2.2.2事件的相互独立性答案

2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=． （法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件，，．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是 1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

2．2.2 事件的相互独立性一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是 ( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[答案] A[解析] 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，∴P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为 ( ) A.116 B.18 C.316D.14[答案] C[解析] 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316.4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59[答案] B[解析] 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A －B －)＝________.[答案] 16 16[解析] ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16， P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110；(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－ A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )A.29B.118C.13D.23[答案] D[解析] 由题意，P (A －)·P (B －)＝19， P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)． 设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎨⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎨⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78[答案] B[解析] 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立， ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以 P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C ) ＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38.10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． [答案] 35192[解析] 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192.11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率． 解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.(2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得： 敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110 两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3.∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机． 三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列．解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”， 由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－) ＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－) ＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－) ＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12. (3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12， 所以，X 的分布列为。

2.2.2 事件的相互独立性A组1.两个射手彼此独立射击一目标,甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,在一次射击中,甲、乙同时射中目标的概率是()A.0.72B.0.85C.0.1D.不确定解析:甲、乙同时射中目标的概率是0.9×0.8=0.72.答案:A2.一袋中有除颜色外完全相同的3个红球,2个白球,另一袋中有除颜色外完全相同的2个红球,1个白球,从每袋中任取1个球,则至少取1个白球的概率为()A. B. C. D.解析:至少取1个白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一袋中取1个球为红球的概率为,从另一袋中取1个球为红球的概率为,则至少取1个白球的概率为1-.答案:B3.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)()A. B. C. D.解析:该生三项均合格的概率为.答案:B4.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是()A. B. C. D.1解析:设事件A表示“甲通过听力测试”,事件B表示“乙通过听力测试”.依题意知,事件A和B 相互独立,且P(A)=,P(B)=.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C,则C=AB,且AB互斥.故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.答案:C5.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为()A. B. C. D.解析:根据题意,由于甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能获得冠军,根据两队每局中胜出的概率都为,则可知甲队获得冠军的概率为.答案:D6.加工某一零件需经过三道工序,设第一、第二、第三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为.解析:加工出来的零件的正品率是,因此加工出来的零件的次品率为1-.答案:7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是.解析:设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为;在上机操作考试中合格的概率分别为.所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大?(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率.解:记“甲理论考试合格”为事件A1,“乙理论考试合格”为事件A2,“丙理论考试合格”为事件A3;记“甲上机考试合格”为事件B1,“乙上机考试合格”为事件B2,“丙上机考试合格”为事件B3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A,记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B,记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C,则P(A)=P(A1)P(B1)=,P(B)=P(A2)P(B2)=,P(C)=P(A3)·P(B3)=,有P(B)>P(C)>P(A),故乙获得合格证书的可能性最大.(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D.P(D)=P(A)P(B)P(C)=.所以,三人计算机考试都获得合格证书的概率是.9.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立.(1)求恰有两个项目成功的概率;(2)求至少有一个项目成功的概率.解:(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为,只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为,故恰有两个项目成功的概率为.(2)三个项目全部失败的概率为,故至少有一个项目成功的概率为1-.B组1.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲指针指的数为x,转盘乙指针指的数为y,x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为()A. B. C. D.解析:满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.∴所求事件的概率为P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=.答案:C2.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片跳到另一片),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A片上,则跳三次之后停在A片上的概率是()A. B. C. D.解析:由题意知逆时针方向跳的概率为,顺时针方向跳的概率为,青蛙跳三次要回到A只有两条途径: 第一条:按A→B→C→A,P1=;第二条,按A→C→B→A,P2=,所以跳三次之后停在A上的概率为P1+P2=.答案:A3.已知甲袋中有除颜色外大小相同的8个白球,4个红球;乙袋中有除颜色外大小相同的6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为.解析:设从甲袋中任取一个球,事件A:“取得白球”,则此时事件:“取得红球”,从乙袋中任取一个球,事件B:“取得白球”,则此时事件:“取得红球”.∵事件A与B相互独立,∴事件相互独立.∴从每袋中任取一个球,取得同色球的概率为P(AB+)=P(AB)+P()=P(A)P(B)+P()P()=.答案:4.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为,,.解析:记“机器甲需要照顾”为事件A,“机器乙需要照顾”为事件B,“机器丙需要照顾”为事件C,由题意可知A,B,C是相互独立事件.由题意可知得所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.答案:0.20.250.55.有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛.每场都要分出胜负,已知甲队胜乙队的概率是0.4,甲队胜丙队的概率是0.3,乙队胜丙队的概率是0.5,现规定比赛顺序是:第一场甲队对乙队,第二场是第一场中的胜者对丙队,第三场是第二场中的胜者对第一场中的败者,以后每一场都是上一场中的胜者对前场中的败者,若某队连胜四场则比赛结束,求:(1)第四场结束比赛的概率;(2)第五场结束比赛的概率.解:(1)∵P(甲连胜4场)=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4.P(乙连胜4场)=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09,∴P(第4场结束比赛)=0.014 4+0.09=0.104 4.(2)第5场结束比赛即某队从第2场起连胜4场,只有丙队有可能.∵P(甲胜第一场,丙连胜4场)=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.4×0.122 5,P(乙胜第一场,丙连胜4场)=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.6×0.122 5.∴P(第5场结束比赛)=0.4×0.122 5+0.6×0.122 5=0.122 5.6.已知A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组,设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.解:(1)设A i表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.B i表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=,P(A1)=2×,P(A2)=,P(B0)=,P(B1)=2×.所求概率为P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=.(2)所求概率为1-.7.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的可能取值及对应的概率.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第4局甲当裁判”,则A=A1·A2.故P(A)=P(A1·A2)=P(A1)·P(A2)=.(2)X的可能取值为0,1,2.B1表示事件“第1局乙和丙比赛结果乙胜”,B2表示事件“第2局乙参加比赛结果乙胜”,B3表示事件“第3局乙参加比赛结果乙胜”.则P(X=0)=P(B1·B2·B3)=P(B1)P(B2)P(B3)=,P(X=2)=P()=P()P()=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-.。

