初中数学完全平方公式的变形与应用

完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。

完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。

完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。

这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。

从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。

它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。

当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。

从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。

一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。

这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。

从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。

例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。

总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。

通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。

《完全平方公式》教案【教学目标】1.知识与技能（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。

（2）学会将多项式进行添括号的变形。

2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。

3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。

【教学重点】完全平方公式及其它的应用。

【教学难点】完全平方公式的应用。

【教学方法】引导发现，启发讨论相结合的教学方法【课前准备】教学课件。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】上节课我们学习了平方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？(a+b)(a-b)=a2-b2【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。

（1）(3+2a)(-3+2a)（2）(b2+2a3)(2a3-b2)（3）(-4a-1)(4a-1)【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。

今天，我们就接着学习另一个公式——完全平方公式。

二、新课教学1．完全平方公式【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。

你能正确计算这几个式子吗？课件展示探究内容，引导学生思考。

【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成a和b，又能得到什么样的结果呢？探究：计算: (a+b)2, (a- b)2解：(a+b)2= (a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2= (a-b) (a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？（1）积为二次三项式；（2）其中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同。

完全平方公式在数学运算中的作用摘要：“完全平方公式”是初中数学中运用最广泛的公式，是代数运算的基础公式，在初中阶段的教学中具有重要地位，是进行代数运算与变形的重要知识基础。

运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果，不能乱套公式。

特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。

关键词：应用；基础公式；简捷；正确理解“完全平方公式”是初中数学中应用最广泛的公式，是代数运算的基础公式。

它在整式乘法、因式分解、分式运算及其他代数式的变形中起着十分重要的作用。

它是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容；它是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。

在初中阶段的教学中具有重要地位。

所以对这个公式的教学要求很高，需要每一名学生都必须熟练掌握这个公式，从而灵活运用公式。

但是，许多学生在学习这个公式后，仍对其来源、形成过程理解不透彻，对其结构形式记忆模糊，并未深刻领悟到公式的本质。

作为整式的乘法公式，北师大版教科书把完全平方公式安排在整式的乘除这一章的第六节，前五节先让学生掌握整式乘法的各项法则，当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，再让学生利用多项式乘法法则计算，从而推导完全平方公式，并由找规律得出公式的猜想，再通过几何面积验证方法来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出公式.完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

重点是对完全平方公式的熟记及应用。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式特征的多项式乘法的结果.但运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，不能乱套公式。

特别对于初学者来说，要通过具体的、学生易出错的例子让学生正确理解公式中的字母a和b的真正含义。

在教学完全平方公式后反思学生中常见错误有：①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；（错因：在公式的基础上类推，随意“创造”）②混淆公式与；③运算结果中符号错误；④变式应用对初学者来说更难于掌握.现结合教授完全平方公式的实践经验对完全平方公式作如下解析：一、概念理解完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2这就是说，两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．公式的结构特征：左边是二项式的完全平方，右边是三项式．如果左边二项式各项分别用首项、尾项代表，那么右边三项可以记作：首平方，尾平方，首尾2倍乘积写中央；积的符号由二式项系数符号来确定，二项式系数符号同号，则积的符号为正；二项式系数符号异号，则积的符号为负，平方项前面均为正号.在运用完全平方公式（a±b）2 = a2±2ab+b2解题时，应注意掌握公式中各项的特征，明确公式中的“两数”的意义.在公式中，字母a，b可以表示一个具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式.例如：在运用公式（a-b）2 = a2-2ab+b2计算(-2b2-5a)2时“-2b2”就是公式中的a，“5a” 就是公式中的“b”.二、把握运用公式四步曲1.“察”：计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式的形式，则应运用相应乘法法则进行计算．2.“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式．3.“算”：注意每步的运算依据，即各个环节的算理.4.“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失.三、掌握运用公式常规四变1.变符号例1.运用完全平方公式计算：（1）；（2）；方法一：把两式分别变形为：再用公式计算.方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算.方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算.2.变项数：例2.计算： .分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时，可先变形为或[a+（b+c）] 或，再进行计算。

