江苏省启东中学2017-2018学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题(普通班)

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是．2．（5分）已知数列{a n}满足：a=a+3，且a1=2，若a n＞0，则a n=．3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，…的前四项和等于．4．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是．5．（5分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为．6．（5分）设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a﹣c）cos B．则sinB=．8．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足=3，则•=．9．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，则θ的值为．10．（5分）设g（x）=则g=．11．（5分）下列命题：①x=2是x2﹣4x+4=0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α=sin β是α=β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是．（填序号）．12．（5分）已知两点A（﹣2，0），B（0，1），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是．13．（5分）已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为．14．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a+a+…+a）（a+a+…+a）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则p是q 的条件．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是．18．（16分）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n ∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，求a的取值范围．19．（16分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．20．（16分）已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．（Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故答案为：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．2．（5分）已知数列{a n}满足：a=a+3，且a1=2，若a n＞0，则a n=．【解答】解：由a=a+3，即a﹣a=3，∴数列为等差数列，公差为3，首项为4．∴=4+3（n﹣1）=3n+1．∵a n＞0，则a n=．故答案为：．3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，…的前四项和等于﹣45．【解答】解：由等比数列的性质可得：（3x+3）2=x（6x+6），化为：x2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3．当x=﹣1时，3x+3=0，舍去．∴首项为﹣3，公比为：=2．∴前四项和==﹣45．故答案为：﹣45．4．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是[﹣1，2] ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A（﹣2，1），M（x，y），∴z=•=﹣2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=﹣2+1=﹣1．经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大．此时z=2，即﹣1≤z≤2，故答案为：[﹣1，2]5．（5分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为．【解答】解：由题意可得：直线l1的方程为6x+8y﹣14=0，因为直线l2的方程为6x+8y+1=0，所以根据两条平行线间的距离公式可得：直线l1与l2的距离为=．故答案为．6．（5分）设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是③①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．【解答】解：设直线l，m，平面α，β，①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；l与m不相交时不能得出α∥β．②l⊂α，m⊂β且l∥m；α与β可能相交．③l⊥α，m⊥β，且l∥m；能得出α∥β．④l∥α，m∥β，且l∥m．可能得出α与β相交．故答案为：③．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a﹣c）cos B．则sinB=．【解答】解：∵bcosC=（4a﹣c）cos B，∴由正弦定理，得：（4sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，即4sin Acos B=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin A．在△ABC中，0＜A＜π，sin A＞0，所以cosB=．又因为0＜B＜π，故sinB==．故答案为：．8．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足=3，则•=．【解答】解：如图，∵=3，CA=CB=3，∴=．∴•=．故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，则θ的值为．【解答】解：∵函数函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2sin（x+θ+）是偶函数，∴，．∴θ=．故答案为：．10．（5分）设g（x）=则g=．【解答】解：由函数的解析式可得：，则．故答案为：．11．（5分）下列命题：①x=2是x2﹣4x+4=0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α=sin β是α=β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是②④．（填序号）．【解答】解：①x=2是x2﹣4x+4=0的充要条件，因此是假命题；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件，是真命题；③sin α=sin β是α=β的必要不充分条件，是假命题；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件，是真命题．其中为真命题的是②④．故答案为：②④．12．（5分）已知两点A（﹣2，0），B（0，1），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是．【解答】解：两点A（﹣2，0），B（0，1），∴BA的直线方程为：x﹣2y+2=0，|AB|=．点P到直线AB的距离最大值为圆心到直线的距离d+r，圆（x﹣1）2+y2=1，其圆心为（1，0）d==．∴点P到直线AB的距离最大值为：．△PAB面积的最大值S=|AB|•=．故答案为：．13．（5分）已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为．【解答】解：由题意可得：===．当且仅当时等号成立．即代数式的最小值为．故答案为：．14．（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a+a+…+a）（a+a+…+a）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则p是q 的充分不必要条件．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．由柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=cos2xcos﹣sin2xsin+cos2x+1=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，故函数的最小正周期为T==π，令2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，求得kπ+≤x≤kπ+，求得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos[2（x ﹣）+]+1=cos（2x﹣+）+1=cos（2x﹣）+1的图象，由x∈[0，]，可得：2x﹣∈[﹣，]，可得：cos（2x﹣）∈[﹣，1]，解得：g（x）=cos（2x﹣）+1∈[，2]．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）．【解答】解：∵p∨q为真，P∧q为假∴p与q一个为真，一个为假由p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根当P为真时，m＜﹣1，则p为假时，m≥﹣1由q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根当q为真时，﹣2＜m＜3，则q为假时，m≤﹣2，或m≥3当p真q假时，m≤﹣2当p假q真时，﹣1≤m＜3故使p∨q为真，P∧q为假的实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）18．（16分）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n ∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得：2（S 5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2=，解得q=±，由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=﹣，即a n=．（2）由（1）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=S n+．当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=S n+∴实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，则a的取值范围为（，+∞）19．（16分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知（x+1）2+（y﹣2）2=2，所以圆心为（﹣1，2），半径为．当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，所以k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，所以a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（2）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．20．（16分）已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．（Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），==﹣f（x）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）证明：设0＜x1＜x2＜1，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵0＜x1＜x2＜1，∴，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x）在（0，1）上为减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，∴f（1）＜f（x）＜f（0）即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理，f（x）在（﹣1，0）上时，f（x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又f（0）=0当或或λ=0时方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题，方程的否定是 ▲ ．