2.2 二项分布及其应用2.2.2 事件的相互独立性A 级 基础巩固一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个解析：①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12，即事件M 的结果对事件N的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．答案：C2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )解析：设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．答案：C3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49.答案：A4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.答案：B5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13 D.718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件ABC ＋ABC ＋ABC 的发生， 故概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：D 二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35.答案：357．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________．解析：因为A ，B 相互独立，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P (A |B )＝P (A )＝0.3.答案：0.65 0.38．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0. 05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.答案：0.95 三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (AB )[1－P (CD )]＝P (A )P (B )[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为P (A — B —C )＋P (— A B — C )＋P (— A — B C )＝P (A )P (— B )P (— C )＋P (— A )P (B )P (—C )＋P (—A )P (—B )P (C )＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－45×35×710＝83125.B 级 能力提升1．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (— A )P (—B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．答案：C2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为________．解析：都未解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P ＝1－13＝23.答案：13 233．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25.所以该选手被淘汰的概率P ＝1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－45×35×25＝101125. (2)ξ的所有可能取值为1，2，3. 则P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225，所以ξ的分布列为：。

2.2.2 事件的相互独立性[A 基础达标]1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球两次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立的事件解析：选D ．因为P (A 1)＝35，若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，所以A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，所以A 1与A 2不是相互独立事件．2．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( )A ．0.2B ．0.8C ．0.4D ．0.3解析：选D ．由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D ．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A ．12B ．13C ．23D ．34解析：选B ．因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B ．4．(2019·重庆高二检测)荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A ．13B ．29C ．49D ．827解析：选A ．由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.5．有一道数学难题，学生A 解出的概率为12，学生B 解出的概率为13，学生C 解出的概率为14.若A ，B ，C 三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( ) A ．1 B ．624 C ．1124D ．1724解析：选C ．一道数学难题，恰有一人解出，包括： ①A 解出，B ，C 解不出，概率为12×23×34＝14；②B 解出，A ，C 解不出，概率为12×13×34＝18；③C 解出，A ，B 解不出，概率为12×23×14＝112.所以恰有1人解出的概率为14＋18＋112＝1124.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.267．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析：设“开关a ，b ，c 闭合”分别为事件A ，B ，C ，则灯亮这一事件为ABC ∪AB C —∪A B —C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C —，A B —C 相互独立， ABC ，AB C —，A B — C 互斥，所以 P ＝P (ABC )＋P (AB C —)＋P (A B —C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＋P (A )P (B —)P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：388．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________． 解析：分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A ，B ，C ， 则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次为事件(A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)，故其概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：7189．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两互相独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A — B — C —表示，P (A — B — C —)＝P (A —)P (B —)P (C —)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用 (A —BC )∪(A B —C )∪(AB C —)表示． 由于事件A —BC ，A B —C 和AB C —两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A —BC )＋P (A B —C )＋P (AB C —) ＝P (A —)P (B )P (C )＋P (A )P (B —)P (C )＋P (A )P (B )P (C —)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A — B — C —)＝P (A —)·P (B —)·P (C —)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C —)＋P (A B —C )＋P (A —BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大．[B 能力提升]11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A ．316B ．34C ．1316D ．14解析：选C ．记“A ，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P (C —)P (D —)[1－P (AB )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：3413．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.14．(选做题)某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．解：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，C A 2表示事件“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，C B 1表示事件“B 地区用户的满意度等级为不满意”，C B 2表示事件“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2，P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据，得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。

