江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编19 空间几何体的表面积与体积 苏教版

页眉内容第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积[小题能否全取]1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a2 B.34a2C.3＋32a2 D.6＋34a2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a，∴S全＝34a2＋3×12×⎝⎛⎭⎪⎫22a2＝3＋34a2.2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ， 则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr . 解得r ＝1，即直径为2. 答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性． 3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．典题导入[例1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5. 所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.[答案] 92由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以题试法1．(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1＝4.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V ＝V 半球＋V 圆锥＝12·43π·33＋13·π·32·4＝30π.(2)VA －DED 1＝VE －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.[答案] (1)C (2)16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×32×4－13π×32×4＝24π.答案：24π由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．以题试法2．(1)(2012·长春调研)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13Sh ＝14.(2012·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．32B ．24C ．8D.323解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S ＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V ＝12×2＝24.典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.[答案] A由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.以题试法3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3D.16π3(2)(2012·潍坊模拟)如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示． 其中侧面DBC ⊥底面ABC ，取BC 的中点O 1，连接AO 1，DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1＝3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中，AB ＝AC ＝2， 又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径，O 1为圆心， 又∵DO 1⊥底面ABC ，∴球心在DO 1上， 即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为R ， 则(3－R )2＋12＝R 2，∴R ＝23. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝16π3.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：(1)D (2)6π1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8 B.83 C ．4D.43解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×PA ＝13×12×2×2×2＝43.2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651解析：选A 依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O－ABCD 的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51.3．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.154π C ．5πD.174π 解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 4．(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5． (2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A.112B ．5 C.92D ．4解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.6.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值解析：选D 因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：268．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π.答案：33π 9．(2013·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π10．(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．解：设原正六边形中，AC ∩BE ＝O ，DF ∩BE ＝O ′，由正六边形的几何性质可知OA ＝OC ＝3，AC ⊥BE ，DF ⊥BE .(1)证明：在五面体ABCDE 中，OA 2＋OC 2＝6＝AC 2， ∴OA ⊥OC ，又OA ⊥OB ，∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF ， ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ，BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ，同理BE ⊥平面FO ′D ，∴平面AOC ∥平面FO ′D ，故AOC －FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B －AOC 和E －FO ′D 为大小相同的三棱锥，∴V ABCDEF ＝2V B －AOC ＋V AOC －FO ′D＝2×13×12×(3)2×1＋12×(3)2×2＝4.11．(2012·大同质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD . 所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以DF ∥BC .在△PAB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ， 所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△PAD 中，PA ＝PD ＝AD ＝2， 所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.12．(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1， 所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C . 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.1．(2012·潍坊模拟)已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球表面积等于( )A ．8πB ．16πC ．482πD ．不确定的实数解析：选B 设矩形长为x ，宽为y ，周长P ＝2(x ＋y )≥4xy ＝82，当且仅当x ＝y ＝22时，周长有最小值．此时正方形ABCD 沿AC 折起，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，三棱锥D －ABC 的四个顶点都在以O 为球心，以2为半径的球上，此球表面积为4π×22＝16π.2．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6.答案：63．(2013·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小． 解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ， 又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD . ∴BD ⊥OD .∴∠ODC ＝α.V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×12·OD ·BD ·OC＝26·OD ·OC ＝26·CD ·cos α·CD ·sin α ＝23·sin 2α≤23， 当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号． ∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为23.(2)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ，又AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面BOC . ∴AD ⊥OB .∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BD AB.∴OD ＝BD 2AB＝222＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.1．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A ．(6－33)πB ．(8－43)πC ．(6＋33)πD ．(8＋43)π解析：选A 设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2， 则3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3，r 1＋r 2＝3－32，从而4π(r 21＋r 22)≥4π·r 1＋r 222＝(6－33)π.2．已知某球半径为R ，则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A ．8R 2B ．6R 2C ．4R 2D ．2R 2解析：选A 设球内接长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则a 2＋b 2＋c 2＝(2R )2，所以S 表＝2(ab ＋bc ＋ac )≤2(a 2＋b 2＋c 2)＝8R 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝233R 时，等号成立．3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π解析：选 A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×12π＝20＋3π.4．(2012·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V解析：选D ∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．5．(2012·上海高考)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．解析：如图过点B 在平面BAD 中作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接CE ，因为BC ⊥AD ，所以AD ⊥平面BCE .所以四面体ABCD 的体积为13S △BCE ·AD .当△BCE 的面积最大时，体积最大．因为AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，所以点B ，C在一个椭圆上运动，由椭圆知识可知当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝a 时，BE ＝CE＝a 2－c 2为最大值，此时截面△BCE 面积最大，为12×2a 2－c 2－1＝a 2－c 2－1，此时四面体ABCD 的体积最大，最大值为13S △BCE ·AD ＝2c 3·a 2－c 2－1.答案：23c a 2－c 2－1。