初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。

帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。

完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。

（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。

（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。

使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。

注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。

3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。

完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。

【考点精讲】1. 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

这两个等式是完全平方式，它们由左到右的变形是多项式的因式分解，我们可以运用这个公式对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做运用完全平方公式法。

2. 完全平方公式的特点：等式的左边是三项式，其中有两项同号，且能写成两数平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍；等式右边是这两数和（或差）的平方。

其中三项式可用口诀来记忆：首平方尾平方，二数乘积在中央。

【典例精析】例题1 把下列各式因式分解：（1）9x2＋12xy＋4y2；（2）4a2－36ab＋81b2；（3）25x4＋10x2＋1；（4）4（m＋n）2－28（m＋n）＋49。

思路导航：本例中的四个题目直接按完全平方公式分解因式即可，但一定要分清公式中的a，b，并适当地改写成公式的形式。

答案：（1）原式＝（3x）2＋2·3x·2y＋（2y）2＝（3x＋2y）2；（2）原式＝（2a）2－2·2a·9b＋（9b）2＝（2a－9b）2；（3）原式＝（5x2）2＋2·5x2·1＋12＝（5x2＋1）2；（4）原式＝[2（m＋n）]2－2·2（m＋n）·7＋72＝[2（m＋n）－7]2＝（2m＋2n－7）2。

点评：通过本例，我们知道运用完全平方公式法因式分解的步骤：一变（将三项式转化成“首平方尾平方，乘积2倍在中央”的形式）、二套（直接套用完全平方公式进行分解因式分解）。

另外，第（4）题要利用整体思想，即公式中的a相当于2（m＋n），并注意结果的化简。

例题2 （1）简便计算：20132－4026×2014＋20142；（2）已知实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋12c－61，求（a＋b－c）2014的值。

华师大版数学八年级上册《完全平方公式》说课稿3一. 教材分析华师大版数学八年级上册《完全平方公式》是学生在学习了有理数的乘法、平方根等知识的基础上进一步学习的。

本节课的主要内容是完全平方公式的探究和应用。

完全平方公式是初中数学中的一个重要公式，它在解决二次方程、二次函数等方面有着广泛的应用。

本节课通过引导学生探究完全平方公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、平方根等知识，具备了一定的数学基础。

但部分学生对于公式的推导和证明过程可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们积极参与课堂活动，提高他们的学习兴趣和自信心。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握完全平方公式的推导过程和应用方法。

2.过程与方法目标：通过小组合作、探究活动，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：完全平方公式的推导过程和应用方法。

2.教学难点：完全平方公式的推导过程，尤其是公式中各项系数的确定。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、小组合作法等，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合小组讨论、学生展示等方式，丰富教学手段，提高课堂效果。

六. 说教学过程1.导入：通过复习平方根的知识，引出完全平方公式，激发学生的学习兴趣。

2.探究：引导学生分组讨论，探究完全平方公式的推导过程，鼓励学生发表自己的观点和想法。

3.讲解：教师对完全平方公式进行讲解，重点讲解公式中各项系数的确定方法。

4.应用：让学生运用完全平方公式解决实际问题，巩固所学知识。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调完全平方公式的应用方法和注意事项。

6.布置作业：布置一些有关完全平方公式的练习题，巩固所学知识。

初中完全平方公式12种变形在初中数学课中，完全平方公式一直是学习的重要内容。

它可以用来解决复杂的问题，它可以准确地表达一个问题，而且它有很多变形，其中有12种。

首先，完全平方公式的基本原理是，当一个多项式的项中存在平方项时，可以将其化简为完全平方公式的形式。

它的基本形式是x^2+2xy+y^2=a^2，其中a为一个实数。

其次，一元二次方程的12种变形分别是：（1）x^2+2xy+y^2=a^2；（2）x^2-2xy+y^2=a^2；（3）x^2+2xy-y^2=a^2；（4）x^2-2xy-y^2=a^2；（5）ax^2+2xy+y^2=b^2；（6）ax^2-2xy+y^2=b^2；（7）ax^2+2xy-y^2=b^2；（8）ax^2-2xy-y^2=b^2；（9）x^2+2axy+y^2=c^2；（10）x^2-2axy+y^2=c^2；（11）x^2+2axy-y^2=c^2；（12）x^2-2axy-y^2=c^2；然后，我们需要分析上述12种变形的特征和特点，以便于更好地理解其含义。