2．已知椭圆上一点到一个焦点的距离为8，则点到另一焦点的距离是 ▲ ．3．命题“若为锐角，则”的否命题是 ▲ ．4．设双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程为 ▲ ．5．以点为圆心，且与直线相切的圆方程是 ▲ ．6．已知是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积为 ▲ ．7．若圆锥曲线的焦距为，则 ▲ ．8．与圆外切且与圆内切的动圆圆心的轨迹方程为 ▲ ．9．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于，且的周长为16，则椭圆的方程为 ▲ ．10．将一个半径为的蓝球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆．若阳光与地面成角，则椭圆的离心率为 ▲ ．11．若直线与圆相切，则实数的最大值与最小值之差为 ▲ ．12．已知命题，命题，且的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ▲ ．13．已知的两条弦互相垂直，且交于点，则的最小值为 ▲ ．14．已知直线3y kx =+与曲线222cos 2(1sin )(1)0x y x y αα+-++-=有且只有一个公共点，则实数的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． (本小题满分14分)已知命题；命题，使得；若命题是真命题，求实数的取值范围．16． (本小题满分14分)已知集合{}|22A x a x a =-+≤≤，{}2|41270B x x x =+-≤，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．17． (本小题满分14分)已知实数满足．⑴求的最大值；⑵若恒成立，求实数的范围．18． (本小题满分16分)已知点(4,4)P ，圆22:()5(3)C x m y m -+=<与椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>有一个公共点，是椭圆的左焦点，直线与圆相切．⑴求实数的值；⑵求椭圆的方程．19． (本小题满分16分)已知圆22:24120C x y x y +---=和点，直线过点与圆交于两点．⑴若以为直径的圆的面积最大，求直线的方程；⑵若以为直径的圆过原点，求直线的方程．20．(本小题满分16分)如图,已知椭圆的左右顶点分别为,圆,过椭圆的左顶点作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于、．⑴证明：；⑵若时,恰好为线段的中点,且，试求椭圆的方程；⑶设为圆上不同于的一点,直线的斜率为,当时,试问直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由．。

2017-2018学年一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,2,4A =，{}|(1)(3)0B x x x =--≤，则A B = ．【答案】{}1,2考点：集合的运算．2．“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是 ． 【答案】[0,)x ∀∈+∞，23x ≤ 【解析】试题分析：“[0,)x ∃∈+∞，23x >”的否定是“[0,)x ∀∈+∞，23x ≤” 考点：的否定．3．在3和243中间插入3个实数1a ，2a ，3a ，使这5个数成等比数列，则2a = ． 【答案】27 【解析】试题分析：222324327a =⨯=，又2a 与2,243同号，所以227a =．考点：等比数列的性质． 4．已知7sin cos 13αα+=-，π(,0)2α∈-，则tan α= ． 【答案】125- 【解析】试题分析：由7sin cos 13αα+=-得249(sin cos )169αα+=，所以60sin cos 169αα=-，因为(,0)2πα∈-，所以sin 0,cos 0αα<>，由7sin cos 1360sin cos 169αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得12sin 135cos 13αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以sin 12tan cos 5ααα==-． 考点：同角间的三角函数关系．5．函数()ln 23x f x x =+-在区间(1,2)上的零点个数为 ． 【答案】1考点：函数的零点．6．已知定义在R 上的函数2()23f x ax x =++的值域为[2,)+∞，则()f x 的单调增区间为 ．【答案】[1,)-+∞（(1,)-+∞也对） 【解析】试题分析：由已知012424a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩，解得1a =，22()23(1)2f x x x x =++=++，所以其增区间为[1,)-+∞． 考点：二次函数的性质．7．函数3()812f x x x =+-在区间[33]-，上的最大值与最小值之和是 ． 【答案】16 【解析】试题分析：设在区间[3,3]-上()f x 的最大值为M ，最小值为m ，再设()()8g x f x =-，()g x 的最大值为8M -，最小值为8m -，又3()12g x x x =-是奇函数，所以在区间[3,3]-上max min ()()0g x g x +=，即(8)(8)0M m -+-=，16M m +=．考点：函数的奇偶性．8．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为 ．【答案】210 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，即2322()()m m m m m S S S S S -=+-，所以323()3(10030)210m m m S S S =-=⨯-=．考点：等差数列的性质． 9．若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 【答案】13考点：两角和与差的余弦公式．【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系． (3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β，α＝(α－β)＋β，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，15°＝45°－30°等．10．函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当(0,3)x ∈时，()2xf x =，则(5)f -= ．【答案】2- 【解析】试题分析：由题意1(5)(32)(32)(1)22f f f f =+=-===，又()f x 是奇函数，所以(5)(5)2f f -=-=-．考点：函数的奇偶性．11．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：⑴1()sin cos f x x x =+；⑵2()f x x 3()cos )f x x x =+；⑷4()sin f x x =；⑸5()2cos (sin cos )222x x xf x =+，其中“互为生成”函数的有 ．（请填写序号）【答案】⑴⑵⑸考点：函数图象的平移．12．已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC ⋅+⋅=，则||BC = ．【答案】2 【解析】试题分析：因为AD 直径，所以2ABD ACD π∠=∠=，所以2AB AD AB ⋅=，2AC AD AC ⋅=，所以222AB AC BC +=，即2BAC π∠=，BC 直径，所以2BC =．考点：向量的数量积．13．已知直线l 与曲线1y x =-和曲线ln y x =均相切，则这样的直线l 的条数为 ．【答案】1 【解析】试题分析：设1()ln f x x x =+，22111'()x f x x x x-=-=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，1x =时，()f x 取得极小值也是最小值(1)ln1110f =+=>，所以1ln 0x x +>恒成立，即1ln x x>-，因此设公直线l 与曲线1y x =-相切于点11(,)A x y ，与曲线ln y x =相切于点22(,)B x y ，必有10x <，1y x=-的导数为21'y x =，ln y x =的导数是1'y x =，由题意212212112111ln 1x x x x x x x ⎧=⎪⎪⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩，211221111ln 1x x x x x +⇒=-，1112ln()20x x x ⇒--+=，记()2l n ()2g x x x x =--+，'()2ln()1g x x =-+，令'()0g x =，则12x e-=-，当12x e-<-时，'()0g x >，()g x 单调递增，当120ex --<<时，'()0g x <，()g x 单调递减，1122max ()()2(1)0g x g e e --=-=+>，又22()320g e e -=-+<，lim[2ln()2]20x x x x →---+=>，所以()0g x =只有一解，即1112ln()20x x x --+=只有一解，所以两曲线的切线只有一条．考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性． 【名师点睛】1．求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 2．判断函数y ＝f (x )零点个数的常用方法：(1)直接法：令f (x )＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数．在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．14．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++，*n ∈N ，则201420151()k k k a a =-=∑ ．【答案】20291052考点：数列求和．【名师点睛】 数列求和的方法：(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分) 已知集合{}||21|3A x x =-<，{}2|(2)20B x x a x a =-++≤．⑴若1a =，求AB ；⑵若A B A =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[1,2)；（2）(,1]-∞．考点：集合的运算，集合的关系． 16．(本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+．⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（1）3A π=；（2）等边三角形．考点：正弦定理，余弦定理，三角形形状的判断． 【名师点睛】判定三角形形状的两种常用途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． 17．(本小题满分14分)已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒，||2c =，求||a ，||b ．【答案】||23a =，||4b =．考点：向量的数量积． 18．(本小题满分16分) 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列．⑴设此等比数列的公比为q ，求3q 的值；⑵问：数列中是否存在不同的三项m a ，n a ，p a 成等差数列？若存在，求出m ，n ，p 满足 的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）312q =-；（2）存在不同的三项1a ，7a ，4a 成等差数列． 