复数学案

3．1数系的扩充数系的扩充【课前自主学习】1．理解复数的基本概念．．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．．理解复数相等的充要条件．下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，其中复数的实部和虚部分别是什么？其中复数的实部和虚部分别是什么？注意：解决此类问题应先将复数化成),(R b a bi a z Î+=的标准形式的标准形式【典型例题】例1请说出复数4，i 32-，0，i i i 6,25,3421++-的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数哪些是虚数，哪些是纯虚数例2：实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 是：是：是：①实数①实数 ②虚数②虚数②虚数 ③纯虚数③纯虚数③纯虚数两个复数相等的充要条件：两个复数相等的充要条件：问题问题::你认为应该怎样定义两个复数相等？你认为应该怎样定义两个复数相等？（1）定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等（2）充要条件：如果,,,a b c d R Î，那么di c bi a +=+ 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小..如35i +与43i +不能比较大小。

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？“任何两个复数都不能比较大小”对吗？ （（ 不对不对 ）如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 例3 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ÎR ，求x 与y ．练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x Î=--++ i 21-32+i 21i 25+-p sin i 2i ()i ×-+257()()i m m m z 11-+-=Û）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z Î+-+=【课堂检测反馈】1、下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部、下列复数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部2、实数m 取什么值时，复数取什么值时，复数 是：是：是：①实数①实数①实数 ②虚数②虚数②虚数 ③纯虚数③纯虚数③纯虚数3、已知、已知 ，求实数，求实数y x .4、已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝. M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( ) A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1【课后独立作业】1．下面四个命题．下面四个命题(1) 0比i -大，(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．13()i i --的虚部为( ) A ．8iB ．8i -C ．8D ．8- 3．使复数为实数的充分而不必要条件是由．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( ) A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数为实数 D ．z z -+为实数为实数 4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++×××× 则12,z z 的关系是( ) A ．12z z = B ．12z z =- C ．121z z =+ D ．无法确定．无法确定5. 如果(,,0)z a bi a b R a =+ι且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z -=--×中是中是 虚数的有虚数的有 _______个，是实数的有个，是实数的有 个，相等的有个，相等的有 组. 6. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = . 7．设复数z 满足1z =,且(34)i z + 是纯虚数,求z -. 8．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z ++的值. ,618.0,72i +,72i i 293-(),31-i ()i m m m z )1(12-++=()()ii y x y x 422-=-++3是一一对应关系复数轴叫做虚轴 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数i复数z a bi =+¬¾¾¾®一一对应复平面内的点(,)Z a b 点，有惟一的一个复数和它对应. . 【课堂检测反馈】1．当23<m<1时，复数z=(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限．第四象限 2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|=|iz ＋1|,则z 在复平面内对应点的轨迹是在复平面内对应点的轨迹是 （ ） A ．圆．圆 B ．线段．线段 C ．直线．直线 D ．椭圆．椭圆3．非零复数z 1,z 2满足关系|z 1|=|z 2|=1,且|z 1＋z 2|=|z 1－z 2|,则以OZ 1→ ，OZ 2→ 为邻边的四边形是 ．4．m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i (1)表示的点位于第二象限；表示的点位于第二象限；（2）表示的点位于复平面内的直线y=2x 上．上．【课后独立作业】1．已知33(23)i z i -=-,那么复数z 在平面内对应的点位于( ) A ．第一象限．第一象限 B ． 第二象限第二象限C ．第三象限．第三象限D ．第四象限．第四象限2．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．233．给出下列命题．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆; (3)若2,1m Z i Î=-,则1230;m m m m i i i i ++++++=其中正确命题的序号是( ) A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4.满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线一条直线B. 两条直线两条直线C. 圆D. 椭圆椭圆5. 如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的在复平面上的 对应点z 在 象限. 6. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-Î 若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是的值是 . 7．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2| 8.复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. = = ，= 112zz+等于的实部为的实部为 。