１．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝２πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r＋r′）l２．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋２S底V＝Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝错误!Sh台体（棱台和圆台）S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!）h球S＝４πR２V＝错误!πR３[小题体验]１．一个球的表面积是１6π，那么这个球的体积为________．解析：设球的半径为R，因为表面积是１6π，所以４πR２＝１6π，解得R＝２．所以体积为错误!πR ３＝错误!.答案：错误!π２．（２0１8·南京高三年级学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为２7π cm３，则该圆柱的侧面积为________cm２.解析：设正方形的边长为a cm，则πa２·a＝２7π，得a＝３，所以侧面积２π×３×３＝１8π cm２.答案：１8π３．（２0１8·海安高三质量测试）已知正三棱锥的体积为３6错误!cm３，高为４cm，则底面边长为________cm.解析：设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为S＝错误!a２，由题意知错误!×错误!a２×４＝３6错误!，解得a＝6错误!.答案：6错误!１．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．２．易混侧面积与表面积的概念．[小题纠偏]１．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：２∶３１∶１２．已知正四棱柱的底面边长为３cm，侧面的对角线长为３错误!cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm２.解析：正四棱柱的高为错误!＝6 cm，所以侧面积是４×３×6＝7２cm２.答案：7２错误!错误![题组练透]１．棱长为２的正四面体的表面积是________．解析：每个面的面积为：错误!×２×２×错误!＝错误!.所以正四面体的表面积为４错误!.答案：４错误!２．一个六棱锥的体积为２错误!，其底面是边长为２的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得错误!×6×错误!×２２×h＝２错误!，所以h＝１，所以斜高h′＝错误!＝２，所以S侧＝6×错误!×２×２＝１２．答案：１２３．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝２AD＝２AB＝２，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________．解析：由题意得几何体如图所示，几何体是底面半径为１，高为２的圆柱挖去一个底面半径为１，高为１的圆锥后剩下的部分，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×１２＋２π×１×２＋π×１×错误!＝（５＋错误!）π.答案：（５＋错误!）π[谨记通法]几何体的表面积的求法（１）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．（２）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．错误!错误![典例引领]１．（２0１8·苏州高三暑假测试）如图，正四棱锥P­ABCD的底面一边AB的长为２错误!cm，侧面积为8错误!cm２，则它的体积为________cm３.解析：记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连结PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8错误!cm２，所以8错误!＝４×错误!×２错误!×PH，解得PH＝２，在Rt△PHO中，HO＝错误!，所以PO＝１，所以V P­ABCD＝错误!·S正方形ABCD·PO＝４cm３.答案：４２．（２0１9·高邮模拟）如图，在正三棱柱ABC­A１B１C１中，已知AB＝AA１＝３，点P在棱CC１上，则三棱锥P­ABA１的体积为________．解析：因为S△ABA１＝错误!×３×３＝错误!，点P到平面ABA１的距离h为△ABC的高错误!，所以三棱锥P­ABA１的体积V＝错误!S△ABA１h＝错误!.答案：错误![由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解[即时应用]１．现有一个底面半径为３，母线长为５的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________．解析：因为圆锥底面半径为３，母线长为５，所以圆锥的高为错误!＝４，其体积为错误!π×３２×４＝１２π.设铁球的半径为r，则错误!πr３＝１２π，解得r＝错误!，所以该铁球的半径是错误!.２．（２0１8·南通调研）如图，在正三棱柱ABC­A１B１C１中，若各棱长均为２，且M为A１C１的中点，则三棱锥M­AB１C的体积是________．解析：在正三棱柱ABC­A１B１C１中，AA１⊥平面A１B１C１，则AA１⊥B１M.因为B１M是正三角形的中线，所以B１M⊥A１C１.因为A１C１∩AA１＝A１，所以B１M⊥平面ACC１A１，则V M­AB１C ＝V B１­ACM＝错误!×错误!×AC×AA１×B１M＝错误!×错误!×２×２×错误!＝错误!.答案：错误!错误!错误![锁定考向]与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型多为填空题．常见的命题角度有：（１）球与柱体的切、接问题；（２）球与锥体的切、接问题．[题点全练]角度一：球与柱体的切、接问题１．已知底面边长为１，侧棱长为错误!的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得（２R）２＝（错误!）２＋１２＋１２，解得R＝１，所以该球的体积V＝错误!πR３＝错误!.答案：错误!２．（２0１7·江苏高考）如图，在圆柱O１O２内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O１O２的体积为V１，球O的体积为V２，则错误!的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O１O２的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为２R，所以错误!＝错误!＝错误!.角度二：球与锥体的切、接问题３．已知正三棱锥的高为１，底面边长为２错误!，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，因为△ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．因为AB＝２错误!，所以S△ABC＝３错误!，DE＝１，PE＝错误!.所以S表＝３×错误!×２错误!×错误!＋３错误!＝３错误!＋３错误!.因为PD＝１，所以三棱锥的体积V＝错误!×３错误!×１＝错误!.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝错误!＝错误!—１．答案：错误!—１４．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接AO，OB，因为SC为球O的直径，所以点O为SC的中点，因为SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝２R.所以V S­ABC＝V A­SBC＝错误!×S△SBC×AO＝错误!×错误!×AO，即9＝错误!×错误!×R，解得R＝３，所以球O的表面积为S＝４πR２＝４π×３２＝３6π.答案：３6π[通法在握]“切”“接”问题处理的注意事项（１）“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．（２）“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[演练冲关]１．（２0１8·太湖高级中学检测）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为１，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝１，其高h＝１，所以球半径为R＝错误!＝错误!＝错误!，所以该球的体积V＝错误!πR３＝错误!×错误!３π＝错误!.答案：错误!２．三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝错误!，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝２，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为错误!＝错误!，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x２＝３２＋（错误!—x）２，解得x＝错误!错误!，所以R２＝x２＋错误!２＝错误!＋１＝错误!（其中R为三棱锥外接球的半径），所以外接球的表面积S＝４πR２＝错误!π.答案：错误!π３．（２0１9·南京四校联考）已知在三棱锥S ABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝错误!，则三棱锥S—ABC的内切球的半径为________．解析：由题意知，SA＝SB＝SC.设SA＝SB＝SC＝a，则错误!a＝错误!，a＝１．设三棱锥S—ABC 的内切球的半径为r，则由等体积法可得，V S—ABC＝错误!×错误!＝V A—SBC＝错误!×错误!×１，解得r＝错误!，即三棱锥S—ABC的内切球的半径为错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·徐州高三年级期中考试）各棱长都为２的正四棱锥的体积为________．解析：由题意得，底面对角线长为２错误!，所以正四棱锥的高为错误!＝错误!，所以正四棱锥的体积V＝错误!Sh＝错误!×２２×错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏锡常镇调研）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V１，S１，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V２，S２，若错误!＝错误!，则错误!的值为________．解析：法一：由题意知V１＝a３，S１＝6a２，V２＝错误!πr３，S２＝错误!πr２，由错误!＝错误!得错误!＝错误!，得a＝r，从而错误!＝错误!.法二：不妨设V１＝２7，V２＝9π，故V１＝a３＝２7，即a＝３，所以S１＝6a２＝５４．如图所示，又V２＝错误!h×πr２＝错误!πr３＝9π，即r＝３，所以l＝错误!r，即S２＝错误!l×２πr ＝错误!πr２＝9错误!π，所以错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·南京二模）如图，正三棱柱ABC­A１B１C１中，AB＝４，AA１＝6．