【解析】试题分析：（1）本题要求3q 值，已知是9362S S S ∴=+，我们借助n S 的最基本形态12n n S a a a =+++，有19123162()()()a a a a a a a ++=+++++，化简即得7894562()()0a a a a a a +++++=，而3789456()0a a a q a a a ++=++≠，由此可得3q ；（2）数列中的探索性，如果是肯定性结论，本题只要能找到三项，成等差数列即可，如果是否定性结论，则必须证明．具体找三项时，可写出数列{}n a 中连考点：等比数列与等差数列的性质． 19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥(其中,k t为常数)． ⑴若12k =，14t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．【答案】（1）11a =（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）已知条件是2111124n n n S a a -+=-，这种问题一般都是再写一次即21111124n n n S a a +++=-，两式相减变形后可得12n n a a +-=，注意这里有2n ≥，但由于数列{}n a 是等差数列，因此也有212a a -=，代入已知212211124a a a +=-可求得1a ；（2）与（1）相同方法得2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，由数列{}n a 是等比数列，可设1n n a qa +=，代入化简得2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，下面对此式分析，首先0q >，1q ≠，{}n a 不是常数列，这样此式对2n ≥恒成立，必有0t =，恒等式变为10kq k -+=，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为11n n S ka -∴+=-，此式中，10,0n n a S ->>，那么只能有0k <，得证．⑵由211n n n S ka ta -+=-得2111n n n S ka ta +++=-，两式相减，得：2211(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥， ………………………………10分设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222n n n n na kqa ka tq a ta +-=-， 2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，…………………………………12分∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=； ………………………………………14分11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<，k t ∴<． ………………………………………………………………………………16分考点：等差数列与等比数列的定义． 20．(本小题满分16分)已知函数()=e x f x (其中e 是自然对数的底数)，2()1g x x ax =++，a ∈R ． ⑴记函数()()()F x f x g x =⋅，当0a >时，求()F x 的单调区间；⑵若对于任意的1x ，2[0,2]x ∈，12x x ≠，均有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---；（2）[1,22ln 2]--． 【解析】列表如下：（0a >，11a ∴--<-）……………………………………………………………………………………4分()F x ∴的单调增区间为：(,1)a -∞--，(1,)-+∞，减区间为(1,1)a ---； ……………6分⑵设12x x <，()e x f x =是单调增函数，12()()f x f x ∴<，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；………8分①由1212()()()()f x f x g x g x -<-得：1122()()()()f x g x f x g x -<-， 即函数2()()e 1x y f x g x x ax =-=---在[0,2]上单调递增， ()()e 20x y f x g x x a '''∴=-=--≥在[0,2]上恒成立，e 2x a x ∴-≤在[0,2]上恒成立；令()e 2x h x x =-，()e 20ln 2x h x x '∴=-=⇒=，∴[0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；(ln 2,2]x ∈时，()0h x '>；考点：导数与函数的单调性，不等式恒成立问题． 【名师点睛】1．用导数研究函数的单调性：(1)求函数f (x )单调区间的方法是，通过解不等式f ′(x )>0(或f ′(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤： ①求f ′(x )．②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．③得出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数．2．不等式恒成立问题，一般通过转化与化归思想，转化为用导数求函数的最值，研究函数的单调性，这类问题比较复杂，考查学生的分析问题解决问题的能力，考查计算推理能力．。

江苏省启东2017~2018学年度第一学期第一次月考高二创新班数学试卷 2017.9.25一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∀∈R ，2x x -≤0”的否定是 ．2．已知实数{0a ∈，1，2，3}，且{0a ∉，1，2}，则a 的值为 ．3．函数()f x =的定义域为 ．4．已知函数()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，则函数()f x = ．5．已知集合{|3}A x x =>，{|}B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈的”必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ．6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ．7．设命题p ：实数x 满足2430x x -+<；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 若p q ∧为真，则实数x 的取值范围是 ．8．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ADE △内部的概率为 ．9．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()V X = ． 10．若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望()E ξ= ．11．设函数2222()x x f x x ⎧++⎪=⎨-⎪⎩ 若(())2f f a =，则a = ． 12．已知集合{I =1，2，3，4，5，6，7}，集合P m =，}k I ∈，则P 的元素个数为 ． 13．若函数2()(2)e e 1x x f x a x x =--+在区间(-∞，0]恒为非负，则实数a 的取值范围为 ．14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[M -，]M ．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：， ， ，x ≤0， ，0x >．①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②若函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a ∈R ）有最大值，则()f x B ∈． 其中的真命题的序号为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同 ．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上数字依次记为a ，b ，c ． ⑴求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；⑵求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．16．（小题满分14分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．命题p ：若333a b c +=，则π2C <． ⑴写出命题p 的逆否命题，并判断其真假；⑵若命题p 为真，请证明；若为假，请说明理由．17．（本小题满分14分）已知关于x 的一元二次方程229640x ax b +-+=，a 、b ∈R ．⑴若1a =，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根．．．．．．．的概率； ⑵若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程．．有实数根．．．．的 概率．18．（本小题满分16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．⑴求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望()E X 与标准差σ．19．（本小题满分16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为n P ．⑴求0P ，1P ，2P 的值；⑵求n P 与1n P -的关系式；（其中2≤n ≤99）⑶求99P 和100P ．20．（本小题满分16分）对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[m ，]n I ⊆，同时满足①()f x 在[m ，]n 内是单调函数；②当定义域为[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ．则称[m ，]n 是函数()y f x =的“好区间”．已知函数3()f x x ax =-，其中a ∈R ． ⑴若0a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由；⑵若3a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由； ⑶若函数()f x 存在“好区间”，试求实数a 的取值范围．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）集合A={0，1，2}的真子集的个数是．2．（5分）已知集合M={3，，1}，N={1，m}，若N⊆M，则m=．3．（5分）不等式的解集为．4．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是．5．（5分）函数的定义域是．6．（5分）函数y=1﹣值域为．7．（5分）函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则f（﹣4）=．8．（5分）对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是．9．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．10．（5分）若P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A※B={x|x∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，则Q※P=．11．（5分）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）﹣x]，则g（2017）=．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．16．（14分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0的解集为集合B；（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当m=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．