第 37课 复 数一、考纲知识点：1.复数的有关概念（B ）;2.复数的四则运算（B ）;3.复数的几何意义（A ）. 二、课前预习题：1．复数z=1-5i 的实部是 ,虚部是 . 2．若(3-10i)y+(1+2i)x=5-6i,则实数x= ,y= .3.如果复数2()(1)m i mi +•+是实数，则实数m 的值是 . 4.已知复数z满足3)3,i z i =则z = .5.复数11iz i-=+，则246810z z z z z ++++的值为 .6. 100100(1)(1)++= .7. 若35a <<,则复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z在第________象限.8. 已知,||3z C z z i ∈+=+,则z = .9.在复平面内,AB 与AC 对应的复数分别为12i -+与23i --,则BC 对应的 复数为 .10．已知复数1274,3z i z i =-=+,则12||Z Z =________________.11．复数2(1)3(1)2i i z i++-=+，若21(,)z az b i a b R ++=+∈，则a b += .12．已知复数,,z a x 满足1a zx az-=-且||1z =,则||x = . 13．复数(,)z x yi x y R =+∈满足条件|4||2|z i z -=+则24xy+的最小值是_______.14．复数z 满足方程241z i+=+,那么复数的对应点P 组成的图形为______________. 三、课堂例题：例题1 实数m 为何值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数例题2 计算1922(5)i ++-4例题3 设z 是虚数,11z z z=+是实数,且112z -<<. （1）求||z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+,求证u 为纯虚数 ； （3）求21z u -的最小值。

初中名词复数英文教案一、教学目标：1. 让学生掌握名词复数的变化规则。

2. 让学生能够正确运用名词复数表达名词的复数形式。

3. 提高学生对英语名词复数的认知和运用能力。

二、教学内容：1. 名词复数的变化规则：a. 一般情况下，在名词的末尾加上“-s”或“-es”来构成复数形式。

b. 以“-o”结尾的名词，在其后加上“-es”来构成复数形式，如：potato → potatoes。

c. 以“-s”或“-sh”结尾的名词，在其后加上“-es”来构成复数形式，如：bus → buses，fish → fishes。

d. 以“-th”结尾的名词，在其后加上“-s”来构成复数形式，如：math → maths。

e. 有些名词的复数形式不规则，需要特殊记忆，如：child → children，man → men，woman → women。

2. 名词复数的运用：a. 使用名词复数来表示多个相同的事物或人，如：two apples，three students。

b. 使用名词复数来表示职业、学科、国家等，如：teachers，mathematics，England。

c. 使用名词复数来表示计量单位，如：two kilograms，five meters。

三、教学步骤：1. 引入：通过展示一组单数名词图片，让学生猜测它们的复数形式，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解名词复数的变化规则，并通过例词进行演示。

3. 练习：让学生分组练习，每组选择一组单数名词，尝试将其变为复数形式，然后互相检查、纠正。

4. 应用：让学生运用所学知识，将句子中的单数名词改为复数形式，如：“She has a book.” → “She has two books.”5. 拓展：讲解一些不规则名词复数的例子，让学生特殊记忆。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调名词复数的重要性。

四、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，了解他们对名词复数的掌握情况。

初中名词复数复数教案一、教学目标：1. 让学生掌握英语名词复数形式的构成规则；2. 培养学生正确运用名词复数形式进行表达的能力；3. 提高学生对英语语法的认识和运用水平。

二、教学内容：1. 英语名词复数形式的构成规则；2. 常见的不规则变化名词复数形式；3. 名词复数形式的运用。

三、教学重点与难点：1. 英语名词复数形式的构成规则；2. 常见的不规则变化名词复数形式；3. 名词复数形式在实际语境中的运用。

四、教学方法：1. 采用任务型教学法，让学生在实践中掌握名词复数形式的构成规则；2. 运用归纳法，引导学生总结不规则变化的名词复数形式；3. 利用情景教学法，培养学生正确运用名词复数形式进行表达的能力。

五、教学步骤：1. 导入：引导学生复习单数名词，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解：讲解英语名词复数形式的构成规则，如：一般在名词后加-s或-es。

3. 示例：展示一些单数名词，引导学生将其变为复数形式，如：cat -> cats，bus -> buses。

4. 练习：让学生分组练习，互相纠正错误，巩固所学知识。

5. 总结：引导学生总结不规则变化的名词复数形式，如：child -> children，mouse -> mice。

6. 应用：创设情景，让学生在实际语境中运用名词复数形式进行表达，如：描述家庭成员、学校里的教室、班级等。

7. 拓展：引导学生思考名词复数形式在实际生活中的应用，如：购物、点餐等场景。

8. 作业：布置课后作业，要求学生运用所学知识，编写一段关于动物的短文，尽量使用名词复数形式。

六、教学反思：本节课通过任务型教学法、归纳法和情景教学法，让学生在实践中掌握名词复数形式的构成规则，总结不规则变化的名词复数形式，并能在实际语境中运用。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时纠正错误，提高学生的语法水平。