首先，这些变形有一个共性，即都是完全平方公式的形式，因此它们可以看作一类。

其次，它们的参数不同，例如，前四种的参数a、b、c都是实数，而后八种的参数a、b、c则是变量。

最后，这12种变形可以分为四类，即有系数a的变形，有常数b的变形，有变量c的变形，以及包含x和y的变形。

最后，要正确使用完全平方公式的12种变形，需要掌握其特征和使用方法。

首先，要明确它们的参数，例如有些是实数，而有些则是变量。

其次，要了解它们的共性和特点，例如上面提到的变形分为四类。

最后，要熟练掌握它们的解题方法，例如展开式的方法、变量的替换方法以及因式分解的方法。

这样，才能够更好地解决完全平方公式的12种变形，让自己更加深入地掌握这门学科知识。

总之，完全平方公式可以分为12种变形，它们有着自己的特征和特点，要正确使用它们，需要掌握其参数、共性和解题方法，这样才能更好地解决复杂的问题，为自己赢得一份好成绩。

中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。

帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。

完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

（a+b）2=a^2+2ab+b^2，（a-b）2=a^2-2ab+b^2。

（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。

（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。

难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3..公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。

使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。

注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。

2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可以是数，单项式，多项式。

3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。

完全平方公式是初中数学中的一个重要概念，它描述了一个二项式的平方的展开形式。

在七年级下册的数学学习中，我们通常会接触到完全平方公式的变形和应用。

下面，我将就完全平方公式的变形进行详细的阐述。

首先，我们来回顾一下完全平方公式的基本形式。

对于一个二项式a+b或a-b的平方，其展开形式分别为(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab+b²。

这两个公式揭示了二项式平方后各项系数之间的关系。

接着，我们来探讨完全平方公式的变形。

变形通常涉及到对公式中的各项进行重新组合或调整，以适应不同的解题需求。

例如，我们可以将公式中的2ab项拆分为两个相等的部分，得到(a+b)²=a²+b²+2ab。

这样的变形有助于我们更直观地理解公式中各项之间的关系，并方便我们在解题时进行运用。

除了对公式本身的变形外，我们还需要关注完全平方公式在实际问题中的应用。

在实际问题中，我们往往需要根据题目的要求，对公式进行适当的变形和调整。

例如，在求解某个代数式的值时，我们可能需要将给定的代数式转化为完全平方的形式，然后利用完全平方公式进行计算。

在变形和应用完全平方公式的过程中，我们需要注意以下几点：首先，要熟练掌握公式的基本形式；其次，要理解公式中各项的意义和作用；最后，要根据题目的要求灵活运用公式进行变形和计算。

总之，完全平方公式的变形是七年级下册数学学习的重要内容之一。

通过掌握公式的基本形式和变形方法，我们可以更好地理解和应用完全平方公式，提高解题能力。

同时，我们也需要不断练习和巩固所学知识，以便在实际问题中能够灵活运用完全平方公式进行解题。

初中完全平方公式大全一、概述在初中数学学习中，完全平方公式是非常重要的一项知识点，它涉及到多项式的乘法、开平方运算等。

本文将详细介绍初中完全平方公式的概念、公式形式、应用范围以及注意事项。

二、公式形式完全平方公式共有两个，形式为a² ± 2ab + b² = (a \pmb)²。

其中，a、b为任意实数，表示两个数，符号“±”表示两个选项，即两个选项中选一个。

公式中加号后面的两个数，表示将其中一个数乘以自己，再乘以另一个数，再相加或减。

三、应用范围完全平方公式在初中数学学习中应用非常广泛，主要包括以下几个方面：1. 多项式乘法：完全平方公式可以用于多项式的乘法运算，可以将一个多项式分解为若干个数的平方和形式，方便后续的代数运算。