18．（16分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，试求的值．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．20．（16分）已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；（2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）集合A={0，1，2}的真子集的个数是7．【分析】由真子集的概念一一列出即可．【解答】解：集合A={0，1，2}的真子集有：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共7个故答案为：7【点评】本题考查集合的真子集个数问题，属基础知识的考查．2．（5分）已知集合M={3，，1}，N={1，m}，若N⊆M，则m=0或3．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，注意进行检验．【解答】解：∵M={3，，1}，N={1，m}，∴若N⊆M，则m=3或m=，解得m=0或m=1或m=3．当m=1时，集合M={1，1，3}不成立．故m=0或m=3．答案为：0或3．【点评】本题主要考查集合关系的应用，利用N⊆M，确定元素关系，注意求解之后后要对集合进行验证．3．（5分）不等式的解集为（2，6] ．【分析】根据题意，将分式不等式变形为（x﹣6）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，由一元二次不等式的解法解之即可得答案．【解答】解：根据题意，⇒﹣4≥0⇒≤0⇒（x﹣6）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解可得2＜x≤6，即不等式的解集为（2，6]；故答案为：（2，6]．【点评】本题考查分式不等式的解法，注意答案写成集合或区间的形式．4．（5分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是{﹣2，0} ．【分析】将不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，所以不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解之即可确定x的取值范围．【解答】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，可转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，∴等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解得，x=0或x=﹣2，∴x的取值范围是{﹣2，0}．故答案为：{﹣2，0}．【点评】本题考查不等式的化简，一次函数的性质，恒成立问题的灵活转化，属于中档题．5．（5分）函数的定义域是（﹣3，2）．【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6﹣x﹣x2＞0即x2+x﹣6＜0解得：﹣3＜x＜2故函数的定义域是（﹣3，2）故答案为：（﹣3，2）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键．6．（5分）函数y=1﹣值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞）．【分析】方法一：画出函数的图象，借助图象即可得到函数的值域，方法二：利用函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：方法一：函数y=1﹣的图象如图所述，由图象可得函数的值域：（﹣∞，1）∪[2，+∞）方法二：∵y′=，当0＜x＜1时函数单调递增，当﹣1＜x＜1时函数单调递减．故y在（﹣1，1）上的最小值为2，当x＜﹣1时，函数单调递减，当x＞1时，函数单调递增，故x→+∞时，y→1，故x→﹣∞时，y→1，综上所述函数的值域为（﹣∞，1）∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪[2，+∞）【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．7．（5分）函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，，则f（﹣4）=﹣2．【分析】由函数f（x）在R上为奇函数，f（0）=0，可得a=﹣1，进而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，∴f（0）=1+a=0，解得：a=﹣1，即当x≥0时，，故f（4）=2，故f（﹣4）=﹣f（4）=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于中档题．8．（5分）对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，则a的取值范围是a＞4．【分析】问题转化为|x﹣1|﹣|x+3|的最大值小于a，利用绝对值不等式的性质可得其最大值．【解答】解：|x﹣1|﹣|x+3|≤|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，由对任意实数x，|x﹣1|﹣|x+3|＜a恒成立，得4＜a，所以a的取值范围为a＞4．故答案为：a＞4．【点评】本题考查函数恒成立、绝对值不等式的性质，考查转化思想．9．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．【分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．【解答】解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，令﹣1≤2x﹣1≤4，解得0≤x≤，故答案为：．【点评】本题考查知f（ax+b）的定义域求f（x）的定义域只要求ax+b的值域即可、知f（x）的定义域为[c，d]求．f（ax+b）的定义域只要解不等式c≤ax+b≤d的解集即可．10．（5分）若P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A※B={x|x∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，则Q※P={0，1，4，5} ．【分析】由定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，分别求出P﹣Q，Q﹣P，再由A※B={x|x ∈（A﹣B）∪（B﹣A）}，即可求出所求的集合．【解答】解：∵P={1，2，3，4，5}，Q={0，2，3}，∴P﹣Q={1，4，5}，Q﹣P={0}，则Q※P=（Q﹣P）∪（P﹣Q）={0，1，4，5}．故答案为：{0，1，4，5}【点评】此题考查了交、并集的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．11．（5分）已知函数，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．12．（5分）若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣∞，）．【分析】根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x，x2=x，则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f（x）﹣1=1，∴化简得：[f（x）﹣1]+[f（﹣x）﹣1]=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1）+F（﹣x2）=[f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1]=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2]=[f（x1﹣x2）﹣1]=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m﹣2）＜3化为f（3m﹣2）＜f（2），可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣4|x|+1，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，则a的取值范围为[﹣0]∪{} ．【分析】f（x）=，令f（x）=1可得x=﹣4，或x=0，或x=4．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得a的取值范围，当a＞0时，应有2a+1=4，由此求得a的值，综合可得a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4|x|+1是偶函数，图象关于y轴对称．且f（x）=，令f（x）=1可得x=﹣4，或x=0，或x=4．若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为1，∴a＜2a+1，解得a＞﹣1．当﹣1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得﹣≤a≤0．当a＞0时，应有2a+1=4，解得a=．综上可得，a的取值范围为[﹣0]∪{}，故答案为[﹣0]∪{}．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（1）=9，对任意x∈R，两不等式f（x+4）≥f（x）+4与f（x+1）≤f（x）+1都成立，若g（x）=2[f（x）﹣x]，则g（2017）=16．【分析】由题设条件，可根据题设中的两个不等式来限定f（2017）的取值范围，从而确定其值，进而得到所求值．【解答】解：∵f（x+4）≥f（x）+4，又∵f（1）=9，∴f（2017）≥f（2013）+4≥f（2009）+8≥…≥f（1）+2016=2025，∵f（x+1）≤f（x）+1成立∴f（2017）≤f（2016）+1≤f（2015）+2≤…≤f（1）+2016=2025，∴f（2017）=2025．∵g（x）=2[f（x）﹣x]∴g（2017）=2[f（2017）﹣2017]=2×（2025﹣2017）=16．故答案为：16．【点评】本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是根据题设中的两个不等式得出f（2017）的取值范围，根据其范围判断出函数值．本题比较抽象，下手角度很特殊，用到了归纳法的思想，利用归纳推理发现规律在数学解题中经常用到．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【分析】（1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可．（2）一般A∪B=A转化成B⊆A来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3；当a=﹣1时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件；当a=﹣3时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件；综上，a的值为﹣1或﹣3；（2）对于集合B，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）．∵A∪B=A，∴B⊆A，①当△＜0，即a＜﹣3时，B=∅满足条件；②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件；③当△＞0，即a＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⇒矛盾；综上，a的取值范围是a≤﹣3．【点评】本题主要考查了交集并集以及一元二次方程的解法，属于基础题，考查分类讨论的思想．16．（14分）设不等式的解集为集合A，关于x的不等式x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0的解集为集合B；（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）先把不等式的解集求出来，得到集合A，利用十字分解法求出集合B，再根据子集的定义求出a的范围；（2）已知A∩B=∅，说明集合A，B没有共同的元素，从而进行求解；【解答】解：由题意＞0，即（x﹣2）（x﹣4）＜0，解的2＜x＜4，所以集合A=（2，4），由x2+（2a﹣3）x+a2﹣3a+2＜0得到（x+a﹣2）（x+a﹣1）＜0，解得1﹣a＜x＜2﹣a，所以B=（1﹣a，2﹣a）．