若E，F分别是棱BB１，CC１上的点，则三棱锥A­A１EF的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC­A１B１C１中，AA１∥BB１，AA１⊂平面AA１C１C，BB１⊄平面AA１C１C，所以BB１∥平面AA１C１C，从而点E到平面AA１C１C的距离就是点B到平面AA １C１C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为４，所以BH＝２错误!，从而三棱锥A­A１EF的体积V A­A１EF ＝V E­A１AF＝错误!S△A１AF·BH＝错误!×错误!×6×４×２错误!＝8错误!.答案：8错误!４．（２0１8·海安期中）如图，在棱长为２的正方体ABCD­A１B１C１D１中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O­A１BC１的体积为________．解析：连结AC，因为几何体是正方体，所以BO⊥平面A１OC１，BO是三棱锥B­A１OC１的高，则三棱锥O­A１BC１的体积为错误!×错误!×２错误!×２×错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·盐城模拟）若一圆锥的底面半径为１，其侧面积是底面积的３倍，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×１×l＝３π×１２，解得l＝３，则h＝错误!＝２错误!，故该圆锥的体积V＝错误!π×１２×２错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏锡常镇一调）如图，正方体ABCD­A １B１C１D１的棱长为１，P是棱BB１的中点，则四棱锥P­AA１C１C的体积为________．解析：四棱锥P­AA１C１C可看作：半个正方体割去三棱锥P­ABC和P­A１B１C１.所以V P­AA１C１C ＝错误!V ABCD­A１B１C１D１—V P­ABC—V P­A１B１C１＝错误!—错误!—错误!＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·扬州模拟）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的３倍，母线长为３，圆台的侧面积为8４π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为３r.由S＝π（r＋３r）·３＝8４π，解得r＝7．答案：7２．（２0１8·常州期中）如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为４，高为３，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．解析：设孔的半径为r，∵此正六棱柱的底边长为４，高为３，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴２×πr２＝２πr×３，解得r＝３，∴孔的半径为３．答案：３３．（２0１8·常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S１＝２πrh＝２πr２.圆锥的母线l＝错误!＝错误!r，故圆锥的侧面积为S２＝错误!×２πr×l＝错误!πr２，所以S２∶S１＝错误!∶２．答案：错误!４．（２0１8·苏北四市一模）将斜边长为４的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：因为等腰直角三角形的斜边长为４，所以斜边上的高为２，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为２，高为２，因此，几何体的体积为V＝２×错误!π×２２×２＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·泰州中学高三学情调研）在正方体ABCD­A１B１C１D１中，P为AA１中点，Q为CC１的中点，AB＝２，则三棱锥B­P Q D的体积为________．解析：如图，连结P Q，则P Q∥AC，取P Q的中点G，连结BG，DG，可得BG⊥P Q，DG⊥P Q，又BG∩DG＝G，则P Q⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝错误!，PG＝错误!，可得BG＝错误!，同理可得DG＝错误!，则△BDG边BD上的高为错误!＝１，所以S△BDG＝错误!×２错误!×１＝错误!，则V B­P Q D＝错误!×错误!×２错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１9·盐城检测）有一个用橡皮泥制作的半径为４的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为________．解析：由已知可得球的体积为V＝错误!π×４３＝错误!.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为8πr２＋错误!πr２＝错误!，解得r＝２错误!.答案：２错误!7．（２0１8·启东调研）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为５，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝４，BD＝２，ED＝２错误!，若M为ED的中点，则V M­ACB＝________.解析：如图，过D作DH⊥CE于H，则BC＝DH，在Rt△EDH中，由ED＝２错误!，EH＝EC—DB＝２，得BC＝DH＝6，所以在Rt△ABC中，AB＝１0，BC＝6，所以AC＝8，即S△ABC＝２４，又因为CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，M为ED的中点，所以M到平面ABC的距离为３，所以V M­ACB＝错误!S△ABC×３＝２４．答案：２４8．（２0１8·连云港调研）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为４，底面边长为２错误!，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO１上，设球的半径为R，因为底面边长为２错误!，所以AC＝４．在Rt△AOO１中，R２＝（４—R）２＋２２，所以R＝错误!，所以球的表面积S＝４πR２＝２５π.答案：２５π9．（２0１8·苏州期末）如图，在体积为V１的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V２，则错误!＝________.解析：设圆锥与圆柱的底面面积为S，高为h，所以V１＝Sh，V２＝Sh—错误!Sh＝错误!Sh，则错误!＝错误!.答案：错误!１0．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝错误!r，PC＝３r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝错误!π×AC２×PC＝错误!π（错误!r）２×３r＝３πr３.V球＝错误!πr３.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水＝错误!π×EH２×PH＝错误!π（PH tan ３0°）２PH＝错误!πx３.又V水＝V圆锥—V球，则错误!πx３＝３πr３—错误!πr３，解得x＝错误!r.故球取出后，容器内水深为错误!r.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知直三棱柱ABC­A１B１C１的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝３，AC＝４，AB⊥AC，AA１＝１２，则球O的半径为________．解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝错误!BC＝错误!错误!＝错误!，OM＝错误!AA１＝6，所以球O的半径R＝OA＝错误!＝错误!.答案：错误!２．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝２，△ABC是边长为错误!的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．解析：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r＝错误!×错误!×错误!＝１，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝１，所以外接球的半径R＝错误!＝错误!，所以三棱锥外接球的表面积S＝４πR２＝8π.答案：8π３．如图是一个以A １B１C１为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A１B１＝B１C１＝２，∠A１B１C１＝90°，AA１＝４，BB１＝３，CC１＝２，求：（１）该几何体的体积．（２）截面ABC的面积．解：（１）过C作平行于A１B１C１的截面A２B２C，交AA１，BB１分别于点A２，B２.由直三棱柱性质及∠A１B１C１＝90°可知B２C⊥平面ABB２A２，则该几何体的体积V ＝V A１B１C１­A２B２C ＋V C­ABB２A２＝错误!×２×２×２＋错误!×错误!×（１＋２）×２×２＝6．（２）在△ABC中，AB＝错误!＝错误!，BC＝错误!＝错误!，AC＝错误!＝２错误!.则S△ABC＝错误!×２错误!×错误!＝错误!.。

（江苏版）2019年高考数学一轮复习 专题8.1 空间几何体的表面积与体积（练）一、填空题1．(2017·无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________． 【答案】16【解析】该正三棱锥的底面积为34×(2)2＝32，高为1－⎝⎛⎭⎪⎫632＝33，所以该正三棱锥的体积为13×32×33＝16. 2．(2017·宿迁模拟)用半径为2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________cm. 【答案】 33．如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为________．【答案】312【解析】三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.4．(2017·盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 【答案】263π【解析】由圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，得该半圆的半径是22，即为圆锥的母线长．半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r ，则22π＝2πr ，解得r ＝2，所以圆锥的高是h ＝22－r 2＝6，体积是V ＝13πr 2h ＝263π.5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC沿AD 折成60°的二面角，连接BC ，则三棱锥C －ABD 的体积为________． 【答案】2336．(2017·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________． 【答案】2【解析】由题意可得正四棱锥的高为2，体积为13×(23)2×2＝8，则正方体的体积为8，所以棱长为2.7．(2017·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________. 【答案】5【解析】由题意可得三个扇形的弧长分别为5π3，10π3，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r 1＝56，r 2＝53，r 3＝52，所以r 1＋r 2＋r 3＝56＋53＋52＝5.8．(2017·泰州模拟)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，三棱锥O －ABD 的体积为V 1，四棱锥O －ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．【答案】12【解析】V 1＝12V 三棱锥D 1－ABD ＝12V 三棱锥B －ADD 1＝14V 四棱锥B －ADD 1A 1＝12V 四棱锥O －ADD 1A 1＝12V 2，则V 1V 2＝12. 二、解答题9．(2015·全国Ⅱ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．10．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在题图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －AC D 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.【能力提升】11．(2015·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛(保留整数)． 【答案】2212．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________． 【答案】32π【解析】棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3，表面积S 1＝6a 2，底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3，侧面积S 2＝2πr 2，则V 1V 2＝a 313πr3＝3π，则a ＝r ，所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π. 13．(2017·南通调研)在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，则CD 的长度为________． 【答案】7或19【解析】四面体ABCD 的体积为13×12×2×3sin ∠CBD ×1＝sin ∠CBD ＝32，则∠CBD ＝60°或∠CBD ＝120°.当∠CBD ＝60°时，CD 2＝9＋4－2×3×2×12＝7，CD ＝7；当∠CBD ＝120°时，CD 2＝9＋4＋2×3×2×12＝19，CD ＝19，故CD 的长度为7或19.14．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．。