2. 开平方运算：完全平方公式可以用于开平方运算，可以将一个数的平方根转化为加减运算的形式，方便后续的代数运算。

3. 代数解方程：完全平方公式可以用于解一元二次方程，通过配方和开方运算，可以将方程转化为两个一元一次方程的形式，方便求解。

四、注意事项在使用完全平方公式时，需要注意以下几点：1. 公式中的“±”选项需要谨慎选择，根据具体题目来确定选用哪一个选项。

2. 在应用多项式乘法时，需要正确地将多个数的平方和进行乘法运算。

3. 在开平方运算中，需要将一个数的平方根进行加减运算，而不是直接进行开方运算。

4. 在解一元二次方程时，需要正确地将方程进行配方和开方运算，并将结果转化为两个一元一次方程的形式。

五、例题解析为了更好地理解和应用完全平方公式，下面将通过一些例题进行解析：例1：求(x + 2)² = 9 的解。

解：根据完全平方公式，得(x + 2)² = (x \pm 2)² = 9。

移项得 x \pm 2 = 3 或 x \pm 2 = -3。

解得 x = 1 或 x = -5。

例2：计算(a - b)² \times (b - a)²的结果。

题目：用完全平方公式解决初中数学难题——教案分享近年来，由于一些因素的影响，初中学生的数学成绩逐年下降。

数学是一门重要的学科，是各学科中最基础的一门学科，也是很多实际工作中必须掌握的一门学科。

如何提高初中数学的教学质量，是我们需要解决的一个重要问题。

初中数学中存在很多难题，其中用完全平方公式解决难题，是很多学生都很困惑的一个问题。

本文将介绍如何用完全平方公式解决初中数学难题，并分享一份教案，希望对初中数学教学有所帮助。

一、什么是完全平方公式完全平方公式，也叫平方差公式。

这个公式非常重要，一般是在初中学习二次函数和解二元一次方程时引入的。

它是解决初中数学中用平方来表达两个项的和或差时的常用方法。

完全平方公式是：$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$或$$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$姑且这里用一个简易例子来解释一下：例如：$$x^2+6x+9$$这里的 6x 是由$2×3×x$ 得到的。

并且 $3^2=9$，当我们把它们相加时，就得到$$(x+3)^2 = x^2 +6x +9$$当我们将二次多项式写成完全平方的形式时，问题就变得非常简单了。

而且，它还有许多不同的应用和变化形式，例如平方根和勾股定理等等。

二、在初中数学中如何运用完全平方公式在初中数学中，完全平方公式有许多应用。

下面以常见的三种情形作为例子，来说明这些应用：1.用完全平方公式解决求方程的问题。

例如，对于方程$x^2+8x+16=0$，我们可以用完全平方公式把它变换为$$(x+4)^2=0$$方程的解为 $x=-4$。

2.用完全平方公式证明恒等式。

例如，我们要证明$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。

由于这个恒等式可以表达出两个数的平方和，我们可以把 $a+b$ 看成两个数之和，运用完全平方公式进行变换。

具体地，我们有$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$同时，我们又有$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$从而，得到$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$恒等式证毕。

初中数学什么是整式的完全平方公式完全平方公式是指将一个二次整式表示为一个平方的形式。

这个公式在解决整式的乘法分解、因式分解和求根等问题时非常有用。

下面是一个详细的解释和推导完全平方公式的过程。

假设我们有一个二次整式f(x)，表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。

要将f(x)表示为一个平方的形式，我们可以使用完全平方公式。

完全平方公式的一般形式是：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以将这个公式推广到二次整式的情况，得到完全平方公式：f(x) = (mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2其中m和n是实数常数。

现在，我们来推导完全平方公式的过程。

我们希望将二次整式f(x) = ax^2 + bx + c表示为一个平方的形式。

我们将f(x)视为一个平方的形式，即f(x) = (px + q)^2，其中p和q是实数常数。

展开右边的平方形式，我们得到：(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2我们可以观察到，f(x)和(px + q)^2有相同的二次项和常数项。

根据二次项的系数，我们可以得到：a = p^2根据常数项，我们可以得到：c = q^2根据一次项的系数，我们可以得到：b = 2pq通过联立解这些方程，我们可以求解出p和q的值，进而得到完全平方公式的形式。

例子：考虑二次整式f(x) = x^2 + 6x + 9。

我们希望将它表示为一个平方的形式。

我们尝试将f(x)表示为(px + q)^2，其中p和q是实数常数。

展开(px + q)^2，我们得到：(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2我们可以观察到，f(x)和(px + q)^2有相同的二次项和常数项。