（1）因为B⊆A，则，解得﹣2≤a≤﹣1，（2）要使A∩B=∅，需满足2﹣a≤2或1﹣a≥4，解得a≥0或a≤﹣3．【点评】此题主要考查不等式解集的求法，以及子集的性质，是一道基础题17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当m=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．【分析】（1）当m=时，f（x）在[1，+∞）上为增函数，将1代入可得函数f （x）的最小值；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立，结合二次函数的图象和性质将问题转化为最值问题后，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=时，f（x）=x++4．设1≤x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）=x1++4﹣x2﹣﹣4=（x1﹣x2）（1﹣），由1≤x1＜x2，可得x1﹣x2＜0，1﹣＞0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．所以，f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=；（2）在区间[1，+∞）上，f（x）＞0恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立．设y=x2+4x+m，x∈[1，+∞），由y=x2+4x+m=（x+2）2+m﹣4在[1，+∞）上递增，则当x=1时，y min=5+m．于是，当且仅当y min=5+m＞0时，f（x）＞0恒成立．此时实数m的取值范围为（﹣5，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．18．（16分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f（2）=2，试求的值．【分析】（1）令a=b=0可得f（0），令a=b=1可得f（1）；（2）求出f（﹣1）=0，再令a=x，b=﹣1可得结论；（3）先计算f（4），再计算f（）．【解答】解：（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=1得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）令a=b=﹣1，得f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=﹣2f（﹣1），∴f（﹣1）=0，令a=x，b=﹣1，得f（﹣x）=xf（﹣1）﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（3）f（4）=2f（2）+2f（2）=4f（2）=8，∴f（1）=4f（）+f（4）=0，∴f（）=﹣．【点评】本题考查了抽象函数的性质，属于中档题．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．【分析】（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；（2）由g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，结合函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，可得≤﹣1或，解得实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，则函数h （x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x得2ax+a+b=2x对于x∈R恒成立，故…（3分）又由f（0）=1得c=1，解得a=1，b=﹣1，c=1，所以f（x）=x2﹣x+1．…（5分）（2）因为g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，又函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，故≤﹣1或，…（8分）解得t≤或故实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）（3）由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），即要求函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，…（11分）①若h（﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不合题意；…（12分）②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；…（13分）③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；…（14分）④若m≠4且m≠1且m≠0时，由得1＜m＜4．综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．…（16分）（说明：第3小题若采用数形结合的方法进行求解，正确的给（3分），不正确的得0分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20．（16分）已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式；（2）求（1）中g（m）的最大值；（3）若函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用对称轴和区间[﹣1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．（2）利用g（m）的表达式求函数g（m）的最大值．（3）利用条件y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，确定实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，对称轴为x=．①若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．③若，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．（2）由（1）知g（m）=．当m＜﹣2时，g（m）=2m＜﹣4，当﹣2≤m≤2，g（m）==当m＞2时，g（m）=0．综上g（m）的最大值为0．（3）要使函数y=|f（x）|在[2，4]上是单调增函数，则f（x）在[2，4]上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，∴，所以或，解得m≤3或m≥8．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是．2．椭圆+=1的焦点坐标为．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有条公切线．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题．6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是．8．椭圆的离心率为，则m=．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是∃x∈R，sinx≥1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是：∃x∈R，sinx≥1．故答案为：∃x∈R，sinx≥1．2．椭圆+=1的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标．【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c===1，∴椭圆的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1），故答案为：（0，﹣1），（0，1），．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有2条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程的标准形式，分别求出圆心和半径，两圆的圆心距小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，即可得出结论．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径为1，圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C2（1，﹣1），半径为2，两圆的圆心距为，正好小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，故两圆的公切线只有二条，故答案为2．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：若“p∨q为假”则p，q同时为假命题，若““p∧q为假”则p，q至少有一个为假命题，p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分，故答案为：必要不充分5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的否命题．【考点】四种命题．【分析】设命题p为：若m，则n．根据已知写出命题r，s，t，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：设命题p为：若m，则n．那么命题r：若￢m，则￢n，命题s：若￢n，则￢m．命题t：若n，则m．根据命题的关系，s是t的否命题．故答案为：否6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是m＞2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．【考点】圆的切线方程．【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．故选A＞或a．8．椭圆的离心率为，则m=3或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为x+4y﹣5=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则有+=1①，+=1②，①﹣②式可得： +=0，又点M为弦AB的中点，且M（1，1），由+＜1，可得M在椭圆内，∴x1+x2=2，y1+y2=2，即得k AB==﹣，∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为（0，c）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||∵在椭圆+=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x0，y0）则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|∵P点在椭圆+=1（a＞b＞0）上，∴|x0|∈（0，a]，又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a）∴|OM|∈（0，c）．故答案为：（0，c）．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为（6﹣2，6+2）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆左焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可．利用|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=10﹣（|MF1|﹣|MA|）≥6﹣|AF1|，即可得出其最小值．【解答】解：由椭圆+=1的焦点在x轴上，a=3，b=2，c=1，左焦点为F1（﹣1，0），连接MF1．由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF|=2a，|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=6+|MA|﹣|MF1|．