江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4空间几何体的表面积与体积教案含解析§8.4 空间几何体的表面积与体积考情考向分析 考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度．1．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S 直棱柱侧＝ch ，底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．柱体的体积公式是V 柱体＝Sh .2．如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是S 正棱锥侧＝12ch ′；锥体的体积公式为V 锥体＝13Sh .3．正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧＝12(c ＋c ′)·h ′；台体的体积公式是V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ，圆锥的侧面积公式为S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ，圆台的侧面积公式为S 圆台侧＝12(c ＋c ′)l＝π(r ＋r ′)l .5．若球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3，球的表面积S ＝4πR 2.概念方法微思考1．如何求旋转体的表面积？提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．2．如何求不规则几何体的体积？提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二 教材改编2．[P54T2]把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为________． 答案 4R解析 设圆柱的高为h ，则有πR 2h ＝3×43πR 3，∴h ＝4R .3．[P49T1]已知正三棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长为35cm ，则这个正三棱柱的侧面积是________cm 2. 答案 54解析 因为正三棱柱的高为(35)2－32＝6(cm)， 所以侧面积为3×3×6＝54(cm 2)．4．[P54T3]一个正六棱锥的底面边长为6cm ，高为53cm ，则它的体积为________cm 3. 答案 270解析 体积V ＝13Sh ＝13×6×12×6×6×32×53＝270(cm 3)．题组三 易错自纠5．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 答案 12π解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π.6．已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ，a 的矩形，则该圆柱的体积为________． 答案a 32π或a 3π解析 设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r ， 则当l ＝2a 时，2πr ＝a ，∴r ＝a2π，这时V 圆柱＝2a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2π2＝a32π；当l ＝a 时，2πr ＝2a ，∴r ＝aπ，这时V 圆柱＝a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a π2＝a3π.综上，该圆柱的体积为a 32π或a 3π.题型一 求空间几何体的表面积1．(2018·全国Ⅰ改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________． 答案 12π解析 设圆柱的轴截面的边长为x ， 则由x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.2．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________． 答案233解析 依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径． 设侧棱长为a ，外接球的半径为r . 由外接球的表面积为4π，得r ＝1， ∴3a ＝2r ＝2，∴a ＝233.3．正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm ，高是1cm ，则它的侧面积为_______cm 2. 答案972解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1cm ，下底长为2cm ，高为正六棱台的斜高．又边长为1cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ，边长为2cm 的正六边形的中心到各边的距离是3cm ，则梯形的高为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2)．思维升华求空间几何体表面积的注意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二 求空间几何体的体积例1(1)(2018·宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P －ABA 1的体积为________．答案934解析 三棱锥P －ABA 1的体积等于三棱锥B －APA 1的体积，点B 到面APA 1的距离为332，△APA 1的面积为92，故三棱锥P －ABA 1的体积为934.(2)(2018·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为________．答案 13解析 几何体展开图如图所示：△ABD ∽△ACC 1，∴BD CC 1＝AB AC， ∵AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3， ∴AC ＝3，CC 1＝3，∴BD ＝1，则1D ABC V －＝1A BC D V －＝13×12×1×2×1＝13.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．跟踪训练1(1)(2018·江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案26解析 由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴该正四棱锥的高h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，∴其体积V ＝13×12×22＝26. (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．答案23解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连结DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， 取AD 的中点O ，连结GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱锥F －BCH ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝2V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.(3)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________．答案 1 解析 如题图， 因为△ABC 是正三角形， 且D 为BC 中点，则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高． 所以11A B DC V 三棱锥－＝1311B DC S·AD ＝13×3×3＝1.题型三 表面积和体积的综合问题命题点1 侧面展开图的应用例2(1)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．答案3解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1沿棱BB 1展开成平面图形，连结AC 1到AC 1与BB 1的交点即满足AM ＋MC 1最小，此时AC 1＝14，MC 1＝22，AM ＝2，∴cos∠AMC 1＝2＋8－142×2×22＝－12，∴sin∠AMC 1＝32，∴1AMC S ＝12×2×22×32＝ 3.(2)(2018·无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________． 答案232π 解析 设圆锥侧面母线长为l ，底面半径为r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧l ＝3r ，12×23π·l 2＝3π，∴⎩⎪⎨⎪⎧l ＝3，r ＝1，∴圆锥高h ＝32－12＝22， ∴V 圆锥＝13π×22＝232π.命题点2 和球有关的表面积、体积问题例3已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________． 答案132解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2．本例若将直三棱柱改为“棱长为a 的正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.思维升华 (1)侧面展开图体现的是一种转化思想．用于寻找两种情况下图形长度或角度间的关系．(2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径．跟踪训练2(1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则三棱锥B －AEF 的体积为______．答案112解析 连结AC ，BD ，易知AC ⊥平面BDD 1B 1，则V 三棱锥B －AEF ＝V 三棱锥A －BEF ＝13×AC 2×S △BEF ＝13×AC 2×12×EF ×BB 1＝13×22×12×22×1＝112.(2)(2018·全国Ⅲ改编)设A ，B ，C ，D 是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为________． 答案 18 3解析 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93， 所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2. 所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.1．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________． 