八年级数学全等三角形的判定3

《12．2 三角形全等的判定》课时练一、选择题（本大题共12道小题）1．如图，已知AB＝AD，若利用SSS证明△ABC≌△ADC，则需要添加的条件是()A．AC＝ACB．∠B＝∠DC．BC＝DCD．AB＝CD2．如图所示，∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是()A．AC＝AD B．AB＝ABC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD3．如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A．BE＝CF B．∠ACB＝∠FC．AC＝DF D．AB＝DE4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去()A．①B．②C．③D．①和②5．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对6．如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A．BC=FD，AC=ED B．∠A=∠DEF，AC=EDC．AC=ED，AB=EF D．∠A=∠DEF，BC=FD7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是()A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DC8．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，则下列结论错误的是()A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACEC．∠C＝30°D．∠1＝70°9．如图，点A，E，B，F在同一直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE ＝BE；④BF＝BE，可利用的是()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④10．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A． 2 B． 3 C．2 D．611．现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b．小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．则下列说法中正确的是()A．小惠的作法正确，小雷的作法错误B．小雷的作法正确，小惠的作法错误C．两人的作法都正确D．两人的作法都错误12．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A．1个B．2个C．3个D．3个以上二、填空题（本大题共6道小题）13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．14．如图，已知CD＝CA，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是__________(只需写出一个条件)．15．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，∠BAC ＝65°，则∠ACD 的度数为________．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．若△DBE 的周长为20，则AB ＝________．17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB BC ，于点M N ，，再分别以点M N ，为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=︒，则BCDABDS S =△△__________．18．如图，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，AX ⊥AC ，点P 和点Q 是线段AC 与射线AX 上的两个动点，且AB ＝PQ ，当AP ＝________时，△ABC 与△APQ 全等．三、解答题（本大题共3道小题）19．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，且BE ＝CD ．求证：Rt △BEC ≌Rt △CDB ．20． 如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC 于点B ，连接AC ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ．(1)若∠ABF ＝63°，求∠ADE 的度数； (2)若AB ＝AD ，求证：DE ＝BF ＋EF ．21．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． (1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B11．A12．D二、填空题 13．AB ＝AC14．答案不唯一，如CE ＝CB 15．25° 16．20 17．1218．5或10 三、解答题19．证明：∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°． 在Rt △BEC 和Rt △CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CB ，BE ＝CD ，∴Rt △BEC ≌Rt △CDB(HL)．20．解：(1)∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°． ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠BFA ＝∠AED ＝90°．∴∠ABF ＋∠BAF ＝∠BAF ＋∠DAE ＝90°． ∴∠DAE ＝∠ABF ＝63°．∴∠ADE ＝27°．(2)证明：由(1)得∠DAE ＝∠ABF ，∠AED ＝∠BFA ＝90°． 在△DAE 和△ABF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠ABF ，∠AED ＝∠BFA ，AD ＝BA ，∴△DAE ≌△ABF(AAS)． ∴AE ＝BF ，DE ＝AF ．∴DE ＝AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ．21．(1)∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．(2)∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．。

第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时 “角边角”和“角角边”学习目标：1.了解1.探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等. 重点：已知两角一边的三角形全等探究. 难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA ”“AAS ”.一、知识链接1.能够 的两个三角形叫做全等三角形.2.判定两个三角形全等方法有哪些?边边边： 对应相等的两个三角形全等.边角边： 和它们的 对应相等的两个三角形全等. 二、新知预习1. 在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探 究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两 种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了， 如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？ 能恢复原来三角形的原貌吗？ （1） 以①为模板，画一画，能还原吗？ （2） 以②为模板，画一画，能还原吗？ （3） 以③为模板，画一画，能还原吗？（4） 第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________. 猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分ABCFED一、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理3--“角边角”活动：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA ”). 几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF. 典例精析例1：如图，已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝ ∠DBC ，求证：△ABC ≌△DCB ．例2：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.方法总结：证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来解决. 针对训练如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .课堂探究教学备注 配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-9）A B CA BCFED探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm ，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳： 相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS ”).几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF.典例精析例3：在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝ ∠E ，BC=EF. 求证：△ABC ≌△DEF ．例4：如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .求证：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 针对训练如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是( )教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片10-15）二、课堂小结全等三角形判定定理3简称图示符号语言有两角及夹边（或一角的对边）对应相等的两个三角形全等“角边角”（ASA）或“角角边”(AAS)∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)．推论：“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等.1.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（）A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）A．一定不全等 B．一定全等C．不一定全等 D．以上都不对3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的试说明AD＝A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片16-22）⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,1111BBBAABAA。