即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF2|最大．在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，|MA|﹣|MF1|=|AF1|==2．∴|MA|+|MF2|的最大值是6+2．∴|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=6﹣（|MF1|﹣|MA|）≥10﹣|AF1|=6﹣2，∴|MA|+|MF|的取值范围（6﹣2，6+2），故答案为：（6﹣2，6+2）．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为[，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故答案为[，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜，因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，则，解得≤a≤，故实数a的取值范围为：[，]．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f （x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P 的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），∵圆弧C2过点A（﹣1，0），∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），∵直线MN的中垂线方程y=0上，∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；（2）假设存在这样的点P（x，y），由得，，化简得，x2+y2+4x+2=0，∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，由，解得（舍去），由，解得，综上知的，这样的点P存在2个．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）∵椭圆过M，N两点∴⇒，即椭圆方程为+=1．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣）∴|AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4﹣a2∴4﹣a2=1⇒a=±∉（0，]∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3﹣a）2∴（3﹣a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）通过将点（1，）代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（，﹣）、Q（，），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y﹣2=0，|AB|=，通过①可知P（，﹣）、Q（，），利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．【解答】（1）解：依题意，，化简得：，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，∴P（，﹣），联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，∴Q（，），∴直线l的斜率为==；②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0，|AB|==，由①可知：P（，﹣），Q（，），∵点P在第一象限，∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，∴点P到直线AB的距离d P==﹣，点Q到直线AB的距离d Q==，∴=== [（m﹣4）++10]，∵（4﹣m）+≥2=4，当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，∴（m﹣4）+≤﹣4，∴的最大值为（10﹣4）=5﹣2．2016年12月29日。

启东中学 2017-2018 学年度第一学期第一次月考高二数学试卷注意事项：1．本试卷包括填空题（第 1 题～第14 题，共14 题）、解答题（第15 题～第20 题，共 6 题），总分160 分，考试时间为120 分钟．2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题纸上．3．请用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔在答题卡纸的指定地点答题，在其余地点作答一律无效．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分。

不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应地点上。

1．已知命题p : x R，sin x 1 ，则p 为▲.x2 y2 52．已知双曲线 C：a2－b2＝ 1(a>0， b>0)的离心率为2，则 C 的渐近线方程为▲.3. 过点 P(3,4) 与圆 ( x 2) 2 ( y 1) 2 1 相切的直线方程为▲.4. 若函数 f ( x) 2x k 2 3 2 x，则 k 2是函数 f ( x)为奇函数的▲条件.( 选填“充足不用要”、“必需不充足”、“充要”、“既不充足也不用要”)2 ＋y 25. 若椭圆x2＝1过点(－2，3)，则其焦距为▲ .16 b6. 过抛物线 y2＝ 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A， B 两点， O 为坐标原点．若AF＝3，则△ AOB 的面积为▲．7．已知命题p :设a,b R , 则“ a b 4 ”是“ a 2, 且 b 2 ”的必需不充足条件；命题 q : 若a b 0 ，则 a, b 夹角为钝角．在命题①p q ；②p q ；③ p q ；④p q 中，真命题的是▲.( 填序号 )8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点O 的动直线l与圆 C: x2 y2 6x 5 0 订交于不一样的两点 A， B，若点 A 恰为线段 OB 的中点，则圆心 C 到直线l 的距离为▲x2 y2F1、 F2，线段 F1F2被抛物线 y2＝ 2bx 9. 若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为的焦点分红7∶ 3 的两段，则此双曲线的离心率为▲．10. 若圆上一点 A(2,3) 对于直线 x ＋ 2y ＝ 0 的对称点仍在圆上，且圆与直线x － y ＋1＝ 0 订交的弦长为 2 2，则圆的方程是▲ ．11．已知抛物线 y 2＝ 8x 的准线为 l ，点 Q 在圆 C ：x 2＋ y 2＋ 2x － 8y ＋13＝ 0 上，记抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d ，则 d ＋ PQ 的最小值为▲．12. 如下图， A ，B 是椭圆的两个极点， C 是 AB 的中点， F 为椭圆的右焦点， OC 的延伸线交椭圆于点 M ，且 |OF |＝ 2，若 MF ⊥ OA ，则椭圆的方程为▲ ．13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2＋ y 2－8x ＋ 15＝0，若直线 y ＝ kx － 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲．14．如图， 已知过椭圆x 2y 2 1 (a b 0) 的左极点 A(－ a ，0) 作直线 l 交 y 轴于点 P ， a 2 b 2交椭圆于点 Q ，若△ AOP 是等腰三角形， 且 PQ 2QA ，则椭圆的离心率为▲．二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= ．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= ．3．函数y=定义域．（区间表示）4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= ．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为．10．函数f（x）=1﹣的最大值是．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为．（用区间表示）14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则集合A∩B= {x|2＜x＜3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m= 4 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：先由B⊆A知，集合B是集合A的子集，然后利用集合子集的定义得集合A必定含有4求出m即可．解答：解：已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，即集合B是集合A的子集．则实数m=4．故填：4．点评：本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．3．函数y=定义域（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．（区间表示）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞﹣2且x≠﹣1，即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞），故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4．若f（1﹣x）=x2，则f（1）= 0 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式，进行转化即可．解答：解：∵f（1﹣x）=x2，∴f（1）=f（1﹣0）=02=0，故答案为：0点评：本题主要考查函数值的计算，比较基础．5．若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为15 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可．解答：解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，则A∪B的真子集个数为24﹣1=15．故答案为：15点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6．函数f（x）=x（1﹣x）的单调增区间为（﹣∞，] ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=﹣+，可得函数的增区间．解答：解：由于函数f（x）=x（1﹣x）=﹣+，故函数的增区间为（﹣∞，]，故答案为：（﹣∞，]．点评：本题主要考查二次函数的单调性，属于基础题．7．给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为（1，1）．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论．解答：解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），映射f下的对应元素为（3，1），∴，∴．∴（3，1）原来的元素为（1，1）．点评：本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题．8．若函数的定义域和值域都是[1，b]，则b的值为 3 ．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：先根据f（x）在[1，b]上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b ﹣1）2+1=b，可得然后把b代入即可得出答案．解答：解：∵函数的定义域和值域都是[1，b]，且f（x）在[1，b]上为增函数，∴当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b﹣1）2+1=b，解得：b=3或b=1（舍去），∴b的值为3，故答案为：3．