根据二次项的系数，我们得到：1 = p^2根据常数项，我们得到：9 = q^2根据一次项的系数，我们得到：6 = 2pq通过联立解这些方程，我们可以求解出p和q的值：p = 1q = 3所以，f(x) = x^2 + 6x + 9可以表示为一个平方的形式：f(x) = (x + 3)^2这就是完全平方公式的应用。

初中数学教案：轻松掌握完全平方公式完全平方公式是初中数学中一个非常重要的公式，也相当实用。

本文将详细讲解完全平方公式的概念、性质及其应用。

一、完全平方公式的概念完全平方公式指的是一个二次多项式的平方可以通过平方其中各项系数的平方、两项系数之间的乘积及常数项的平方这3项来表示。

例如，(a+b)² = a²+2ab+b²，(a-b)² = a²-2ab+b²。

二、完全平方公式的性质1. 表示方式唯一性任何一个二次多项式的平方都可以用完全平方公式唯一表达。

例如，(x+1)² = x²+2x+1，(x-2)² = x²-4x+4。

2. 正负性对称性对于任意实数 a 和 b，有(a+b)² = (b+a)² 和 (a-b)²=(b-a)²。

3. 对称性对于任意实数 a，有(a+0)²=a² 和 (-a)²=a²。

4. 加法公式充分利用完全平方公式的正负性对称性，可以用两个完全平方式相加，同时对系数及常数项进行合并。

例如，(a+b)²+(a-b)² =2(a²+b²)。

5. 减法公式充分利用完全平方公式的正负性对称性，可以用两个完全平方式相减，同时对系数及常数项进行合并。

例如，(a+b)²-(a-b)² = 4ab。

三、完全平方公式的应用1. 计算方程式完全平方公式在解决方程式时非常有用。

例如，当解决方程x²+4x+3=0 时，我们可以将其改写为(x+2)²-1=0 的形式，进而求出x = -2±1。

2. 满足条件的数值如果我们想要求一个数a² 的值，我们可以用完全平方公式将其转化为(a+0)²，进而求出 a 的值。

同样的，如果我们想要求两个真数的平方和为 10，可以用完全平方公式将其转化为(a+b)²=10 的形式，从而求出满足条件的 a 和 b 的值。

完全平方公式的几种常见用法作者：刁一建来源：《新高考·升学考试》2018年第02期我们熟悉的完全平方公式是：（a±b）2=a2±2ab+b2.它在乘法运算和因式分解中起到重要的作用，是初中数学中一个常用公式，也是中考的必备计算工具.下面就完全平方公式的运用归纳几种常见用法.一、超过两项的多项式的平方展开例1. 计算：（x-2y-3z）2.分析：完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的展开式本质上是：多项式每一项分别平方+每两项积的2倍，由此可以引申出：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.解：（x-2y-3z）2=x2+（-2y）2+（-3z）2+2x（-2y）+2x（-3z）+2（-2y）（-3z）=x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz.小结：在（x-2y-3z）2中，多项式x-2y-3z三项分别为x、-2y、-3z，展开（x-2y-3z）2时，先将三项分别平方，然后每两项相乘再乘2倍.类似地，当遇到诸如：（a-2b-c+d）2的展开时，也可以使用此方法.二、利用完全平方公式的变形公式求值例2. （1）若a+b=-3，ab=2，則a2+b2= ，a-b2= .（2）已知x2-3x+1=0，求：① x2+1x2，②（x-1x）2.分析：完全平方公式常见变形为： a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；（a-b）2 =（a+b）2-4ab；（a+b）2 =（a-b）2+4ab.第（1）题可以直接利用变形公式求解；第（2）题由条件同除以x可得：x+1x=3.解：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab= 9-4=5，（a-b）2 =（a+b）2-4ab=9-8=1.（2）由x2-3x+1=0，得x+1x=3.① x2+1x2=x+1x2-2=7；② x-1x2=x+1x2-4=5.小结：变形公式要求同学们理解完全平方公式的结构，具备整体意识，同时不能忽视互为倒数的两数之积为1的性质.三、确定完全平方式中的系数例3.如果多项式x2+（m-1）x+16是一个完全平方式，则m的值是多少？分析：多项式中首末两项是x和4的平方，那么中间项就为加上或减去x和4的乘积的2倍.解：∵x2+（m-1）x+16是一个完全平方式，∴（m-1）x=2×4x或（m-1）x=-2×4x，∴m=9或m=-7.小结：有些同学解决本题时可能会只求出一个答案9，缺少-7.在完全平方式中，平方项系数恒为正数，而中间项的系数可以为正负两种情况，不可漏解.例如：若4x2-mxy+25y2 是一个完全平方式，求m的值.此时可以运用同样的方法求解.四、利用因式分解求值例4.已知a+b=1，求12a2+ab+12b2的值.分析：由于只有一个已知条件要具体求出a，b的值是不可能的，而运用完全平方公式，将结论因式分解为12（a+b）2，就可以轻松求出结果.解：∵12a2+ab+12b2=12（a2+2ab+b2）=12（a+b）2，∴原式=12×12=12.小结：因式分解本质上就是将公式进行逆用.本题还可以对条件变形求解：∵a+b=1，∴a=1-b，再代入12a2+ab+12b2，就可以得到12（1-b）2+b（1-b）+12b2，展开即可求出结果，但是这样做相对比较复杂.五、利用配方法进行求值例5.若4m2+n2-6n+4m+10=0，求m2-n2的值.分析：计算代数式的值，求出m，n的值是关键.当一个等式有两个未知数时，可以联想构造完全平方公式再利用非负性求解.解：∵4m2+n2-6n+4m+10=0，∴ 4m2+4m+1+n2-6n+9=0，∴（2m+1）2+（n-3）2=0，∴ 2m+1=0， n-3=0，∴ m=-12，n=3.