13.3全等三角形的判定（3）教学目标【知识与能力】1.掌握“角边角”及“角角边”的内容.2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等.【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态度价值观】通过探究三角形全等的活动,培养学生敢于面对困难、克服困难的能力.教学重难点【教学重点】“角边角”及“角角边”的内容.【教学难点】分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:教师讲解:前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等.这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情况是已知两个角及其中一角的对边.[设计意图]让学生明确本节课要研究的主要内容,并明确三角形中边与角的位置关系,理解“两角夹一边”和“两角一对边”的含义.导入二:1.复习旧知:(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?(三个角、三个边、两边一角、两角一边)(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?2.师:在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.导入三:【课件1】如图所示,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是什么?你能帮小明出出主意吗?要想最省事,就要带块数最少且要满足它能够确定该三角形的形状和大小,这就是本节课要学到的判定三角形全等的知识.学完本节,你就会知道为什么应该带第2块去.[设计意图]激趣设疑,让学生产生学习的兴趣,积极地投入到本节课的学习之中.二、新知构建：活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究思路一做一做:【课件2】三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下来.同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论?【学生活动】自己动手操作,然后与同伴交流,得出结论.【教师活动】检查指导,帮助有困难的同学.活动结果展示:以小组为单位将所得三角形放在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼结论:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA”).师:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢?生:能.学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.生:(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长;(2)画线段A'B',使A'B'=AB;(3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA'B',∠EB'A',使∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA;(4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到ΔA'B'C'.将ΔA'B'C'与ΔABC放到一起,发现两三角形全等.教师出示图形:于是我们发现规律:两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 这又是一个判定两个三角形全等的方法.[知识拓展] “ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边.书写格式:在ΔABC 和ΔA'B'C'中,{∠A =∠A ',AB =A 'B ',∠B =∠B ',所以ΔABC ≌ΔA'B'C'.出示探究问题:【课件3】 如图所示,在ΔABC 和ΔDEF 中,∠A =∠D ,∠B =∠E ,BC =EF ,ΔABC 与ΔDEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?〔解析〕 如果能证明∠C =∠F ,就可以利用“角边角”证明ΔABC 和ΔDEF 全等,由三角形内角和定理可以证明∠C =∠F.证明:∵∠A +∠B +∠C =∠D +∠E +∠F =180°,∠A =∠D ,∠B =∠E ,∴∠A +∠B =∠D +∠E∴∠C =∠F.在ΔABC 和ΔDEF 中,{∠B =∠E ,BC =EF ,∠C =∠F ,∴ΔABC ≌ΔDEF (ASA).于是得规律:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”).[知识拓展] “角角边”(AAS)可以看成是“角边角”(ASA)的推论.由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等,无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可.思路二一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形:(1)ΔABC ,其中∠A =35°,∠B =65°,AB =5cm;(2)ΔDEF ,其中∠D =70°,∠E =50°,∠E 的对边DF =4cm .注意:(2)题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图.2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”或“角边角”.3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.二、证明“ASA”定理教师出示已知条件:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C'.教师给出证明方法:由于AB=A'B',我们移动其中的ΔABC,使点A与点A'、点B与点B'重合,且使点C与点C'分别位于线段AB,A'B'的同侧,因为∠A=∠A',因此可以使∠A与∠A'的边AC 与A'C'重叠在一起;同样因为∠B=∠B',可以使∠B与∠B'的边BC与B'C'重叠在一起,由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合,这就说明这两个三角形全等,由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”(或角边角).三、证明“AAS”定理教师出示应用“ASA”证明三角形全等的问题:【课件4】如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB.教师要求学生应用“ASA”定理证明本题,学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书.证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题,一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结:因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等,于是问题就由“角角边”转化为“角边角”,这样便可证得这两个三角形全等.教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS ”(或角角边).学生证明后,教师边讲解边板书.教师提问:我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等,如图所示,这两个三角形三个角分别相等,它们并不全等,只是形状相同. 活动二:例题讲解【课件5】已知:如图所示,AD =BE ,∠A =∠FDE ,BC ∥EF.求证:ΔABC ≌ΔDEF.[师生共析] 根据AD =BE ,得到AB =DE ;由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA ”即可得到ΔABC ≌ΔDEF.证明:∵AD =BE (已知),∴AB =DE (等式的性质).∵BC ∥EF (已知),∴∠ABC =∠E (两直线平行,同位角相等).在ΔABC 和ΔDEF 中,∵{∠A =∠FDE ,AB =DE ,∠ABC =∠E ,∴ΔABC ≌ΔDEF (ASA).师:到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束,请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.【学生活动】 自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.三、课堂小结：知识点一:“角边角”判定三角形全等两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA ”.这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边,是指同一个三角形的边和角,边是两个角的夹边.知识点二:“角角边”判定三角形全等两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”).该判定是通过“ASA ”推导得出的,今后可以直接用“AAS ”来判定两个三角形全等,它是“ASA ”的一个推论.。