点评：本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法，属于基础题，关键是根据f（x）在[1，b]上的单调性求解．9．若集合A={x|kx2+4x+4=0}，x∈R中只有一个元素，则实数k的值为0或1 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：集合A表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可．解答：解：当k=0时，A={x|4x+4=0}={﹣1}满足题意当k≠0时，要集合A仅含一个元素需满足△=16﹣16k=0解得k=1故k的值为0；1故答案为：0或1点评：本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况．10．函数f（x）=1﹣的最大值是 1 ．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由观察法可直接得到函数的最大值．解答：解：∵≥0，∴1﹣≤1，即函数f（x）=1﹣的最大值是1．故答案为：1．点评：本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题．11．若函数y=的定义域为R，则实数a的取值范围[0，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：0≤a＜，故答案为：[0，）．点评：本题考查了二次函数，二次根式的性质，是一道基础题．12．函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数且为增函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求a的范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论．解答：解答：解：∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0可化为f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），又f（x）在定义域（﹣1，1）上递增，∴，即，解得0＜a＜1．∴a的取值范围为：0＜a＜1．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力．综合考查函数的性质．13．函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2] ．（用区间表示）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出当x∈[0，2]时，解集为（1，2]，再由函数的奇偶性求出当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，即可求出不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集．解答：解：当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣1＞0，即有x＞1，解集为（1，2]，函数f（x）是偶函数，所以图象是对称的，当x∈[﹣2，0]时，解集为（1，2]，综上所述，不等式f（x）＞0在[﹣2，2]上的解集为（1，2]，故答案为：解集为（1，2]．点评：本题主要考察了函数奇偶性的性质，属于基础题．14．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范围是．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据题意确定函数的解析式为f（x）=，画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时m的取值范围．解答：解：由 2x﹣1≤x﹣1 可得 x≤0，由 2x﹣1＞x﹣1 可得 x＞0．∴根据题意得f（x）=．即 f（x）=，画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y=m有三个不同的交点．再根据函数的极大值为f（）=，可得m的取值范围是（0，），故答案为（0，）．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}．若B⊆A，求实数a的值．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题；分类讨论．分析：已知B⊆A，分两种情况：①B=∅，②B≠∅，然后再根据子集的定义进行求解；解答：解：显然集合A={﹣1，1}，对于集合B={x|ax=1}，当a=0时，集合B=∅，满足B⊆A，即a=0；当a≠0时，集合，而B⊆A，则，或，得a=﹣1，或a=1，综上得：实数a的值为﹣1，0，或1．点评：此题主要考查子集的定义及其性质，此题还用到分类讨论的思想，注意B=∅，这种情况不能漏掉；16．已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=的不动点．（1）求a，b的值．（2）求证：f（x）是奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接利用定义把条件转化为f（﹣1）=﹣1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；（2）根据奇函数的定义进行证明．解答：解：（1）有题意可得：解得：；（2）由（1）知，，故f（x）=，定义域是R，设任意x，则，f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．17．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（1）先设月产量为x台，写出总成本进而得出利润函数的解析式；（2）分两段求出函数的最大值：当0≤x≤400时，和当x＞400时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可．解答：解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润（2）当0≤x≤400时，f（x）=，所以当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．所以当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．点评：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}试求实数a 的取值范围使C⊆A∩B．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：先求出集合A与集合B，从而求出A∩B，讨论a的正负，根据条件C⊆A∩B建立不等关系，解之即可．解答：解：依题意得：A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞1或x＜﹣3，}∴A∩B={x|1＜x＜4}（1）当a=0时，C=Φ，符合C⊆A∩B；（2）当a＞0时，C={x|a＜x＜2a}，要使C⊆A∩B，则，解得：1≤a≤2；（3）当a＜0时，C={x|2a＜x＜a}，∵a＜0，C∩（A∩B）=Φ，∴a＜0不符合题设．∴综合上述得：1≤a≤2或a=0．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．已知二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4在闭区间[t，t+2]（t∈R）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值．解答：解：（1）二次函数f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8二次函数的开口方向向上，对称轴方程：x=2①当t=1时，x∈[t，t+2]距离对称轴的距离相等，所以②当0＜t＜1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以③当1＜t＜2时，x=t离对称轴的距离必x=t+2的距离远，所以④当t＜0时，函数为单调递减函数，所以⑤当t＞2时，函数是单调递增函数，所以（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，函数为单调递减函数，所以③当t＞2时，函数为单调递增函数，所以故答案为：①当t=1时，②当0＜t＜1时，③当1＜t＜2时，④当t＜0时，⑤当t＞2时，（2）①当0＜t＜2时，f（x）min=﹣8②当t＜0时，③当t＞2时，点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最值．20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b∈[﹣1，1]，a+b ≠0，都有＞0成立．（1）证明函数f（x）在[﹣1，1]上是单调增函数．（2）解不等式f（x）＜f（x2）．（3）若对任意x∈[﹣1，1]，函数f（x）≤2m2﹣2am+3对所有的a∈[0，]恒成立，求m 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）根据函数的奇偶性及已知不等式可得差的符号，由单调性的定义可作出判断；（2）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式可求，注意函数定义域；（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由单调性易求f（x）max，从而可化为关于a的一次函数，利用一次函数的性质可得关于m的不等式组．解答：解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=．据已知＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）f（x）＜f（x2），由函数单调性性质知，x＜x2，而﹣1≤x≤1，﹣1≤x2≤1故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜0}．（3）对所有x[﹣1，1]，f（x）≤2m2﹣2am+3成立，等价于f（x）max≤2m2﹣2am+3，由f（x）在[﹣1，1]上的单调递增知，f（x）max=f（1）=2，所以2≤2m2﹣2am+3，即0≤2m2﹣2am+1，又对a∈[0，]恒成立，则有，解得m≤或m≥1，故实数m的取值范围为m≤或m≥1．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用，考查恒成立问题．考查转化思想，在解题时要利用好单调性和奇偶性的定义．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．3．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=．4．函数f（x）=的定义域为．5．将函数y=sin（2x﹣）﹣1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为．6．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．7．函数f（x）=x2+ax﹣1，若对于x∈[a，a+1]恒有f（x）＜0，则a的取值范围．8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB 的值是．9．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若•=3，则•=．11．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．12．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有两个零点，则k的取值范围．13．若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=．14．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA．（1）求角A的值；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．17．已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果f（x）是奇函数，求实数m、n的值；（3）已知m＞0，n＞0，在（2）的条件下，求不等式的解集．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=．