原式=（-12）2-32=-354.小结：本题考查了非负性的运用和拆项法构造完全平方公式，解答时将常数10拆成9和1是难点.六、利用配方法进行证明例6. 已知a，b，c为三角形的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0.求证：△ABC为等边三角形.分析：可将题目所给的关于a，b，c的等量关系进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a，b，c三边的数量关系，进而就可以判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0，∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形.小结：本题运用配方法构造完全平方公式，将已知转化为平方和，再由非负性求解.【结束语】完全平方公式的运用需要对公式本身深入理解，其应用范围相当广泛，是学习的一个难点，特别是配方法对能力要求比较高，它是我们后续学习一元二次方程和二次函数的基础，只有通过理解、分析并不断熟悉几种变形，完全平方的使用才能得心应手.。

教学实践新课程NEW CURRICULUM完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式，灵活运用这些公式，可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

完全平方公式（a+b ）2=a 2+2a b +b 2①（a-b ）2=a 2-2a b +b2②{思想方法：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式；3.注意运用变形公式。

变形一：将公式①变形为a 2+b 2=（a+b ）2-2a b或ab =（a +b ）2-（a 2+b 2）2，将公式②变形为a 2+b 2=（a-b ）2+2a b或ab =（a 2+b 2）-（a -b ）22。

将（a +b ）2（或a +b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①及其变形公式可以直接求得第三个整体的值；同理，将（a-b ）2（或a-b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

例1.已知a +b =3，ab =2，求a 2+b 2的值。

解：∵a +b =3，ab =2∴a 2+b 2=（a+b ）2-2ab =32-2×2=5变形二：由①+②得（a+b ）2+（a-b ）2=2（a 2+b 2），可变形为a 2+b 2=（a 2+b 2）+（a -b ）22。

将a+b ，a 2+b 2，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①+②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

例2.已知a+b=3，a-b=2，求a 2+b 2的值。

解：∵a+b=3，a-b=2∴a 2+b 2=（a +b ）2+（a -b ）22=32+222=132变形三：由①-②得（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，可变形为（a+b ）2=（a-b ）2+4ab 。

将a+b ，ab ，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①-②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。

具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。

其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。

二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。

其中，a和b可以是任意实数或代数式。

三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。

这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。

展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。

这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。

对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。

这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。

四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。

这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。

乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。

这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。

正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。

如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。

五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。