同时，要注重拓展学生的思维，将所学知识与实际生活相结合，提高学生的语言运用能力。

授课主题 第07讲---复数授课类型T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标① 理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； ② 了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。

③ 会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、复数的有关概念 1.虚数单位i :知识梳理知识框架（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）i 的周期性：41ni =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）.2. 概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。

3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数z a bi =+（,a b R ∈），当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数； 当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数； 当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0. 所以复数的分类如下:z a bi =+（,a b R ∈）⇒(0)(0)00b b a b =⎧⎨≠⇒=≠⎩实数；虚数当且时为纯虚数5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。

算法与复数【学习目标】1．了解复数中的有关概念，掌握复数的四则运算．从以往的考查来看，近几年的高考都考查了复数，考题主要是以填空题的形式出现，难度都不大．2. 了解算法的概念、流程图、基本算法语句．近几年高考都考了算法，主要考查的内容是流程图，考题主要是以填空题的形式出现，难度不是很大．【学习重难点】学习重点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用 学习难点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用复数：1已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i2复数ii i z )1)(1(-+=在复平面上所对应的点Z 位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限352i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5复数1+i1i=- （A ）i - （B ）i （C ）1i + （D ）1i -6i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 7设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．8复数2ii+在复平面内对应的点的坐标是____________.9. 若复数a 2－3a ＋2＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．10.设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝____________.11已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m ＝ .12若复数z 满足zi ＝2＋i(i 是虚数单位)，则|z|＝__________.算法：1. 执行右边的程序框图，则输出的S 值等于A.91817161+++ B. 9181716151++++C. 10191817161++++D. 1019181716151+++++（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）74．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．5 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138。

§3.1.2 复数的几何意义学习目标理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：复数(4)(3)=++-，当,x y取何值时z为实数、虚数、纯虚数？z x y i复习2：若(4)(3)2++-≥呢？）x y i++-=-，试求,x y的值，（(4)(3)2x y i i二、新课导学※学习探究探究任务一：复平面问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.新知：1.复平面：以x轴为实轴，y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.1. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ；复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ .注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数.2. 复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知: 22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ .※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.练2. 在复平面内指出与复数112z i =+，2z =，3z =-，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z .试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.三、总结提升※学习小结1. 复平面的定义；2. 复数的几何意义；3．复数的模.※知识拓展※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．62. 对于实数,a b，下列结论正确的是（）A．a bi+是虚数+是实数B．a biC．a bia bi+≠+是复数D．03. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i--，O为原点，那么是-+和13i∆是（）AOBA．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形4. 若1z=，则||z=5. 如果P是复平面内表示复数(,)+∈的点，分别指出下列条件下点P的位a bi ab R置：（1）0,0a b<>>>（2）0,0a b（3）0,0=≤（4）0a bb>1．实数取什么值时，复平面内表示复数22z m m m m i=-++--的点（1）(815)(514)位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x=上？2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i+（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.。