答案 16 2解析 由题意得，直四棱柱的侧棱长为(23)2－22＝22， 所以该直四棱柱的侧面积S ＝cl ＝4×2×22＝16 2.2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3cm ，AD ＝2cm ，AA 1＝1cm ，则三棱锥B 1－ABD 1的体积为________cm 3.答案 1解析 三棱锥B 1－ABD 1的体积11B ABD V －三棱锥＝11D ABB V －三棱锥＝131ABB S ·A 1D 1＝13×12×3×1×2＝1.3．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2.若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________． 答案32π解析 由V 1V 2＝3a 3πr 3＝3π，得a ＝r ，S 1S 2＝6a 22πr2＝32π. 4．(2018·南京学情调研)已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相等，则圆锥N 的高为________． 答案 6解析 设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，从而它的高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相等，得4π×6＝13πr 2×3r ，解得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.5．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为________． 答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，且扇形的弧长等于底面圆的周长，故有2πr ＝3×2π3，解得r ＝1，又圆锥的母线l ＝3，所以h ＝l 2－r 2＝9－1＝2 2.6．现有一个底面半径为3cm ，母线长为5cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________cm. 答案39解析 圆锥的高为4cm ，体积V 圆锥＝13π×32×4＝12π(cm 3)．设球的半径为r cm ，则43πr 3＝12π，即r 3＝9，所以r ＝39.7．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ＝136l 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取________． 答案15750解析 V ＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2π2h ＝112πl 2h ，由112π≈25942，得π≈15750.8．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，若这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________. 答案 5解析 半径为5的圆的周长是10π，由题意知2πr 1＋2πr 2＋2πr 3＝10π，所以r 1＋r 2＋r 3＝5.9.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A －A 1EF 的体积是________．答案 8 3解析 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在正三角形ABC 中，AB ＝4， 则CD ＝23，因为CC 1∥平面A 1ABB 1，则点F 到平面A 1ABB 1的距离为23， 所以1A A EF V 三棱锥－＝1F AA E V 三棱锥－＝13×23×12×4×6＝8 3.10．(2018·苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面．由题意，得πr 2＋πr 2＝2πrh ，得r ＝h .经检验，只有r ＝3符合要求，此时在8×9的面上打孔．11.如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，点M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积． (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .(2)解 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD . ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵点M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD .又PD ∩AP ＝P ，PD ，AP ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)解 如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AD ，AB ⊥PE ，AD ∩AB ＝A ，AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 由AB ∥CD ，AB ＝CD ，AB ⊥AD ， 得四边形ABCD 为矩形．故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin60°＝6＋2 3.13．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为________． 答案233解析 设球O 的半径为R ，因为S △AOC ＋S △BOC ＝12R 2(sin∠AOC ＋sin∠BOC )，所以当∠AOC ＝∠BOC ＝90°时，S △AOC ＋S △BOC 取得最大值，此时OA ⊥OC ， OB ⊥OC ，OB ∩OA ＝O ，OA ，OB ⊂平面AOB ，所以OC ⊥平面AOB ，所以V 三棱锥O —ABC ＝V 三棱锥C —OAB ＝13OC ·12OA ·OB sin∠AOB ＝16R 3sin∠AOB ＝233.14．有一根长为3πcm、底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕两圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁线的最短长度为________cm. 答案 5π解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图)，由题意知BC ＝3πcm，AB ＝4πcm，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC ＝AB 2＋BC 2＝5π(cm)．15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝150°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为18，则球O 的表面积为________． 答案 144π解析 如图，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大．设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ×sin150°＝112R 3＝18，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR2＝4π×62＝144π.16.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝4，EB ＝2 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥BC ，DC ⊥AC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩BC ＝C ，DC ，BC ⊂平面BCDE ，∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC ⊥DE ， ∵AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知BE ⊥AC ，BE ⊥BC ， 又BC ∩AC ＝C ，AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥平面ABC ，在Rt△ABC 中，∵AC ＝x ，∴BC ＝16－x 2(0<x <4)， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·16－x 2，∴V (x )＝V 三棱锥E －ABC ＝33x ·16－x 2(0<x <4)． ∵x 2(16－x 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋16－x 222＝64，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，∴当x ＝22时，V (x )有最大值833.。

课时跟踪检测（四十一） 空间几何体的表面积与体积 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．解析：设球的半径为R ，则表面积是16π，即4πR 2＝16π，解得R ＝2.所以体积为43πR 3＝32π3. 答案：32π32．若一个圆台的母线长l ，上、下底面半径r 1，r 2满足2l ＝r 1＋r 2，且侧面积为8π，则母线长l ＝________.解析：S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2πl 2＝8π，所以l ＝2.答案：23．在三角形ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为________．解析：依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π.答案：15π4．棱长为a 的正方体有一内切球，该球的表面积为________．解析：由题意知球的直径2R ＝a ，∴R ＝a 2.∴S ＝4πR 2＝4π×a 24＝πa 2. 答案：πa 25．如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为3，D 为CC 1上一点，且CD ＝2DC 1，则三棱锥A 1-BCD 的体积________．解析：过A 1作A 1H ⊥B 1C 1，垂足为H.因为平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，所以V A 1-BCD ＝13×32×3×12×2×3＝332. 答案：332二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r.由S ＝π(r ＋3r)·3＝84π，解得r ＝7.答案：72．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3. 答案：3π33．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为________．解析：设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3. 答案：2 34．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为________ cm 3.解析：设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x·6＝72，所以x ＝2 cm ，于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3. 答案：36 35．(2016·南通调研)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为________cm 2.解析：作出轴截面图，其中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为2，所以S 表＝4×1×2＋2×12＝2＋42(cm 2)．答案：2＋4 26．已知正三棱锥S-ABC ，D ，E 分别是底面边AB ，AC 的中点，则四棱锥S-BCED 与三棱锥S-ABC 的体积之比为________．解析：设正三棱锥S-ABC 底面△ABC 面积为4S.