2.2.2 事件的相互独立性课后导练基础达标1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42.答案：D3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2)解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1).答案：B4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 解析：P=901516131=⨯⨯. 答案：B.5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________. 解析：P=2411413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 答案：2411. 综合运用6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________.解析：因为这位司机在第一，二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-31)(1-31)×31=274. 答案：274 7.(2006四川高考，18)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.解析：记“甲理论考核合格”为事件A 1；“乙理论考核合格”为事件A 2；“丙理论考核合格”为事件A 3；记i A 为A i 的对立事件，i=1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B 1;“乙实验考核合格”为事件B 2；“丙实验考核合格”为事件B 3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件P （C ）=P （A 1A 23A +A 12A A 3+1A A 2A 3+A 1A 2A 3)=P(A 1A 23A )+P(A 12A A 3)+P(1A A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902(2)记“三人该课程考核都合格”为事件DP （D ）=P[(A 1·B 1)·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）]=P （A 1·B 1）·P（A 2·B 2）·P（A 3·B 3）=P （A 1）·P（B 1）·P（A 2）·P（B 2）·P（A 3）·P（B 3)=0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.90.254 016≈0.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.2548.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解析：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=54108 . 显然，事件A·C 与事件B·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P(A·C+B·D)=P(A·C)+P(B·D)=P(A)·P(C)+P(B)·P(D)=10059.∴本次试验成功的概率为10059. 9.如图，用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 、D 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 、B 至少有一个正常工作，且C 、D 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.解析：N 1正常工作等价于A 、B 、C 、D 都正常工作，N 2正常工作等价于A 、B 中至少一个正常工作，且C 、D 中至少有一个正常工作.且A 、B 、C 、D 正常工作的事件相互独立.分别记元件A 、B 、C 、D 正常工作为事件A 、B 、C 、D ，由已知P （A ）=0.80，P （B ）=0.90，P （C ）=0.90，P （D ）=0.70.(1)P 1=P(A·B·C·D)=P(A)P(B)P(C)·P(D)=0.80×0.90×0.90×0.70=0.453 6.(2)P 2=P(1-A ·B )·P(1-C ·D )=［1-P(A )·P(B )］［1-P(C )·P(D )］=(1-0.2×0.1)×(1-0.1×0.3)=0.98×0.97=0.950 6.拓展探究10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率.解析：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P （A ）=p 3,P(B)=p 3, P(A )=1-p 3,P(B )=1-p 3. (1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·B +A ·B)=P(A ·B )+P(A ·B)=p 3(1-p 3)+(1-p 3)p 3=2p 3-2p 6.(2)方法一：两套设备都能正常工作的概率为P(A·B)=P(A)·P(B)=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 P(A·B +A ·B)+P(A·B)=2p 3-2p 6+p 6=2p 3-p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P(A ·B )=P(A )·P(B )=(1-p 3)2. 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1-P(A ·B )=1-P(A )·P(B )=1-(1-p 3)2=2p 3-p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3-2p 6,能进行通讯的概率为2p 3-p 6.备选习题11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31,从乙袋内摸出1个红球的概率是21，从两袋内各摸出1个球，则32等于( ) A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率 答案：C12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.解析：(87)2×81=51249. 答案：51249 13.下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”.是互斥事件的有____________；是相互独立事件的有____________.解析：（1）甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件.（2）甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件.（3）甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件.（4）甲、乙各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能会同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件.答案：（1），（3）；（2）14.现有四个整流二极管可串联或并联组成一个电路系统，已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作的概率），请你设计一种四个二极管之间的串并联形式的电路系统，使得其可靠度大于0.85.画出你的设计图并说明理由.解析：（1）P=1-(1-0.8)4=0.998 4＞0.85;(2)P=1-(1-0.82)2=0.870 4＞0.85;(3)P=［1-(1-0.8)2］2=0.921 6＞0.85;(4)P=1-(1-0.8)(1-0.83)=0.902 4＞0.85;(5)P=1-(1-0.8)2(1-0.82)=0.985 6＞0.85.以上五种之一均可.15.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B .于是P （A ）=53106=，P （A )=52; P(B)=104=52,P(B )=53. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P（B ）=53·25652=. 答：两人都抽到足球票的概率是256. (2)甲、乙两人均未抽到足球票（事件B A ∙发生）的概率为P （B A ∙）=P （A ）·P（B ）=2565352=∙. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P=1-P(B A ∙)=1-256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 16.（2005全国高考卷3，文18）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.DBBCA ，CCBCD ，BA18.解析：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立.由题意得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)= 0.125解得P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 (Ⅱ)∵A、B、C相互独立，∴A、B、C相互独立∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.75×0.5=0.3∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p=1-P(A·B·C)=1-0.3=0.7。