊥七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.。

高中数学第九章直线和平面垂直的判定与性质（二）教学案苏教版一、素质教育目标（一）知识教学点1．直线和平面垂直的性质定理．2．点到平面的距离．3．直线和平面的距离．（二）能力训练点1．掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题．2．掌握用反证法证明命题．（三）德育渗透点通过例题2的学习向学生渗透转化的思想和化归的解题意识．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：（1）掌握直线和平面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．（2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义．2．教学难点：性质定理证明中反证法的学习和掌握，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法．3．教学疑点：设计一个综合题，引导学生思考点到平面的距离和直线到平面的距离问题的互化．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第二课时．四、学生活动设计（常规活动，略）五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：上节课，我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理，请两个同学来叙述一下定义和判定定理的内容．生（甲）：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这个平面互相垂直．生（乙）：直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（板书如右）师：利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理（即例题1），也请一个同学叙述一下．生（丙）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．（板书）若a∥b，a⊥α则b⊥α．师：这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题．生：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．师：下面就让我们看看这个命题是否正确？（二）猜想推测，激发兴趣教师写出已知条件并画出图形，作探讨性证明已知：a⊥α， b⊥α（如图1-73）求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．师：您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？生：否定结论→推出矛盾→肯定结论师：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．（三）层层推进，证明定理证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的．因此，a∥b．由此，我们得到：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．师：这就是直线和平面垂直的性质定理；师：学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．（四）初步运用，提高能力1．例题2已知：一条直线l和一个平面α平行．求证：直线l上各点到平面α的距离相等．分析：首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l上任意取两点A、B，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可．证明：过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1∵ AA1⊥α，BB1⊥α，∴ AA1∥BB1（直线与平面垂直的性质定理）．设经过直线AA1和BB1的平面为β，β∩α＝A1B1．∵ l∥α，∴ l∥A1B1．∴ AA1=BB1（直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等．师：我们再来学习直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．师：本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题．这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法．2．思考（课后练习4）安装日光灯时，怎样才能使灯管和天棚、地板平行？生：只要两条吊线等长．师：转化为数学模型是，如图1-76已知：直线l上A、B两点到平面α的距离相等，求证：l∥α．师：本题仿照例题2方法很容易证明，但以下的论述却是假命题，你知道是为什么吗？直线l上A、B两点到平面α的距离相等，那么l∥α．3．如图1-77，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求证：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．解：（1）连结BD交AC于O，∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG（五）归纳小结，强化思想本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．六、布置作业作为一般要求，完成习题四5、6、7、8；提高要求，完成以下两个补充练习．1．已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：（1）点C′到平面ABED的距离；（2）C′到边AB的距离；（3）C′到AD的距离．参考答案：（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，则C′H⊥AB，2．如图1-79，已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD．参考答案：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD．。