完全平方公式变形
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完全平方公式变形
1.已知
,求下列各式的值:(答案过程略) (1)
; (25-2=23)
(2)
. (23-2=21)
(3)441x x (232-2=527)
2.已知x+y=7,xy=2,求(1)2x 2+2y 2; (2)(x ﹣y )2; (3)x 2+y 2-3xy
解:
(1)2x 2+2y 2;
∵(x+y)=7
∴(x+y)2=72
x 2+2xy+y 2=49
∵xy=2
∴x 2+y 2=49-2x2=49-4=45
∴2x 2+2y 2=2(x 2+y 2)=2x45=90
(2)∵x 2+y 2=45
xy=2
∴(x ﹣y )2= x 2+y 2-2xy=45-2x2=45-4=41
(3)∵x 2+y 2=45
xy=2
∴x 2+y 2-3xy=45-3x2=45-6=39
3.已知有理数m ,n 满足(m+n )2=9,(m ﹣n )2=1.求下列各式的值.
(1)mn ; (2)m 2+n 2
解:(1) ∵(m+n )2=9, ∵(m+n )2=9,
m 2+2mn+n 2=9① m 2+2mn+n 2=9①
(m ﹣n )2=1 (m ﹣n )2=1
m 2-2mn+n 2=12② m 2-2mn+n 2=12②
∴①-② ∴①+②
4mn=9-1=8 2m 2+2n 2=9+1=10
mn=8÷4=2 m 2+n 2=10÷2=5
平方差公式的应用
1.(a+b ﹣c )(a ﹣b+c )=a 2﹣( b-c )2.
2.(
a2)-64m2n2=(a+8mn)(a﹣8mn)
3.已知x2﹣y2=12,x﹣y=4,则x+y=3.
4.(x﹣y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)…(x2n+y2n)=x4n-y4n.
5..(﹣3x+2y)(3x+2y)=﹣9x2+4y2.
6.记x=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)…(1+2n),且x+1=2128,则n=64.
7.计算:=
8.已知a﹣b=1,a2﹣b2=﹣1,则a4﹣b4=-1.
9.一个三角形的底边长为(2a+4)厘米,高为(2a﹣4)厘米,则这个三角形的面积为(2a2-8)cm2.10观察下列等式19×21=202﹣1,28×32=302﹣22,37×43=402﹣32,…,已知m,n为实数,仿照上述的表示方法可得:mn=[(m+n)÷2]2-[(n-m)÷2]2
11.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm,它们的面积相差960cm2,求这两个正方形的边长解:设正方形Ⅰ的边长为acm,正方形Ⅱ的边长为bcm;根据题意有:
4a-4b=96①
a2-b2=960②
由①得,a-b=96÷4=24○3
由②得(a+b)(a-b)=960
a+b=960÷24=40○4
○3+○42a=40+24=64
a=64÷2=32(cm)
○4-○32b=40-24=16
b=16÷2=8(cm)
12如图,第一个图中两个正方形如图所示放置,将第一个图改变位置后得到第二个图,两图阴影部分的面积相等,则该图可验证的一个初中数学公式为a2-b2=(a+b)(a-b)
以下为提高题(请班级前20名学生会做)
13.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个这个正整数为“神秘数”,如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是“神秘数”.若60是一个“神秘数”,则60可以写成两个连续偶数的平方差为:60=162-142.
14.20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12=2017036.
15.(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1)×8+1=3128.
16.(3a+3b+1)(3a+3b﹣1)=899,则a+b=10.
17.化简式子,其结果是
2010/2011.(/前面是分子,/后面是分母)
完全平方式专练
1..x2+3x+9/4=(x+3/2)2;
x2﹣(-1/x2)+2=(x+1/x)2.
2.x2﹣px+=(x﹣)2.
若(3x+2y)2=(3x﹣2y)2+A,则代数式A为24xy.
(x﹣2y)2+8xy=(x+2y)2.
3..若x2+kxy+49y2是一个完全平方式,则k=14.
4..若4a2﹣(k﹣1)a+9是一个关于a的完全平方式,则k=7.
5.若多项式a2﹣12ab+kb2是完全平方式,则常数k的值为36.
6.若是一个完全平方式,则k=1/16.
7.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于64.
8.若x﹣y=2,则代数式x2﹣y2﹣4y的值为4.
9.已知三项式4x2++1是一个完全平方式,但是其中一项看不清了,你认为这一项应该是4x或-4x(写出所有你认为正确的答案).
10.若y(x﹣1)﹣x(y﹣1)=5,则﹣xy=12.5 .
11.已知a2+b2=13,ab=6,则a4﹣2a2b2+b4=25.
以下为提高题(请班级前20名学生会做)
12.已知(2015﹣a)(2013﹣a)=2014,则(2015﹣a)2+(2013﹣a)2的值为4032.
13.已知x2﹣4x﹣1=0,则x2+=18.
14已知(x+y)2﹣2x﹣2y+1=0,则x+y=1.
15.已知a+b+c=9,a2+b2+c2=35,则ab+bc+ca=23.
公式与拼图练习
1.方法写出一个代数恒等式是(a+b)2-(a-b)2=4ab.