由S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫122，所以，S △ADE ＝S ，S 四边形BCDE ＝3S ，因两个棱锥的高相同，所以V S-BCED ∶V S-ABC ＝3∶4.答案：3∶47．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O-ABCD 的体积为________．解析：如图，连结AC ，BD 交于H ，连结OH.在矩形ABCD 中，由AB＝6，BC ＝23可得BD ＝43，所以BH ＝23，在Rt △OBH 中，由OB ＝4，所以OH ＝2，所以四棱锥O-ABCD 的体积V ＝13×6×23×2＝8 3. 答案：8 38．(2016·盐城调研)在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若AB ＝AC ＝AD ＝2，则平面BCD 被球所截得图形的面积为________．解析：过点A 向平面BCD 作垂线，垂足为M ，则M 是△BCD 的外心，而外接球球心O 位于直线AM 上，连结BM ，设△BCD 所在截面圆半径为r ，∵OA ＝OB ＝2＝AB ，∴∠BAO ＝60°，在Rt △ABM 中，r ＝2sin 60°＝3，∴所求面积S ＝πr 2＝3π.答案：3π9．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC ＝h ，球取出后，水面高PH ＝x.根据题设条件可得AC ＝3r ，PC ＝3r ，则以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13π×AC 2×PC ＝13π(3r)2×3r ＝3πr 3. V 球＝43πr 3. 球取出后，水面下降到EF ，水的体积为V 水＝13π×EH 2×PH ＝13π(PHtan 30°)2PH ＝19πx 3. 又V 水＝V 圆锥－V 球，则19πx 3＝3πr 3－43πr 3， 解得x ＝315r.故球取出后，容器内水深为315r.10.(2016·安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积．解：法一：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连结DG ，CH ，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为12，直三棱柱柱高为1， AG ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32，取AD 中点M ，则MG ＝22，∴S △AGD ＝12×1×22＝24，∴V ＝24×1＋2×13×24×12＝23.法二：如图所示，取EF 的中点P ，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P-AED 和三棱锥P-BCF 都是棱长为1的正四面体，四棱锥P-ABCD 为棱长为1的正四棱锥．∴V ＝13×12×22＋2×13×34×63＝23. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A′­BCD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，若四面体A′­BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________．解析：由图示可得BD ＝A′C ＝2，BC ＝3，△DBC 与△A′BC 都是以BC 为斜边的直角三角形，由此可得BC 中点到四个点A′，B ，C ，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该外接球的表面积S ＝4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π. 答案：3π2．(2015·南京二模 )一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧面的斜高PM ＝5 cm ，高PO ＝PM 2－OM 2＝52－32＝4 cm ，所以所求容积为V ＝13×62×4＝48(cm 3)． 答案：483.如图，在三棱锥D-ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D-ABC 的体积的最大值．解：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直．设d 为AD 到BC 的距离．则V D-ABC ＝AD·BC×d×12×13＝2d ，当d 最大时，V D-ABC 体积最大，∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时，d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.。

第二节 空间几何体的表面积和体积[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查．2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年某某T12，某某T6，某某T11等．也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年某某T7，某某T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如2012年某某T18(2)，某某T19(2)等.[归纳·知识整合]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋台) S 上S 下) h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[探究] 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？ 提示：2．如何求不规则几何体的体积？提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现．[自测·牛刀小试]1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A.3B ．4 C ．43D ．16解析：选C 正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S ＝4×34×22＝4 3. 2．(2012·某某高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________． 解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝cl ＋2πr 2＝2π×2＋2π＝6π.答案：6π3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S 1＝4π，S 2＝4π×32＝36π，即S 2S 1＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V 1＝43π，V 2＝43π×33＝12π，即V 2V 1＝27，所以体积扩大为原来的27倍．答案：9 274．(2012·某某高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.答案：12＋π5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为3，所以这个圆锥筒的容积为1 3π×12×3＝33π.答案：33π几何体的表面积[例1] (2012·高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋65B ．30＋6 5C ．56＋125D ．60＋12 5[自主解答] 该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，据正视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4， 据侧视图知，BC ＝4.综上所述，BC ⊥平面PAB ，PB ＝PD 2＋BD 2＝5，PC ＝BC 2＋PB 2＝16＋25＝41， AC ＝AB 2＋BC 2＝41， PA ＝PD 2＋AD 2＝2 5.∵PC ＝AC ＝41，∴△PAC 的边AP 上的高为h ＝PC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AP 22＝6.∴S △PAB ＝12AB ·PD ＝10，S △ABC ＝12AB ·BC ＝10，S △PBC ＝12PB ·BC ＝10，S △APC ＝12AP ·h ＝6 5.故三棱锥的表面积为S △PAB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋6 5. [答案] B ——————————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤根据三视图画出直观图―→确定几何体的结构特征―→利用有关公式计算1．(2013·马某某模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.15π4C ．5π D.17π4解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π.几何体的体积[例2] (1)(2012·某某高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3π C.10π3D ．6π (2)(2012·某某高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．[自主解答] (1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V ＝π×12×2＋12×π×12×2＝3π.(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.∴该几何体的体积为V ＝2＋52×4×4＝56.[答案] (1)B (2)56——————————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析：选A 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.与球有关的切、接问题[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22[自主解答] △ABC 的外接圆的半径r ＝33，点O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝63.SC 为球O 的直径，故点S 到平面ABC 的距离为2d ＝263，故棱锥的体积为V ＝13S △ABC ×2d ＝13×34×263＝26.[答案] A ——————————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选 B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤3种方法——求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.创新交汇——空间几何体中体积的最值问题1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值．[典例] (2012·某某高考(节选))如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大？[解] 如图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0<x <3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x .由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥DC ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BDC ，∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )．法一：V A －BCD ＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0<x <3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0， 所以当x ＝1时，f (x )取得最大值，即BD ＝1时， 三棱锥A －BCD 的体积最大．法二：V A －BCD ＝112·2x (3－x )(3－x )≤112·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－x ＋3－x 33＝23， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，取“＝”． 