第3课时角边角和角角边【知识与技能】掌握两个三角形全等的条件：“ASA”与“AAS”,并指出用它们判别三角形是否全等。

【过程与方法】经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维。

【情感态度】敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难。

【教学重点】理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS".【教学难点】探究出“ASA"“AAS”及它们的应用。

一、情境导入，初步认识问题 1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗?鼓励学生提出不同的思路方法,并要求学生用纸片对自己的思路操作实验。

【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”。

问题2 教材探究4。

先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗?要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流。

把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上，观察出现的情形,并根据结果总结规律，说出每个人的发现并交流.二、思考探究，获取新知【归纳结论】根据学生的发言，予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA".强调注意：“边”必须是“两角的夹边".例1 如图,点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE。

证明：△ABE和△ACD中，∠B=∠C，AB=AC,∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA）.∴AD=AE.【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.如图,AB=A′C，∠A=∠A′，∠B=∠C，求证:△ABE≌△A′CD.【分析】本例可直接应用“ASA"证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程。

A C D B1 2 全等三角形的判定(AAS 、ASA 和HL)一、学习目标1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.二、知识精讲知识点1： 全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA ；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS ；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS ．（5）若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL ）。

知识点2：全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边③利用AAS 或ASA 证明三角形全等【例1】如图所示，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．A DB EC O AD BEF C A B D C E F A D E B F 1 2 C A D C B O C E B F D A 【例2】如图所示，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【例3】如图所示，已知∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，要证△ABC≌△DEF ，若要以“ASA ”为依据，还缺条件_________；以“SAS 为依据，还缺条件_________；以“AAS ”为依据，还缺条件_________.【题组训练】：1．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点D 为BC 中点，由点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够直接说明△BDE ≌△CDF 的理由是（ ）.A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2．如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，若要使△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（ ）.A.∠B ＝∠EB.BC ＝EDC.AB ＝EFD.AF ＝CD3．如图，给出下列四组条件：①AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；②AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ；③∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ；④AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【第1题图】 【第2题图】 【第3题图】 【第4题图】 【第5题图】4．如图所示，AB ∥CD ，OB ＝OD ，则由“ASA ”可以直接判定△______≌△_______.5．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长是___________．6．如图所示，已知点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AB C D ED CEFAB NMOC AD BACD F EB7．如图所示，已知∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAC，AC＝AD，求证：AB＝AE.8．如图所示，BF⊥AC，DE⊥AC，垂足分别为点F，E，BF＝DE，∠B＝∠D，求证：AE＝CF.9．如图，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O任意画一条与AC，BD都相交的直线MN，交点分别为M和N．试问：线段OM＝ON成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．10．如图所示，直角三角形ABC的直角顶点C置于直线l上，AC＝BC，现过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，E.（1）请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程；（2）若BE＝3，DE＝5，求AD的长．④利用AAS或ASA证明三角形全等【例1】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′【例2】如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．【例3】如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【例4】如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD．求证：CB=CD．【题组训练】：1．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AAS C．SSS D．ASA3．已知：如图所示，△ABC与△ABD中，∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△ABD（HL）成立，还需要加的条件是（）A．∠BAC=∠BAD B．BC=BD或AC=AD C．∠ABC=∠ABD D．AB为公共边4．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（）A．40° B．50° C．60° D．75°5.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD=CD D．不能确定6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件_________________．7．如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=__________度．8．如图所示，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角∠ABC=35°，则滑梯EF与地面夹角∠DFE的度数是__________．【第4题图】【第5题图】【第6题图】【第7题图】【第8题图】9.已知如图，∠A=90°，∠D=90°，且AE=DE，求证：∠ACB=∠DBC．10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．11．如图，这是建筑物上的人字架，已知：AB=AC，AD⊥BC，则BD与CD相等吗？为什么？12．小明用三角板按如图所示的方法画角平分线，在∠AOB的两边分别取OC=OD，再分别以C、D为垂足，用三角板作OA、OB的垂线，交点为P，作射线OP，则OP就是∠AOB的角平分线，你认为小明的做法有道理吗？请你给出合理的解释．13. 如图，已知 AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．⑤综合利用三角形全等解决问题【例1】如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图1中,求证：△ABE≌△ADC.(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120∘，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程。