7.2.2复数的乘、除运算【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？2．复数乘法的运算律有哪些？3．如何在复数范围内求方程的解？【新知初探】1．复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝．(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有■名师点拨对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)(a，b，c，d∈R)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． ■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．【自我检测】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．( )(2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( )(1＋i)(2－i)＝( )A ．－3－iB ．－3＋iC ．3－iD ．3＋i(2019·高考全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( )A ．－1－iB ．－1＋IC ．1－iD ．1＋i复数z ＝4－i1＋i 的虚部为________．【探究互动】探究点一 复数的乘法运算【例1】(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3iC.3＋i D ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝() A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z .【规律方法】复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，(a ＋b i)3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋(3a 2b －b 3)i.【跟踪训练】1．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________．2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .探究点二 复数的除法运算【例2】计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i； (2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i.【规律方法】复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．【跟踪训练】1.1＋2i 1－2i＝( ) A ．－45－35i B ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i2．计算：(1)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ；(2)（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i .探究点三 i 的运算性质【例3】(1)复数z ＝1－i1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为()A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i1－i 2 019等于________．【规律方法】(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i1＋i ＝－i ，1＋i1－i ＝i.③1i ＝－i.【跟踪训练】已知z ＝－1－i2，求z 100＋z 50＋1的值．探究点四 在复数范围内解方程【例4】在复数范围内解下列方程．(1)x 2＋5＝0；(2)x 2＋4x ＋6＝0.【规律方法】在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．【跟踪训练】1．在复数范围内解方程2x 2＋3x ＋4＝0.2．已知3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．【达标反馈】1．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝( )A ．－2B ．－12C.12 D ．22．已知i 为虚数单位，则复数i 2－i的模等于( ) A. 5 B.3 C.33 D.553．计算：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．【参考答案】【新知初探】1．(1)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ．(2) z 2z 1 z 1(z 2z 3) z 1z 2＋z 1z 3【自我检测】答案：(1)× (2)√ (3)√答案：D解析：选D.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i(1－i)＝1＋i. 解析：z ＝4－i 1＋i ＝（4－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－5i 2＝32－52i. 答案：－52【探究互动】探究点一 复数的乘法运算【例1】【解析】 (1)选B.(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i) ＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i. (2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.(3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.【跟踪训练】1．解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.答案：－5－15i2．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. 探究点二 复数的除法运算【例2】【解】 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i. (2)（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 【跟踪训练】1. 解析：选D.1＋2i 1－2i ＝（1＋2i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝1－4＋4i 1－（2i ）2＝－3＋4i 5＝－35＋45i ，故选D. 2．解：(1)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋－i （2＋3i ）2＋3i＝i －i ＝0. (2)（i －2）（i －1）（1＋i ）（i －1）＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i i －2＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 探究点三 i 的运算性质【例3】【解析】 (1)z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i. 【答案】 (1)B (2)－i【跟踪训练】解：因为(1－i)2＝1－2i ＋i 2＝－2i ，所以z 100＋z 50＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1 ＝⎝⎛⎭⎫－12100(1－i)100＋⎝⎛⎭⎫－1250(1－i)50＋1 ＝1250(－2i)50＋1225(－2i)25＋1＝i 50－i 25＋1＝i 2－i ＋1＝－i. 探究点四 在复数范围内解方程【例4】【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5， 又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x ＝±5i ， 所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以(x ＋2)2＝－2， 因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0， 又因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0， 解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.【跟踪训练】1．解：因为b 2－4ac ＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，所以方程2x 2＋3x ＋4＝0的根为x ＝－3±－（－23）i 2×2＝－3±23i 4. 2．解：因为3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根，所以2(3＋2i)2＋p (3＋2i)＋q ＝0，即2(9＋12i －4)＋(3p ＋2p i)＋q ＝0， 整理得(10＋3p ＋q )＋(24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10＋3p ＋q ＝0，24＋2p ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－12，q ＝26. 【达标反馈】1．解析：选D.因为(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i 是纯虚数，所以b ＝2.2．解析：选D.因为i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝i （2＋i ）5＝－15＋25i ， 所以|i 2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D. 3．解：(1)2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018 ＝2＋2i －2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 009＝i(1＋i)＋⎝⎛⎭⎫1i 1 009 ＝－1＋i ＋(－i)1 009＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.。

认识复数大班数学教案第一节：引言在现代教育中，数学教育是非常重要的一部分。

对于小学生而言，数学能力的培养关乎他们未来的学业发展。

而在大班教学中，复数的概念和运算可能是一个相对较难的内容，需要教师结合具体的教学案例和方法来进行有效的教学。

本教案将介绍一种认识复数的教学方法，旨在帮助学生理解和掌握复数的基本概念和运算规则。

第二节：教学目标2.1 知识目标：了解复数的定义，掌握复数的运算法则，能够应用到实际问题中。

2.2 能力目标：培养学生的观察能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。

第三节：教学内容3.1 复数的定义复数由实数和虚数部分构成，一般表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，且满足i的平方等于-1。

通过引入虚数单位i，我们可以解决实数范围内无法求解的问题。

3.2 复数的运算法则3.2.1 复数的加减法复数的加减法按照实部和虚部进行分别运算，即实部相加减，虚部相加减。

例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

通过这种方法，可以将复数的加减法转化为实数的运算，使之更易理解。

3.2.2 复数的乘法复数的乘法可以通过分配律和i的平方等于-1来进行计算。

例如，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

同样地，复数的乘法转化为实数的运算可以帮助学生更好地掌握和应用乘法法则。

3.3 实际问题的应用在教学中，教师可以选择一些实际问题，引导学生运用所学的复数知识进行分析和解决。

例如，计算电路中的交流电流、电压问题，或者计算平面几何中的向量问题等。

这样的应用场景能够让学生认识到复数在实际生活中的重要性，提高他们对数学的兴趣和学习动力。

第四节：教学步骤4.1 导入教师通过引入一些有趣的问题或现象，引起学生的思考和好奇心。

例如，教师可以问学生：在实数范围内，有没有一个数的平方等于-1呢？通过这样的导入，学生能够对复数的引入和意义产生兴趣。