故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大． [名师点评]解答此题的关键是恰当引入变量x ，即令BD ＝x ，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．[变式训练]如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 显然，只有当P 移动到中心O 时，MN 有唯一的最大值，淘汏选项A 、C ；P 点移动时，取AA 1的中点E ，CC 1的中点Q ，平面D 1EBQ 垂直于平面BB 1D 1D ，且M 、N 两点在菱形D 1EBQ 的边界上运动，故x 与y 的关系应该是线性的，淘汰选项D ，选B.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.2．(2013·某某模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )A.32π B．2π C ．3π D．4π解析：选A 依题意知，该几何体是一个底面半径为12、高为1的圆柱，则其全面积为2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝32π.3．(2012·某某高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72π B．48π C ．30π D．24π解析：选C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V ＝12×43π×33＋13π×32×52－32＝30π.4．(2013·某某模拟)设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6π C.π6D.π2解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝π2. 5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：选C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，∴两底面积和为2×12×(2＋4)×4＝24， 四个侧面的面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，∴几何体的表面积为48＋817.6．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )解析：选B 由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知，BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，故三棱锥N －AMC 的高为ON ＝2－x ，S △AMC ＝12MC ·AD ＝2x ，故三棱锥N －AMC 的体积为y ＝f (x )＝13·(2－x )·2x ＝13(－2x 2＋22x )(0<x <2)，函数f (x )的图象为开口向下的抛物线的一部分．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·某某高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(4＋2＋5＋5)×4＋2×12×(2＋5)×4＝92. 答案：928．(2012·某某高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.解析：由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD .由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D .四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝62，从而VA －BB 1D 1D ＝13×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6. 答案：69．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．解析：该棱锥的直观图如图，取CD 的中点E ，BD 的中点F ，由三视图知，AE ⊥平面BCD ，AF ＝5，AE ＝52－32＝4，∠CBD ＝90°.设O 为该棱锥外接球的球心，半径为R ，由题知BO 2＝BE 2＋EO 2，即R 2＝(32)2＋(R －4)2，解得R ＝174，故球的表面积为S ＝4×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1742＝289π4. 答案：289π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2013·某某模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V 圆台－V 圆锥＝13()π·22＋π·52＋22·52π2×4－13π×22×2＝1483π. 11．(2013·某某模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD 1A 1中，点B 、C 在线段AD 上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1∥AA 1分别交A 1D 1、AD 1于点B 1、P ，作CC 1∥AA 1分别交A 1D 1、AD 1于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得DD 1与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1.(1)求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；(2)求多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积．解：(1)由题知，在图2中，AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴AB 2＋BC 2＝CA 2，∴AB ⊥BC .又∵AB ⊥BB 1，BC ∩BB 1＝B ，∴AB ⊥平面BCC 1B 1.(2)由题易知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为12×3×4×12＝72. ∵在图1中，△ABP 和△ACQ 都是等腰直角三角形，∴AB ＝BP ＝3，AC ＝CQ ＝7，∴V A －CQPB ＝13×S 四边形CQPB ×AB ＝13×12×(3＋7)×4×3＝20. ∴多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积V ＝VABC －A 1B 1C 1－V A －CQPB ＝72－20＝52.1．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A ．24B ．12C ．8D ．4解析：选B 依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因此其体积等于2×3×4－12×2×3×4＝12. 2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2解析：选B 该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2.3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.答案：2 64．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A 出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．答案：13。

8.1 空间几何体及其表面积、体积一、填空题1．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)． 答案 ②④2．在三棱锥S ­ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S ­ABC 的表面积是________．解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 33．给出下列四个命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 其中正确命题的个数为________个．解析 ①错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如图(2)(3)所示，若△ABC 不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误，若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确． 答案 14．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案265．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余的酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系有下列四种表述： ①h 2＞h 1＞h 4②h 1＞h 2＞h 4③h 3＞h 2＞h 4④h 2＞h 4＞h1其中表述一定正确的是________．解析 本题若用公式推导将费时费力，只要把握住所剩酒为原来的一半以及酒杯的形状，h 4为原来高度的一半应最小，第二个杯子为圆锥形，液面高度应该最高，故只有①正确． 答案 ①6．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm ，已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．解析 卫生纸总长度为π2－2020.1≈3.14×32 000＝100 480(mm)≈100(m)．答案 1007．如图，一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、h 2、h ，则h 1∶h 2∶h ＝________.解析 如图，设三棱锥P ­ABE 的各棱长为a ，则四棱锥P ­ABCD 的各棱长也为a ，于是h 1＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝22a ， h 2＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫32a ×232＝63a ＝h ，∴h 1∶h 2∶h ＝3∶2∶2. 答案3∶2∶28．如图，已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 139．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为________．解析 设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则4(x ＋y ＋z )＝24， 且2xy ＋2yz ＋2xz ＝11.则x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2xy －2yz －2xz ＝36－11＝25，从而对角线长为5. 答案 510．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3.答案311．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l 旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是________(填序号)．①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体；②该组合体仍然关于轴l 对称；③该组合体中的圆锥和球只有一个公共点；④该组合体中的球和半球只有一个公共点． 解析 半圆绕l 旋转后，可得半球，故组合体中只有一个球，所以①不正确，其余都正确． 答案 ①12．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面ABCD 内的一个动点，且满足PM ＝2，P 到直线A 1D 1的距离为5，则点P 的轨迹是________．解析 由PM ＝2，知点P 在以M 为圆心，2为半径的圆上．