（Ⅰ）若，求c的最小值；（Ⅱ）设向量，，且，求sin（B﹣A）的值．19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．20．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．【考点】命题的否定．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜03．已知向量=（1，m），=（3，﹣2）且（+）⊥，则m=8．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥，∴（+）•=0，即（4，m﹣2）•（3，﹣2）=0．即12﹣2（m﹣2）=0，得m=8，故答案为：8．4．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．5．将函数y=sin（2x﹣）﹣1的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得到答案．【解答】解：函数y=sin（2x﹣）﹣1，向左平移个单位，可得：y=sin[2（x+）﹣]﹣1=sin（2x+）﹣1，再向上平移1个单位，可得：y=sin（2x+）﹣1+1=sin（2x+）．所以所得图象的函数解析式为sin（2x+）．故答案为y=sin（2x+）．6．已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是a＜5．【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊂B，∵集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，结合集合关系的性质，不难得到a＜5 【解答】解：∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件∴A⊂B故a＜5故选A＜57．函数f（x）=x2+ax﹣1，若对于x∈[a，a+1]恒有f（x）＜0，则a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．【解答】解：二次函数f（x）=x2+ax﹣1开口向上，要它在区间[a，a+1]上恒小于零，结合二次函数的图象，只需满足：，即，解得：﹣＜a＜0．故答案为：．8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB=，则sinB的值是．【考点】余弦定理；余弦定理的应用．【分析】利用余弦定理可得cosB=，代入已知，化简后即可得结果【解答】解：∵cosB=，∴==∴5sinB=3∴sinB=故答案为9．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=0．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin （α+）=∵sin （α+）=故，∴．∴cos （α+）=；又∵，sin （α+）=cos [﹣（α+）]=cos （α）=，∴sin （α）=﹣．cos （2α﹣）=cos [（α+）+（α﹣）]=cos （α+）cos （α）﹣sin （α+）sin （α）=×﹣=0．故答案为：0．10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E 为BC 中点，若•=3，则•= ﹣3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=，E 为BC 中点，∴A （0，0），B （3，0），D （0，），设C （x ，），∴=（3，0），=（x ，），∵•=3， ∴3x=3， 解得x=1，∴C （1，）， ∵E 为BC 中点，∴E （，），即为（2，），∴=（2，），=（﹣2，），∴•=2×（﹣2）+×=﹣4+1=﹣3故答案为：﹣3．11．已知函数f （x ）在定义域[2﹣a ，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f （﹣m 2﹣）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），则m 的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a 的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f （x ）在定义域[2﹣a ，3]上是偶函数，所以2﹣a +3=0，所以a=5．所以f （﹣m 2﹣）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），即f （﹣m 2﹣1）＞f （﹣m 2+2m ﹣2），所以偶函数f （x ）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m 2﹣1＜0，﹣m 2+2m ﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f （﹣m 2﹣1）＞f （﹣m 2+2m ﹣2）得，解得．故答案为．12．已知函数f （x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点，则k 的取值范围 k ＜0或0＜k ＜1 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】若函数f （x ）有2个不同的零点，则﹣kx 2=0 ①有2个不同的实数根．再分（1）当x=0时、（2）x ≠0时2种情况，分别求出方程的根，综合可得方程①有2个不相等的实数根的条件．【解答】解：若函数f （x ）=﹣kx 2（k ∈R ）有两个零点，则﹣kx2=0 ①有两个不同的实数根．（1）当x=0时，不论k取何值，方程①恒成立，即x=0恒为方程①的一个实数解．（2）故只需x≠0，函数f（x）=﹣kx2（k∈R）有1个零点⇔﹣kx2=0 有1个不同的实数根⇔=k|x|有1个异根，⇔函数y=与y=k|x|有1个交点，如图示：，k＞0时，由=﹣kx得：kx2+2kx+1=0，△=4k2﹣4k=0，解得：k=1，结合图象，k＜0或0＜k＜1，故答案为：k＜0或0＜k＜1．13．若曲线y=alnx与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出a的值．【解答】解：曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=x2的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．由曲线y=alnx（a≠0）与曲线y=x2在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得=，并且t==alns，得lns=，∴s2=e．则a=1，∴t=，s=，即．故答案为：．14．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是[，1）．【考点】函数恒成立问题．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax ﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2e．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得16．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin（A+）=2cosA．（1）求角A的值；（2）若B∈（0，），且cos（A﹣B）=，求sinB．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得sinA= cosA，结合A∈（0，π），可求tanA=，进而可求A的值．（2）由已知及（1）可求A﹣B=﹣B∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求sin（A﹣B）的值，利用B=A﹣（A﹣B），根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为sin（A+）=2cosA，得sinA+cosA=2cosA，即sinA=cosA ， 因为A ∈（0，π），且cosA ≠0，所以tanA=， 所以A=．…（2）因为B ∈（0，π），cos （A ﹣B ）=， 所以A ﹣B=﹣B ∈（0，），因为sin 2（A ﹣B ）﹣cos 2（A ﹣B ）=1， 所以sin （A ﹣B ）=，…所以sinB=sin [A ﹣（A ﹣B ）]=sinAcos （A ﹣B ）﹣cosAsin （A ﹣B ）=．…17．已知函数f （x ）=，（其中m 、n 为参数）（1）当m=n=1时，证明：f （x ）不是奇函数； （2）如果f （x ）是奇函数，求实数m 、n 的值；（3）已知m ＞0，n ＞0，在（2）的条件下，求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法． 【分析】（1）当m=n=1时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）如果f （x ）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数m 、n 的值； （3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：（1），∴，，∵f （﹣1）≠﹣f （1），∴f （x ）不是奇函数； … （2）∵f （x ）是奇函数时∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即对定义域内任意实数x 成立．化简整理得关于x 的恒等式（2m ﹣n ）•22x +（2mn ﹣4）•2x +（2m ﹣n ）=0，∴即或． …10分（注：少一解扣2分）（3）由题意得m=1，n=2，∴，易判断f（x）在R上递减，∵，∴，∴，∴2x＜3，∴x＜log23，即f（x）＞0的解集为（﹣∞，log23）…18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=．（Ⅰ）若，求c的最小值；（Ⅱ）设向量，，且，求sin（B﹣A）的值．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求c的最小值；（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴abcosC=ab×=，∴ab=15．∴，∴c，即c的最小值为；（Ⅱ）∵，∴，即，∴，即tan2B=﹣，∴2B=或，即B=或．∵cosC=，∴C，sinC=．∴B=或（舍去）．∴=．19．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠NBP=﹣θ，则总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），求导，可得函数的最小值点．【解答】解：连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠NBP=﹣θ…若，在Rt△PBP1中，PP1=sinθ，BP1=cosθ，若，则PP1=sinθ，BP1=cosθ，若＜θ＜，则PP1=sinθ，BP1=cos（π﹣θ）=﹣cosθ，∴…在Rt△QBQ1中，QQ1=PP1=sinθ，CQ1=sinθ，CQ=sinθ，…所以总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），……令f'（θ）=0，当时，f'（θ）＜0当时，f'（θ）＞0 …所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．…20．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．2016年12月24日。

2017-2018学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x ∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（x0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4x．证明：（2）设Q（x1，y1），则，y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴x0x1=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（x1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。