又由P 到直线A 1D 1的距离为5，知点P 在与BC 平行且过AB 中点的直线上，故点P 的轨迹是它们的交点，即为两点．答案 两个点13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行； ④当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值． 其中所有正确的命题的序号是________．解析 观察图形并试验可知①正确，②不正确；③正确．④中AE ＝B 1F ，BF ＝A 1E ，所以AE ＋BF ＝AA 1为定值，故正确命题是①③④. 答案 ①③④ 二、解答题14．直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面的面积是Q 1和Q 2，求它的侧面积．解析 如图，设直平行六面体A 1C 的底面菱形边长为a ，侧棱长为l ，A 1C 是直平行六面体⇒A 1ACC 1、B 1BDD 1是矩形，∴Q 1＝l ·AC ⇒AC ＝Q 1l .同理BD ＝Q 2l ，又底面是菱形⇒a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝Q 21＋Q 224l 2⇒2a ·l ＝Q 21＋Q 22，S 侧＝4al ＝2Q 21＋Q 22.15．给出一块边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积．解析 取等边三角形三边的中点A 、B 、C ，连结AB 、BC 、CA 得正三角形的三条中位线，以中位线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，则得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥S ­ABC ，作SO ⊥平面ABC ，连结并延长CO 交AB 于E ，则E 是AB 的中点，连结SE .因为O 是△ABC 的内心， 所以OC ＝23CE ＝23×32＝33在Rt △SOC 中，SC ＝1，SO ＝SC 2－OC 2＝1－13＝63， 故V S ­ABC ＝13S △ABC ×SO ＝13×12CE ×AB ×SO＝16×32×1×63＝212. 16．在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a . (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析 (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ， ∴V ABCD ＝V ABPC ＋V DBPC＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD＝13·S △BPC ·AD ＝13·12·a a 2－x 24－a 24·x＝a12a 2－x 2x 2≤a12·3a 22＝18a 3(当且仅当x ＝62a 时取等号)． ∴该四面体的体积的最大值为18a 3.(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×62a × a 2－⎝⎛⎭⎪⎫64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24 ＝23＋154a 2.17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长． 解析 利用三角形相似比，由底面积之比为1∶16.可设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r 、4r . 根据相似三角形的性质得33＋l ＝r4r，解得l ＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.18．一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长．解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm ，则OC ＝22x ，∴22x 30＝40－x40，解得x ＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22) cm.。

高考一轮复习备考试题(附参考答案)立体几何一、填空题1、（2014年江苏高考）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为21S ,S ，体积分别为21V ,V ，若它们的侧面积相等，49S S 21=，则=21V V▲ ． 2、（2013年江苏高考）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥A D E F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。

3、（2012年江苏高考）如图，在长方体1111ABCD ABC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）如图，各条棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，则三棱锥1M AB C -的体积为 ▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是 ▲8、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD = 2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C - ABD 的体积为 ▲ 9、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ 10、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲二、解答题 1、（2014年江苏高考）如图，在三棱锥P 错误！未找到引用源。

8.2 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．棱长为2的正四面体的表面积是( )．A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．16解析 每个面的面积为：12×2×2×32＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3.答案 C2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )．A ．2倍 B ．22倍 C.2倍 D.32倍解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43πR 3，知体积扩大到原来的22倍．答案 B3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( )．A.1423B.2843C.2803D.1403表明伯林具备“狐狸”的思解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843.答案 B4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( )A．8－2π3B．8－π3乙醚－C．8－2π D.2π3从调查可以看出化学教案天津的家长们还是比较理的化学教解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－13×π×2＝8－2π3.答案 A5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A．24－32π B．24－π3化学教案不由得想到古代庄周、陶潜这些人化学教案C．24－π D．24－π2一样化学教案男的脂肪大多数贮存于腹部试卷试题解析据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.答案 A6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2B.⎝⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2 D.⎝⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 2解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π4＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2.答案 C7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( )．A ．3 3 B ．2 3 C. 3 D ．1解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝33x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝3(4－x)，所以33x＝3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝3，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝13S△ABD×4＝ 3.答案 C二、填空题8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．解析依题意有，三棱锥PABC的体积V＝13S△ABC·|PA|＝13×34×22×3＝ 3.答案 39．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．解析设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r ＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是43πr3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr343πr3＝3∶2.答案 3∶210．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.答案2 611．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.答案2πR212．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．答案13三、解答题13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH ，下半部分是长方体ABCDEFGH .图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积．解析 (1)侧视图同正视图，如图所示： (2)该安全标识墩的体积为V ＝V PEFGH ＋V ABCDEFGH ＝13×402×60＋402×20 ＝64 000(cm 3)．14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的表面积S.解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥， 其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相 对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2.16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a . (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积． 解析 (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ， ∴V A-BCD ＝V A-BPC ＋V D-BPC＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC ·AD＝13·12·a a 2－x 24－a 24·x ＝a 123a 2－x 2x 2（≤a12·3a 22＝18a 3(当且仅当x ＝62a 时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为18a 3.(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×62a × a 2－⎝⎛⎭⎪⎫64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24＝23＋154a 2.。